南理工线性代数试卷

20036月线性代数(2.5)试一 是非题(每小题3分,共15分设Rn中向量组α1,α2 ,αs线性无关

ks数，则线性组合k1α1k2α2 ksαs 设A是n阶方阵且不是单位矩阵，若A2=A则必有A=0 n维向量组α1,α2, ,αn,αn1中必有一向量可表示为其余 V1,V2都是Rn的子空间,若dimV1=dimV2,则必有V1=V2 An阶方阵,ξn维向量,Aξ0,则0的一个特征 二.填空题(每小题5分,25分123 123设矩阵A=21k与B=012等价，则k 321

135 211112111211112111121 11123 6 aξ1

,

12,

13 设向量

7

7

7

的标准正交基2 3 b 则a ,b 设n阶方阵A有一个特征值-3，则A2+A必有特征 1a的取值满 时， 1为正定矩 a 2 0

11 1 1 0 2ε,ε ,ε ,ε ,

三.(8分)求向量组

2

5

4

2

9的秩3 3 3 1 8个极大无关

x1x2x3x42xxx2x四(10分)设有非齐次线性方程组

k为3x4x4xkx 值时(1)方程组无解 (2)方程组有解?并求出通 2 1五.(8分)解矩阵方程AX=B+X，已知A=

2，B= 0 2 0 六(10分)f(x,x,x)=2x24xxx2+4x

1 22 1 1 1 七(8分)R2中的两组基分别为α11α20;β1 0 已知线性变换在基α1,α2下的矩阵为 2,求在基β1,β2下的 八(8分)An阶可逆矩阵λ0A的一个特征值,证明

|AλA*的特征λ0九.(8分)设欧式空间Rn中的向量组α1,α2, ,αs与β1,β2, ,βt均线性无关,且内积(αi,βj)0,(i1,2, ,s;j1,2, ,t),si证明：(1)向量组α1,α2 ,αs的任一线性组合γkiαiβjj1 t均正(2)向量组{α1,α2 ,αs,β1,β2 ,βt}线性无20036月(2.5)答一．1．2.34.×5二．1．k=0,2.n+1,3.a=2,b=- ,5.a∴r

01101022 5000004为极大无关

1

1 四

)21 301380400 380400 （1）k=-1k4 k7

k11 1k

k（2）k7时，通解

1

k k7五．AXXB(AI)XBX(A X 2 2

20020111001100 六.A 特征

2,λ3对应的特征向量分别11 21 标准化后的正交矩阵Q3

1X=QY,

y22y24y 七．(1,2)(1,2)C,得由1 C(1

)(

2)

1，，2在基1

的矩阵

λnλn1

A的全部特征值则|A

i

λ0(2)设A的对应于0的特征向量，则A0A1AA101为A1的特征值,又A*(,

)sk,

k(（1）

i

j i(2)k1α1k仍记

skiii1s

,则上式

tmjjj1t

t()两边与作内积,则由t(,)mj(,j)(,)γk1α1k2α2ks∵α1α2,…,αs线性无关，于是k1k2ks将代回()同理可得

m2 mt故 , ,…,αs,β1,β2,…,mt20044月线性代数(2.5)试一．是非题(每小题3分,15分若n阶方阵A与B合同，则秩A=秩 α,βγ是欧式空间Rn中的向量

0若(αγ)β则α 向量组α1α2,…,αsα1,α2,…,αs-1α1,α2,…,αs线性相 非齐次线性方程组AX=b(A为n阶方阵，b≠0)的系数行列式|A|=0 n阶矩阵的一个特征向量只可以属于一个特征值 123nn20000200123nn20000200 ,0002n阶行列式|当参数t满足条 时,二次型2x2x2x22x

txx正

1 2 ，则与A可交换的所有矩阵的一般形 B,C均为n阶可逆矩阵计算分块矩阵乘积BD

B1DC10C

C 2三阶方阵AB相似，且|A|1，则行列式21 3 12 1 4三.(10分)设

,

,

,

, 1

7

3

73 14 9 t为何值时α1α2,α3,α4线性相当α1α2,α3,α4线性相关时,求此向量组的秩和一个极大线性无关x1x2x3x4x53x2xxx3x 四.(12分)求线性方程组

4

的通 3x

五.(12分)f(x,x,

)=x22x24x

4x

1 2六.(10分)设α1,α2,α3β1β2β3都是R3的基底,求由基α1,α2,α3到基β,β2,β3的过度矩 0 设R3中线性变换在基α1,α2,α3的矩阵是A= 0 011 求在基ββ2β3的矩,βt1七.(8分)设向量组α1,βt1β1α1αt,β2

α2αt

αt1αt也八.(8分)n阶矩阵BB2=B，In阶单位矩阵，证明若B≠I，则B不可2A=I+B,A可逆，且A11(3I220044月(2.5)答一．1．2.34.×522n(n1)22

b 二三.1.(

2,

,4

,2.)

