决策分析技术与方法-第四章课件

决策分析技术与方法北京科技大学经济管理学院武森决策分析技术与方法北京科技大学经济管理学院武森北京科技大学经济管理学院2目录第一章决策科学概述第二章确定型、风险型和不确定型决策第三章模糊决策第四章灰色系统预测与决策第五章可拓决策第六章其他决策分析方法北京科技大学经济管理学院2目录第一章决策科学概述北京科技大学经济管理学院3第四章灰色系统预测与决策4.1

灰色系统概述4.2

灰色因素的关联分析

4.3 灰色系统预测建模原理与方法4.4

灰色预测模型应用实例4.5

灰色局势决策

北京科技大学经济管理学院3第四章灰色系统预测与决策4.北京科技大学经济管理学院44.1

灰色系统概述

一、灰色系统的概念（一）“灰色”的含义 灰色系统理论（theoryofgreysystem）起源于对控制论的研究。灰色系统是我国创立的一门新学科，它的创始人是我国学者邓聚龙教授。这门学科为处理“少数据不确定、信息不完全”的预测、决策问题，给出了一种很好的决策方法。 用“黑”表示信息未知，用“白”表示信息完全明确，用“灰”表示部分信息明确、部分信息不明确。相应地，将信息完全明确的系统称为白色系统；信息未知的系统称为黑色系统；部分信息明确，部分信息不明确的系统称为灰色系统。北京科技大学经济管理学院44.1灰色系统概述一、灰色北京科技大学经济管理学院54.1

灰色系统概述

一、灰色系统的概念（二）信息不完全的表现

系统信息不完全的情况有以下四种：

(1)元素（参数）信息不完全； (2)结构信息不完全； (3)边界信息不完全； (4)运行行为信息不完全。

北京科技大学经济管理学院54.1灰色系统概述一、灰色北京科技大学经济管理学院64.1

灰色系统概述

二、灰色系统理论的特点

4内部性3动态性2联系性1系统性灰色系统理论的特点北京科技大学经济管理学院64.1灰色系统概述二、灰色北京科技大学经济管理学院7第四章灰色系统预测与决策4.1

灰色系统概述4.2

灰色因素的关联分析

4.3 灰色系统预测建模原理与方法4.4

灰色预测模型应用实例4.5

灰色局势决策

北京科技大学经济管理学院7第四章灰色系统预测与决策4.北京科技大学经济管理学院84.2

灰色因素的关联分析

一、关联分析的概念和特点

灰色关联度分析方法是根据因素之间的发展趋势的相似或相异程度，来衡量因素间关联程度的方法。此分析方法对样本量的多少没有要求，计算量小，也不需要有典型的分布规律。

北京科技大学经济管理学院84.2灰色因素的关联分析一北京科技大学经济管理学院94.2

灰色因素的关联分析

二、关联度分析的计算方法（一）原始数据变换 原始数据变换的方法通常有两种：

1、均值化变换 先分别求出每个序列的平均值，然后用各个序列的均值去除相应序列中的每一个数据，得到一组新的序列，于是在新的序列中，没有了量纲，而且新的序列中的每一个数都分布在1左右。

2、初值化变换 把每一组序列中的每一个数分别去除以相应序列中的第一个数，得到一组新的序列，称为初值化数列。初值化数列中没有量纲。 北京科技大学经济管理学院94.2灰色因素的关联分析二北京科技大学经济管理学院104.2

灰色因素的关联分析

二、关联度分析的计算方法（一）原始数据变换 在消除序列的量纲过程中，两种方法都可以，但在对稳定的经济系统做动态序列的关联度分析时，一般情况下用初值化变换，因为经济系统中大多数的动态序列是呈增长趋势的。如果对原始数列只做数据之间的关联度分析，也可以使用均值化变换。

北京科技大学经济管理学院104.2灰色因素的关联分析北京科技大学经济管理学院11二、关联度分析的计算方法（二）计算关联系数

记消除量纲的一个序列为{x0(t)}，另一个序列为{x1(t)}，如果两个序列处在同一时刻k的值分别记为{x0(k)}，{x1(k)}，即：4.2

灰色因素的关联分析

则x0(i)，x1(i)的绝对差值记为：北京科技大学经济管理学院11二、关联度分析的计算方法 记北京科技大学经济管理学院12

其中为i时刻两比较序列的绝对差；为分辨系数，的取值介于0~1之间，一般情况下的可取0.1~0.5，的作用是消除值过大从而使计算的关联系数ri值失真的影响。则关联系数(correlativecoefficent)的计算公式为：二、关联度分析的计算方法（二）计算关联系数

