B第二章数学与人的发展课件

第二章数学(shùxué)与人的开展第一页，共五十四页。第二章数学(shùxué)与人的开展第一页，共五十四页。人的开展(kāizhǎn)有两层含义一是指身体的开展(kāizhǎn)；二是指心理的开展。第二页，共五十四页。人的开展(kāizhǎn)有两层含义一是指身体的开展(kāi决定人开展(kāizhǎn)的因素遗传因素环境因素教育因素个体(gètǐ)主观能动性

第三页，共五十四页。决定人开展(kāizhǎn)的因素遗传因素第三“数学(shùxué)使人聪颖、数学(shùxué)使人严谨、数学(shùxué)使人深刻、数学(shùxué)使人缜密、数学(shùxué)使人坚毅、数学(shùxué)使人勇敢、数学(shùxué)使人正直、数学(shùxué)使人美丽。〞———开普勒(Kepler)第四页，共五十四页。“数学(shùxué)使人聪颖、数学(通过数学的训练(xùnliàn)，可以使学生树立明确的数量观念，“胸中有数〞，认真地注意事物的数量方面及其变化规律。提高学生的逻辑思维能力，使他们思路清晰，条理清楚，有条不紊地处理头绪纷繁的各项工作。

第五页，共五十四页。通过数学的训练(xùnliàn)，可以使学生树立明确的数量观数学上的推导要求每一个正负号、每一个小数点都不能模糊敷衍，有助于培养学生认真细致、一丝不苟的作风和习惯。数学上追求的是最有用〔广泛〕的结论、最低的条件〔代价〕以及最简明的证明，可以使学生形成(xíngchéng)精益求精的风格，凡事力求尽善尽美。第六页，共五十四页。数学上的推导要求每一个正负号、每一个小数点都不能模糊敷衍，有通过数学的训练，使学生知道数学概念、方法和理论的产生和开展的渊源和过程，了解和领会由实际需要出发、到建立数学模型、再到解决实际问题的全过程，提高他们运用数学知识处理现实世界中各种复杂问题的意识、信念和能力(nénglì)。通过数学的训练，可以使学生增强拼搏精神和应变能力，能通过不断分析矛盾，从外表上一团乱麻的困难局面中理出头绪，最终解决问题。第七页，共五十四页。通过数学的训练，使学生知道数学概念、方法和理论的产生和开展的可以调动学生的探索精神和创造力，使他们更加灵活和主动，在改善所学的数学结论、改进证明的思路和方法、发现不同的数学领域或结论之间的内在联系、拓展数学知识的应用范围以及解决现实问题等方面，逐步显露出自己的聪明才智。使学生具有某种数学上的直觉和想象力，包括几何直观能力，能够根据所面对的问题的本质或特点，八九不离十地估计到可能的结论，为实际的需要提供借鉴(jièjiàn)。———数学家李大潜院士第八页，共五十四页。可以调动学生的探索精神和创造力，使他们更加灵活和主动，在改善

一、训练(xùnliàn)人的思维数学素有“训练(xùnliàn)思维体操〞的美称。它在训练(xùnliàn)人的思维方面有着其他学科所不可替代的独特作用。第九页，共五十四页。一、训练(xùnliàn)人的思维(一)思维(sīwéi)与数学思维(sīwéi)思维是人脑对客观事物的本质属性和事物内在联系的概括和间接的反映(fǎnyìng)。思维是智力的核心。思维有两个最显著的特征，一是概括性，二是间接性。第十页，共五十四页。(一)思维(sīwéi)与数学思维(sī数学思维，就是以数和形及其结构关系为思维对象，以数学语言和符号为载体，并以认识和发现数学规律为目的(mùdì)的一种思维。数学思维主要具有概括性、整体性、相似性和问题性等特点。第十一页，共五十四页。数学思维，就是以数和形及其结构关系为思维对象，以数学语言和符1.求以下(yǐxià)图中两个正方形盖住的面积。思维(sīwéi)的概括性举例3212.某班有15个学生(xuésheng)有哥哥，9个学生(xuésheng)有姐姐，有哥哥又有姐姐的学生(xuésheng)有3个，问全班有哥哥或有姐姐的学生(xuésheng)共有多少个？第十二页，共五十四页。1.求以下(yǐxià)图中两个正方形盖住的面积。(二)数学思维(sīwéi)的分类1数学思维方式按照思维活动的形式可以分成逻辑思维(luójísīwéi)、形象思维和直觉思维三类。逻辑思维的根本形式——概念、判断、推理。形象思维的根本形式——表象、直感、想象。直觉思维的根本形式——直觉、灵感(顿悟)。第十三页，共五十四页。(二)数学思维(sīwéi)的分类1数学思

