概率统计考研复习

第一讲概率论的基本概念教学目的通过教学使学生了解概率论的基本概念理，掌握概率的常用公式（乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式）,掌握几种概型（古典概型、几何概型、贝努里概型）概率的计算。重点难点（1）重点是概率论的基本概念理、概率的常用公式（2）难点是古典概型、几何概型、贝努里概型概率的计算教学提纲一■、基本概念随机试验、样本空间、随机事件、基本事件、必然事件G。/、可能事件中，完备事件组、概率的定义、古典概型、几何概型、条件概率、事件的独立性二、事件的关系的关系与运算事件的包含关系、事件的相等、并（和）事件与积（交）、差事件、对立事件、互不相容事件（互斥事件）、事件的运算法则三、常用公式.加法公式.减法公式.对立事件概率公式4.乘法公式5全概率公式6、贝叶斯公式7.贝努里概型第一讲概率论的基本概念一■、基本概念1,随机试验.样本空间试验所有可能结果的全体是样本空间称为样本空间。通常用大写的希腊字母G表示(本书用表示)每个结果叫一个样本点..随机事件建中的元素称为样本点，常用值表示。(1)样本空间的子集称为随机事件(用A,B表示)。(2)样本空间的单点子集称为基本事件。(3)实验结果在随机事件A中，则称事件A发生。(4)必然事件C。(5)不可能事件①。(6)完备事件组(样本空间的划分).概率的定义(公理化定义).古典概型随机试验具有下述特征：1)样本空间的元素(基本事件)只有有限个；2)每个基本事件出现的可能性是相等的；称这种数学模型为古典概型。口/A、kA包含的基本事件数P(A)n基本事件总数.几何概型P(A)AP(A)A的长度(面积、体积)

Q的长度(面积、体积).条件概率设事件B的概率p(B)>0,对任意事件A,称P(A|B)=P(AB)为在已知事件B发生的条件下事件P(B)A发生的条件概率。.条件概率的独立性A、BWF,若P(AB)=P(A)P(B)则称事件AB是相互独立的，简称为独立的。

设三个事件A,B,C满足P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)称A,B,C相互独立。二、事件的关系的关系与运算.事件的包含关系若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含了A,记作AUB。.事件的相等设A,BUC,若AUB,同时有BUA,称A与B相等，记为A=B.并(和)事件与积(交)事件“A与B中至少有一个发生”为A和B的和事件或并事件。记作AuB.“A与B同时发生”这一事件为A和B的积事件或交事件。记作A旧或AcB.差事件“A发生B不发生”这一事件为A与B的差事件，记作A-B.对立事件称“C-A”为A的对立事件或称为A的逆事件，记作A。A.A=AAA=1.互不相容事件(互斥事件)若两个事件A与B不能同时发生，即AB=6,称A与B为互不相容事件(或互斥事件).事件的运算法则1)交换律A=B=BuA,AB=BA2)结合律3)分配律A.B一C=AC一B一CA-B-C2)结合律3)分配律A.B一C=AC一B一C(A-B)..C=(A-C)一(B-C)4)对偶原则A=B=Acb,Acb=A=B三、常用公式.加法公式(1)对任意两个事件AB,有P(A-B)=P(A)+P(B)-P(AB)(2)对任意三个事件AB,Cp(A一B-C)=P(A)P(B)P(C)-p(AB)-p(AC)-p(BC)p(ABC).减法公式若A=B则P(B-A)=P(B)-P(A);P(B)之P(A)P(A-B)=P(A)-P(AB).对立事件概率公式对任一随机事件A,有P(A)=1-P(A);.乘法公式当p(A)》0时：p(AB)=p(A)P(B|A)p(ABC)=p(A)P(B|A)p(C|AB)5全概率公式n定理1：设B1,B2，…，Bn是一列互不相容的事件，且有yBi，对任何事件A,有P(A)=n、P(BJP(ABJi46、贝叶斯公式n定理2：若Bi,B2,…，Bn是一列互不相容的事件，且守=建则对任一事件A有p(Bj|A)=np(Bi)p(A|Bi)1p(Bj)p(A|Bj)j1两个公式的相同点：相关问题都有两个阶段；两个公式的不同点：全概率公式用于求第二阶段某事件发生的概率，“由因求果”贝叶斯公式用于已知第二阶段的结果，求第一阶段某事件发生的概率，“由果求因”7.贝努里概型贝努里试验：若试验E只有两个可能的结果A及A,称这个试验为贝努里试验。贝努里概型设随机试验E具有如下特征：1)每次试验是相互独立的；2)每次试验有且仅有两种结果：事件A和事件A;3)每次试验的结果发生的概率相同p(A)=p•0p(A)=1-p=q称试验E表示的数学模型为贝努里概型。若将试验做了n次，则这个试验也称为n重贝努里试n验。记为E。设事件A在n次试验中发生了X次，则P{X=k}=C：pk(1—p)n*,k=1,2「，n四、举例

例1.已知p(AB)=p(AB),p(A)=p,求p(B)【解】p(AB)=p(AB)=p(A一B)=1-[p(A)p(B)一p(AB)]P(B)-1-p_-1_1例2.已知p(A)=p(B)=p(C)=一，p(AB)=p(BC)=0,p(AC)=—,求A,B,C至少有一■个发生的48概率。【解】p(ABC)=P(A)P(B)P(C)-p(AB)-p(AC)-p(BC)p(ABC)111.0.1.00=5例3.(摸球模型不放回用组合问题求解)在盒子中有6个球，4个白毛2个红球，从中任取两个(不放回)。求取出的两个球都是白球的概率，两球颜色相同的概率，至少有一个白球的概率。【解】设A:两个球都是白球，B:两个球都是红球，C:至少有一个白球基本事件总数为C2=15A的有利样本点数为C：=6,P(A)=6/15=2/5B的有利样本点数为C；=1,P(B)=1/15P(A+B)=P(A)+P(B)=7/15P(C)=1-P(B)=14/15例4.(摸球模型有放回用二项分布求解)在上题中，取球方法改成有放回，结果如何？【解】用X表示取到白球数P(A)=p{X=2}P(A)=p{X=2}=C；航-110=9nr20(2'?1P(B)=p{X=0}=C0-I1--I=—2<3J<3)9P(A+B)=P(A)+P(B)=5/9P(C)=1-P(B)=8/9例5(抽签原理)有a个上签，b个下签，2个人依次抽签，采用有放回与无放回抽签，证明每个人抽到上签的概率都是【证】放回抽样结论是显然的;不放回可用全概率公式证明