若将各个时刻的最小差值记为，最大差值记为，即4.2

灰色因素的关联分析

北京科技大学经济管理学院12 其中为i时刻两北京科技大学经济管理学院13 式中N为两个序列的数据个数，ri为两个序列各个时刻的关联系数。二、关联度分析的计算方法（三）求关联度

两个时间序列的关联度借助于几何图形比较，如果两个几何图形在任一时刻点的绝对差值都相等，则两个序列的关联度一定等于1。因此，两序列的关联度是两个序列各个时刻关联系数的算术平均数，用R表示，则4.2

灰色因素的关联分析

北京科技大学经济管理学院13 式中N为两个序列的数据个数，r北京科技大学经济管理学院14二、关联度分析的计算方法（四）关联度的性质 关联度具有以下三种性质： (1)自反性 设X0(t)为一时间序列，则该序列自身的关联度R00=1. (2)对称性 设两个序列X1(t)，X2(t)，则X1(t)，X2(t)两个序列的关联度R12和X2(t)，X1(t)的关联度R21相等，即R12=R21. (3)传递性 设有三个序列X0(t)，X1(t)，X2(t)，如果R01≥R02，R02≥R12，则R01≥R12.4.2

灰色因素的关联分析

北京科技大学经济管理学院14二、关联度分析的计算方法4.2北京科技大学经济管理学院15二、关联度分析的计算方法（五）关联度计算方法举例 以下举例说明关联度的计算步骤与方法。

设有四组时间序列： {x1(0)}={39.5，40.3，42.1，44.9}, {x2(0)}={46.7，47.3，48.2，47.5}, {x3(0)}={5.4，5.8，6.1，6.3}, {x4(0)}={6.1，6.0，5.8，6.4}.

(1)以{x1(0)}为母序列，其余数列为子序列。4.2

灰色因素的关联分析

北京科技大学经济管理学院15二、关联度分析的计算方法4.2北京科技大学经济管理学院16{x1(0)}={39.5，40.3，42.1，44.9},{x2(0)}={46.7，47.3，48.2，47.5},{x3(0)}={5.4，5.8，6.1，6.3},{x4(0)}={6.1，6.0，5.8，6.4}.二、关联度分析的计算方法（五）关联度计算方法举例

(2)将原始数据作初值化处理4.2

灰色因素的关联分析

北京科技大学经济管理学院16{x1(0)}={39.5，40北京科技大学经济管理学院17二、关联度分析的计算方法（五）关联度计算方法举例

(3)计算各子序列同母序列在同一 时刻的绝对差，计算公式为：4.2

灰色因素的关联分析

计算结果如下：t123400.010.040.1200.050.060.0300.040.120.09从表中找出最小值和最大值：北京科技大学经济管理学院17二、关联度分析的计算方法4.2北京科技大学经济管理学院18计算关联系数的结果如下：二、关联度分析的计算方法（五）关联度计算方法举例

(4)计算关联系数（取=0.5）:4.2

灰色因素的关联分析

t123400.010.040.1200.050.060.0300.040.120.09t123410.860.600.3310.550.500.6710.600.330.40北京科技大学经济管理学院18计算关联系数的结果如下：二、关联北京科技大学经济管理学院19则对各序列{xi(0)}之间的关联度有二、关联度分析的计算方法（五）关联度计算方法举例

(5)计算关联度：4.2

灰色因素的关联分析

t123410.860.600.3310.550.500.6710.600.330.40R12>R13>R14.北京科技大学经济管理学院19则对各序列{xi(0)}之间的关北京科技大学经济管理学院20第四章灰色系统预测与决策4.1

灰色系统概述4.2

灰色因素的关联分析

4.3 灰色系统预测建模原理与方法4.4

灰色预测模型应用实例4.5

灰色局势决策

北京科技大学经济管理学院20第四章灰色系统预测与决策4北京科技大学经济管理学院21一、灰色预测的概念

灰色预测（greyforecast）是通过原始数据的处理和灰色动态模型（greydynamicmodel）的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。4.3

