研究生入学考试概率论与数理统计6-8章魏宗舒版

第六章习题.设…,天是取自总体X的一个样本,在以下情形下,试求总体参数的矩估计与最大似然估计：(1)一~风耳时,其中P未知,0<pvl；(2)"飒,其中】未知,；>0o.设…,月是取自总体X的一个样本,其中X服从参数为2的泊松分布,其中2未知,；>0,求2的矩估计与最大似然估计,如得到一组样本观测值0123417~~20~~10~~21求1的矩估计值与最大似然估计值..设芯“,…%是取自总体X的一个样本,其中X服从区间的均匀分布,其中g〉.未知,求g的矩估计.X的密度函数为其他X的密度函数为0<x<l其他总体XX的密度函数为其他X的密度函数为0<x<l其他总体X服从参数为P的几何分¥0其中g〉口未知,求g的矩估计..设",…区是取自总体X的一个样本,3+1*0其中g,口未知,求g的矩估计和最大似然估计..设%%工是取自总体X的一个样本,布,即网?=K)=P(1-2尸(芯=12,…),其中夕未知,0.处求夕的最大似然估计..某路口车辆经过的时间问隔服从指数分布£(»,其中2).未知,现在观测到六个时间间隔数据(单位：s):1.8,3.2,4,8,4.5,2.5,试求该路口车辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最大似然估计值.1小用力——eJ-co<z<+co)..设总体X的密度函数为''2仃'',其中仃?0未知,设1pz,…,冗是取自这个总体的一个样本,试求仃的最大似然估计..在第3题中g的矩估计是否是g的无偏估计？曲麻酢回=2£㈤=2,2氏］=%£伉)=|K=85海/g«i-i2故6的矩估计量2『是g的无偏估计..试证第8题中仃的最大似然估计是仃的无偏估计..设丫1,/,%为总体的样本,证实Pl=7^1+7^2+632A=|-^i+^2+都是总体均值P的无偏估工,并进一步判断哪一个估计有效..设占,占,…,石是取自总体X~M°,个〕的一个样本,其中〔？?[]未知,令%小,试证a是M的相合估计..某车间生产滚珠,从长期实践中知道,滚珠直径X服从正态分布n[m0.22〕,从某大生产的产品中随机抽取6个,量得直径如下〔单位：mm：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1,求力的0.9双侧置信区间和0.99双侧置信区I.假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布未知.为了合理确实定对该商品的进货量,需对4和犷作估计,为此随机抽取七个月,其销售量分别为：64,57,49,81,76,70,59,试求P的双侧0.95置信区间和方差成的双侧0.9置信区问..随机地取某种子弹9发作试验,测得子弹速度的5'=11,设子弹速度服从正态分布N叱〕求这种子弹速度的标准差仃和方差»的双侧0.95置信区.某炼铁厂的铁水含碳量〔1%正常情况下服从正态分布M区按〕,且标准差j=[i108.现测量五炉铁水,具含碳量分别是：4.28,4.4,4.42,4.35,4.37〔1%,试求未知参数P的单侧置信水平为0.95的置信下限和置信上限..某单位职工每天的医疗费服从正态分布N〔4人〕,现抽查了25天,得f=170元,5'=%元,求职工每天医疗费均值P的双侧0.95置信区间..某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线.设罐头质量服从正态分布并假设甲生产线与乙生产线互不影响.从甲生产线并假设抽取10只管头测得其平均质量了=50年,其总体标准差仃i=5g；从乙生产线抽取20只罐头测得其平均质量9=4螃,其总体标准差叼=4g,求甲乙两条猪肉罐头生产线生产罐头质量的均值差的一巧的双侧0.99置信区问..为了比拟甲、乙两种显像管的使用寿命X和Y,随机的抽取甲、乙两种显像管各10只,得数据工1,…,/和Fl,"1D〔单位:1/力〕,且由此算得.q外一n「工£上—■27,5,一p〕,=19.2了=2耳y=D.75,口i,i,假定两种显像管的使用寿命均服从正态分布,且由生产过程知道它们的方差相等.试求两个总体均值之差从■期的双侧0.95置信区间..在3091个男生,3581个女生组成的总体中,随机不放回地抽取100人,观察其中男生的成数,要求计算样本中男生成数的SE.抽取1000人的随机样本估计一个大的人口总体中拥有私人汽车的人的百分数,样本中有543人拥有私人汽车,〔1〕求样本中拥有私人汽车的人的百分