..*1一一、,例6:(几何概型)在区间(0,1)中随机地取两个数,则两数之差的绝对值小于1的概率为2【解】以x和y分别表示甲乙约会的时间，则「「={(x,y)|0：二x：二1,0：二y：二1}两人到会面出时间差不超过15分钟A={(x,y)0<x<1,0<y<1,x-y<0.25p(A)p(A)例7:某工厂有三条生产线生产同一中产品，该3条流水线的产量分别占总产量的例7:某工厂有三条生产线生产同一中产品，该3条流水线的产量分别占总产量的又这三条流水线的不合格品率为5%4%3%现在从出厂的产品中任取一件，(1)问恰好抽到不合格品的概率为多少？(2)已知抽到不合格品，求该产品来自一车间的概率【解】(1)设Bi：表示产品来自第i条生产线A：表示抽到不合格品由题意p(B1)=0.2,p(B2)=0.3,p(B3)=0.520%30%50%p(A|B)=0.05,p(A|B2)=0.04,p(A|B3)=0.033P(A)=、p(Bi)p(A|Bi)=0.20.050.30.040.50.03i1=0.037(2)p(B1|A)=P(Bi)P(A|B)3'p(B(2)p(B1|A)=P(Bi)P(A|B)3'p(Bi)p(A|Bi)i=10.20.050.20.050.30.040.50.031037【点评】通过该题细心体会贝叶斯公式和贝叶斯公式的用法。例8甲乙两人同时射击同一目标，甲命中的概率为0.6,乙命中的概率为0.5。已知已命中目标，求是甲命中目标的概率。【分析】咋看这个题目觉得应用贝叶斯公式求解，但仔细分析个目中只有一个过程，应用条件概率求解。【解】A:甲命中，B:乙命中，C:命中，C=A+BpA|C=p(AC)p(A)P(A)P(AC)P(AB)p(A)p(B)-p(A)p(B)0.60.60.50.60.54例9:一个盒子中有4件产品，3件一等品，1件二等品，从中任取两件，设事件A表示“第一次取C；/C23/4到一等品”，B表示“第二次取到一等品C；/C23/41/2——：2/33/4这一结果的意义是明显的1,例10:假定某人做10个选择题，每个题做对的概率均为一；求4(1)该同学做对3道题的概率;(2)该同学至少做对3道题的概率;3.7【解】p{X=3}=C31310441-p{X=0}p{X=1}p{X=2}=1-C0=1-C01C100Yp3『-C110m储-色;209,通过对立事件求解。例11:某人向同一目标独立重复射击第例11:某人向同一目标独立重复射击第2次命中目标的概率为，每次射击命中目标的概率为p(0<p<1),则此人第4次射击恰好2(A)3P(12(A)3P(1—p).(B)26p(1-p)2.(C)3p2(1-p)2.(D)6p2(1-p)2.例12例12：设A,B为随机事件，且P(B)>0,P(A|B)=1,则必有P(A-B)P(A)P(A-B)P(B)P(A-B)P(A)P(A-B)P(B)(C)(C)P(A-B)=P(A)(D)P(A-B)=P(B)例13:设随机变量例13:设随机变量X服从正态分布Nit,。；)，Y服从正态分布N”,W),则必有则必有(A)(C)(B)二1二2(D)口1•口2第二讲一维随机变量及其分布通过教学使学生了解分布函数的概念、离散型随机变量的分布律及其

表示、一维连续型随机变量的概念、常见分布；掌握一维随机变量函数的分(1)重点是分布函数的概念、离散型随机变量的分布律及其表示、一维连续型随机变量的概念、常见分布(2)难点是一维随机变量函数的分布、分布函数的定义与性质.随机变量.分布函数、离散型随机变量.概念.分布律及其表示三、连续型随机变量一维连续型随机变量的概念学2.密度函数f(x)具有下述性质：四、常见分布五、一维随机变量函数的分布提1.一维离散型随机变量函数的分布一维连续型随机变量函数的分布第二讲一维随机变量及其分布一、分布函数的定义与性质.随机变量定义1：设随机试验的每一个可能的结果(样本点)3唯一地对应一个实数X⑥)，则称实变量X为随机变量，通常用大写字母X,Y,Z等表示随机变量，例1:一射手对一射击目标连续射击，则他命中目标的次数X为随机变量，X的可能取值为0,1,2,,例2:某一公交车站每隔5分钟有一辆汽车停靠，一位乘客不知道汽车到达的时间，则侯车时间为随机变量X,的可能取值为X=[0,5]。例3:大炮对某一目标射击，弹着点的位置，如果建立如图所示的坐标系，则弹着点就可以用一个二维坐标(X,Y)表示出来，这时，就要用二维随机变量来描述。.分布函数定义2定义在样本空间C上，取值于实数域的函数”与)，称为是样本空间G上的(实值)随机变量，并称F(x)=P{X<x}是随机变量自便)的概率分布函数.简称为分布函数.分布函数的性质：(1)单调性若X1<X2,则F(x1)EF(X2)；F(g)=limF(x)=0x—二二F(二)=limF(x)=1x_j-:：(3)右连续性F(x+0)=F(x)P{a<XWb}=F(b)-F(a)二、离散型随机变量.概念定义3:只取有限个或可列个值的变量X为一维离散型随机变量简称离散型随机变量。.分布律及其表示

如果离散型随机变X可能取值为(a1,a2,a3),相应的概率%=PC二%)为随机变量X的分布列，也称为分布律，简称分布。(1)分布律表示方法公式法(2)分布律表示方法列表法也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量的分布律:%Pi=:叫Plnh■如果离散型随机变X可能取值为(a1,a2,a3),相应的概率%=PC二%)为随机变量X的分布列，也称为分布律，简称分布。(1)分布律表示方法公式法(2)分布律表示方法列表法也可以用下列表格或矩阵的形式来表示，称为随机变量的分布律:%Pi=:叫Plnh■H■II…Pi分布列的性质非负性：1)Pi-0规范性:2)pi=1分布函数F(x)='pi

为<x例1：「01<4-a(1)求a,(2)分布函数’0x::0例2:1a二一一2F(x)=x-2设袋中有五个球3个白球2个黑球)从中任取两球，X表示取到的黑球数。(1)求X的分布律；(2)为随机变量X的分布函数【解】X可能取值为0,1,2。3P{X=0}=〔0,P{X=1}610,P{X=2}=510f03<103工510)

