天津市滨海新区2023年高考数学二模试卷（含答案解析）

2023高考数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的左、右顶点分别为，点是双曲线上与不重合的动点，若，则双曲线的离心率为()A． B． C．4 D．22．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（）A． B． C． D．3．已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“”是“l⊥m”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握越大；其中真命题的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．05．已知，则（）A． B． C． D．6．计算等于()A． B． C． D．7．已知为定义在上的奇函数，若当时，（为实数），则关于的不等式的解集是（）A． B． C． D．8．集合，，则=()A． B．C． D．9．已知，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则（）A． B．4 C．5 D．10．给出个数，，，，，，其规律是：第个数是，第个数比第个数大，第个数比第个数大，第个数比第个数大，以此类推，要计算这个数的和．现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能()A．； B．；C．； D．；11．已知向量，则向量在向量方向上的投影为（）A． B． C． D．12．已知函数，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．二项式的展开式的各项系数之和为_____，含项的系数为_____．14．展开式中的系数为_________.15．已知向量，，且，则实数m的值是________．16．已知各项均为正数的等比数列的前项积为，，（且），则__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，设点为中点，点为中点，点为上一点，且．（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．18．（12分）已知函数（1）若，试讨论的单调性；（2）若，实数为方程的两不等实根，求证：.19．（12分）已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若对任意恒成立，求的取值范围.20．（12分）在中，角，，所对的边分别是，，，且.(1)求的值；(2)若，求的取值范围.21．（12分）某芯片公司为制定下一年的研发投入计划，需了解年研发资金投入量x（单位：亿元）对年销售额y（单位：亿元）的影响.该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型:①y=α+βx2，②y=eλx+t，其中现该公司收集了近12年的年研发资金投入量xi和年销售额yi的数据，i=1,2,⋯,12，并对这些数据作了初步处理，得到了右侧的散点图及一些统计量的值．令xyi=1i=1uv20667702004604.20i=1i=1i=1i=13125000215000.30814（1）设ui和yi的相关系数为r1，xi和（2）（i）根据（1）的选择及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数精确到0.01）；（ii）若下一年销售额y需达到90亿元，预测下一年的研发资金投入量x是多少亿元？附：①相关系数r=i=1n(xi-x②参考数据：308=4×77，90≈9.4868，e22．（10分）某企业为了了解该企业工人组装某产品所用时间，对每个工人组装一个该产品的用时作了记录，得到大量统计数据．从这些统计数据中随机抽取了个数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位：分钟）．若用时不超过（分钟），则称这个工人为优秀员工．（1）求这个样本数据的中位数和众数；（2）以这个样本数据中优秀员工的频率作为概率，任意调查名工人，求被调查的名工人中优秀员工的数量分布列和数学期望．

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D【答案解析】

设，，，根据可得①，再根据又②，由①②可得，化简可得，即可求出离心率．【题目详解】解：设，，，∵，∴，即，①又，②，由①②可得，∵，∴，∴，∴，即，故选：D．【答案点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．2．D【答案解析】

由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积．【题目详解】如图，正三棱锥中，是底面的中心，则是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即＝60°，由底面边长为3得，∴．正三棱锥外接球球心必在上，设球半径为，则由得，解得，∴．故选：D．【答案点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系．掌握正棱锥性质是解题关键．3．A【答案解析】

根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.【题目详解】当m⊥平面α时，若l∥α”则“l⊥m”成立，即充分性成立，若l⊥m，则l∥α或l⊂α，即必要性不成立，则“l∥α”是“l⊥m”充分不必要条件，故选：A.【答案点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题4．C【答案解析】

根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③．【题目详解】①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接近于0；故②为真命题；③对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，“与有关系”的把握程度越小，故③为假命题．故选：．【答案点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题．5．D【答案解析】

根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案.【题目详解】因为，所以，所以是减函数，又因为，所以，，所以，，所以A,B两项均错；又，所以，所以C错；对于D，，所以，故选D.【答案点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.6．A【答案解析】

利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.【题目详解】原式.故选：A【答案点睛】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.7．A【答案解析】

先根据奇函数求出m的值，然后结合单调性求解不等式.【题目详解】据题意，得，得，所以当时，.分析知，函数在上为增函数.又，所以.又，所以，所以，故选A.【答案点睛】本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.8．C【答案解析】

先化简集合A,B，结合并集计算方法，求解，即可．【题目详解】解得集合，所以，故选C．【答案点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B，难度较小．9．D【答案解析】

由正弦定理可知,从而可求出.通过可求出，结合余弦定理即可求出的值.【题目详解】解：，即，即.，则.，解得.，故选:D.【答案点睛】本题考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系.本题的关键是通过正弦定理结合已知条件，得到角的正弦值余弦值.10．A【答案解析】