数的SE;〔2〕求总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%勺置信区问习题解答1.解〔1〕夙X〕=p,故P的矩估计量有,=1.另,X的分布律为=,故似然函数为皿=声〔1〞广加对数似然函数为：lnZ〔f〕=lnp+也一£为InQ-p〕\i-l〕\i-1/dIn从p)dppp2z!—=0M_解得P的最大似然估计量nk.可以看出夕的矩估计量与最大似然估计量是相同的.£〔X〕二人1=才1=!〔2〕1'4,令几,故2的矩估计量Xx>0工4口Jfj＞.x>0工4口Jfj＞.=12…,黑其他故似然函数为UW对数似然函数为必加〕=用历入-比出i-i四皿一〞jdXAm!晨,一」解得解得』的最大似然估计量Krsi可以看出』的矩估计量与最大似然估计量是相同的..解E优〞2,故2的矩估计量£=1.由样本观测值可算得

营Ox17+lx20+2x10+3x2+4x1,

x==iSO另,X的分布律为P[x=i〕=gT,_,工=…A故似然函数为£〔入卜目一":,.=.12…J=L2,…,线*11…居对数似然函数为u-i/dIn£dIn£〔川

dX解得2的最大似然估计量用+xoA*用,故2的最大似然估计值2=1.3.解E〔X〕=-人-=1一一,一3.解2,令2,故2的矩估计量9=2万.4.解孙心衿,令*了,八S=-X,故g的矩估计量为25.B-£年〕=行0+1卜彷=——解——卜i'.+2,令.+21-2XX-1,另,似然函数rED哈火1期=0故e的矩估计量为0<^<1其他对数似然函数为1nzi⑼=盟加［外1〕十应In3噌晶+2=.解得0的最大似然估计量为8=T—M£为i-i-1-.解似然函数对数似然函数W〕卬〔1-痴7InZ(p)-winp+文为一港InQ—p)dln&〕嚣各“观,==Udppl-p解得夕的最大似然估计量为P=反..解根据习题1的结果,2的矩估计和最大似然估计量都为了,故平均时间间隔的矩估计和最大似然估计都为L即为T-l(L8+3.2+4+8+4,5+2,5)-4TOC\o"1-5"\h\z由样本观测值可算得Q'fl1IZ〔〔7〕=—思〞.解似然函数〔24“对数似然函数为1制In上⑸=fln〔2bA—E区|ndln£〔b〕库+营网出？仃仃,1a得行的最大似然估计量为次占9.9.解故h的矩估计量27是®的无偏估计10.证实:故10.证实:故9的最大似然估计缸斗白,嘴图是〕的无偏估计.11.证实购〕一%】十也+%十㈤T㈤中占〕f2I2、£向J=£?占+,匕+;招=|巾】)+,色)+|以%)/9i=一+_+一忸m=E(x〞(所以而为都是总体均值P的无偏估计.又16手.〔1=^_,+-口体〕=?:工1+：=3巩上}25~=-D〔X}=-25、『,可见一闯〈帅1〕£住"12.证实易见,当£对〜/⑻又灯福/D—32〕1〕+"3排〞〔均〕L+口D〔X〕=—D〔X〕=—a2J4广18J〞抬十g匕〕吗小3〕,所以二个估同中也更有效〕.£任丫?］」玄呢〕=『?1茏J了£毛=2神由公式〔9〕,9z故由切比雪夫不等式,当即标?是成的相合估计.13.解由于仃'=02表.当l-cf=0.9,查3能叫叱2576转］4$代入数据得P0214.95-1M—,14.95+164_册/,〕=02S,2=M力TR,对任给£〉口,水睥二"T口£汽£,,所以选用P的1-1置信区问二斯〞=1.64〞…t得\W,当l-a=099,查表得5,用=6,的双侧0.9置信区间观测值为涮,即为［1482,15,陶.02021495-2,576隼,1495+2576隼P的双侧0.99置信区间观测值为L布布」,即为［14,74,15.16］..解由于P和仃都未知,故P的1-1双侧置信区间为兄-k兄-k〔胃-1-r、标的1一口双侧置信区间为白丹白丹-1〕飞H-1〕代入数据得元=65.14,$'=108,41,5=11,2510、〔6〕=2.45*=7,总处〔6〕端〕§〔6〕=L635,P的0P的0.95双侧置信区间观测值为,即小的0小的0.9双侧置信区间观测值为7x108.417x108.4112,592T1,535,即为®3,464,14］.15.15.解由于P未知,故了的双侧置信区间为」,代入数据得"9,群=⑵,^〔8〕-17.535,流扉8〕=2.18,'8x1218x1211M的0.95双侧置信区间观测值为［17.5夕2.12,即为［55.204,444.037］.故仃的0.95双侧置信区间观测值为［J5一见J444gL即为卜邛,21.b］..解由于仃=口」08,故P的1-口单侧置信下限为6,P的1-口单侧置信上限为由,代入数据得工二436%%〕出必二1g门二5,故4.364-1.64521^=4.2850的0.95单侧置信下限观测值为V5,3的0.95单侧置信4.364+1.6454.443TOC\o"1-5"\h\z上限观测值为出0X-1X+1生.解由于,未知,故P的1-口双侧置信区间为L7注,也」,即为［157.4,⑻工］代入数据得,=17口,/=30*=25」口9窗〔24卜2一0639,故p的0.即为［157.4,⑻工］30170-20639-^=470+2.0639值为LJ24