’0110-’0110-F(X)=91010Mx：：:11<x：：2x_2三、连续型随机变量.一维连续型随机变量的概念定义1若X是随机变量，F(x)是它的分布函数，如果存在函数f(x),使对任意的x,有XF(x)=ff(t)dt,则称X为连续型随机变量，相应的F(x)为连续型分布函数.同时称f(x)p(x)是F(x)的概率密度函数或简称为密度..密度函数f(x)具有下述性质：(1)非负性f(x)>0(1)规范性("f(x)dx=1Jqxx2_(3)P(px附X)堂又2>=f乂)-f(2)=xp(yxddx(4)p{X=x。}=0x(5)由F(x)=fp(y)dy式可知，对p(x)的连续点必有dF(x)=F'(x)=p(x)dx例3：设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx。(1)求A,B,f(x)(2)求p{X之1|X之—1}【解】F(-二)=limF(x)=0x-：二二F(二)=limF(x)=1x-「二，-11_1得A=一,B=1,f(x)=21-F(1)=11-F(-1)32二二(1x21-F(1)=11-F(-1)3p{X_1|X--1}=p{X-1,X--1}.p{X-1}p{X--1}p{X--1}k0<x<3x例4：设随机变量X的概率留度函数为f(x)=<2——3MxM4。0otherk(2)分布函数(3)求p{1<X<7}241【解】(1/6)(一)48四、常见分布(1)两点(0-1)分布设离散型随机变量士的的分布列为「01、J-PPJ其中0<P<1,则称-服从两点分布，亦称-服从(0—1)分布，简记为-~(0—1)分布.(2)二项分布若离散型随机变量之的分布列为kkn-kp(=k)=Cnpq,k-0,1,2,,n其中0<p<1,q=1-p,则称^服从参数为n,p的二项分布，简称七服从二项分布，记为〜b(k;n,p).n-._kkn_kn易验证P(=k)_0,Cnpq(pq)1k=0显然，当n=1时，二项分布就化为两点分布.可见两点分布是二项分布的特例.(3)普哇松(Poisson)分布设离散型随机变量［的所有可能取值为0,1,2,…，且取各个值的概率为k--’eP(=k)=,k=0,1,2,：k!其中九下0为常数，则称'服从参数为人的普哇松分布，记为之〜P(k;7J.易验证(1)P(=k)0,k=0,1,2,;TOC\o"1-5"\h\z二,k(2广P(=k)e-=1kfk!定理(普哇松定理)在n重贝努里试验中，事件A在一次试验中出现的概率为pn(与试验总数n有关)如果当nT=0时，npnT九(九>0常数)，则有蚂b(k；kn,Pn)e，k=0,1,2,

k!(4)几何分布设^是一个无穷次贝努里试验序列中事件A首次发生时所需的试验次数，且可能的值为1,2，….而取各个值的概率为P(=k)=(1—p)k,p=qk」p,k=1,2「.其中0cp<1,q=1—p,则称之服从几何分布.记为1〜g(k,p).易验证(1)P(=k)=pqkJ0,k=1,2,(2广pqk、1k4(5)均匀分布若随机变量气切)的概率密度函数为1

1p(x)=b-a0a<x<b其他时，则称随机变量匕(②)服从［a,b］上的均匀分布.显然p(x)的两条性质满足.其分布函数为0x<a_x-aF(x)=amxmb|b-a1xb记为〜U[a,b].(6)指数分布若随机变量X的分布函数为r,1-e^xF(x)=p{XEX}=」

0x0x<0概率中称X服从参数为人的指数分布.而随机变量X的概率密度为［九e'x,x>0p(x)二0,x三0(7)正态分布设随机变量X的概率密度为i"F*)p(网)e2；-,-二；x:二二*)、、2二二出仃(仃＞0)是两个常数，则称设随机变量X服从也仃购正态分布，记为X〜N(N,。2)相应的分布函数为joO2仃dy,—s<x<°o并且称F(x)为正态分布，记作N(N,。2).如果一个随机变量joO2仃dy,—s<x<°o并且称F(x)为正态分布，记作N(N,。2).如果一个随机变量X的分布函数是正态分布，也称X是个正态变量.N(0,1)分布常常称为是标准正态分布，其密度函数通常以%x)表示，相应的分布函数则记作x①(x),所以①(x)=J中(y)dy=--ody2e2dy-cd⑴中(x)是偶函数，图像关于y轴对称，f(x)关于x=N对称;(2)9(x)在x=0,f(x)在x=N取得最大值；(3)x=±1是9(x)的拐点，x='是f(x)的拐点；(4)若X〜N”。2),则p{XE町=p{X之肛=0.5⑸阳-x)=1-④(x)例5：设随机变量［服从正态N(108,9)分布，(1)求P(101.1―<117.6).(2)求常数a,使P伐<a)=0.90【解】-108⑴P(101.1；117.6)=P-2.3<---：3.2=：J(3.2)->(-2.3)=：J(3.2)-(1-：J(2.3))0.999313-10.989276-0.988589;108a—108、P(t<a)=P|.——<a108=0.90,所以133Ja-108^1.28,a=111.84；

3五、一维随机变量函数的分布.一维离散型随机变量函数的分布例6,已知X~-10.2012'0.20.40.2,求2X+1,2X2例6,已知X~-10.2012'0.20.40.2,求2X+1,2X2的分布列。【解】2X1~-10.21350.20.40.2,2X「0P2240.60.2.一维连续型随机变量函数的分布设y=f(x)为一通常的连续函数，令Y=g(X),其中X为随机变量，那么设y=f(x)为一通常的连续函数，令并称它为随机变量X的函数..分布函数法FY(y)=跳丫三处=P{g(X)My}=f(x)dxg(X)3fy(y)=F1y)例7：已知X~N(2,4)，求Y=2X—1的概率密度。Jxl)2fX(x)e822二FyH)=p{YMy}=p{2X—1my}=p{X2y1(x2)2J2e-8dx22二-"1fy(y)=FY/(y)=42.e24例8:已知随机变量X的概率密度为

’2xfX(x)=]0_x_8’2xfX(x)=]0_x_8ji0other解题步骤:(1)求出x的有效作用范围(fX(x)#0的范围)，并根据y=g(x)求出Y的有效作用范围[a,b]；(2)当yEa时，FY(y)=p{YEy}=0当y之b时，Fy(y)=p{YWy}=1Fy(Y)=p{Y<y}=p{g(X)£y}=f(x)dxg(X)<y(3)fy(y)=FY/(y)求出概率密度。【解】(1)0ExE8时，y=sinx,0<y<1;(2)当yM0时，Fy(y)=p{Y<y}=0当y之1时，Fy(y)=p{YMy}=1当0<y<1时,Fy(y)=p{Y<y}=p{sinX<y}=p{0<X〈arcsiny}p{豆-arcsinyqX父靠}arcsinyOx0二工arcsinyarcsinyOx0x一dx,—(yj0,—(yj0二y：二1other例9:设随机变量X的概率密度为

f(x)=」3次0,，若xy1,8],

f(x)=」3次0,，若xy1,8],

其他；F(x)是X的分布函数.求随机变量Y=F(X)的分布函数.【解】易见，当x<1时,F(x)=0;当x>8时，F(x)=1.对于xs[1,8],有=v1X-1.xF(x)I设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数.显然，当y<0时，G(y)=0;当y主1时，G(y)=1.对于yw[0,1),G(y)=P{Y<y}=P{F(X)<y}=P{3X-1三y}=P{X三(y1)3}=F[(y1)3]=y.于是，Y=F(X)的分布函数为0,若y:二0,G(y)={y,若0Ey<1,J,若y±1.例10:设随机变量X的概率密度为1—,-1<x<02一、1-fX(x)=<一,0Ex<2,40,其他令Y=X2求Y的概率密度fY(y)【解】设Y的分布函数为FY(y),即FY(y)=P(YWy)=P(X2Wy),则1)当y<0时，Fy(y)=0；2)当0My<1时，Fy(y)=P(X2<y)=P(—T7<X<77)二\"「'如4百.3)当1Ey<4时，FY(y)=P(X2<y)=P(—1<X<百)