t

,3.00

a,a,b为任意常数,4.I2n, t=1时,α1,α2, ,α4线性相r3,α1α2α3为极大无关 四.(A|B) 5 5 1 5 0,23 2 60,1通解1

1

0k

,k22 1 02001 001 0 0五A0

2,|IA

对应的特征向量分别1 11 标准化后的正交矩阵Q3

212 212 X=QY,

y22y24y1

1 六.1(1,2,3)(1,2,3 3(1,2,3)(1,2,3 143 143

14 14从1,2,3到1,2,3的过渡矩阵P 0 1 0 在基

,

,

的矩阵：BP1

44

01 1七．令k1β1k2β2 kt1βt10(k1k2(k1k2 αt1线性无k1k2 (k1k2 kt1)于是k1k2 kt1故β1,β2 ,βt1线性无八．1．若B可逆,B1B2B1B,则B=I ∴B不可

2

)32

2A可逆且A1

1(3I220046月线性代数(2.5)试一．是非题(每小题3分,15分若n阶方阵A与B合同，则它们的行列式 若阵A是n阶对称矩阵，B是n阶称矩阵，AB+BA是称矩 kt设Rn中向量组α1,α2 αt线性相关,且有常数k1,k2ktk1α1k2α2 kt

0k1k2

kt设V1,V2都是Rn的子空间,则V1V2也必为Rn的子空间 n阶实矩阵A的特征值全为正数，则A必为正定矩阵 二.填空题(每小题5分,25分设|

1,Aij表示|D|中元素aij的代数式， R2中由基

1

0到基

，β

的过度矩阵C 1 3.设矩阵A210008003，则A1 052设向量α1α2α3是齐次线性方程组AX=0的一个基础解系向β1β2β3也是AX=0的基础解

,则常数k满 时1 31

3设α 是矩阵A= 的属于特征值的特征向量，

a , 1 0 3 3 0三.(8分)设α

,α

,求向量 2

1

7 2 α1,α2,α3α4α5的秩与一个极大线性无关x12x24x7x

四.(12分)设有线性方程组

x2x3

,ab为何值时线性2x3xax 程组(1)无解(2)有唯一解(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求其通

五.(12分)设A= ,求一正交矩阵Q与对角阵∧,使

2 5 3 0六.(10分)已知矩阵A= ，且AX=A+2X，求矩阵 3 七(8分)若从n(n≥2)阶矩阵A中划去一行得n-1阶矩阵B，证明

rA(rB表示B的秩rBrA，则八(10分)设非齐次线性方程组AXb的系数矩阵A的秩为,ηnr,ηnr

是它的线性无关的解，证明向量组β1η1η2,β2η2η3 ,

ηnrηnr1线性无若任意常数k1,k2 ,knr1满足k1k2 knr

1，AXb的通解是20046月(2.5)

knr1ηnr一．1．2.34.√5 0 2

0二．1．4

2

,3.

3,4.k≠-1

810312301172520r3,1,2,4为极大 3 (A|B)

10行0四 022

b0 b040 40 （2） 0（3）b2a1是有无穷多解，通解0

k为任意常数五 2

4

24

1 1121，特征向量13 特征向量3 1令Q3

12Q

Q1AQ 21 221

六．(A-2I)X=AX=(A-2I)1A

3A 4 七．(1)∵B中子式均为A的子式,B中最高阶数的非零子也是A的非零子

(2)假设|A|≠0，则

n,而

n1rA 八．(1)

mnr

0 ηnr1线性无m1(m2m1) (mnrmnr1)mnr得m1m2knr1ηnr1knr1ηnr1(k1knr1)bknr1ηnr1的向量是AX=b的k1η1k2η2XAX=b的任一解，由(1)从而是AX=0的基础解系，则

线性无Xηnr1l1β1l2β2 lnrl1η1 lnrηnr(l1η2lnrηnr1)ηnrl1η1(l1l2)η2

lnr1

(1lnr)ηnr记

k1,l2

k2 ,1

knr1,Xk1η1k2η2 knr1ηnr其中k1k2 knr120055月(2.5)试一．选择题(每小题3分,15分n阶行列式Dn ，则必有(A)0的个数多于n个 (B)主对角线元素全为0 设A，B都是n阶矩阵，以下各式中正确的 (A+B)2A22AB (B)行列式|AB|(C)(A+B)(A-B)=A2- (D)(AB)2=A2设A是m×n阶矩阵,A的秩rA=r，则A 至少有一个r阶子式不等于 (B)所有r阶子式都不等于r-1阶子式都不等于有一个r+1阶子式等于0，其余r+1阶子式可能不等于αm,(m向量组α1,α2 2)αm,(m其中每个向量都可以由其余m-1个向量线性表 αm中至少有一个零向 ,αm中有两个向量对应元素成比 αm中有一个向量是其余m-1个向量的线性组设非齐次线性方程组AX=b的增广矩阵(Ab)为m阶方阵,且其行列式|(Ab)|≠0，则该方程组 (C)有无穷多解(D)解的情况无法确定二.填空题(每小题5分,共25分)1 a314