例：鸡兔同笼，共有(ɡònɡyǒu)头14只，足34条，鸡兔各几只？第十四页，共五十四页。例：鸡兔同笼，共有(ɡònɡyǒu)头1

例：父子两人上班(shàngbān)，父亲要走40分，儿子要走30分，父先走5分后，儿子多少分钟追上父？第十五页，共五十四页。例：父子两人上班(shàngbān)，父

例：一只白兔和一只黑兔在相距100m的两棵大树间同时相向而行，白兔每秒钟跳6m，黑兔每秒钟跳4m。一只小花狗与白兔同时前进，每秒钟跑10m。小花狗为了表示(biǎoshì)对两只兔子都很亲热，因此当它遇到黑兔时，马上折回去迎接白兔；遇到白兔时，又迅速折回去迎接黑兔；这样小花狗在白兔与黑兔之间来回奔跑，直到白兔与黑兔相遇。问小花狗来回奔跑了多少路？第十六页，共五十四页。例：一只白兔和一只黑兔在相距100m的两棵(二)数学思维(sīwéi)的分类2数学思维方式按照思维指向可以分成集中思维和发散思维两类。集中思维又叫聚合思维、求同思维、收敛思维。定向思维(正向思维)和纵向思维是集中思维的两种重要形式。发散思维又叫求异思维、分散(fēnsàn)思维、辐射思维。逆向思维和多向思维是发散思维的两种重要形式。第十七页，共五十四页。(二)数学思维(sīwéi)的分类2数学思维方式

例：小华家离学校有800米远，小明(xiǎomínɡ)家离学校有500米远。问小华和小明(xiǎomínɡ)的家相隔多远？第十八页，共五十四页。例：小华家离学校有800米远，小明(xiǎo

例：对代数式3a作出解释(jiěshì)。

说明：如葡萄的价格是3元/千克，买a千克的葡萄需3a元；或正三角形的边长为a，这个三角形的周长是3a。第十九页，共五十四页。例：对代数式3a作出解释(jiěshì)。第(二)数学(shùxué)思维的分类3数学思维方式按照智力品质(pǐnzhì)可以分成再现性思维和创造性思维两类。再现性思维是运用已获得的知识和经验，按现成的方案和程序，用惯用的方法、固定的模式来解决问题的思维方式。创造性思维是指以新颖、独创的方式来解决问题的思维，是在已有的知识和经验的根底上，对问题找出新答案、发现新关系或创造新方法的思维。第二十页，共五十四页。(二)数学(shùxué)思维的分类3数学思例：计算5+5+5+5+4=(1)5×4+4(按乘法意义算，属再现性思维)(2)5×5-1(看到一个不存在的5，已有一点创造性成份了)(3)6×4(把一个“4〞分成四个“1〞，分别添加到前面的四个“5〞上，变成了四个“6〞，对信息(xìnxī)进行了整体改组，属于创造性思维)第二十一页，共五十四页。例：计算5+5+5+5+4=第二十一页，

例：长30cm，宽20cm的长方形铁皮(tiěpí)做成深5cm的无盖长方体铁盒(焊接处不计)，求长方体铁盒的容积。第二十二页，共五十四页。例：长30cm，宽20cm的长方形铁皮(t(三)数学思维的一般(yībān)方法第二十三页，共五十四页。(三)数学思维的一般(yībān)方法第二十三页，

有趣(yǒuqù)的练习7+9×9=6+9×98=5+9×987=4+9×9876=3+9×98765=2+9×987654=1.请同学们做好前面三道题；2.从这三道题中你发现了什么规律？3.不用计算，你能写出后面(hòumian)三道题的结果吗？4.你还能写出这样的算式吗？第二十四页，共五十四页。有趣(yǒuqù)的练习7+9×9=1.请同学们做好前(四)数学思维(sīwéi)的一般方法观察与实验比较与分类分析与综合抽象与概括归纳(guīnà)与猜测类比与联想第二十五页，共五十四页。(四)数学思维(sīwéi)的一般方法观察与实