4)当y24,FY(y)=1.所以,0二y,0二y<1fY(y)=Fy(y)=0,其他(2)公式法定理设E是一个连续型随机变量，其密度函数为p(x),又y=f(x)严格单调，其反函数h(y)有连续导数，则刈续导数，则刈=f仁)也是一个连续型随机变量，且其密度函数为,.(p[h(y)]-h'(y),■<y<-(y)I0,其他其中二min{f(-二)，f(二)}

:=max{f(f),f(::)}其中证明不妨设f(x)是严格单调上升函数，这时它的反函数h(y)也是严格单调上升函数，于F(y)=P(7)=P(f()7)证明不妨设f(x)是严格单调上升函数，这时它的反函数h(y)也是严格单调上升函数，于F(y)=P(7)=P(f()7)=P(:二h(y))h(y)p(x)dx,f(-二)：y：f(二)由此得n的密度为1p[h(y)]h(y),f(-二)二y:二f(二)(y)=F(y)=0,由此得n的密度为同理可证当f(x)严格单调下降时，有，-P[h(y)]h'⑺，f(»同理可证当f(x)严格单调下降时，有(y)I0,其他由此定理得证.2*一例11：设之〜N(t。)，又y=f(x)=，易验证这时定理3.1的条件满足，又因为y=f(x)的反函数为h(y)=by+N,所以有一1-y,.(y)=p[h(y)W(y)=裘e--(y)工『之-N由此可见n=N(0,1).CT第三讲多维随机变量及其分布教学目的通过教学使学生了解二维随机变量的概念、分布律及其表示、分布函数、边缘分布，条件分布、独立性。掌握二维随机变量函数的分布。重点难点(1)重点是二维随机变量的概念、分布律及其表示、分布函数、边缘分布，条件分布、独立性(2)难点是二维随机变量函数的分布教学提一'、基本概念联合分布函数，联合分布四数的性质、边缘分布四数二、离散型二维随机变量离散型二维随机变量的分布律、分布函数、边缘分布，条件分布、独立性三、连续型二维随机变量连续型二维随机变量的分布律、分布由数、边缘分布，条件分布、独立性四、二维随机变量函数的分布.离散型随机变量函数的分布.连续型随机变量函数的分布

纲第三讲：多维随机变量及其分布一■、基本概念1联合分布函数设(X,Y)是二维离散型随机变量，x,y是任意实数，F(x,y)=P(X_x,Y_Y)二维随机变量(X,Y)的联合分布函数。.联合分布函数的性质(1)单调性F(x,y)关于x(y)单调不减；0<F(x,y)<1,F(x-)=F(g,y)=0,Fg")=1；F(x,y)关于x(y)右连续；P{xi：X<x2,yi二Y三y2}"区.)-F(x1，y2)-F(x2，yJF(x2，y2).边缘分布函数设(X,Y)是二维离散型随机变量的联合分布函数为F(x,y),则FX(x)=P{XMx}=P{X<x,Y<二}二F(x,二)Fy(y)=P{YMy}=P{X<二,YMy}=F(二，y)二维随机变量(X,Y)的边缘分布函数。二、离散型二维随机变量.离散型二维随机变量的分布律设(X,Y)是一个二维离散型随机变量，它们一切可能取的值为(句，>)/，j=1,2，…，令PijpijP{柒二历舒④舛})/,j=1,2,…称(pj;i,j=1,2，…)是二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布.二维联合分布的三个性质：(1)Pij-0,i,j=1,2,;oOoo(2广'、Pij=1imj3QO23)高散型冏)随机变黄的卸忆函数ri

F(x,y)/二PijXY_yj.离散型二维随机变量的边缘分布设二维随机变量(X,Y)的联合概率分布p(x=xi,Y=yj}=pj(i,j=1,2，…)中对固定的i关于j求和而得到p{x=Xi}=p{X=Xi,Y三二}="Pij=Pi.j1oOp{Y=yj}二p{X一：:,Y_yj=\p0"p.j

i=1p{Y=yj}=pp{Y=yj}=p.j>0,称pij对于固定的jpijjp{y=yj}p.jjp{y=yj}p.j随机变量X=Xi的条件概率.为在Y=yj的条件下，p(X=Xi,Y=yj}pij同样定义p{Y=yj|X=Xi}==—为在X=Xi的条件下，随机变量p{X=Xi}pi.Y=yj的条件概率.条件概率符合概率的性质p[X=为|Y=yj}_0、p{X=Xi|Y=yj}=1i1.离散型二维随机变量的独立性设离散型随机变量(X,Y)的联合概率分布列与边缘分布为：P{X=为,丫=yj}=角，p{X=Xi}=pi.p{Y=yj}=p.j定理1：离散型随机变量X,Y独立的充分必要条件是对于任意的i,j都有pij二pi.p.j

例1从1,2,3,4种任取一个记为X,在从1X种任取一个记为Y,⑴求二维随机变量(X,Y)的联合分布律p(X=1|Y=1}=pii/p/1/4

p(X=1|Y=1}=pii/p/1/4

25/481225p(X=2|Y=1}=P12/P.11/8_625/48-25X\Y123411/400021/81/80031/121/12/1/12041/161/161/161/16(2)求二维随机变量(X,Y)的边缘分布律。「1234、,1234、X〜Y〜J/41/41/41/4,05/4813/487/483/48;⑶求Y=1的条件下，X的概率分布1/12_425/481/12_425/48-251/16_325/48-25p{X=3|Y=1}=p13/p.1p{X=41Y=1}=p13/P.1(4)随机变量X,Y独立吗?p11=(1/4)=(1/4)(25/48)=R.p.1X,Y不独立。例2X~'01,Y~'01，且p{XY=0}=0.4,求随机变量(X,Y)的联合©50.5,10.40.6,分布律及p{X¥Y}。X'、..<J01pi.00.30.20.510.10.40.5p.j0.40.6例3已知X,Y独立，完成下表:123pi.118218p.j16例4已知(X,Y)的分布律为:4「J0110.4a2b0.1已知｛X=0｝与｛*+丫=力独立，求a,b三、连续型二维随机变量.定义与性质如果联F(x,y)是一个合分布函数，若存在函数p(x,y),使对任意的(x,y),有xyF(x,y)=二：p(u,v)dudv成立，则称F(x,y)是一个连续型的联合分布函数，并且称其中的p(x,y)是F(x,y)的联合概率密度函数或简称为密度.如果二维随机变量(之产)的联合分布函数F(x,y)是连续型分布函数，就称(之「)是二维的连续型随机变量.密度函数的性质：由分布函数的性质可知，任一二元密度函数p(x,y)必具有下述性质：(i)p(x,y)-0;⑵,；］p(x,y)dxdy=F(二，二)=1反过来，任意一个具有上述两个性质的二元函数p(x,y),必定可以作为某个二维随机变量的密度函数.此外，密度函数还具有性质：若p(x,y)在点(x,y)连续，F(x,y)是相应的分布函数，则有2_-F(x,y)2_-F(x,y):x；y=p(x,y)(4)若G是平面上的某一区域，则Pi(,)G)=p(x,y)dxdyG.连续型随机变量的边缘分布若(X,Y)联合分布函数已知，那么，它的两个分量X与丫的分布函数称为边际分布函数可由联合分布函数F(x,y)求得，概率密度fx(x)=__f(x,y)dy,fy(y)=_；f(x,y)dx.连续型随机变量条件分布若(X,Y)概率密度为f(x,y),边缘概率密度fY(y)a0,称fxiY(fxiY(x|y)=f(x,y)fY(y)为在Y=y的条件下，随机变量X的条件概率密度.类似地，称fY|X(类似地，称fY|X(y|x)=f(x,y)