.解由于%=5嘉4g,故的■麴的1一讨的双侧置信区间为&&+炉+筮m盟代入数据得M=501J=4粥速=10沸=2.同=2?城=届均那么=2576,故,即为［-1叫7阅.内一的的0.99双侧,即为［-1叫7阅.501-498-2.576心+—.501-438+2.576J—+—V1020102D.解由于仃1=另=/未知,故从-的的1-以双侧置信区间为其中mn其中mn.-郭£小时漕+为一2hij-i代入数据得工-2,33j=075M=1.=月&=L611,如r(18)=2.1009,故为■内的2.33-0.75-2.1009x1611111+10100.95双侧置信区间观测值为2.33-0.75-2.1009x1611111+10101010即为［0川6309吐.解由于样本大小〞=100相对于总体容量N=6672来说很小,因此可使用有放回抽样的公式.样本成数样本成数-503£=4=33091x=100x—«466672,估计仃=府耳总5口,标准差SE的估计为o5羽,21.解SE=故—X100=54风％),3=754,3x4521.解SE=故498,-=498,-==周1.575,乐」SE=Uj«cX1.575=3,0r7所以总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%勺置信区间观测值为(51213,57387).第七章假设检验7.1设总体£~N(R,.2),其中参数N,.2为未知,试指出下面统计假设中哪些是简单假设,哪些是复合假设：(1)H0：N=0,.=1;(2)H0：N=0,仃＞1;Ho：N<3,仃=1;Ho：OmN<3;Ho：」=0.解：〔1〕是简单假设,其余位复合假设7.2设Will,如取自正态总体N〔此9〕,其中参数7未知,7是子样均值,如对检验问题Ho:R=&,H1:N0收取检验的拒绝域：c=｛〔Xi,X2,|||,X25〕：|7-%巨G,试决定常数c,使检验的显著性水平为0.05解：由于七-N〔匕9〕,故8-n〔N,W〕25在Ho成立的条件下,Po〔|--」ol-c〕=p〔|一一」03|-5C〕53,5c=21-中〔一〕=0.05一3①〔5c〕=0.975,5c=1.96,所以c=1.176.337.3设子样WW邑取自正态总体N〔N,.：〕,.2,对假设检验Ho：H=2o,H1E%邑o取临界域c={(x1,X2,|||,xn):|->Co),〔1〕求此检验犯第一类错误概率为口时,犯第二类错误的概率P,并讨论它们之间的关系；〔2〕设'=0.05,72=0.004,a=0.05,n=9,求==0.65时不犯第二类错误的概率.2一.解：〔1〕在Ho成立的条件下,之一N〔N.,」〕,此时nC；"P0(—Co)=P)TOC\o"1-5"\h\z——0；"P0(—Co)=P)CJCT00所以,*^°赤=,4,由此式解出,二生吃与所以,；-o'•,n_2在Hi成立的条件下,｝-N(N,*),此时nC0TOC\o"1-5"\h\zP=Pi(E<co)=Pyn<vn、仃0仃0/」1「.-」-中产一/n)T(n,n)仃0仃0LI_L1一=小(」1......n)仃°由此可知,当a增加时,N1b减小,从而P减小；反之当a减少时,那么P增加-cX.(2)不犯第二类错误的概率为1」=1一：(-一n)=1一=1一：'(」..950.65-0.5.0.23)-1->(-0.605)=：D(0.605)=0.72747.4设一个单一观测的之子样取自分布密度函数为f(x)的母体,对f(x)考虑统计假设:2x0MxM12x0MxM1,o其他H0：f0(x『0其他H1：f1(x)试求试求一个检验函数使犯第一,二类错误的概率满足2+2?=min,并求其最小值.解设检验函数为1xc*(x)=?"/山(c为检验的拒绝域)