观察(guānchá)与实验观察是人们对周围事物和现象，在其自然条件(tiáojiàn)下，按照事物或现象的本身面目，研究和确定它们的性质和关系的一种方法。实验那么是人们根据一定的研究目的，人为地创设条件，控制和模拟客观对象，在有利的条件下获取资料的研究方法。第二十六页，共五十四页。

观察(guānchá)与实验观察是人

比较(bǐjiào)与分类比较，是确定有关事物共同点和不同点的思维(sīwéi)方法。分类是以比较为根底，按照事物间性质的异同，将相同性质的对象归入一类，不同性质的对象归入不同类别的思维方法。第二十七页，共五十四页。

比较(bǐj分析(fēnxī)与综合

分析，是指把所研究或思维的数学(shùxué)对象的整体分成各个局部、方面、因素和层次，并分别对它们进行研究、考察、探究等的思维方法。综合，是指把已有的关于研究对象的各个局部、方面、因素和层次等认识联结起来，形成对研究对象的统一的整体性认识的思维方法。第二十八页，共五十四页。分析(fēnxī)与综合

分析抽象(chōuxiàng)与概括抽象，是从假设干事物中，抽取其共同的本质属性，舍弃其非本质属性的思维方法(fāngfǎ)。概括，是把抽象出来的假设干事物的共同属性联结起来并推广到同一类事物中去的思维方法。第二十九页，共五十四页。抽象(chōuxiàng)与概括抽象，是从归纳(guīnà)与猜测归纳是通过对同类事物(shìwù)中的假设干特殊情况的分析得出此类事物(shìwù)的一般性结论的思维方法。猜测是指人们根据某些事实和知识作出某种未经证实的预测性推断的思维方法。归纳与猜测可以导致数学的发现。第三十页，共五十四页。归纳(guīnà)与猜测归纳是通过对同类事物类比(lèibǐ)与联想类比是根据两个对象或两类事物间存在着的某些(mǒuxiē)相同或相似属性，推断出它们的其它属性也可能相同或相似的思维方法。联想是由当前感知或思考的事物，想到与其相关联的另一个事物的思维方法。第三十一页，共五十四页。类比(lèibǐ)与联想类比是根据两个对(五)数学(shùxué)思维的品质思维(sīwéi)的深刻性思维的灵活性思维的敏捷性思维的独创性思维的批判性第三十二页，共五十四页。(五)数学(shùxué)思维的品质思维(sīwé思维(sīwéi)的深刻性

是指思维活动的抽象程度和逻辑水平。数学思维的深刻性有如下特征：1．善于洞察数学对象的本质；2．善于把握数学知识的背景；3．善于认识数学知识结构及知识间的相互关系；4．善于揭示数学材料的思想、方法、原理、一般模式(móshì)；5．善于掌握数学材料间的逻辑结构，形成恰当的推理和作出正确的推断与猜测。第三十三页，共五十四页。思维(sīwéi)的深刻性

是思维(sīwéi)的灵活性

是指思维活动的灵活程度。数学思维的灵活性具有以下特征：1．善于从不同的角度思考问题；2.善于用不同的方法解决问题。3．善于随机应变，把问题加以(jiāyǐ)转化。第三十四页，共五十四页。思维(sīwéi)的灵活性是指思维(sīwéi)的敏捷性是指思维活动的反响速度和熟练程度。数学思维的敏捷性有如下特征：1．在遇到新问题时，能迅速作出反响，进行有根有据、条理清楚地思考。2.在解题过程中，能较快地辨明解题思路，找到解题途径。3.在遇到困难时，能迅速转换思考方向(fāngxiàng)，另辟蹊径。4.在解决数学问题时，善于一下抓住问题的本质，使问题迎刃而解。第三十五页，共五十四页。思维(sīwéi)的敏捷性是指思维思维(sīwéi)的独创性是指思维活动的创新程度。数学思维的独创性具有如下特征：1．具有较强的个性特点；2．善于独立思考、分析、综合，找出数学问题的主要特性；3．善于通过观察、类比、归纳，作出猜测；4．善于独辟蹊径，从方法上创新；5．善于通过(tōngguò)思维而获得新颖的思维成果。第三十六页，共五十四页。思维(sīwéi)的独创性思维(sīwéi)的批判性