fX(x)fX(x)0为在X=X的条件下，随机变量Y的条件概率密度.设随机变量(X,Y)的联合分布为F(x,y),如果对任意的x,y都F(x,y)=P{X<x,Y<y}=P{X<x}P{Y<y}=Fx(x)Fy(y)则称X,Y是独立的.随机变量的独立性设随机变量(X,Y)的联合分布为F(x,y),如果对任意的x,y都F(x,y)=P{X<x,Y<y}=P{X三»P{Y三y}=Fx(x)Fy(y)则称X,Y是独立的

定理2：如果(X,Y)是二维连续型随机变量，则X与也都是连续型随机变量，它们的Y密度函数分另为fX(x),fY(y),这时容易验证X与丫独立的充要条件为:f(x,y)=fX(x)fy(y)几乎处处成立。说明：(l)F(x,y)=Fx(x)Fy(y)或f(x,y)=fX(x)fy(y)点点成立，则X与丫独立。(2)X与Y独立，则F(x,y)=FX(x)FY(y)点点成立f(x,y)=fx(x)fy(y)不一定点点成立。(3)在个另1J点f(x,y)丰fx(x)fy(y),则X与丫可能还独立；在一点F(x,y)丰Fx(x)Fy(y),则X与丫一定不独立。例1:已知随机变两(X,Y)的概率密度为f(x,y)x0,y0f(x,y)其他⑴求A-He-Heijf(x,y)dxdy=12x1Ae2xydxdyA=1,A=2■0022(2)求分布函数xy—2x—y.eyxy—2x—y.eydudv00xyF(x,y)=f(u,v)dudv=2二[1-e-2x][1-e-y]其他，F(x,y)=0F(x,y)’(F(x,y)’(1-e-2x)(1-e-y)0x0,y0其他(3)求p{X<Y},(3)求p{X<Y},一x_2x_\/p{XMY}=.002e2xy1dxdy=-(4)求边缘概率密度fX(x),fY(y)-Hef(x,y)dy=」,00-Hef(x,y)dy=」,002e_2x_ydyx0other「。/__9V_V__f/、产一afn2e2xydxy>0fY(y)=』f(x,y)dx=〈J0y0other2e^xx>0

0otherJe-yy>00other(5)求条件概率密度fX|Y(x|y)当yM0时，fX|Y(x|y)不存在;当y>0时,fxY(x|y)fxY(x|y)x0other=<fY(y)0(6)求p{X<2|X<2}p{X<2|Y<p{X<2|Y<2}二p{X三2,Y<2}

P{Y<2}F(2,2)Fy(2)1-e-4⑺X,Y独立吗？f(x,y)=fX(x)fy(y)点点成立，则X与Y独立。例2：已知随机变量(X,Y)时区域D上的分布，D由x.y=0,x+y=1围成，问X,Y是否独立?有一、2斛：f(x,y)=(x,y)D

其他TOC\o"1-5"\h\z11一1122-1f(2,2)=.002dxdy=20<x<1other1-x『0<x<1otherf/、产一、7」22dy0MxM1,2-2xfX(x)=』^f(x,y)dy=<07--0other〈01r23FX(2)=i£fX(x)dx=.0[2-2x]dx=4f(1,2)#fx(2)fy(1)所以X,Y不否独立。例3:甲乙两人到达同一地点的时间X,Y服从［7,8］上的均匀分布，X,Y独立，求X,Y的差不超-1过一小时的概率。4

fX(x)n[17<xfX(x)n[17<x<80otherX,Y独立f(x,y)=fX(x)fy(y)=「1

07MxM8,7<x<8other,1、p{X_YM_}=〃1dxdy=4DX,Y独立f(x,y)=fX(x)fy(y)=「1

07MxM8,7<x<8other,1、p{X_YM_}=〃1dxdy=4D例4.若二维连续随机变量（X,Y）的联合概率密度为f/、1f(x,y)2e2二「二2J-P1[(x—"2；(x—4)(y—J).(y—J)/、^rqfrrb(-00<x<收，一的<y<-He)则称（X,Y）服从二维正态分布，记作（X,Y）〜N（代，户2,。；2;，P）。说明：（1）二维正态分布的边缘分布是一维正态分布X〜N（^1,<r12）,Y〜N（匕92）；二维随机变量（X,Y）的边缘分布都是是一维正态分布，则（X,Y）不一定服从二维正态〜cov（X,Y）~,，…八”口、P=—是相关系数，X,Y独立的充分必要条件是P=0;-1-2X~N(^1产12),Y~N(%,。；),且X,Y独立,则aXbY〜N(a」1b」2,a2。；b2二；)四、二维随机变量函数的分布1.离散型随机变量函数的分布例1.X^Y^1211/41/621/31/4已知二维随机变量（X,Y）的分布为求：（1）Z=X+Y(2)Z=max{X,Y}(3)Z=min{X,Y}解：（1）Z=XYp{Z=2}=P{X=1,Y=1}=1/4p{Z=3}=P{X=1,Y=2}P{X=2,Y=1}=1/2p{Z=4}=P{X=2,Y=2}=1/4(2)231/41/2Z=max{X,Z=min{X,1/4,Y}Y}1(2)231/41/2Z=max{X,Z=min{X,1/4,Y}Y}11/43/41/4,2.连续型随机变量函数的分布已知(已知(X,Y)联合概率密度f(x,y),求Z=g(X,Y)的概率密度。这类问题主要通过分布函数法求解。具体过程如下:⑴划出f(x,y)#0的区域D；(2)作等值线g(x,y)=z⑶平行移动等值线，寻找等值线与D相交的关键点a,bo(4)当zMa时，Fz(z)=0,当z2b时，Fz(z)=1,当a<z<b时Fz(z)=f(x,y)dxdyD1⑸f(z)-Fz(z)例2.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为’1,0<x<1,0<y<2x,f(x,y)=：0,其他.求：Z=2X-Y的概率密度fZ(z).解：令Fz(z)=P{ZM才=P{2X-Y<z},当z<0时，Fz(z)=P{2X—YWz}=0；当0Wz<2时，Fz(z)=P{2X-Y<z}12=z_z43)当z22时，FZ(z)=P{2X—Y=1.即分布函数为:0，z<0,12Fz(z)=^z--z2,0<z<2,