[0其他：2:=F0(xc)2R(xC)=F0(xc)2[1-F(xc)]=E°(x)2[1-E「(x)]11二(x)dx2(1-2x(x)dx)001=2-,1(1-4x)(x)dx0要使a+2P=min,当1—4x之.时,4(x)=0当1—4x<0时,®(x)=111x17所以检验函数应取4(x)={4,此时,口+2P=2+](1-4x)dx=—.0x10847.5设某产品指标服从正态分布,它的根方差仃为150小时.今由一批产品中随机抽取了26个,测得指标的平均值为1637小时,问在5%勺显著性水平下,能否认为该批产品指标为1600小时?解总体.N(N,1502),对假设,H0：N=1600,采用U检验法,在H.为真时,检验统计量u=x—°Vn=1.2578二0临界值U1;J2=U0.975=「96|u|<5?2,故接受Ho.某电器零件的平均电阻一直保持在2.64G,根方差保持在0.06G,改变加工工艺后,测得100个零件,其平均电阻为2.62.,根方差不变,问新工艺对此零件的电阻有无显著差异？去显著性水平a=0.01.解设改变工艺后电器的电阻为随机变量那么E：=N未知,D之=(0.06)2,假设为Ho:卜=2.64,统计量u=-,°；n=-3.33a由于Uiu2=Uo.995=2.10M|u|,故拒绝原假设.即新工艺对电阻有显著差异.有甲乙两个检验员,对同样的试样进行分析,各人实验分析的结果如下:TOC\o"1-5"\h\z实验号12345678甲4.33.283.53.54.83.33.9乙3.74.13.83.84.63.92.84.4试问甲乙两人的实验分析之间有无显著差异?解此问题可以归结为判断亡=X1—X2是否服从正态分布N〔0,.2〕,其中.2未知,即要检验假设Ho：N=0.由t检验的统计量t=二』向=四二0褥=4.389sn0.727取支=0.10,又由于,to.95〔7〕=1.8946>|t|,故接受Ho某纺织厂在正常工作条件下,平均每台布机每小时经纱断头率为0.973根,每台布机的平均断头率的根方差为0.162根,该厂作轻浆试验,将轻纱上浆率减低20%在200台布机上进行实验,结果平均每台每小时轻纱断头次数为0.994根,根方差为0.16,问新的上浆率能否推广？取显著性水平0.05.解设减低上浆率后的每台布机断头率为随机变量,有子样试验可得其均值和方差的无偏估计为0.994及s*2=〔0.16『,问新上浆率能否推广就要分析每台布机的平均断头率是否增大,即要检验H0:E=0.973-H1:E0.973由于D.未知,且n较大,用t检验,统计量为,一-」0—0.994-0.973」t=*.n200=1.856sn0.16查表知t0.95〔199〕=1.645,故拒绝原假设,不能推广.在十块土地上试种甲乙两种作物,所得产量分别为〔x1,x2川,x10〕,〔y1,y2,川,yQ,假设作物产量服从正态分布,并计算得x=30.97,7=21.79,Sx=26.7,Sy=12.1取显著性水平0.01,问是否可认为两个品种的产量没有显著性差异？解甲作物产量U~N〔,,%2〕,乙作物产量n-N〔^2,^|〕,即要检验H.：…2由于%2,.2未知,要用两子样t检验来检验假设H0:^12^^22,由F检验,统计量为

