2022年浙教初中数学九下《解直角三角形》课件5

1.3解直角三角形(1)1.3解直角三角形(1)1

数学家华罗庚曾经说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日月之繁，无处不用数学。”这是对数学与生活的精彩描述。在我们周围处处有数学，时时会碰到数学问题。数学家华罗庚曾经说：“宇宙之大，粒子之微，火箭2引例：在山坡上种树（从低处往高处种），要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5米，测得斜坡倾斜角是24º，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米？第二棵树离开地面的高度是多少米？（精确到0.1米）24º5.5米ABC24º5.5米

生活中的数学问题建立数学模型引例：在山坡上种树（从低处往高处种），要求株距（相邻两树间的3温故而知新

在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。问题1.在直角三角形中，三边之间具有怎样的关系？即:a2+b2=c2ABCabc温故而知新在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的4直角三角形的两个锐角互余。问题2.直角三角形的两个锐角之间有什么关系?即:∠A+∠B=90°ABC温故而知新直角三角形的两个锐角互余。问题2.直角三角形的两个锐角之间有5问题3.直角三角形的角与边之间又有怎样的关系呢？ABC温故而知新问题3.直角三角形的角与边之间又有怎样ABC温故而知新6ABC（1）sinA=（2）cosA=（3）tanA=问题3:∠A的正弦、余弦、正切是怎样定义的？温故而知新→→→重视式子变形锐角三角函数联系了直角三角形中锐角和边之间的关系。ABC（1）sinA=（2）cosA=（3）tanA=问题371，在直角三角形中共有五个元素：边a,b,c,锐角∠A,∠B.这五个元素之间有如下等量关系：ABCcab(1)三边之间关系：a2+b2=c2(勾股定理)

(2)锐角之间关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间关系：请记住这些结论1，在直角三角形中共有五个元素：边a,b,c,锐角∠A,∠8

在直角三角形中，由已知的一些边、角求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。定义：

在直角三角形中，已知几个元素就可以求出其它元素呢？在直角三角形中，由已知的一些边、角求出另一些边、9例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠A=500，AB=3，解这个直角三角形。（边长保留2个有效数字）解：Rt△ABC中∠B=900-∠A=400∴a=AB×sinA=3×sin500≈2.3∴b=AB×cosA=3×cos500≈1.9有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除，取原避中。（求a，b和∠B）例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠A=500，A10练一练1、已知在Rt△ABC中，∠C=

Rt∠，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，根据下列条件解直角三角形（边长保留2个有效数字，角度精确到10)(1)c=10,∠A=30o(2)b=4,∠B=72o(3)a=5,c=7（4）a=20,小提示：数形结合，学会分析练一练1、已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，a,b,c分112、已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠

，a=5,∠B=54033’，求∠A和b,c(边长保留2个有效数字）。2、已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，12在直角三角形中，已知几个元素就可以求出其它元素呢？解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角在直角三角形中，已知几个元素就可以求出其它元素呢？解直13解:在Rt△ABD中,a＝()2+(h)2l2＝52+3.52≈6.1(m).hLaAＢＣＤα∵tanα＝＝0.7,3.55∴α≈350.答:斜面钢条a的长度约为6.1米,坡角约为350.例2、如图是某市“平改坡”工程中一种坡屋顶设计，已知平顶屋面的宽度L为10m，坡屋顶的设计高度h为3.5m，求斜面钢条a的长度和坡角a。（长度精确到0.1米，角度精确到1°）解:在Rt△ABD中,a＝()2+(h)2l2＝14引例：在山坡上种树（从低处往高处种），要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5米，测得斜坡倾斜角是24º，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米？第二棵树离开地面的高度是多少米？（精确到0.1米）24º5.5米ABC24º5.5米

解决问题引例：在山坡上种树（从低处往高处种），要求株距（相邻两树间的15解：在Rt△ABC中，∠C=90°引例：山坡上种树，要求株距（相临两树间的水平距离）是5.5米，测的斜坡倾斜角是24º，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米?第二棵树离开地面的高度是多少米？（

（精确到0.1米）24º5.5米ABC≈6.0（米）答：斜坡上相邻两树间的坡面距离是6.0米。

第二棵树离开地面的高度是2.4米.解：在Rt△ABC中，∠C=90°引例：山坡上种树，要求株距16挑战自我1.已知，在△ABC中,∠B=45°,AC=4,，,求BC的值。构造直角三角形分类讨论思想挑战自我1.已知，在△ABC中,∠B=45°,AC=4,构17说一说1，定义：解直角三角形解直角三角形中，有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角.2，直角三角形中的五个元素之间关系：3，解直角三角形中的几个注意:

（1）有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除，取原避中。（2）数形结合，利于分析。（4）实际问题数学化.(数学建模思想)（5）全面地看问题。（分类讨论思想）（3）构造直角三角形.说一说1，定义：解直角三角形2，直角三角形中的五个元素之间关18再见再见191，在直角三角形中共有五个元素：边a,b,c,锐角∠A,∠B.这五个元素之间有如下等量关系：ABCcab(1)三边之间关系：a2+b2=c2(勾股定理)

(2)锐角之间关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间关系：请记住这些结论1，在直角三角形中共有五个元素：边a,b,c,锐角∠A,∠20观察与思考下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:AA1,BB1,CC1,DD1互相平行，且若AB=BC,你能猜想出什么结果呢？abc导入新课观察与思考下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:AA121讲授新课平行线分线段成比例定理（基本事实）一如图（1）小方格的边长都是1，直线a∥b∥c,分别交直线m,n于

（1）计算你有什么发现？讲授新课平行线分线段成比例定理（基本事实）一如图（122（2）将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别为.你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？

(图2）（2）将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交23（３）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？归纳基本事实：两条直线被一组平行线所截，所截得的对应线段成比例；符号语言：若a∥b∥c，则.

（３）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段241.如何理解“对应线段”？2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？议一议议一议25平行线分线段成比例的推论二如图3，直线a∥b∥c

，分别交直线m,n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C2，C3.如图4，图4中有哪些成比例线段？（图3）

(图4）aabbccnmnmA1B2A2B1A1B1C1C2A2B2A3B3A3B3平行线分线段成比例的推论二如图3，直线a∥b∥c26推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例归纳推论1：推论2：归纳271.如图所示，在△ABC中，E，F，分别是AB和AC的点，且EF∥BC.(1)如果AE=7,EB=5,FC=4,那么AF的长是多少？AEBCF解:∵EF∥BC,∴∵AE=7,EB=5,FC=4.∴练一练1.如图所示，在△ABC中，E，F，分别是AB和AC的点，且28(2)如果AB=10，AE=6，AF=5,那么FC的长是多少？AEBCF解:∵EF∥BC,∴∵AB=10,AE=6,AF=5.∴∴FC=AC–AF=(2)如果AB=10，AE=6，AF=5,那么FC的长是多少291.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是(

)A.

B.C.

D.D当堂练习1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是()30ABCED2、填空题:如图:DE∥BC,已知:则

.ABCED2、填空题:如图:DE∥BC,已知:则31ABCDE3.已知：DE//BC,

AB=15,AC=9,BD=4

.求AE的长.解:∵DE∥BC,

ABACBDCE∴————＝.（推论）即ABCDE3.已知：DE//BC,AB=15,AC=9,B32课堂小结1.平行线分线段成比例定理（基本事实）两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例.2.平行线分线段成比例定理的推论推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例课堂小结1.平行线分线段成比例定理（基本事实）两条直线被一组33见《学练优》本课时练习课后作业见《学练优》本课时练习课后作业341.3解直角三角形(1)1.3解直角三角形(1)35

数学家华罗庚曾经说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日月之繁，无处不用数学。”这是对数学与生活的精彩描述。在我们周围处处有数学，时时会碰到数学问题。数学家华罗庚曾经说：“宇宙之大，粒子之微，火箭36引例：在山坡上种树（从低处往高处种），要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5米，测得斜坡倾斜角是24º，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米？第二棵树离开地面的高度是多少米？（精确到0.1米）24º5.5米ABC24º5.5米

生活中的数学问题建立数学模型引例：在山坡上种树（从低处往高处种），要求株距（相邻两树间的37温故而知新

在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。问题1.在直角三角形中，三边之间具有怎样的关系？即:a2+b2=c2ABCabc温故而知新在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的38直角三角形的两个锐角互余。问题2.直角三角形的两个锐角之间有什么关系?即:∠A+∠B=90°ABC温故而知新直角三角形的两个锐角互余。问题2.直角三角形的两个锐角之间有39问题3.直角三角形的角与边之间又有怎样的关系呢？ABC温故而知新问题3.直角三角形的角与边之间又有怎样ABC温故而知新40ABC（1）sinA=（2）cosA=（3）tanA=问题3:∠A的正弦、余弦、正切是怎样定义的？温故而知新→→→重视式子变形锐角三角函数联系了直角三角形中锐角和边之间的关系。ABC（1）sinA=（2）cosA=（3）tanA=问题3411，在直角三角形中共有五个元素：边a,b,c,锐角∠A,∠B.这五个元素之间有如下等量关系：ABCcab(1)三边之间关系：a2+b2=c2(勾股定理)

(2)锐角之间关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间关系：请记住这些结论1，在直角三角形中共有五个元素：边a,b,c,锐角∠A,∠42