41,z之2.故所求的概率密度为:1-一1_1z0<z<2,f7(z)"2z,z(z)壬/苴他0,.例3.X,Y独立且都服从［0,1］上的均匀分布，，求Z=X+Y的概率密度。510<x<1解：fx(x)=」0otherJ1fY(y)=J00_x_1otherx,y独立，所以1f(x,y)=fX(x)fY(y)=J00<x<1,0<x<1other当zW0时，FZ(z)=P{X+YMz)=0;1当0：：：zM1时，FZ(z)=P{XY£z}=z2;2当1<z<2时，FZ(z)=P{X+Y=1」(2-z)2;2当z之2时，FZ(z)=P{Y+yW4=1.z0Mz；1,fZ(z)=2-z1<z:二2,

0other.例4.练习册P3210题例5.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为3x,0<x<1,0<y<x,

f(x,y)=：0,其他.求：Z=X—Y的概率密度fZ(z).、……―……-112、例6.设随机变量X与丫独立，其中X的概率分布为X-，而Y的概率密度为f(y),©30.7,求随机变量Z=X+Y的概率密度.解：FZ(z)=P{XY<z}=p{X=1}p{XYMz|X=1}p{X=2}p{XY三z|X=2}=0.3p{Y_z-1|X=1}0.7p{Y_z-2|X=2}=0.3p{Y<z-1}+0.7p{Y<z-2}(因为X与丫独立)zlz_2=0.3_：f(y)dy0.7,f(y)dyfz(z)=0.3f(z-1)0.7f(z-2)例7Z=max{X,Y},Z=min{X,Y}的分布Fz(z)=P{max{X,Y}Wz}=P{XWz,Y<z};FZ(z)=P{min{X,Y}<z}=1—P{min{X,Y}之z}=1—P{X之z,Y之z);设随机变量X与Y独立，FX(x),FY(y)分别是他们的分布函数，Z=min{X,Y},求Fz(z)解：FZ(z)=P{min{X,Y}<z}=1-P{min{X,Y}_z}=1_P{X_z,Y_z}=1-[1-Fx(z)][1-Fy(z)]=Fx(z)Fy(z)-Fx(z)Fy(z)

第四讲随机变量的数字特征教学目的通过教学使学生了解随机变量的数学期望、方差、协方差与相关系数的概念，掌握数学期望、方差、协方差与相关系数的求法。重点难点(1)重点是数学期望、方差、协方差与相关系数的概念与求法(2)难点是协力差与相关系数的概念与求法教学提纲一、随机变量的数学期望.数学期望的定义.随机变量函数的数学期望.随机变量的数学期望的性质二、力差.方差的定义常用的计算方差的公式__2_2DX=E(X2)—(EX)2.方差的性质.常见分布的方差三、协方差与相关系数.随机变量的协力差.二维随机变量的相关系数第四讲随机变量的数字特征一、随机变量的数学期望1.数学期望的定义定义：(1)若离散型随机变量X可能取值为ai(i=1,2,…)其分布列为pi(i=1,2,…)，则当Q0qQaiaipi<g时，称X存在数学期望，并且数学期望为EEX=xaipi.i1i4(2)设X是一个连续型随机变量，密度函数为p(x),当［|x|p(x)dx<°o时，称X的数学期望存在，记作卷=「xp(x)dx。.随机变量函数的数学期望oO(1)若X是一个离散型随机变量，Y=g(X),如果工|g(ai)|pi<s,则有，i1EY=sgg(X)=9g(ai)pii1(2)若X是连续性随机变量，密度函数为p(x),Y=g(X),且Of(x)|p(x)dx<«,则有EY=Egf(X)=J：f(x)p(x)dx(3)若(X,Y)是一个二维离散型随机变量，其联合分布列为PP{Xai=Xi四j=ypij,i,j=1,2,…,Z=g(X,Y)EZ=EEgX,,Y))='「「g(ai,bj)pijimjm(4)设(X,Y)是二维连续型随机变量，密度函数为p(x,y),Z=g(X,Y)EE=EEfX,Y))!(x,y)p(x,y)dxdy.随机变量的数学期望的性质(1)若C是一个常数，则EC=C.(2)若EX,EY存在，E(cX)=cE(X)

E(X-Y)=E(X)E(Y)则对任意的实数k1、k2,E(k1X+k2Y)存在且E(k1Xk2Y)=k1EXk2EYE(Xc)=EXc⑶若X,Y是相互独立的且EX,EY存在，则E(XY)存在且E(XY)=EXEY.常见几种分布的数学期望(1)两点分布的期望E(天)=p(2)二项分布的期望nnn=np所以E(E<)=Vk-Pk='、'kC：pkqn"=npvC：［pkJq(nJ)4k_1)=np(pq)n」kzSkzSk1=np(3)普哇松分布的数学期望E(天:二九一、一,,,、，，a一b(4)均匀分布的数学期望E(X)=a—b.2(5)指数分布的数学期望1设士的密度函数是参数为九的指数分布，求e(X9=—.九i斛E(X3=°x,edx=—0xde=oe_dx=—(6)正态分布的数学期望E(X)=N例1:已知X~’例1:已知X~’1。12S.22，求E(X21)例例2.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=，f(x,y)=，3x,S*:x1,0：y：x,

其他.((1)求E(X)解法1,x一、「解法1,x一、「叱/I33xdy,0fX(x)=ff(x,y)dy=L。7-0,:二x：二1,其他.r_2一,j3x0<x<1,

0,其他.TOC\o"1-5"\h\z133E(X)=।—xfX(x)dx=03xdx=4E(X)=解法2,E(X)=(2)求E(XY)解法2,E(X)=(2)求E(XY)xf(x,y)dxdy=[3xdy]dx=・二.•二.oo4_1xcE(XY)=__xyf(x,y)dxdy=0[03xydy]dx1343=-xdx=—0210二、方差.方差的定义定义：设X是一个离散型随机变量，数学期望E(X)存在，如果E(X-EX)2存在，则称2E(X-EX)2为随机变量X的方差，并记作DX方差的平方根uDX称为标准差或根方差，在实际问题中标准差用得很广泛。常用的计算方差的公式DX=E(X2)-(EX)2.方差的性质(1)若C是常数，则Dc=0；(2)若C是常数，则D(cX)=c2D(X);D(Xc)=D(X)(4)若X,Y相互独立且DX,DY存在，则D(X+丫)存在且D(XY)=DXDY性质(4)可以推广到n维随机变量的情形，并且D(X—Y)=DXDY-2cov(X,Y)D(aX-bY)-a2DXb2DY-2abcov(X,Y).常见分布的方差(1)两点分布的方差