灰色系统预测建模原理与方法

北京科技大学经济管理学院21一、灰色预测的概念4.3灰北京科技大学经济管理学院22二、灰色系统预测建模原理与步骤（一）建模原理 设原始数列为X(0)={x(0)(1),x(0)(2)，…，x(0)(n)}。 将原始数列经过一次累加生成，可获得新数据列：

X(1)={x(1)(1),x(1)(2)，…，x(1)(n)}， 其中4.3

灰色系统预测建模原理与方法

对于非负的数据列，累加的次数越多，随机性弱化越明显，数据列呈现的规律性越强。这种规律如果能用一个函数表示出来，这种函数称为生成函数。北京科技大学经济管理学院22二、灰色系统预测建模原理与步骤4北京科技大学经济管理学院23二、灰色系统预测建模原理与步骤（二）建立灰色模型步骤

灰色模型（greymodel）记为GM。灰色系统预测模型的建立，经常用微分拟合法。GM(m,n)表示m阶n个变量的微分方程。

4.3

灰色系统预测建模原理与方法

北京科技大学经济管理学院23二、灰色系统预测建模原理与步骤4北京科技大学经济管理学院24二、灰色系统预测建模原理与步骤（二）建立灰色模型步骤

下面以GM(1,1)为例说明建模步骤。 GM(1,1)表示一阶一个变量的微分方程预测模型，它是灰色预测的基础，主要用于时间序列预测，其建模步骤为：

(1)GM(1,1)的建模过程：

第一步，设原始数列为

4.3

灰色系统预测建模原理与方法

X(0)={x(0)(1),x(0)(2)，…，x(0)(n)}北京科技大学经济管理学院24二、灰色系统预测建模原理与步骤4北京科技大学经济管理学院25二、灰色系统预测建模原理与步骤（二）建模灰色模型步骤

(1)GM(1,1)的建模过程：

第二步，对原始数列做一次累加生成得累加生成数列

4.3

灰色系统预测建模原理与方法

X(1)={x(1)(1),x(1)(2)，…，x(1)(n)}，其中对累加生成数列建立预测模型的白化形式方程：式中a，u为待定系数。（1）（2）北京科技大学经济管理学院25二、灰色系统预测建模原理与步骤4北京科技大学经济管理学院26二、灰色系统预测建模原理与步骤（二）建模灰色模型步骤

(1)GM(1,1)的建模过程：

第三步，利用最小二乘法求出参数a，u的值：

4.3

灰色系统预测建模原理与方法

其中累加矩阵B（由累加生成数列构成）为原始数据列矩阵为（3）（4）（5）北京科技大学经济管理学院26二、灰色系统预测建模原理与步骤4北京科技大学经济管理学院27二、灰色系统预测建模原理与步骤（二）建模灰色模型步骤

(1)GM(1,1)的建模过程：

第四步，将求得的参数a，u代入（2）式并求解此微分方程，得GM(1,1)预测模型为

4.3

灰色系统预测建模原理与方法

第五步，对（6）式表示的离散时间响应函数中的序变量k求导，得还原模型为（7）（6）北京科技大学经济管理学院27二、灰色系统预测建模原理与步骤4北京科技大学经济管理学院28二、灰色系统预测建模原理与步骤（二）建模灰色模型步骤

(2)模型精度检验：

绝对误差与相对误差检验，公式如下：

4.3

灰色系统预测建模原理与方法

式中q(0)(t)表示残差；x(0)(t)表示t时刻的实际原始数据值； 表示t时刻的预测数据值；e(t)表示相对误差。（9）（8）北京科技大学经济管理学院28二、灰色系统预测建模原理与步骤4北京科技大学经济管理学院29第四章灰色系统预测与决策4.1

灰色系统概述4.2

灰色因素的关联分析

4.3 灰色系统预测建模原理与方法4.4

灰色预测模型应用实例4.5

灰色局势决策

北京科技大学经济管理学院29第四章灰色系统预测与决策4北京科技大学经济管理学院30例已知某市工业总产值数据如下表所示，试建立该市工业总产值的GM(1,1)模型并进行预测。4.4