要计算这个数的和，这就需要循环50次，这样可以确定判断语句①，根据累加最的变化规律可以确定语句②.【题目详解】因为计算这个数的和，循环变量的初值为1，所以步长应该为1，故判断语句①应为，第个数是，第个数比第个数大，第个数比第个数大，第个数比第个数大，这样可以确定语句②为，故本题选A.【答案点睛】本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键.11．A【答案解析】

投影即为，利用数量积运算即可得到结论.【题目详解】设向量与向量的夹角为，由题意，得，，所以，向量在向量方向上的投影为.故选：A.【答案点睛】本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题.12．B【答案解析】

对分类讨论，代入解析式求出，解不等式，即可求解.【题目详解】函数，由得或解得.故选:B.【答案点睛】本题考查利用分段函数性质解不等式，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【答案解析】

将代入二项式可得展开式各项系数之和，写出二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得出项的系数.【题目详解】将代入二项式可得展开式各项系数和为.二项式的展开式通项为，令，解得，因此，展开式中含项的系数为.故答案为：；.【答案点睛】本题考查了二项式定理及二项式展开式通项公式，属基础题．14．【答案解析】

变换，根据二项式定理计算得到答案.【题目详解】的展开式的通项为：，，取和，计算得到系数为：.故答案为：.【答案点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.15．1【答案解析】

根据即可得出，从而求出m的值．【题目详解】解：∵；∴；∴m＝1．故答案为：1．【答案点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．16．【答案解析】

利用等比数列的性质求得，进而求得，再利用对数运算求得的值.【题目详解】由于，，所以，则，∴，，.故答案为：【答案点睛】本小题主要考查等比数列的性质，考查对数运算，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．(1)证明见解析；(2)【答案解析】

（1）连接交于点，连接，通过证，并说明平面，来证明平面（2）采用建系法以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，分别表示出对应的点坐标，设平面的一个法向量为，结合直线对应的和法向量，利用向量夹角的余弦公式进行求解即可【题目详解】证明：如图，连接交于点，连接，点为的中点，点为的中点，点为的重心，则，，，又平面，平面，平面；，，，，，，可得，又，则以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，．设平面的一个法向量为，由，取，得．设直线与平面所成角为，则．直线与平面所成角的正弦值为．【答案点睛】本题考查线面平行的判定定理的使用，利用建系法来求解线面夹角问题，整体难度不大，本题中的线面夹角的正弦值公式使用广泛，需要识记18．（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【答案解析】

（1）根据题意得，分与讨论即可得到函数的单调性；（2）根据题意构造函数，得，参变分离得，分析不等式，即转化为，设，再构造函数，利用导数得单调性，进而得证.【题目详解】（1）依题意，当时，，①当时，恒成立，此时在定义域上单调递增；②当时，若，；若，；故此时的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）方法1：由得令，则，依题意有，即，要证，只需证（不妨设），即证，令，设，则，在单调递减，即，从而有.方法2：由得令，则，当时，时，故在上单调递增，在上单调递减，不妨设，则，要证，只需证，易知，故只需证，即证令，（），则==，（也可代入后再求导）在上单调递减，，故对于时，总有.由此得【答案点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题.19．(1)；(2).【答案解析】

（1）通过讨论的范围，分为，，三种情形，分别求出不等式的解集即可；（2）通过分离参数思想问题转化为，根据绝对值不等式的性质求出最值即可得到的范围.【题目详解】(1)当时，原不等式等价于，解得，所以，当时，原不等式等价于，解得，所以此时不等式无解，当时，原不等式等价于，解得，所以综上所述，不等式解集为.(2)由，得，当时，恒成立，所以；当时，.因为当且仅当即或时，等号成立，所以；综上的取值范围是.【答案点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题.20．(1)；(2)【答案解析】

（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差正弦公式可整理求得，进而求得和，代入求得结果；（2）利用正弦定理可将表示为，利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为，根据正弦型函数值域的求解方法，结合的范围可求得结果.【题目详解】（1）由正弦定理可得：即（2）由（1）知：，，即的取值范围为【答案点睛】本题考查解三角形知识的相关应用，涉及到正弦定理边化角的应用、两角和差正弦公式和辅助角公式的应用、与三角函数值域有关的取值范围的求解问题；求解取值范围的关键是能够利用正弦定理将边长的问题转化为三角函数的问题，进而利用正弦型函数值域的求解方法求得结果.21．（1）模型y=eλx+t的拟合程度更好；（2）（i）v=0.02x+3.84【答案解析】

（1）由相关系数求出两个系数，比较大小可得；（2）（i）先建立U额R0关于x的线性回归方程，从而得出y（ii）把y=90代入（i）中的回归方程可得x值．【题目详解】本小题主要考查回归