复变函数自测题

复变函数自测题一、判断题（正确打√，错误打）1.复数71. （ ）0 0 f(z)uiv在z x iy点连续的充分必要条件是u(x,y),v(x,y)0 0 0 (x,y)点连续。 （√0 参数方程zt2ti （t为实参数）所表示的曲线是抛物线yx2( )若u(x,y)和v(x,y)可导，则f(z)uiv也可导。 （ ）5. sinz1. （ ）若u,v都是调和函数，则f(z)uiv是解析函数。 （ ）n设zn

x iyn

n0

zn收敛的充要条件是级数

n0

x 与n与n0

yn都收敛。 （√）

n1

aznn

在z处收敛，则它必在z（）

f(z)(zzmg(zg(z在zzf(zm极零点。0 0 ( 0 0

1

(1)n(z2)n210.已知(z1)(z2)Res

n01

,20

在1z2内成立，由式中知， c 知， 1

(z1)(z2)

. （ ）二、填空题z方程z3270的根为zk

3(cos2k1123112

isin2k),k0,1,2.3

z21iArg(zz

)=4

2k,k0,2, .3.(1i)i

e(12k)(cosln2isinln2),k0,2, .4 2 2 4设C为从点

i到点z20的直线段，则1C1

zdz

1.2若C

z2，则

dz1Cz 0.1C C若C

z1，则

ln(z(z2cos(z5dz0.f()

2z2z1若

z2

z

dz，2

，则f(3)0f(1)if'(1)i

n1

(zi)n2nncosz

的收敛圆的中心为i,收敛半径为2.9..设

f(z) z2(zi)的罗朗级数展开式为

cnn

(zi)n

，则其收敛圆环域为(C)(A)

1zi； (B)

0z1或1z；(C)

0zi1或1zi；(D)0zi1 .10. z0

11为函数 (z1)1为函数 (A)（）一级极点；(C)可去奇点；(D)本性奇点。三、计算、证明题论函数f(z)xy)2

2(xy)i在何处可导，何处解析，并求其可导点处的导数。解：设u(xy)2,v2(xy)，则u,v均为全平面上的可微函数。u2(xy),u2(xy),v2,v2x y x y但柯西—黎曼方程只在直线x

y1f(z)uiv只在直线xy1上可导，在全平面内处处不解析；它在直线xy1上的导数为f)

iv2(1i)。▊x1 2设点分别为z i和z 1i，试计算 z2dz的值，其中C1 22 1 1）点z0到点z2）由点z0沿直线到z再到z线段OAB2 1 解：已经在课堂上评讲过，略。1 i

ez z)3

，(1)0在C1在C外；(2)当1在C0在C均在C均在C外。解：已经在课堂上评讲过，略。u(xyy3

3x2yv(xy，并写出f(z)uiv 关于z的表示式。解：已经在课堂上评讲过，略

f(z) 1z(1z)2分别在下列圆环域内展成罗朗级数1(1)0z1 ；(2)1z1.1）圆环域0|

|1f(z)

1 11 z(1z

z 1zz11zz2znzz112z3z2nzn1zz123znzn2z（2）圆环域1|z1|f(z)

1 1 1 z(1z)2 (zz11 1 1 1 (z1)2

z1

11z1 1 1

1

1

(1)n (z

z1 (z(z 1 1 1 (1)n (z(z(z(z3下列函数在有限孤立奇点处的留数：1cosz z1f(z) f(z) （1） z2 ; （2） z22z.解：已经在课堂上评讲过，略。计算下列积分1） 1 d2）x2 dx.0解：(1)

53sin 1 d

1x4 1 1dz2