F=s*2/S2=26%12=4.869<F0,995(9,9)=6.54(取显著性水平0.01)故接受假设H0:仃；=仃；,于是对于要检验的假设H0:也#匕取统计量t--x-y悭叵①亘=099(n—1)s*2(n2-1)s22tnin2又0f=0.01时,to.995(18)=2.878>|t|,所以接受原假设,即两品种的产量没有显著性差异.有甲、乙两台机床,加工同样产品,从这两台机床加工的产品中随机地抽取假设干产品,测得产品直径为(单位：mm：甲20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.0.19.6,19.9乙19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2.试比拟甲乙两台机床加工的精度有无显著差异？显著性水平为a=0.050解：假定甲产品直径服从N(N1g2),由子样观察值计算得x=20.00,$=(0.3207)2=0.1029.乙产品直径服从N〞产；),由子样观察值计算得y=20.00,s：2=0.3967要比拟两台机床加工的精度,既要检验..22H0:-1=；2*2sn1*2*2sn1*2sn20.1029-0.25940.3967口=0.05时查表得：F0.975(7.6)=5.70,11F0025(7.6)==——=0.1953F0.975(6.7)5.12由于F0.025(7.6)<F<F0.975(7.6),所以接受H.,即不能认为两台机床的加工精度有显著差异.随机从一批钉子中抽取16枚,测得其长度为(cm)2.142.102.132.152.132.122.132.10

2.152.122.142.102.132.112.142.11设钉长服从正态分布,分别对下面两个情况求出总体均值N的90%勺置信区问(1)<r=0.01cm；(2)仃未知解(1)由子样函数UJH|_N(0,1),p(|U|<u095)=0.90,可求N的置信CT区间置信下限-_u0置信下限-_u0.9曰=2.121置信上限一•U0.95"、.n=2.129(2)在仃未知时,由子样函数t=2^亦］t(n—1),Snp(|t|<t°.95(n—1))=0.90可求得N置信区间为*置信下限一_t0.95(15)Sn=2.1175、n*置信上限一人5(15后=2.1325.n7.12包糖机某日开工包糖,抽取12包糖,称得重量为9.910.110.310.410.510.29.79.810.110.09.810.3假定重量服从正态分布,试由此数据对该机器所包糖的平均重量求置信水平为95%勺区间估计.£_[1「解由于.未知,用统计量t=「^jn|_lt(n-1),计算各数据值后可以得到均值Sn**的置信区间,置信上限为巴+强耳地=10.2556,下限为如斗萼=9.9284工n、n随机取9发炮弹做实验,得炮口速度的方差的无偏估计s：2=11(米/秒)2,的置信水平设炮口速度服从正态分布,分别求出炮口速度的标准差.的置信水平为为90%勺置信区间解选取统计量可得仃2的置解选取统计量)=(5.6749,32.199)=(5.6749,32.199)1^.72(n-1)./2(n-1)由于(n—1)s;22(n—1)S2..(n-1)s；、5-1)?P(——;~~-:二二XP(『：：：二：2)1-/2(n-1)72(n-1).12_?/2(n-1).-/2(n-1)=1—二故,标准差的置信区间取方差的根方即可.假设六个整数1,2,3,4,5,6被随机地选择,重复60次独立实验中出现1,2,3,4,5,6的次数分别为13,19,11,8,5,4.问在5%勺显著性水平下是否可以认为以下假设成立：1Ho:p(-=1)=p(-=2)=|||=p(-=6)=-o6解：用炉-拟合优度检验,如果H.成立*(n「npi)|j72(5)