灰色预测模型应用实例

时间2001年2002年2003年2004年工业总产值（亿元）60.379.9495.61111.5上表内容可写成：x(0)(t)={60.3,79.94,95.61,111.5}.一次累加生成数列：

x(1)(k)={60.3,140.24,235.85,347.35}.(2)建立数据矩阵B和Yn：北京科技大学经济管理学院30例已知某市工业总产值数据如下北京科技大学经济管理学院31例(续)

(3)利用最小二乘法有4.4

灰色预测模型应用实例

其中又于是得到a=-0.1530041，u=65.71795.所以北京科技大学经济管理学院31例(续)4.4灰色预测北京科技大学经济管理学院32例(续)

(4)离散时间响应函数为：4.4

灰色预测模型应用实例

其还原模型为北京科技大学经济管理学院32例(续)4.4灰色预测北京科技大学经济管理学院33例(续)

(5)模型检验见下表（绝对误差与相对误差检验）：4.4

灰色预测模型应用实例

k序号计算值实际累加值误差(%)k=1140.54140.24-0.21k=2235.65235.850.08k=3346.62347.350.21还原模型的检验见下表k序号计算值原始值残差误差(%)k=181.2579.94-1.31-1.6k=296.5795.61-0.96-1.0k=3112.41111.5-0.91-0.82 由以上检验可知，计算值与原始值误差较小，预测模型可以使用。北京科技大学经济管理学院33例(续)4.4灰色预测北京科技大学经济管理学院34例(续)

(6)灰色模型预测：4.4

灰色预测模型应用实例

通过得出的…………计算2005—2017年该市工业总产值分别为：2005年亿元=138.21亿元；2006年亿元=161.06亿元；2007年亿元=187.69亿元；2008年亿元=218.72亿元；2009年亿元=254.88亿元；北京科技大学经济管理学院34例(续)4.4灰色预测北京科技大学经济管理学院35第四章灰色系统预测与决策4.1

灰色系统概述4.2

灰色因素的关联分析

4.3 灰色系统预测建模原理与方法4.4

灰色预测模型应用实例4.5

灰色局势决策

北京科技大学经济管理学院35第四章灰色系统预测与决策4北京科技大学经济管理学院36一、决策元

发生了某事件ai，用某对策bj去解决，就构成了一个局势sij(ai,bj)，称为二元组合。它对某一局势有某一特定效果。为此，记二元组合（事件,对策）与效果测度的整体为

4.5

灰色局势决策

((事件,对策),效果测度)称之为决策元。对于事件ai与对策bj的决策元记为式中rij即局势(ai,bj)的效果测度。

效果测度(事件,对策)def北京科技大学经济管理学院36一、决策元4.5灰色局势决北京科技大学经济管理学院37二、决策向量与矩阵

若有事件a1，a2,…,an，有对策b1,b2,…,bm，则对于同一事件ai可用不同的对策，从而构成了m个局势(ai,b1)，(ai,b2),…,(ai,bm)。将相应的决策元排成一行，便有下述决策行

4.5

灰色局势决策

对于同一个对策bj，考虑与不同的事件a1，a2,…,an匹配，并将其相应的决策元排成一列，便有下列决策列北京科技大学经济管理学院37二、决策向量与矩阵4.5灰北京科技大学经济管理学院38 将上述与 按相应的行列排列， 便得矩阵D，记为，即 二、决策向量与矩阵4.5

灰色局势决策

记为北京科技大学经济管理学院38 将上述北京科技大学经济管理学院39 为最优决策元，局势为最优局势，即在处理事件ai中，以对策最为有效。三、决策准则

决策准则是在各有关决策元中取其效果测度最大者，因此有行决策和列决策： (1)行决策 在决策行中取最优决策元，从而得到最优局势，其准则是：

4.5

灰色局势决策

若，则决策元北京科技大学经济管理学院39 为最优决策元，局势北京科技大学经济管理学院40 为最优决策元，即事件ai*最适合用对策bj来处理，也称同一对策在不同事件中寻找最优局势及最适合事件。三、决策准则

(2)列决策 在决策列中取最优决策元，从而得到最优局势，其准则是：

4.5

灰色局势决策

若，则决策元北京科技大学经济管理学院40 为最优决策元，即事件ai*最适北京科技大学经济管理学院41四、多目标决策 当局势目标有1,2,…多个时，则记局势(ai,bj)对目标 的效果测度的相应对策元为。为此，有相应的决策行、决策列及相应的决策矩阵M(K):