是指思维活动中独立分析(fēnxī)和批判的程度。数学思维的批判性具有以下特征：1．善于洞察解题过程中出现的错误与漏洞，并能对思维过程作出正确的评价。2．善于对已有的数学结果提出自己的看法。3.善于举出反例，批判错解。第三十七页，共五十四页。思维(sīwéi)的批判性

是指思维活动二、陶冶(táoyě)人的情操学习数学需要情感投入,又可陶冶情操。数学中充满美，绚丽多姿而又深邃含蓄的数学美给人们以精神享受，从而(cóngér)激发起学习研究的兴趣，吸引着人们的注意力。第三十八页，共五十四页。二、陶冶(táoyě)人的情操学习数学需要情感投入,

数学(shùxué)美及其特点音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上(yǐshàng)的一切。

——克莱因(Klein)第三十九页，共五十四页。数学(shùxué)美及其特点数学(shùxué)美及其特点统一性简单(jiǎndān)性对称性整齐性不变性恰当性奇异性第四十页，共五十四页。数学(shùxué)美及其特点统一性第四

统一性所谓统一性，就是局部与局部、局部与整体之间的协调一致。在数学中，许多概念、公式、法那么，特别一些数学分支的诞生，以及近代(jìndài)数学中的重大成果都表达出数学的统一性。第四十一页，共五十四页。统一性所谓统一性，就是简单(jiǎndān)性与统一性相联系的是简单性。数学家研究数学的目的之一，就是尽可能地用简单而根本的数学语言去描述世界，解释世界。数学家对于数学简单美的追求，是促进(cùjìn)数学开展的动力之一。第四十二页，共五十四页。简单(jiǎndān)

对称性在客观世界中，对称的形式是很多的。事物的对称形式，能给人以审美的愉悦。在数学的开展中，由于对对称美的追求与实际需要相结合，从而可引出新的概念(gàiniàn)和新的理论。第四十三页，共五十四页。对称性在客观世界中

整齐(zhěngqí)性所谓数学(shùxué)的整齐美是指各个数学(shùxué)符号按相同方式排列，同一形状的一致的重复。对数学整齐美的追求，可以获得新的数学成果。第四十四页，共五十四页。整齐(zhěngqí

不变性不变性也是一种美。在一个(yīɡè)数学关系结构系统中，那些变化中的不变量和不变关系常常表现出美的神韵。第四十五页，共五十四页。不变性不变性也是一

恰当(qiàdàng)性恰当性也呈现一种数学美。在日常生活中，有些事物表现(biǎoxiàn)出数量上的适度，即我们常说的不多不少、正好，往往给人以美的愉悦。数学家追求最正确估计、最正确逼近、最优值等都是数学美的恰当性的表达。

第四十六页，共五十四页。恰当(qiàdàng

奇异(qíyì)性在数学(shùxué)中出现一种新而不平常的关系结构，能在人们的想象中诱发一种乐趣，在人们心灵深处产生出一种愉悦的惊奇，这就是数学(shùxué)美的奇异性。数学的开展就象精彩故事一样地波澜壮阔，此起彼伏，扣人心弦，令人陶醉。既在情理之中，又在意料之外，是和谐与奇异的统一体。第四十七页，共五十四页。奇异(qíyì)性在三、健全人的心理(xīnlǐ)

心理素质是适应环境、赢得学习和生活成功的必要条件，它在人的素质形成(xíngchéng)中起着调节作用。心理健康的特征应该包括乐观向上，积极进取，能经受挫折，具有耐心与恒心。第四十八页，共五十四页。三、健全人的心理(xīnlǐ)心理素数学是一门充满神秘与奇趣的学科，著名的“七桥问题〞、“四色问题〞、“哥德巴赫猜测问题〞等，诱发了多少(duōshǎo)人的好奇心，激活了人们无尽的智慧。第四十九页，共五十四页。数学是一门充满神秘与奇趣的学科，著名的“七桥问题数学的抽象性使得数学问题的解决经常伴随着困难；会使学生体验挫折和失败。而这正是磨炼意志，提高耐挫力的时机，愈挫愈奋、百折不挠的良好心理素质不会(bùhuì)在一帆风顺中形成。第五十页，共五十四页。数学的抽象性使得数学问题的解决经常伴随数学高度的抽象性和严谨的逻辑性,使数学学习较其它学科的学习困难更大。数学学习需要有坚强的毅力和坚决(jiānjué)的意志,需要聚精会神,需要学习者具有良好的心理素质,又可培养良好的心理素质。第五十一页，共五十四页。数学高度的抽象性和严谨的逻辑性,使数