EX=p,E(X2)=p,DX=E(X2)-(EX)2=p—p2=pq2_222(2)普哇松分布的方差DX=E(X)-(EX)=(九+£)—九=九(3)均匀分布的方差一..1-DX(a-b)12(4)指数分布的方差璇二12映=:X九bdx=-J：xdE=R」xdx璇二12E(XS2=0(5)二项分布的方差nDX="D；=npq

i1(6)正态分布的方差设X服从N(a,。2)分布，求DX=仃2例1:已知X〜例1:已知X〜-100.10.20.7,2，求D(X2)22__2__2_E(X2)=(-1)22__2__2_E(X2)=(-1)20.1020.2120.7=0.8E(X4)=(-1)40.1040.2140.7=0.8D(X2)=E(X4)-(EX2)2=0.8-0.82=0.16例2.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=<3x,0<f(x,y)=<3x,0<x<1,0<y<x,0,其他.求D(X)TOC\o"1-5"\h\z心1o3E(X)-J-xfX(x)dx=03xdx=2143E(X)=_xfX(x)dx=03xdx=522393DX=E(X)-(EX)=-=51680三、协方差与相关系数.随机变量的协方差定义若(X,Y)是一个二维随机变量，称E(X-EX)(Y-EY)为X与Y的协方差，并记作Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=E(X—EX)(Y—EY)公式：Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY由协方差的定义即知它具有下述性质：Cov(X,c)-0(2)对称性：Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(3)线性性：Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)；Cov(X1X2,Y)=Cov(X1,Y)Cov(X2,Y);mnCov(aiXiamXm,bi^乜工)=一aibjCov(Xi,Yj)=1j]D(X-Y)=DXDY-2Cov(X,Y)22D(aX-bY)=a2DXb2DY-2abCov(X,Y)(5)若X,Y独立，则Cov(X,Y)=02.二维随机变量的相关系数定义，若(X,Y)是一个二维随机变量，则称:二Cov(X,Y)XYDXDY为随机变量X与Y的相关系数相关系数的性质(1)|Pxy|-1；(2)|Pxy|=1,当且仅当存在常数a,b,使得p{Y=aX+b}=1；说明：(1)P=0时，称X与Y不相关，P=1时，称X与Y正相关，P=—1时，称X与Y负相关(2)若X,Y独立，则相关系数P=0。反过来，关系数P=0,X,Y不一定独立。(3)二维正态分布中的P为X,Y的相关系数，P=0当且仅当X,Y独立。例1:二维随机变量(X,Y)的概率分布为:求：X求：X与Y的相关系数〜一、，11解：因为EX〜一、，11解：因为EX=—,EY=—12E(XYF,EXDX=EX2-(EX)2=3,DY=EY2-(EY)216516，Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY=1一,24所以X与Y的相关系数以丫Cov(X,Y)、DXDY1_15Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY=1一,24所以X与Y的相关系数以丫Cov(X,Y)、DXDY1_15,15.15例2已知随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=«0::x二1,0:y:xother求：:解：EX=』。|』°2xdy俨=1c2,2!2xdx=—0321■xE(X)Y|10232xdydx=fQ2xdxE(Y2)=10|f02y2dy=12x3dxE(XY)=』0|[02xydy03।x=YdxJ1236Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY=4—-36DX=E(X2)_(EX)2=1_4=12918

TOC\o"1-5"\h\z一—2一21DY=E(Y2)—(EY)2)-6118118Cov(X,Y)=36=1DXDY112,18.18例3设X~N（匕。2）,Y~N（N,。2）,X,丫相互独立，令Z1=aX+bY,Z2=aX-bY,a=0,b#0,求Pxy。解：DZ1=D(aX+bY)=a2DX+b2DY=(a2+b2)。(X与丫独立)TOC\o"1-5"\h\z2_2_22DZ2=D(aX—bY)=a2DXb2DY=(a2b2”Cov(Z1,Z2)=Cov(aXbY,aX-bY)22=a2Cov(X,X)-abCov(X,Y)abCov(Y,X)-b2Cov(Y,Y)222、_2=(a-b)；-22、Cov(Z1,Z2)a2-b2■XY2,2DZ1DZ2ab……、，…一，r_1__1__1例4设A,B为随机事件，且P(A)=—,P(BA)=—,P(AB)=—,令432’1,A＞生，’1,B发生，X=JY=j0,A不发生；0,B不发生.求：(I)二维随机变量(X,Y)的概率分布；(II)X和Y的相关系数Pxy.一.，一1解：(I)由于P(AB)=P(A)P(BA)=,12P(B)_P(AB)_1P(AB)6,所以,所以,P{X=1,Y=1}=P(AB)二一121P{X=1,Y=0}=P(AB)=P(A)-P(AB)=,6,、1P{X=0,Y=1}=P(AB)=P(B)-P(AB)——,12P{X=0,Y=01二P(AB)=1-P(AB)

=1-P(A)-P(B)P(AB)=2，、一1612(或P{X=QY=0}=1——61212故(X,Y)的概率分布为(II)X0Y3PP11则EX=(II)X0Y3PP11则EX=1,EY

416，DY=一,E(XY)=-故Cov(X,Y)^故Cov(X,Y)^E(XY)-EXEYCov(X,Y)—,从而2415DXDY15例5:已知DXDY15例5:已知(X,Y)〜N(1,0,9,16,—0.5),,求EZ,DZ，Pxz。解：X〜N(1,9),Y-N(0,16)EZEX+—EY3232EZEX+—EY3232DZ=DXI11二DXDY21-Cov(X,Y)2DX=DX=9,DY=16,Cov(X,Y)=：XY,DX、DY=-0.534=-6DZ二DZ二3TOC\o"1-5"\h\zCov(X,Z)=Cov(X,X+Y)321-1-11=Cov(X,X)Cov(X,Y)=，>9(-6)=03232:'xz=01、例6:设随机变量U〜B(2,—),令2-1U<01U<2JU>01U-2<1>求D(X-Y),D(X+Y)<2>Cov(X,Y)(012：解：U-111a2打p{X=-1}=p{U<0}二P{U1=0}：413P{X=1},-4:41X~1<413,同理,4/f-1Y~3<41、14/1122EX,EY,E(X2)=1,E(Y2)=1,DX=1,DY=122XY的取值为-1,1p{XY--1}-p{X1,Y--1}p{X-1,Y-1}=p{U<0,U<2}p{U0,U_2}1=p{U<0}p{U-2}-p{U-0}p{U-2}=2TOC\o"1-5"\h\z,、11p{XY=1}=1、j22「-11、XY~11<22>E(XY)=0-1Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY二4D(XY)-DXDY2Cov(X,Y)=2D(X-Y)=DXDY-2Cov(X,Y)=1