4.5

灰色局势决策

北京科技大学经济管理学院41四、多目标决策4.5灰色局北京科技大学经济管理学院42

M(K)称为第K个目标的决策矩阵。而一个有N个目标的N个决策矩阵应先综合为一个决策矩阵，然后再用单目标决策准则，找最优局势。的形式同M(K)，只要将(K)用替代即可。中的元素与各个单目标决策矩阵M(K)见的元素有下述关系：四、多目标决策

4.5

灰色局势决策

这是效果测度生成方式之一。北京科技大学经济管理学院42 M(K)称为第K个目标的决北京科技大学经济管理学院43

用m个对策去处理同一个事件，则有m个不同的效果。在多目标局势决策中，有不同的目的，就有评价效果的不同准则。因此在局势决策过程中要求有统一的效果测度：五、效果测度

4.5

灰色局势决策

1、上限效果测度 记sij为事件ai与对策bj的局势，sij=(ai,bj)，若sij在目标P下有效果白化值为uij(P)，则局势sij的上限效果测度rij为北京科技大学经济管理学院43 用m个对策去处理同一个事件北京科技大学经济管理学院44五、效果测度

4.5

灰色局势决策

2、下限效果测度3、适中效果测度 在白化值uij(P)中指定的u0为适中值，则有适中测度为北京科技大学经济管理学院44五、效果测度 4.5灰色北京科技大学经济管理学院45六、局势决策步骤

4.5

灰色局势决策

一般离散可数局势空间的局势决策的步骤是：给出事件与对策；构造局势；给出目标；给出不同目标的白化值；计算不同目标的局势效果测度；将多目标问题化为单目标问题；按最大局势效果测度选取最佳局势，进行决策。北京科技大学经济管理学院45六、局势决策步骤 4.5ThankYou!ThankYou!决策分析技术与方法北京科技大学经济管理学院武森决策分析技术与方法北京科技大学经济管理学院武森北京科技大学经济管理学院48目录第一章决策科学概述第二章确定型、风险型和不确定型决策第三章模糊决策第四章灰色系统预测与决策第五章可拓决策第六章其他决策分析方法北京科技大学经济管理学院2目录第一章决策科学概述北京科技大学经济管理学院49第四章灰色系统预测与决策4.1

灰色系统概述4.2

灰色因素的关联分析

4.3 灰色系统预测建模原理与方法4.4

灰色预测模型应用实例4.5

灰色局势决策

北京科技大学经济管理学院3第四章灰色系统预测与决策4.北京科技大学经济管理学院504.1

灰色系统概述

一、灰色系统的概念（一）“灰色”的含义 灰色系统理论（theoryofgreysystem）起源于对控制论的研究。灰色系统是我国创立的一门新学科，它的创始人是我国学者邓聚龙教授。这门学科为处理“少数据不确定、信息不完全”的预测、决策问题，给出了一种很好的决策方法。 用“黑”表示信息未知，用“白”表示信息完全明确，用“灰”表示部分信息明确、部分信息不明确。相应地，将信息完全明确的系统称为白色系统；信息未知的系统称为黑色系统；部分信息明确，部分信息不明确的系统称为灰色系统。北京科技大学经济管理学院44.1灰色系统概述一、灰色北京科技大学经济管理学院514.1

灰色系统概述

一、灰色系统的概念（二）信息不完全的表现

系统信息不完全的情况有以下四种：

(1)元素（参数）信息不完全； (2)结构信息不完全； (3)边界信息不完全； (4)运行行为信息不完全。

北京科技大学经济管理学院54.1灰色系统概述一、灰色北京科技大学经济管理学院524.1

灰色系统概述

二、灰色系统理论的特点

4内部性3动态性2联系性1系统性灰色系统理论的特点北京科技大学经济管理学院64.1灰色系统概述二、灰色北京科技大学经济管理学院53第四章灰色系统预测与决策4.1

灰色系统概述4.2

灰色因素的关联分析

4.3 灰色系统预测建模原理与方法4.4

灰色预测模型应用实例4.5

灰色局势决策

北京科技大学经济管理学院7第四章灰色系统预测与决策4.北京科技大学经济管理学院544.2

灰色因素的关联分析

一、关联分析的概念和特点

灰色关联度分析方法是根据因素之间的发展趋势的相似或相异程度，来衡量因素间关联程度的方法。此分析方法对样本量的多少没有要求，计算量小，也不需要有典型的分布规律。

北京科技大学经济管理学院84.2灰色因素的关联分析一北京科技大学经济管理学院554.2

灰色因素的关联分析

二、关联度分析的计算方法（一）原始数据变换 原始数据变换的方法通常有两种：

1、均值化变换 先分别求出每个序列的平均值，然后用各个序列的均值去除相应序列中的每一个数据，得到一组新的序列，于是在新的序列中，没有了量纲，而且新的序列中的每一个数都分布在1左右。