四、完善(wánshàn)人格品质数学教人老实和正直。经过严格的数学训练的人，能够养成一种独立思考而又客观公正的品格。受过良好(liánghǎo)数学教育的人，在数学的学习和训练中所形成的品质，会对其工作产生积极影响。第五十二页，共五十四页。四、完善(wánshàn)人格品质数学教人老实和六、思考题：1．试计算一系连续自然数的立方和，然后归纳猜测有什么结论。2．通过实际计算，观察、归纳猜测要用多少个平方数来表示任何一个自然数。3、什么是数学思维(sīwéi)？数学思维(sīwéi)的根本类型有哪些？4、如何进行数学思维方式的分类，各种数学思维方式的根本特征是什么？5、试结合数学学习和解题过程对数学思维的智力品质的特点加以说明。第五十三页，共五十四页。六、思考题：第五十三页，共五十四页。内容(nèiróng)总结第二章数学与人的开展。“数学使人聪颖、数学使人严谨、数学使人深刻、数学使人缜密、数学使人坚毅、数学使人勇敢、数学使人正直、数学使人美丽。数学思维，就是以数和形及其结构关系为思维对象，以数学语言和符号为载体，并以认识和发现数学规律为目的的一种(yīzhǒnɡ)思维。例：鸡兔同笼，共有头14只，足34条，鸡兔各几只。例：计算5+5+5+5+4=。(2)5×5-1(看到一个不存在的5，已有一点创造性成份了)第五十四页，共五十四页。内容(nèiróng)总结第二章数学与人的开展。“数学使第二章数学(shùxué)与人的开展第一页，共五十四页。第二章数学(shùxué)与人的开展第一页，共五十四页。人的开展(kāizhǎn)有两层含义一是指身体的开展(kāizhǎn)；二是指心理的开展。第二页，共五十四页。人的开展(kāizhǎn)有两层含义一是指身体的开展(kāi决定人开展(kāizhǎn)的因素遗传因素环境因素教育因素个体(gètǐ)主观能动性

第三页，共五十四页。决定人开展(kāizhǎn)的因素遗传因素第三“数学(shùxué)使人聪颖、数学(shùxué)使人严谨、数学(shùxué)使人深刻、数学(shùxué)使人缜密、数学(shùxué)使人坚毅、数学(shùxué)使人勇敢、数学(shùxué)使人正直、数学(shùxué)使人美丽。〞———开普勒(Kepler)第四页，共五十四页。“数学(shùxué)使人聪颖、数学(通过数学的训练(xùnliàn)，可以使学生树立明确的数量观念，“胸中有数〞，认真地注意事物的数量方面及其变化规律。提高学生的逻辑思维能力，使他们思路清晰，条理清楚，有条不紊地处理头绪纷繁的各项工作。

第五页，共五十四页。通过数学的训练(xùnliàn)，可以使学生树立明确的数量观数学上的推导要求每一个正负号、每一个小数点都不能模糊敷衍，有助于培养学生认真细致、一丝不苟的作风和习惯。数学上追求的是最有用〔广泛〕的结论、最低的条件〔代价〕以及最简明的证明，可以使学生形成(xíngchéng)精益求精的风格，凡事力求尽善尽美。第六页，共五十四页。数学上的推导要求每一个正负号、每一个小数点都不能模糊敷衍，有通过数学的训练，使学生知道数学概念、方法和理论的产生和开展的渊源和过程，了解和领会由实际需要出发、到建立数学模型、再到解决实际问题的全过程，提高他们运用数学知识处理现实世界中各种复杂问题的意识、信念和能力(nénglì)。通过数学的训练，可以使学生增强拼搏精神和应变能力，能通过不断分析矛盾，从外表上一团乱麻的困难局面中理出头绪，最终解决问题。第七页，共五十四页。通过数学的训练，使学生知道数学概念、方法和理论的产生和开展的可以调动学生的探索精神和创造力，使他们更加灵活和主动，在改善所学的数学结论、改进证明的思路和方法、发现不同的数学领域或结论之间的内在联系、拓展数学知识的应用范围以及解决现实问题等方面，逐步显露出自己的聪明才智。使学生具有某种数学上的直觉和想象力，包括几何直观能力，能够根据所面对的问题的本质或特点，八九不离十地估计到可能的结论，为实际的需要提供借鉴(jièjiàn)。———数学家李大潜院士第八页，共五十四页。可以调动学生的探索精神和创造力，使他们更加灵活和主动，在改善