0A

的标准形为

，则a 1

15554

0 2设ξ1是矩阵A a的一个特征向量， 2

3 a b 2设三阶矩阵AB相似,且|A|1,则行列式2当参数t满足条 时,二次型2x2x2x22x

txx正 1 2已知四阶矩阵A的特征值为1，2，3，4，则行列式 1 3 12 1 4三(8分)设向量组

,

,

,

1

7

3

73 14 9 1 求L(α1,α2,α3,α4)的维数和一组1 2 0 34 7 1 四(12分)已知

,

,

β ab为何值 0

1

b2 3 a 4 β可由α1α2α3线性表示?并写出表示β可由α1α2α3用无穷多方式线性表示?写出一般表示五12分)f(x,x,

)=4x24x

4x2+4x

+4x

1 1 2 六.(10分)设向量组α1α2α3与ββ2β3都是R3的基底，α1β1β3,

β12β2β3,

β1求由基α1α2α3到基β,β2,β3的过度矩阵

0R3中线性变换σ在基α

,α下矩阵是A0 0 σ在基ββ2β3下矩阵α2,β2

七.(6分) 3 1 求

4xk12yk若数列{xkyk满足

k6xk

k

，x07y0xk八(8分)λ1λ2nAξ1ξ2分别是属20055月(2.5)答22一．1．C2.B;3A4.D;522二．1．a22a-3b1

1;4.8

t

三.(

1,

) 3 3

α1α2α3是一组四

βx1α1x2α2 3 (A|B)

10行01 0123a23a

b0 b040 40 （1）b≠2时,β不能由α1α2α3线性表示b2a1时,β可由α1α2α3唯一表示为βα1b2a1有无穷多表示方020211000000(A|B)00(2k1)1(k2)2五．2

122，特征向量13 特征向量3ξ

ξ正交化

α

0T,α

将α1

α2ξ3单位化,β1

1（-12

,β2

1（-1,1,6

,β3

1（1,1,3 1 令T

，作正交变换X=T 标准

2y22y28y 3(1 0 P1AP 063 063 七．由AB=0rA+rB≤3,又k≠9，rB=2，得rAk=9时，rB=1，∴rA=1rA八．A正定必可对角化,即有可逆矩阵P其中∧=diag(12,…12,…nA的所有正特征值，从1λ 1AkP1ΛkPP1

λk λk n即Ak的所有特征值都为正且(Ak)T=(AT)k,Ak为实对称矩阵，故为Ak正定矩九

,αs线性无关，故部分向量组α2 ,αs线性无关 ,αs,αs1线性相关∴αs1可由α2 ,αs线性表(2)若α1可由α2, ,αs,αs1线性表示,而αs1可由α2, ,αs线性表示，则α1可由α2, ,αs线性表示, ,αs线性无 ,αs,αs1线性表20056月(2.5)试一．选择题(每小题3分,15分设A，B是任意n阶矩阵(n≥2)，以下各式中正确的 (A)|A+B|=|A| (B)|ABT|=(C)|A|B|A||B (D)|AB||AB||A2B2

A 2 3 3满足AB=B，则矩阵 k1

(B)

k2

k1k

1

k (k1,k2为任意常数2

2 2设n维向量α1,α2线性相关，则必 α1,α2中有一零向 (C)α1,α2的对应元素成比 设n阶矩阵A有特征值0，则以下命题不正确的是 (A)零向量是A的特征向量 (B)A不可逆 (DA的列向量组线性相A

4 5，则与矩阵(A2I)1相似的对较阵 3 13 13

(A) (C) (D) 15131513

3 二．填空题(每小题5分,25分

已知

m,(m0

b2c2b3

3c2 1 2 1 aα ,α ,α 向量

2

1线性相关，则a ,b 0 b 1 1 0 0

2

3α0,

1,

0

β

,

1,

0 设

与

是

中两0 0 1

1 基,则由α1,α2,α3到基β,β2,β3的过度矩阵 0 3 2 0 3

x1x22x3α1,

2

3x

4x已知

是线性方程组

的两个解0 2

axbxcx (a,b,c,d为某组常数)，则该方程组的通解 0 0 三.(10分)已知n阶矩阵A= ,求A n 0 行列式|A|和 0 四.(12分)已知矩阵A= 1，且AX=A-2X，求矩阵 1 x12x24x33x43x5x6x4x 五.(12分)求线性方程组

33x4

的通 24x19x 0六.(12分)设A= 2，求正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩 1 A

3B 6.(5分)已知三阶矩AB=0,A的

，矩

(k为常数 k 八(6分)A为正定矩阵，证明：Ak也是正定矩阵k为正整数九.(7分)已知向量α1,α2 ,αs线性无关，α2,α3 ,αs1线性相关证明

αs1可由向量α2,α3 ,αs线性表 ,αs1线性表20056月(2.5)答一．1．B;2.C;3C4.A;5. 0二．1．6m

a

2,b

;3.