2、初值化变换 把每一组序列中的每一个数分别去除以相应序列中的第一个数，得到一组新的序列，称为初值化数列。初值化数列中没有量纲。 北京科技大学经济管理学院94.2灰色因素的关联分析二北京科技大学经济管理学院564.2

灰色因素的关联分析

二、关联度分析的计算方法（一）原始数据变换 在消除序列的量纲过程中，两种方法都可以，但在对稳定的经济系统做动态序列的关联度分析时，一般情况下用初值化变换，因为经济系统中大多数的动态序列是呈增长趋势的。如果对原始数列只做数据之间的关联度分析，也可以使用均值化变换。

北京科技大学经济管理学院104.2灰色因素的关联分析北京科技大学经济管理学院57二、关联度分析的计算方法（二）计算关联系数

记消除量纲的一个序列为{x0(t)}，另一个序列为{x1(t)}，如果两个序列处在同一时刻k的值分别记为{x0(k)}，{x1(k)}，即：4.2

灰色因素的关联分析

则x0(i)，x1(i)的绝对差值记为：北京科技大学经济管理学院11二、关联度分析的计算方法 记北京科技大学经济管理学院58

其中为i时刻两比较序列的绝对差；为分辨系数，的取值介于0~1之间，一般情况下的可取0.1~0.5，的作用是消除值过大从而使计算的关联系数ri值失真的影响。则关联系数(correlativecoefficent)的计算公式为：二、关联度分析的计算方法（二）计算关联系数

若将各个时刻的最小差值记为，最大差值记为，即4.2

灰色因素的关联分析

北京科技大学经济管理学院12 其中为i时刻两北京科技大学经济管理学院59 式中N为两个序列的数据个数，ri为两个序列各个时刻的关联系数。二、关联度分析的计算方法（三）求关联度

两个时间序列的关联度借助于几何图形比较，如果两个几何图形在任一时刻点的绝对差值都相等，则两个序列的关联度一定等于1。因此，两序列的关联度是两个序列各个时刻关联系数的算术平均数，用R表示，则4.2

灰色因素的关联分析

北京科技大学经济管理学院13 式中N为两个序列的数据个数，r北京科技大学经济管理学院60二、关联度分析的计算方法（四）关联度的性质 关联度具有以下三种性质： (1)自反性 设X0(t)为一时间序列，则该序列自身的关联度R00=1. (2)对称性 设两个序列X1(t)，X2(t)，则X1(t)，X2(t)两个序列的关联度R12和X2(t)，X1(t)的关联度R21相等，即R12=R21. (3)传递性 设有三个序列X0(t)，X1(t)，X2(t)，如果R01≥R02，R02≥R12，则R01≥R12.4.2

灰色因素的关联分析

北京科技大学经济管理学院14二、关联度分析的计算方法4.2北京科技大学经济管理学院61二、关联度分析的计算方法（五）关联度计算方法举例 以下举例说明关联度的计算步骤与方法。

设有四组时间序列： {x1(0)}={39.5，40.3，42.1，44.9}, {x2(0)}={46.7，47.3，48.2，47.5}, {x3(0)}={5.4，5.8，6.1，6.3}, {x4(0)}={6.1，6.0，5.8，6.4}.