i注np列表计算〃的观察值:组数i频数ninpni-npi2(□i-npi)/npi1131030.92191098.13111010.14810-20.45510-52.56410-63.6=15.6,7：.95〔5〕=11.07由于72A/95〔5〕,所以拒绝H..即等概率的假设不成立.对某型号电缆进行耐压测试实验,记录43根电缆的最低击穿电压,数据列表如下：测试电压3.83.94.04.14.24.34.44.54.64.74.8击穿频数11127884641试对电缆耐压数据作分析检验〔用概率图纸法和拟合优度检验〕.解：用正态概率纸检验出数据根本上服从正态分布,下面？2-拟合优度检验假设H.：LN〔?；：?2〕其中？,6为N和.2的极大似然估计,其观察值一_一q11_n.一?=x=4.3744:*=sn=—〔为-x〕=0.04842ny所以要检验的假设H0:LN〔4.3744,0.04842〕分组列表计算？2-统计量的观察值.组距为jx频数n标准化区间y」V、r=6〔y、〕-中〔心npi2〔n、-npi〕/npi

—aO4.154-1.250.10564.54080.04644.14.27-1.25-0.790.10874.67411.15744.24.38-0.79-0.340.15266.56180.21524.34.512-0.340.570.348814.99840.59944.54.660.571.030.13285.71040.01474.6cd50.31g0.15156.51450.352122、、(npi-Ai)ynpi=2.4852用a=0.1查表7；.9(6-2-1)=%(3)=6.22、、(npi-Ai)ynpi=2.4852分布的假设.用手枪对100个靶各打10发,只记录命中或不命中,射击结果列表如下命中数k：012345678910频数「：0241022261812420在显著水平a=0.05下用炉拟合优度检验法检验射击结果所服从的分布.解对每一靶打一发,只记录命中或不命中可用二点分布描述,而对一个靶打十发,其射击结果可用二项分布b(K;10,p)来描述,其中p未知,可求其极大似然估计为100100'fiXi=0=0.5设、是十发射击中射中靶的个数,建=0.5H0：p3=k)='0i(0.5)K(0.5)10*,K=0,1川,10【KJ用炉拟合优度检验法列表如下：iAiRnp2(A-npi)/npi000.0009770.0980.098120.0097650.9761.074240.0439454.3950.0363100.11718811.7190.2524220.20521220.5210.1075260.24609424.6090.0796180.20521220.5210.3107120.11718811.7190.007840.0439454.3950.036920.0097650.9761.0741000.0009770.0980.098p=£〔np-n〕=3.171i=9nPi取〃=...5,^95〔11-1-1〕=70.95〔9〕=16.919由于炉＜碌5〔9〕,所以接受Hoo在某细纱机上进行断头率测定,试验锭子总数为440,测得断头总次数为292次只锭子的断头次数纪律于下表.问每只锭子的纺纱条件是否相同？每锭断头数012345679锭数〔实测〕263112381931103解：如果各个锭子的纺纱条件元差异,那么所有锭子断头次数服从同一个普哇松分布,所以问题是要检验每只锭子的断头数之口P〔K;Z〕o其中九未知,求其极大似292然估计为九=X==0.66,建立假设Ho:-Lp〔K;0.66〕,由/拟合优度检验.440列表i断头数KniPinPi2(n-nR)/npi