在直角三角形中，由已知的一些边、角求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。定义：

在直角三角形中，已知几个元素就可以求出其它元素呢？在直角三角形中，由已知的一些边、角求出另一些边、43例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠A=500，AB=3，解这个直角三角形。（边长保留2个有效数字）解：Rt△ABC中∠B=900-∠A=400∴a=AB×sinA=3×sin500≈2.3∴b=AB×cosA=3×cos500≈1.9有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除，取原避中。（求a，b和∠B）例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=900，∠A=500，A44练一练1、已知在Rt△ABC中，∠C=

Rt∠，a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边，根据下列条件解直角三角形（边长保留2个有效数字，角度精确到10)(1)c=10,∠A=30o(2)b=4,∠B=72o(3)a=5,c=7（4）a=20,小提示：数形结合，学会分析练一练1、已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，a,b,c分452、已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠

，a=5,∠B=54033’，求∠A和b,c(边长保留2个有效数字）。2、已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，46在直角三角形中，已知几个元素就可以求出其它元素呢？解直角三角形，只有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角在直角三角形中，已知几个元素就可以求出其它元素呢？解直47解:在Rt△ABD中,a＝()2+(h)2l2＝52+3.52≈6.1(m).hLaAＢＣＤα∵tanα＝＝0.7,3.55∴α≈350.答:斜面钢条a的长度约为6.1米,坡角约为350.例2、如图是某市“平改坡”工程中一种坡屋顶设计，已知平顶屋面的宽度L为10m，坡屋顶的设计高度h为3.5m，求斜面钢条a的长度和坡角a。（长度精确到0.1米，角度精确到1°）解:在Rt△ABD中,a＝()2+(h)2l2＝48引例：在山坡上种树（从低处往高处种），要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5米，测得斜坡倾斜角是24º，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米？第二棵树离开地面的高度是多少米？（精确到0.1米）24º5.5米ABC24º5.5米

解决问题引例：在山坡上种树（从低处往高处种），要求株距（相邻两树间的49解：在Rt△ABC中，∠C=90°引例：山坡上种树，要求株距（相临两树间的水平距离）是5.5米，测的斜坡倾斜角是24º，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米?第二棵树离开地面的高度是多少米？（

（精确到0.1米）24º5.5米ABC≈6.0（米）答：斜坡上相邻两树间的坡面距离是6.0米。

第二棵树离开地面的高度是2.4米.解：在Rt△ABC中，∠C=90°引例：山坡上种树，要求株距50挑战自我1.已知，在△ABC中,∠B=45°,AC=4,，,求BC的值。构造直角三角形分类讨论思想挑战自我1.已知，在△ABC中,∠B=45°,AC=4,构51说一说1，定义：解直角三角形解直角三角形中，有下面两种情况：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角.2，直角三角形中的五个元素之间关系：3，解直角三角形中的几个注意:

（1）有斜用弦，无斜用切，宁乘勿除，取原避中。（2）数形结合，利于分析。（4）实际问题数学化.(数学建模思想)（5）全面地看问题。（分类讨论思想）（3）构造直角三角形.说一说1，定义：解直角三角形2，直角三角形中的五个元素之间关52再见再见531，在直角三角形中共有五个元素：边a,b,c,锐角∠A,∠B.这五个元素之间有如下等量关系：ABCcab(1)三边之间关系：a2+b2=c2(勾股定理)

(2)锐角之间关系：∠A+∠B=90°(3)边角之间关系：请记住这些结论1，在直角三角形中共有五个元素：边a,b,c,锐角∠A,∠54观察与思考下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:AA1,BB1,CC1,DD1互相平行，且若AB=BC,你能猜想出什么结果呢？abc导入新课观察与思考下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:AA155讲授新课平行线分线段成比例定理（基本事实）一如图（1）小方格的边长都是1，直线a∥b∥c,分别交直线m,n于

（1）计算你有什么发现？讲授新课平行线分线段成比例定理（基本事实）一如图（156（2）将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交点分别为.你在问题（１）中发现的结论还成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？

(图2）（2）将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直线ｂ的交57（３）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？归纳基本事实：两条直线被一组平行线所截，所截得的对应线段成比例；符号语言：若a∥b∥c，则.

（３）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段581.如何理解“对应线段”？2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？议一议议一议59平行线分线段成比例的推论二如图3，直线a∥b∥c

，分别交直线m,n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.过点A1作直线n的平行线，分别交直线b，c于点C2，C3.如图4，图4中有哪些成比例线段？（图3）

(图4）aabbccnmnmA1B2A2B1A1B1C1C2A2B2A3B3A3B3平行线分线段成比例的推论二如图3，直线a∥b∥c60推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形与原三角形的对应边成比例归纳推论1：推论2：归纳611.如图所示，在△ABC