(1)以{x1(0)}为母序列，其余数列为子序列。4.2

灰色因素的关联分析

北京科技大学经济管理学院15二、关联度分析的计算方法4.2北京科技大学经济管理学院62{x1(0)}={39.5，40.3，42.1，44.9},{x2(0)}={46.7，47.3，48.2，47.5},{x3(0)}={5.4，5.8，6.1，6.3},{x4(0)}={6.1，6.0，5.8，6.4}.二、关联度分析的计算方法（五）关联度计算方法举例

(2)将原始数据作初值化处理4.2

灰色因素的关联分析

北京科技大学经济管理学院16{x1(0)}={39.5，40北京科技大学经济管理学院63二、关联度分析的计算方法（五）关联度计算方法举例

(3)计算各子序列同母序列在同一 时刻的绝对差，计算公式为：4.2

灰色因素的关联分析

计算结果如下：t123400.010.040.1200.050.060.0300.040.120.09从表中找出最小值和最大值：北京科技大学经济管理学院17二、关联度分析的计算方法4.2北京科技大学经济管理学院64计算关联系数的结果如下：二、关联度分析的计算方法（五）关联度计算方法举例

(4)计算关联系数（取=0.5）:4.2

灰色因素的关联分析

t123400.010.040.1200.050.060.0300.040.120.09t123410.860.600.3310.550.500.6710.600.330.40北京科技大学经济管理学院18计算关联系数的结果如下：二、关联北京科技大学经济管理学院65则对各序列{xi(0)}之间的关联度有二、关联度分析的计算方法（五）关联度计算方法举例

(5)计算关联度：4.2

灰色因素的关联分析

t123410.860.600.3310.550.500.6710.600.330.40R12>R13>R14.北京科技大学经济管理学院19则对各序列{xi(0)}之间的关北京科技大学经济管理学院66第四章灰色系统预测与决策4.1

灰色系统概述4.2

灰色因素的关联分析

4.3 灰色系统预测建模原理与方法4.4

灰色预测模型应用实例4.5

灰色局势决策

北京科技大学经济管理学院20第四章灰色系统预测与决策4北京科技大学经济管理学院67一、灰色预测的概念

灰色预测（greyforecast）是通过原始数据的处理和灰色动态模型（greydynamicmodel）的建立，发现、掌握系统发展规律，对系统的未来状态做出科学的定量预测。4.3

灰色系统预测建模原理与方法

北京科技大学经济管理学院21一、灰色预测的概念4.3灰北京科技大学经济管理学院68二、灰色系统预测建模原理与步骤（一）建模原理 设原始数列为X(0)={x(0)(1),x(0)(2)，…，x(0)(n)}。 将原始数列经过一次累加生成，可获得新数据列：

X(1)={x(1)(1),x(1)(2)，…，x(1)(n)}， 其中4.3

灰色系统预测建模原理与方法

对于非负的数据列，累加的次数越多，随机性弱化越明显，数据列呈现的规律性越强。这种规律如果能用一个函数表示出来，这种函数称为生成函数。北京科技大学经济管理学院22二、灰色系统预测建模原理与步骤4北京科技大学经济管理学院69二、灰色系统预测建模原理与步骤（二）建立灰色模型步骤

灰色模型（greymodel）记为GM。灰色系统预测模型的建立，经常用微分拟合法。GM(m,n)表示m阶n个变量的微分方程。

4.3

灰色系统预测建模原理与方法

北京科技大学经济管理学院23二、灰色系统预测建模原理与步骤4北京科技大学经济管理学院70二、灰色系统预测建模原理与步骤（二）建立灰色模型步骤

下面以GM(1,1)为例说明建模步骤。 GM(1,1)表示一阶一个变量的微分方程预测模型，它是灰色预测的基础，主要用于时间序列预测，其建模步骤为：

(1)GM(1,1)的建模过程：

第一步，设原始数列为

4.3

灰色系统预测建模原理与方法

X(0)={x(0)(1),x(0)(2)，…，x(0)(n)}北京科技大学经济管理学院24二、灰色系统预测建模原理与步骤4北京科技大学经济管理学院71二、灰色系统预测建模原理与步骤（二）建模灰色模型步骤

(1)GM(1,1)的建模过程：

第二步，对原始数列做一次累加生成得累加生成数列

4.3

灰色系统预测建模原理与方法

X(1)={x(1)(1),x(1)(2)，…，x(1)(n)}，其中对累加生成数列建立预测模型的白化形式方程：式中a，u为待定系数。（1）（2）北京科技大学经济管理学院25二、灰色系统预测建模原理与步骤4北京科技大学经济管理学院72二、灰色系统预测建模原理与步骤（二）建模灰色模型步骤