温度6065707580102680.5169227.415.56821110.3411150.099.6683220.112649.532.68443380.024710.8976.02654-81980.00472.06817.01652bi=0(np-n)2

npi=40.962取a=0.05,72.95(5-1-1(np-n)2

npi=40.962取a=0.01,70.99(5—1—1)=7；95(3)=11.345由于炉＞〞.99(3),所以拒绝H..即认为每只锭子纺纱条件不相同第八章方差分析和回归分析8.1考察温度对某一化工产品得率的影响,选了五种不同的温度,在同一温度下做了三次实验,测得其得率如下,试分析温度对得率有无显著影响

9091968484得率92939683898892938382解把原始数据均减去90后可列出如下计算表和方差分析表,r表示因子水平数,t为重复实验次数.r=5,t=3,n=rt=15计算表温度6065707580016-6-6yj536-7-4-223-2-8yiL0615-15-18ZV=-12TOC\o"1-5"\h\z22y工yij■_：■_：y2=308/yi2=810,=9.6ijinc1Sa810-9.6=260.43St=308-9.6=298.4&=&-Sa=38方差分析表来源平方和自由度均力和F比温度260.4465.117.1e38103.8

总和298.417Fo.99〔4,10〕=68.2下面记录了三位操作工分别在四台不同机器上操作三天的日由于F=17.1>8.2下面记录了三位操作工分别在四台不同机器上操作三天的日机器操作：匚甲乙丙A151517171916161821A171717151515192222A3151716181716181818A4182022151617171717巨里试在显著性水平a=0.05下检验：(1)操作工之间有无显著性差异？(2)机器之间的差异是否显著？(3)操作工与机器的交互作用是否显著？解用r表示机器的水平数,s表示操作工的水平数,t表示重复实验次数,列出计算表和方差分析表：r=4,s=3,t=3,n=rst=36yj甲乙丙V\.A475455156A2514563159A3485154153A4604851159y.j206198223627£££y2k=11065,ZZyk=33071ijkij一9一9〔二二二Viik〕2工y2=98307,2y,2=131369,j=10920.25ijn

1SA98307-10920.25=2.759c1Sb=—131369-10920.25=27.1712c1c…ccSAB=—33071-10920.25-2.75-27.17=73.503ST=11065-10920.25=144.75Se=144.75-2.75-27.17-77.50=41.33方差分析表来源平方和自由度均力和F比机器A2.7530.92<1操作工B27.17213.597.90交互作用AxB73.50612.257.12e41.33241.72总和Fo95〔2,24〕=3.40144.7535Fo.95〔6,24〕=2.51由于Fb=7.90a3.40,Fa汨=7.12>2.51,所以在a=0.05水平上,操作工有显著差异,机器之间无显著差异,交互作用有显著差异.通过原点的一元线性回归模型时怎样的？通过原点的二元线性回归模型是怎样的？分别写出结构矩阵X,正规方程组的系数矩阵XX,常数项矩阵XY,并写出回归系数的最小二乘法估计公式.解通过原点的一元线性回归模型:=1,2,|l|,N」N〔0,二2〕X1X2X1X2NXXix2,XY=〔xi,x2」Ixn〕1Y1Y2N

二'x：y：二TP的最小二乘估计为?=XX4XY八xy/二x2:V：w通过原点的二元线性回归模型:ly:.二-1X：1.2X2‘各名J虫立同分布,二：=1,2,111,N」N〔0,二2〕XXX二X1X-.2aX11X21X12X22XY“X-1X-.2.CL-X】y：