第五章人数定律与中心极限定理教学通过教学使学生了解切比雪夫不等式、切比雪夫定理和伯努利定理，了解目的独立同分布的中心极限定理和棣莫佛一拉普拉斯定理。。重百(1)重点切比雪夫不等式、切比雪夫定理、伯努利定理、独立同分布的中心极限定理难点和棣昊佛―拉普拉斯7E理次型的概志；(2)难点切比雪夫定理证明。§5.1大数定律教一、契比雪夫不等式一、契比雪夫大数共律(ChebyshevLawofLargeNumbe。二、贝努里律(BernoulliLawofLargeNumber)学§5.2中心极限定理提一、林德贝格-勒维(Lindeberg-Levy)定理。一、德莫佛拉普拉斯止理DeMovire-Laplace止理纲第五章大数定律与中心极限定理大数定律人们在长期的实践中发现，事件发生的频率具有稳定性，也就是说随着试验次数的增多，事件发生的频率将稳定与一个确定的常数。对某个随机变量X进行大量的重复观测，所得到的大批观测数据的算术平均值也具有稳定性，由于这类稳定性都是在对随机现象进行大量重复试验的条件下呈现出来的，因而反映这方面规律的定理我们就统称为大数定律。契比雪夫不等式定理1设随机变量X的均值E(X)及方差D(X)存在，则对于任意正数"有不等式P{|X-E(X)|.;}<D(X)

z我们称该不等式为契比雪夫(Chebyshev)不等式。证明：(我们仅对连续性的随机变量进行证明)设f(X)为X的密度函数，记E(X)=N,_2D(X)--(X')2P{|X-E(X)|_；}=f(x)dx<(2)f(x)dx贝［J|x-」；x_5■■■■1-：212D(X)M2.(x-^)2f(x)dx<2；=(2)zzz从定理中看出，如果D(X)越小，那么随机变量X取值于开区间(E(X)_8,E(X)+w)中的概率就越大，这就说明方差是一个反映随机变量的概率分布对其分布中心(distributioncenter)E(X)的集中程度的数量指标。利用契比雪夫不等式，我们可以在随机变量X的分布未知的情况下估算事件{|X-E(X)<s|}的概率。例1：设随机变量X的数学期望E(X)=10，方差D(X)=0.04，估方fp{g_2<X<11)的大小。P(9.2<X<11)=p{-0.8<X-10<1}>P^X-10|<0.8^>1--02042=0.9375(0.8)因而P(9.2<X<11不会小于0.9375.契比雪夫大数定律(ChebyshevLawofLargeNumber)定理5.2设相互独立的随机变量Xi,X2，…，Xn,…分别具有均值E(Xi),E(X2),

,E(Xn),…及方差D(XJD(X2)，…，D(Xn),…，若存在常数c,使D(Xk)wC,(k=1,2,…)，则对于任意正整数名，有Proof:limPJ-ZXkE(XkProof:limPJ-ZXkE(Xk)<6n>:：nkjnk4二1由于X1,X2，…，Xn,…相互独立,那么对于任意的n>1，X1,X2，…，Xn,…相互独立。〜1/〜1/、，、

D(—.,Xk)

nk41,n2、D(Xk)<n建Yn1nYn1nJ、Xk

nk4,则由契比雪夫不等式(Chebyshevinequality)有1之P也-E(Yn)|<e)>1-D-^YYnl之1—则有limpWnn—limpWnn—>X；-E(Yn)：二J=111nlimP^-ZX--ZE(Xk)<Ej=1.推论1:设相互独立的随机变量X1推论1:设相互独立的随机变量X1,X2，…，Xn,…有相同的分布,且E(Xk)=~D(Xk)<。2,(k=1,2,…)存在，则对于任意正整数，有limP«—£Xk—N<”=1.(LetX1,X2，…，Xn「n^sC'beasequenceofindependentandidenticallYdistributedrandomvariables,andE(Xk)=N,2D(Xk)2D(Xk)”,(k=1,2,…)exist,then,foranyvalue名A0,lim^P\Xkcwj=1.)n—j二1n定理5.2我们称之为、契比雪夫大数定理,推论5.1是它的特殊情况，该推论表明，当定理5.2我们称之为、契比雪夫大数定理,1般地，我们称概率接近于1的事件为大概率事件(large事件4-£Xk—N<w3般地，我们称概率接近于1的事件为大概率事件(largelnkm"土入、，…土公〜—人一…,probabilityevent),而称概率接近于0的事件为小概率事件(smallprobabilityevent),在一次试验中大概率事件几乎肯定要发生，而小概率事件几乎不可能发生，这一规律我们称之为实际推断原理(factinferprinciple)。贝努里大数定律(BernoulliLawofLargeNumber)定理5.3设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概

率，则对于任意正整数，有limPWt_p<J$=1.率，则对于任意正整数，有limPWt_p<J$=1.证明：令Xkk[1第k次试验侬生/口-：0第k次试验环发生(=，2,…)'X1，X2「Xn,…是…独立的随机变量，且E(Xi)=p,D(Xi)=pq.又m=Xi+X2+…+Xk,因而由推论5.1有limPip<8>=15Jn,limP《-ZXk-p<z\=1▼[nyJ定理5.3我们称之为贝努利大数定律(BernoulliLawofLargeNumber),它表明事件A发生的频率m/n依概率收敛于事件A的概率p,也就是说当n很大时事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小。根据实际推断原理，当试验次数很大时，就可以利用事件发生的频率来近似地代替事件的概率。语.2中心极限定理中心极限定理(CentralLimit定理)是研究在适当的条件下独立随机变量的部分和分布收敛于正态分布的问题。定理5.4设相互独立的随机变量X1,X2，…，Xn,服从同一分布，且E(Xk)=N,n、'Xk-nJD(Xk)Wtr2=0,(k=1,2,…，n)则对于任意x,随机变量Yn=』「的分布函数Fn(x)趋于.n二标准正态分布函数，即有TOC\o"1-5"\h\z£Xk-nNdt2-fk/-『X1-2nmFn/nimF、n二MX=：2二e出IJ定理的证明从略。该定理我们通常称之为林德贝格-勒维(Lindeberg-Levy)定理。推论2设相互独立的随机变量X1,X2，…，Xn服从同一分布，已知均值为N,方差为仃2>0.

单分布函数未知，当n充分大时，X=£Xk近似服从正态分布N(nN,(仃JR)2).K12推论3设相互独立的随机变量Xi,X2，…，Xn服从同一分布，已知均值为N,方差为仃2>0.1n2单分布函数未知，当n充分大时，X=_£Xk近似服从正态分布N(N,(_j=)2).nk4n由推论5.3知，无论X1,X2，…，Xn是什么样的分布函数，他的平均数X当n充分大时总是近似地服从正态分布。例2某单位内部有260部电话分机，每个分机有4%的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等H?1Solution令1Solution令Xk=40第k个分机要用外线第k个分机不要用外线(k=1,2，…，260),X1,X2，…，X260是260个相互独立的随机变量，且E(XJ=0.04,m=Xi+X2+…X260表示同时使用外线的分机数，根据题意应确定最小的x使p{m<x}之95%成立。由上面定理，有,cc7/t2〜，cm-260p『x-260p,「b1工,P{m<x}=P1Ej}宋J—e2dt260p(1-p)...260p(1-p)二、2二查得小(这5)：0.9505〉0.95,故，取b=1.65,于是x=b1260P(1-p)260P=1.65-2600.04