3 0;4.

03 3

1200 1200

k

k为任意实数2 |A|(1)n1n!,(A*)1|四.XA2I)1A66 五.(A|B) x1=8x37x4得方程组的一般解

1 x3x40得特解X*=(-1,1,0,x1=8x3导出组的一般解

得导出组的基础解 1=(8,-6,1,0)T，2=(-7,5,0, 8 71 6 5 k

,k,k通解

0 11

20 0 0 六13，21,3313特征向量13 特征向3令

，则 10特征向

,Ak

Pxk

y y k

xk

八．设1+2是A的对应于特征值0的特征向量即A (1+2)=0(1+2)Aξ1λ1ξ1Aξ2λ1ξ1λ2ξ2λ0(ξ1ξ2 (λ1λ0)ξ1(λ2λ0)ξ2又1,2线性无(λ1λ0(λ2λ0=0∴1+2不是A的特征向

λ1λ2006年4月线性代数试 学分一．选择填空题(3分,15分设A、B均为n阶方阵，则下列等式 成立(A)|AB|=|BA|;(B)|A+B|=|A|+|B|;(C)(AB)T=ATBT;(D)AB=设Rn中非零向量组α1,α2 ,αs线性相关， (A)s>n αs αs αs设A是m×n阶矩阵且m则齐次线性方程组 (A)无解B)只有零解C)有非零解D)解的情况不确设A、B均为正定矩阵， (A)AB是正定矩阵 (B)A+B是正定矩阵(C)A-B是正定矩阵 (D)|A|=设n阶方阵A与B相似，则以下结论不正确的 (AAB的特征多项式相同BtrA=trBC|A||B|D二．填空题(每小题5分,25分 1 1 4 R2中由基α10,α21到基β13,β24的过渡矩阵

1,α ,α向量组

线性相关,则t 的条件 520210520210030200 85 2当参数 时,矩阵 5的秩最 12

三．(10分)

1α 1

α2

1，α 34 633 6 求L(α1α2α3α4α5 四．(12分)k1,k2为何值时，线性方程组

2 五．(12分)设A= 4求一正交矩阵Q和对角矩阵 4 六．(12分)nA，B证明：A-I 0 若B 0,求矩阵 2 (8)

1,

(1,1,1)T 证明：A的各行元和是一个常数3 3α4

3

λ

分别是A的对应于特征值 λ31的特征相量，求矩阵八．(6分)A=I-TIn阶单位矩阵，R2证明：A2=A；(2)A20064月(2.0)答一．1．A;2.C;3.C4.B;5 0 1

0二．1．122.

;3.t1t=24.400 400

8 5. 4三. 4

2 4 4 9dimL(1,2,,5)

k1

1时有解通解五.|IA

1

0，特征向3

特征向

12（21 125 1 3 35Q5

233

1530 5303 3 六.ABABAIABABA(BIA

00)1B 七.(1)设A(aij)33,由由Aiii(iA(11,22,1 1 1 1

34八.(1)A2(IT)2I2T(2)假设A可逆A2AA1

A

从而

(*) ,0，不(a,a,,a a1

则

a

a

**与(*)i

** ** anA不可逆2006年6月线性代数试 学分一．选择题(3分,15分设n阶方阵A、B、C满足ABC=I，则下列结论中不一定 (AA、B、C均可逆B)CAB=IC)CBA=I(D)设Rn中向量组α1,α2 ,αs线性相关，则必 1≤k≤s,使αk

(B)sk<s时，α1,α2 ,αk组线性相关1≤k≤s,使αk 向量组中也是AX0的基础解系

η1

η2

设A*是n(n≥2)阶方阵A的伴随矩阵,若rank(A)=n-2，则rank(A*)= (A)0(B)n- 2；(D) 设n(n≥2)阶方阵A是负定矩阵，则下列结论中 A的所有顺序主子式均为负数

-A.填空题(5分,25分设三阶方阵A的行列式|A|1，则行列式|A*--3设矩阵A 1，多项式f(x)=x2+x+3，则 3 3矩阵A k与B 2等价，则 1

5 1 0 0

1 3 0R3中由基

0

1

0到基

2,

0,

0

过渡矩阵P

1

2设ξ1是矩阵A a的一个特征向量 2

3 则a b 1 1