一、训练(xùnliàn)人的思维数学素有“训练(xùnliàn)思维体操〞的美称。它在训练(xùnliàn)人的思维方面有着其他学科所不可替代的独特作用。第九页，共五十四页。一、训练(xùnliàn)人的思维(一)思维(sīwéi)与数学思维(sīwéi)思维是人脑对客观事物的本质属性和事物内在联系的概括和间接的反映(fǎnyìng)。思维是智力的核心。思维有两个最显著的特征，一是概括性，二是间接性。第十页，共五十四页。(一)思维(sīwéi)与数学思维(sī数学思维，就是以数和形及其结构关系为思维对象，以数学语言和符号为载体，并以认识和发现数学规律为目的(mùdì)的一种思维。数学思维主要具有概括性、整体性、相似性和问题性等特点。第十一页，共五十四页。数学思维，就是以数和形及其结构关系为思维对象，以数学语言和符1.求以下(yǐxià)图中两个正方形盖住的面积。思维(sīwéi)的概括性举例3212.某班有15个学生(xuésheng)有哥哥，9个学生(xuésheng)有姐姐，有哥哥又有姐姐的学生(xuésheng)有3个，问全班有哥哥或有姐姐的学生(xuésheng)共有多少个？第十二页，共五十四页。1.求以下(yǐxià)图中两个正方形盖住的面积。(二)数学思维(sīwéi)的分类1数学思维方式按照思维活动的形式可以分成逻辑思维(luójísīwéi)、形象思维和直觉思维三类。逻辑思维的根本形式——概念、判断、推理。形象思维的根本形式——表象、直感、想象。直觉思维的根本形式——直觉、灵感(顿悟)。第十三页，共五十四页。(二)数学思维(sīwéi)的分类1数学思

例：鸡兔同笼，共有(ɡònɡyǒu)头14只，足34条，鸡兔各几只？第十四页，共五十四页。例：鸡兔同笼，共有(ɡònɡyǒu)头1

例：父子两人上班(shàngbān)，父亲要走40分，儿子要走30分，父先走5分后，儿子多少分钟追上父？第十五页，共五十四页。例：父子两人上班(shàngbān)，父

例：一只白兔和一只黑兔在相距100m的两棵大树间同时相向而行，白兔每秒钟跳6m，黑兔每秒钟跳4m。一只小花狗与白兔同时前进，每秒钟跑10m。小花狗为了表示(biǎoshì)对两只兔子都很亲热，因此当它遇到黑兔时，马上折回去迎接白兔；遇到白兔时，又迅速折回去迎接黑兔；这样小花狗在白兔与黑兔之间来回奔跑，直到白兔与黑兔相遇。问小花狗来回奔跑了多少路？第十六页，共五十四页。例：一只白兔和一只黑兔在相距100m的两棵(二)数学思维(sīwéi)的分类2数学思维方式按照思维指向可以分成集中思维和发散思维两类。集中思维又叫聚合思维、求同思维、收敛思维。定向思维(正向思维)和纵向思维是集中思维的两种重要形式。发散思维又叫求异思维、分散(fēnsàn)思维、辐射思维。逆向思维和多向思维是发散思维的两种重要形式。第十七页，共五十四页。(二)数学思维(sīwéi)的分类2数学思维方式

例：小华家离学校有800米远，小明(xiǎomínɡ)家离学校有500米远。问小华和小明(xiǎomínɡ)的家相隔多远？第十八页，共五十四页。例：小华家离学校有800米远，小明(xiǎo

