连续时间信号分析课件

《测试信号分析与处理》课程

第二章连续时间信号分析

第一节周期信号分析第二节非周期信号的频域分析第三节周期信号的傅里叶变换第四节采样信号分析《测试信号分析与处理》课程第二章连续时间信号分析第第一节周期信号分析信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的叠加，并从信号分量的组成情况去考察信号的特性。只要知道周期信号在一个周期内的特性，也就可以了解到它所具有的全部特性。所以，对周期信号的研究往往是在一个周期内进行。第一节周期信号分析信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的第一节周期信号分析如矢量的分解，一个信号也可以对于某一基函数集找出此信号在各基函数中的分量；一个基函数集即可构成一个信号空间，常用的则是正交函数集。从数学上可以证明，任何一个连续函数都可以在定义域里用某个正交函数集来表示。若此函数集不仅是正交而且完备，则用他来表示信号时将没有误差。

第一节周期信号分析如矢量的分解，一个信号也可以对于某一基函第一节周期信号分析两个函数是否正交，必须指明在什么区间内三角函数集和指数函数集是应用最广的完备正交集。第一节周期信号分析第一节周期信号分析一、三角函数形式的傅里叶级数

用完备正交函数集对周期信号分解，即可得到周期信号的傅里叶展开式。进行傅立叶展开的周期函数f(t)必须满足狄里赫利（Dirichlet）条件，即在周期内，函数f(t)1）若有间断点存在，则间断点数目必须有限；2）极大值和极小值数目应该是有限个；3）应是绝对可积的，即在工程实践中所遇到的周期信号一般都满足狄里赫利条件。第一节周期信号分析一、三角函数形式的傅里叶级数第一节周期信号分析周期信号f(t)的三角级数形式的傅立叶展开式其中，第一节周期信号分析周期信号f(t)的三角级数形式的傅立叶展将同频率项合为一项，即

第一节周期信号分析于是将同频率项合为一项，即第一节周期信号分析于是第一节周期信号分析二、指数函数形式的傅里叶级数在内可以用指数函数集来表示周期信号f(t)。式中

第一节周期信号分析二、指数函数形式的傅里叶级数第一节周期信号分析第一节周期信号分析第一节周期信号分析例周期对称方波如图所示。它在一个周期内的表达式为第一节周期信号分析例周期对称方波如图所示。它在一个周期内第一节周期信号分析周期对称方波的频谱图第一节周期信号分析周期对称方波的频谱图第一节周期信号分析吉布斯现象(Gibbs)第一节周期信号分析吉布斯现象(Gibbs)第一节周期信号分析三、周期信号的功率谱信号能量能量有限信号：平均功率：功率有限信号：信号f(t)在时间（-∞,+∞）上的平均功率

第一节周期信号分析三、周期信号的功率谱第一节周期信号分析周期信号f(t)的平均功率与傅里叶系数有右示关系这是周期信号的帕斯瓦尔（Parseval）公式。它说明周期信号的平均功率等于直流、基波和各次谐波分量有效值的平方和。

与的关系图，称为周期信号的功率谱,表示信号各次谐波分量的功率分布规律。

第一节周期信号分析周期信号f(t)的平均功率与傅里叶系数有第一节周期信号分析四、周期信号频谱的基本性质

线性：如果一个周期信号可以分解为几个简单信号的线性叠加，则原周期信号的频谱为几个简单信号频谱的线性叠加。

延时性：一周期信号，若波形不变，仅延迟了时间，那么，频谱中各次谐波分量的幅度不变，仅相位平移了一个值。这个相移值与延迟时间和谐波次数n成正比。频移特性：乘以后频谱分量的振幅和相位保持不变，但频率都增加了。也就是频谱图在频率轴上平行移动了距离

第一节周期信号分析四、周期信号频谱的基本性质第一节周期信号分析例周期矩形脉冲信号，如图所示。他在区间内的数学表达式为

第一节周期信号分析例周期矩形脉冲信号，如图所示。他在区间第二节非周期信号的频域分析一、非周期信号的傅里叶变换对于周期为的周期信号，可以利用傅里叶级数对他进行频域分析，得到它的离散频谱。对于非周期信号却不能直接利用傅里叶级数来对它进行频域分析，但是，可以将非周期信号看作是周期为无穷大的信号。若仍用傅立叶级数表示，则

式中第二节非周期信号的频域分析一、非周期信号的傅里叶变换第二节非周期信号的频域分析由于信号周期趋于无穷，前述各式有如下变化1）趋于零，谱线也将由离散频谱变为连续频谱。其离散增量将变为连续增量，即2）谱线长度趋于零，与相乘，可表示为第二节非周期信号的频域分析由于信号周期趋于无穷，前述各式有第二节非周期信号的频域分析因为即它具有单位频率的振幅的量纲，因此称原函数的频谱密度函数，简称频谱函数。第二节非周期信号的频域分析因为第二节非周期信号的频域分析非周期信号的傅立叶积分表达式，它与周期信号的傅立叶级数表达式相当。第二节非周期信号的频域分析非周期信号的傅立叶积分表达第二节非周期信号的频域分析频谱函数原函数