(1)GM(1,1)的建模过程：

第三步，利用最小二乘法求出参数a，u的值：

4.3

灰色系统预测建模原理与方法

其中累加矩阵B（由累加生成数列构成）为原始数据列矩阵为（3）（4）（5）北京科技大学经济管理学院26二、灰色系统预测建模原理与步骤4北京科技大学经济管理学院73二、灰色系统预测建模原理与步骤（二）建模灰色模型步骤

(1)GM(1,1)的建模过程：

第四步，将求得的参数a，u代入（2）式并求解此微分方程，得GM(1,1)预测模型为

4.3

灰色系统预测建模原理与方法

第五步，对（6）式表示的离散时间响应函数中的序变量k求导，得还原模型为（7）（6）北京科技大学经济管理学院27二、灰色系统预测建模原理与步骤4北京科技大学经济管理学院74二、灰色系统预测建模原理与步骤（二）建模灰色模型步骤

(2)模型精度检验：

绝对误差与相对误差检验，公式如下：

4.3

灰色系统预测建模原理与方法

式中q(0)(t)表示残差；x(0)(t)表示t时刻的实际原始数据值； 表示t时刻的预测数据值；e(t)表示相对误差。（9）（8）北京科技大学经济管理学院28二、灰色系统预测建模原理与步骤4北京科技大学经济管理学院75第四章灰色系统预测与决策4.1

灰色系统概述4.2

灰色因素的关联分析

4.3 灰色系统预测建模原理与方法4.4

灰色预测模型应用实例4.5

灰色局势决策

北京科技大学经济管理学院29第四章灰色系统预测与决策4北京科技大学经济管理学院76例已知某市工业总产值数据如下表所示，试建立该市工业总产值的GM(1,1)模型并进行预测。4.4

灰色预测模型应用实例

时间2001年2002年2003年2004年工业总产值（亿元）60.379.9495.61111.5上表内容可写成：x(0)(t)={60.3,79.94,95.61,111.5}.一次累加生成数列：

x(1)(k)={60.3,140.24,235.85,347.35}.(2)建立数据矩阵B和Yn：北京科技大学经济管理学院30例已知某市工业总产值数据如下北京科技大学经济管理学院77例(续)

(3)利用最小二乘法有4.4

灰色预测模型应用实例

其中又于是得到a=-0.1530041，u=65.71795.所以北京科技大学经济管理学院31例(续)4.4灰色预测北京科技大学经济管理学院78例(续)

(4)离散时间响应函数为：4.4

灰色预测模型应用实例

其还原模型为北京科技大学经济管理学院32例(续)4.4灰色预测北京科技大学经济管理学院79例(续)

(5)模型检验见下表（绝对误差与相对误差检验）：4.4

灰色预测模型应用实例

k序号计算值实际累加值误差(%)k=1140.54140.24-0.21k=2235.65235.850.08k=3346.62347.350.21还原模型的检验见下表k序号计算值原始值残差误差(%)k=181.2579.94-1.31-1.6k=296.5795.61-0.96-1.0k=3112.41111.5-0.91-0.82 由以上检验可知，计算值与原始值误差较小，预测模型可以使用。北京科技大学经济管理学院33例(续)4.4灰色预测北京科技大学经济管理学院80例(续)

(6)灰色模型预测：4.4

灰色预测模型应用实例

通过得出的…………计算2005—2017年该市工业总产值分别为：2005年亿元=138.21亿元；2006年亿元=161.06亿元；2007年亿元=187.69亿元；2008年亿元=218.72亿元；2009年亿元=254.88亿元；北京科技大学经济管理学院34例(续)4.4灰色预测北京科技大学经济管理学院81第四章灰色系统预测与决策4.1

灰色系统概述4.2

灰色因素的关联分析

4.3 灰色系统预测建模原理与方法4.4

灰色预测模型应用实例4.5

灰色局势决策

北京科技大学经济管理学院35第四章灰色系统预测与决策4北京科技大学经济管理学院82一、决策元

发生了某事件ai，用某对策bj去解决，就构成了一个局势sij(ai,bj)，称为二元组合。它对某一局势有某一特定效果。为此，记二元组合（事件,对策）与效果测度的整体为

4.5

灰色局势决策

((事件,对策),效果测度)称之为决策元。对于事件ai与对策bj的决策元记为式中rij即局势(ai,bj)的效果测度。

效果测度(事件,对策)def北