例：对代数式3a作出解释(jiěshì)。

说明：如葡萄的价格是3元/千克，买a千克的葡萄需3a元；或正三角形的边长为a，这个三角形的周长是3a。第十九页，共五十四页。例：对代数式3a作出解释(jiěshì)。第(二)数学(shùxué)思维的分类3数学思维方式按照智力品质(pǐnzhì)可以分成再现性思维和创造性思维两类。再现性思维是运用已获得的知识和经验，按现成的方案和程序，用惯用的方法、固定的模式来解决问题的思维方式。创造性思维是指以新颖、独创的方式来解决问题的思维，是在已有的知识和经验的根底上，对问题找出新答案、发现新关系或创造新方法的思维。第二十页，共五十四页。(二)数学(shùxué)思维的分类3数学思例：计算5+5+5+5+4=(1)5×4+4(按乘法意义算，属再现性思维)(2)5×5-1(看到一个不存在的5，已有一点创造性成份了)(3)6×4(把一个“4〞分成四个“1〞，分别添加到前面的四个“5〞上，变成了四个“6〞，对信息(xìnxī)进行了整体改组，属于创造性思维)第二十一页，共五十四页。例：计算5+5+5+5+4=第二十一页，

例：长30cm，宽20cm的长方形铁皮(tiěpí)做成深5cm的无盖长方体铁盒(焊接处不计)，求长方体铁盒的容积。第二十二页，共五十四页。例：长30cm，宽20cm的长方形铁皮(t(三)数学思维的一般(yībān)方法第二十三页，共五十四页。(三)数学思维的一般(yībān)方法第二十三页，

有趣(yǒuqù)的练习7+9×9=6+9×98=5+9×987=4+9×9876=3+9×98765=2+9×987654=1.请同学们做好前面三道题；2.从这三道题中你发现了什么规律？3.不用计算，你能写出后面(hòumian)三道题的结果吗？4.你还能写出这样的算式吗？第二十四页，共五十四页。有趣(yǒuqù)的练习7+9×9=1.请同学们做好前(四)数学思维(sīwéi)的一般方法观察与实验比较与分类分析与综合抽象与概括归纳(guīnà)与猜测类比与联想第二十五页，共五十四页。(四)数学思维(sīwéi)的一般方法观察与实

观察(guānchá)与实验观察是人们对周围事物和现象，在其自然条件(tiáojiàn)下，按照事物或现象的本身面目，研究和确定它们的性质和关系的一种方法。实验那么是人们根据一定的研究目的，人为地创设条件，控制和模拟客观对象，在有利的条件下获取资料的研究方法。第二十六页，共五十四页。

观察(guānchá)与实验观察是人

比较(bǐjiào)与分类比较，是确定有关事物共同点和不同点的思维(sīwéi)方法。分类是以比较为根底，按照事物间性质的异同，将相同性质的对象归入一类，不同性质的对象归入不同类别的思维方法。第二十七页，共五十四页。

比较(bǐj分析(fēnxī)与综合

分析，是指把所研究或思维的数学(shùxué)对象的整体分成各个局部、方面、因素和层次，并分别对它们进行研究、考察、探究等的思维方法。综合，是指把已有的关于研究对象的各个局部、方面、因素和层次等认识联结起来，形成对研究对象的统一的整体性认识的思维方法。第二十八页，共五十四页。分析(fēnxī)与综合

分析抽象(chōuxiàng)与概括抽象，是从假设干事物中，抽取其共同的本质属性，舍弃其非本质属性的思维方法(fāngfǎ)。概括，是把抽象出来的假设干事物的共同属性联结起来并推广到同一类事物中去的思维方法。第二十九页，共五十四页。抽象(chōuxiàng)与概括抽象，是从归纳(guīnà)与猜测归纳是通过对同类事物(shìwù)中的假设干特殊情况的分析得出此类事物(shìwù)的一般性结论的思维方法。猜测是指人们根据某些事实和知识作出某种未经证实的预测性推断的思维方法。归纳与猜测可以导致数学的发现。第三十页，共五十四页。归纳(guīnà)与猜测归纳是通过对同类事物类比(lèibǐ)与联想类比是根据两个对象或两类事物间存在着的某些(mǒuxiē)相同或相似属性，推断出它们的其它属性也可能相同或相似的思维方法。联想是由当前感知或思考的事物，想到与其相关联的另一个事物的思维方法。第三十一页，共五十四页。类比(lèibǐ)与联想类比是根据两个对(五)数学(shùxué)思维的品质思维(sīwéi)的深刻性思维的灵活性思维的敏捷性思维的独创性思维的批判性第三十二页，共五十四页。(五)数学(shùxué)思维的品质思维(sīwé思维(sīwéi)的深刻性