a工XMyctIa白邛2的最小二乘估计为:1y1y=1回」F：XXXY对不同的元麦堆测得如下数据:堆号123456重量p2813270511103259021315181跨度l3.253.205.073.142.904.02试求重量对跨度的回归方程,并求出根方差仃的估计值.解设所求回归方程为？=耳+町,由数据可以求出:、p「二26523rp」..=109230.58,%p；=176598625、l：.=21.58}l：=80.9374,N=6由最小二乘法估计公式可知1、--P1p-1:=4165.85一01'2ElotElanNV.aJ?0工EPu一用工21ct=-1056?0N：N、工故可得回归方程:?--105624165.851p2-p2-")2二428538「加£p/l?〔£Pa〕〔£_.、工N工、工那么仃的估计为6558.5设y=01Xi2(3x2一2),i=1,2,3X1=-1,X2=0,%=,,c工、1,w2,々相互独立同服从于N〔0,.二(y二(y1一2y2+y3)<6(1)写出矩阵X(2)求P0,Pl,P2的最小二乘估计(3)证实当--2=0时,P0,P1的最小二乘估计不变解(1)X=1,1-1011-21(2)XX’31<0y1十y2十y3-My

d-2y2+Y3>,那么,P°,Pl,P2的最小二乘估计是?=?=L0K=(xX),xY=口r2J(1,11、3(y1+Y2+y3)1,~(-Y1+Y3)(3)3=0,此时模型成为:=P°+凡为+qi=1,2,3,那么对应的-10,xx1」30<02,y1+y2+y3—y1+y3/,P0,Pi的最小二乘估计是6.叫一回=(XX),XY=n,.,、3(yi+y2+y3)1-(-yi+y3)<28.6假设y与x有下述关系:y=；0ix2X2111pxp；其中wUN〔0,.2〕从中获得了n组独立观测值〔％〕&,能否求出Po,Pi,|||,Pp的最小二乘估计,试写出最小二乘估计的公式,能否检验假设Ho:」=0试写出检验的拒绝域.1「i斛右记Xd=xa,Xi=—乙xq豆=1,|||,n；iHjll'pnnlij八〔X：i-Xi〕〔X：j-Xj〕i,j=1,111,p、第1n="〔X:i-Xi〕〔y.--y〕i=1,IH,p那么p/lI,Pp的最小二乘估计为下述方程组的解：1+l12为*1M*l1pQ=l10j"九用+|I|+12pK=120〔*〕'HIIIIlp1?lp2ZIHlpp?p=lp00.的最小二乘估计为：[=y_?x1-ih-彳Xp假设把方程组〔*〕的系数矩阵记为L,那么L=〔lj〕,又记L"=〔lij〕,那么在显著性水平a上检验H0:吃=0的拒绝域是：?2Fi=启F1.?(1,n-p-1)其中‘,"—{'；632一小一,.}8.7某医院用光色比色计检验尿贡时,得尿贡含量与肖光系数读数的结果如下:尿贡含量x246810肖光系数y64138205285360它们之间有下述关系式：X=oii=1,2,3,4,5各熊相互独立,均服从N(0,.2)分布,试求久,冏的最小二乘估计,并给出检验假设H.：「0的拒绝域.解由数据可以求得,n=5Xxa=30,X=6a%y=1052,y=210.4a'x2=220「x.y.=7790?y2=275990aaalxx=40,lxy=1478,lyy=54649.2那么,最小二乘估计为：%--11.3,?=36.95检验假设H0:久=0可用统计量?l1lxyF=o=4416Fi」(1,3)=34.1；=0.01(lyy-彳xy)/(n-2)因此,拒绝原假设.8.8研究同一地区土壤中所含植物可给态磷的情况,得到18组数据如下,其中,Xi——土壤内所含无机磷浓度x2——土壤内溶于K2CO3s液并受澳化物水解的有机磷浓度

X3——土壤内溶于K2CO3§液但不溶于澳化物的有机磷浓度y——载在20C土壤内的玉米中可给态磷的浓度y与％,X2,X3之间有下述关系：yi=00*Plx1*02冷*03Xi3,葺i=1,2,111,18各埼相互独立,均服从N〔0,.2〕分布,试求出回归方程,并对方程及各因子的显著性进行检验.土壤样本XiX2X3y10.4531586420.4231636033.119377140.6341576154.724595461.7651237779.4444681810629173931012.658112511110.937111761223.146114961323.1501347714