三角形的动态问题

动态几何问题三角形的动态问题（一）等边三角形类型在正AABC中，P为AABC内一点，将AABP绕A点按逆时针方向旋转60°,使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个AP'CP中，此时AP'AP也为正三角形。A(l-1-h)川A(l-1-h)川例1.如图：（1-1）:设P是等边AABC内的一点，PA=3,PB=4,PC=5,ZAPB的度数是.举一反三1（2016四川）如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60得到线段AQ,连接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10,则四边形APBQ的面积为.（二）等腰直角三角形类型在等腰直角三角形AABC中，/C=Rt/,P为AABC内一点，将AAP慨C点按逆时针方向旋转900,使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个AP'CP为等腰直角三角形。

例2.如图，在AABC中，/ACB=900,BC=AC,P为AABC内一点，且PA=3,PB=1,PC=2。求/BPC的度数。举一反三2(2016福建龙岩•)已知△ABC是等腰三角形，AB=AC.(1)特殊情形：如图1,当DE//BC时，有DBEC.(填法"，之"或=")⑵发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转a(0°</V180°)到图2位置，则(1)中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.(3)拓展运用：如图3,P是等腰直角三角形ABC内一点，/ACB=90,且PB=1,PC=2PA=3,求/BPC的度数.【等比代换】典例3(2014?湖南衡阳，)将一副三角尺(在Rt^ABC中，/ACB=90,/B=60°;在RtADEF中，/EDF=90,/E=45)如图①摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P,DF经过点C.FFED圉②(1)求/ADE的度数；(2)如图②，将^DEF绕点D顺时针方向旋转角a(0°<“V60°),此时的等腰直角三角尺记为△DE'F',DE'交AC于点M,DF'FFED圉②(1)求/ADE的度数；(2)如图②，将^DEF绕点D顺时针方向旋转角a(0°<“V60°),此时的等腰直角三角尺记为△DE'F',DE'交AC于点M,DF'交BC于点N,试判断更的值是否随着a的变化而变化？如果不变，请求出理的值；反之，请说明理由.CM【中点类】典例4(2016辽宁丹东)如图①，4ABC与4CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AEkDE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD.(1)猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论;(2)现将图①中的4CDE绕着点C顺时针旋转a(0°</V90。)，得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H.请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由;(3)若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC,CD=kCE如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明.SCG【折叠+线段的数量关系】5(2016内蒙古包头)如图，已知一个直角三角形纸片ACB,其中/ACB=90°,AC=4,BC=3,E、F分别是ACAB边上点，连接EF.(1)图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECB=3S.EDF,求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF//CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长；【旋转+线段的数量关系】6(2016・四川资阳)在Rt^ABC中，/C=90°,Rt^ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连结BD,过点D作DF±AC于点F.(1)如图1,若点F与点A重合，求证：AC=BC;(2)若/DAF=ZDBA,如图2,当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；【旋转+线段的位置关系】7(2016吉林8分)(1)如图1,在Rt^ABC中，/ABC=90°,以点B为中心，把^ABC逆时针旋转90°,得到△AiBCi；再以点C为中心，把4ABC顺时针旋转90°,得到△A2B1C,连接GBi,则C1B1与BC的位置关系为；(2)如图2,当4ABC是锐角三角形，/ABC=a(”60°)时，将△ABC按照(1)中的方式旋转％连接GB1,探究C1B1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明;(3)如图3,在图2(3)如图3,在图2的基础上，连接B1B,若C1B1BC,40^3的面积为4,则△B〔BC的面积为练习部分1(2016滨州)如图，BD是4ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G,连接ED,DG.(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；(2)若/ABC=30。，Z0=45°,ED=2^，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值.2(2016湖北黄石)在4ABC中，AB=A0,/BAC=2/DAE=2a.(1)如图1,若点D关于直线AE的对称点为F,求证：AADFs△ABC;(2)如图2,在(1)的条件下，若行45°,求证：DE2=BD2+CE2；(3)如图3,若“=45°,点E在BC的延长线上，则等式dE^BD^cE1还能成立吗？■请说明理由.3（2016•四川成都•10分）如图①，4ABC中，/ABC=45°,AH^BC于点H,点D在AH上，且DH=CH,连结BD.（1）求证：BD=AC（2）将4BHD绕点H旋转，得到4EHF（点B,D分别与点E,F对应），连接AE.①如图②，当点F落在AC上时，（F不与C重合），若BC=4,tanC=3,求AE的长；②如图③，当4EHF是由4BHD绕点H逆时针旋转30得到时，设射线CF与AE相交于点G,连接GH,试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由.典例3(1)30°(2)在5【分析】(1)先利用折叠的性质得到EUAB,AAEF^△DEF,则Saae等Sadef,则易得Saabc=4Sxaef,再证明RtZ\AEF^RtZxABC,然后根据相似三角形的性质得到,I2…、.景,I2…、.景,再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长;②连结AM交EF于点②连结AM交EF于点O,如图②，设AE=x,则EM=x,CE=4-x,先证明△CMK△CBA得,解出x后计算出CM=/,再利用勾股定理计算出AM,然后根据菱形的面1积公式计算EF;「S菱形aemf^kEPAMmAETCM,••EF^^—;6(1)由旋转得到/BAC=/BAD,而DF，AC,从而得出/ABC=45°,最后判断出△ABC是等腰直角三角形；(2)由旋转得，/BAC=/BAD,由旋转得，AB=AD,可证△ABD是等边三角形，最后判定△AFDW^BED,即可；7(1)根据旋转的性质得至ij/CiBC=ZBiBC=90°,BG=BC=CB,根据平行线的判定得至UBQ//CR,推出四边形BCBCi是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；平行(2)过G作GE//BiC于E,于是得到/GEB=/BiCB,由旋转的性质得到BCi=BC=BC,/CiBC=/BiCB,等量代换得到/CiBC=/CiEB,根据等腰三角形的判定得到CiB=CiE,等量代换得到CiE=BC,推出四边形CiECB是平行四边形，根据平行四边形的性质即可得到结论；(3)6.i.i0।3：tan/EAH=tanC=3过点H作HP,AE,：HP=3ARAE=2AP在Rt^A