是指思维活动的抽象程度和逻辑水平。数学思维的深刻性有如下特征：1．善于洞察数学对象的本质；2．善于把握数学知识的背景；3．善于认识数学知识结构及知识间的相互关系；4．善于揭示数学材料的思想、方法、原理、一般模式(móshì)；5．善于掌握数学材料间的逻辑结构，形成恰当的推理和作出正确的推断与猜测。第三十三页，共五十四页。思维(sīwéi)的深刻性

是思维(sīwéi)的灵活性

是指思维活动的灵活程度。数学思维的灵活性具有以下特征：1．善于从不同的角度思考问题；2.善于用不同的方法解决问题。3．善于随机应变，把问题加以(jiāyǐ)转化。第三十四页，共五十四页。思维(sīwéi)的灵活性是指思维(sīwéi)的敏捷性是指思维活动的反响速度和熟练程度。数学思维的敏捷性有如下特征：1．在遇到新问题时，能迅速作出反响，进行有根有据、条理清楚地思考。2.在解题过程中，能较快地辨明解题思路，找到解题途径。3.在遇到困难时，能迅速转换思考方向(fāngxiàng)，另辟蹊径。4.在解决数学问题时，善于一下抓住问题的本质，使问题迎刃而解。第三十五页，共五十四页。思维(sīwéi)的敏捷性是指思维思维(sīwéi)的独创性是指思维活动的创新程度。数学思维的独创性具有如下特征：1．具有较强的个性特点；2．善于独立思考、分析、综合，找出数学问题的主要特性；3．善于通过观察、类比、归纳，作出猜测；4．善于独辟蹊径，从方法上创新；5．善于通过(tōngguò)思维而获得新颖的思维成果。第三十六页，共五十四页。思维(sīwéi)的独创性思维(sīwéi)的批判性

是指思维活动中独立分析(fēnxī)和批判的程度。数学思维的批判性具有以下特征：1．善于洞察解题过程中出现的错误与漏洞，并能对思维过程作出正确的评价。2．善于对已有的数学结果提出自己的看法。3.善于举出反例，批判错解。第三十七页，共五十四页。思维(sīwéi)的批判性

是指思维活动二、陶冶(táoyě)人的情操学习数学需要情感投入,又可陶冶情操。数学中充满美，绚丽多姿而又深邃含蓄的数学美给人们以精神享受，从而(cóngér)激发起学习研究的兴趣，吸引着人们的注意力。第三十八页，共五十四页。二、陶冶(táoyě)人的情操学习数学需要情感投入,

数学(shùxué)美及其特点音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上(yǐshàng)的一切。

——克莱因(Klein)第三十九页，共五十四页。数学(shùxué)美及其特点数学(shùxué)美及其特点统一性简单(jiǎndān)性对称性整齐性不变性恰当性奇异性第四十页，共五十四页。数学(shùxué)美及其特点统一性第四

统一性所谓统一性，就是局部与局部、局部与整体之间的协调一致。在数学中，许多概念、公式、法那么，特别一些数学分支的诞生，以及近代(jìndài)数学中的重大成果都表达出数学的统一性。第四十一页，共五十四页。统一性所谓统一性，就是简单(jiǎndān)性与统一性相联系的是简单性。数学家研究数学的目的之一，就是尽可能地用简单而根本的数学语言去描述世界，解释世界。数学家对于数学简单美的追求，是促进(cùjìn)数学开展的动力之一。第四十二页，共五十四页。简单(jiǎndān)

对称性在客观世界中，对称的形式是很多的。事物的对称形式，能给人以审美的愉悦。在数学的开展中，由于对对称美的追求与实际需要相结合，从而可引出新的概念(gàiniàn)和新的理论。第四十三页，共五十四页。对称性在客观世界中

整齐(zhěngqí)性所谓数学(shùxué)的整齐美是指各个数学(shùxué)符号按相同方式排列，同一形状的一致的重复。对数学整齐美的追求，可以获得新