第二节非周期信号的频域分析频谱函数第二节非周期信号的频域分析傅立叶正变换傅立叶反变换

第二节非周期信号的频域分析第二节非周期信号的频域分析非周期信号进行傅里叶变换也与周期信号展成傅里叶级数一样，需要满足狄里赫利条件，即

它表示信号在全部时间内具有有限能量。在一般情况下所遇到的实际信号总是能满足狄里赫利条件的。第二节非周期信号的频域分析非周期信号进行傅里叶变换也与周期第二节非周期信号的频域分析三、傅里叶变换的性质（一）线性特性若则若干信号加权和的频谱等于各个信号频谱之加权和，在时域中的线性叠加对应着频域中的线性叠加。

第二节非周期信号的频域分析三、傅里叶变换的性质第二节非周期信号的频域分析

（二）对称特性若有若的频谱为。那么，形状为的信号波形，其频谱形状同第二节非周期信号的频域分析第二节非周期信号的频域分析

（三）延时特性若有信号在时域中延迟时间，该信号各频谱分量的幅值大小不变，但各频谱分量的相位却附加了一个与频率分量成线性关系的相移。这就说明，信号在时域中的延时和在频域中的移相相对应。第二节非周期信号的频域分析（三）延时特性第二节非周期信号的频域分析（四）频移特性若有（五）时间尺度变化若有第二节非周期信号的频域分析（四）频移特性第二节非周期信号的频域分析（六）奇偶虚实性当为实函数时（七）微分特性若则第二节非周期信号的频域分析（六）奇偶虚实性第二节非周期信号的频域分析（八）积分特性若，且满足在处是有界的，或满足，则否则（九）时域卷积定理第二节非周期信号的频域分析（八）积分特性第二节非周期信号的频域分析（十）频域卷积定理（十一）相关定理第二节非周期信号的频域分析（十）频域卷积定理第二节非周期信号的频域分析四、典型非周期函数的傅里叶变换单位冲激函数的傅里叶变换

单边指数函数的傅里叶变换

式中，

第二节非周期信号的频域分析四、典型非周期函数的傅里叶变换第二节非周期信号的频域分析单位阶跃函数的傅里叶变换

由于时，u(t)不符合绝对可积条件，即不存在，不能直接进行傅里叶变换。为了解决这问题，可以由单边指数函数的极限状态来逼近函数u(t)。

第二节非周期信号的频域分析单位阶跃函数的傅里叶变换第二节非周期信号的频域分析

第二节非周期信号的频域分析第二节非周期信号的频域分析复指数函数的傅里叶变换

该函数不符合绝对可积条件，可借助于冲激函数的傅里叶变换对。

第二节非周期信号的频域分析复指数函数的傅里叶变换第二节非周期信号的频域分析

第二节非周期信号的频域分析第三节周期信号的傅立叶变换周期信号是不满足绝对可积条件的，为了解决这个问题，我们可同样借助于复指数函数的傅里叶变换对。

傅立叶级数展开式式中，两边傅立叶变换

第三节周期信号的傅立叶变换周期信号是不满足绝对可积条件的，第三节周期信号的傅立叶变换周期信号傅里叶变换所得到的是频谱密度函数，在这里它是冲激函数，它表示在无穷小频带范围内（即谐频点）取得了无限大的频谱值，而不像傅里叶级数的相应系数所表示的是谐频分量的幅值。例2-5

求周期为的周期单位冲激函数的傅里叶级数和傅里叶变换。

第三节周期信号的傅立叶变换第三节周期信号的傅立叶变换解：其傅立叶级数展开式为

式中的傅里叶变换为第三节周期信号的傅立叶变换解：第三节周期信号的傅立叶变换讨论周期为的矩形脉冲信号与它一个周期内的信号的傅里叶变换间的关系。

周期信号的傅立叶级数表达式为式中

单脉信号的傅立叶变换表达式为当时第三节周期信号的傅立叶变换讨论周期为的矩形脉冲信号第三节周期信号的傅立叶变换

第三节周期信号的傅立叶变换第四节采样信号分析连续时间信号必须经过采样和模数转换，变成数字信号后才能用计算机处理。所谓采样信号就是按一定时间间隔对一连续时间信号进行采样所得到的信号。采样信号是一种时间离散信号，它表示只在时间轴上的一些离散点上才有信号值。采样信号也是一种序列，以表示，其定义为第四节采样信号分析第四节采样信号分析

一、连续时间信号的采样过程

第四节采样信号分析一、连续时间信号的采样过程第四节采样信号分析采样器可理解为一个开关，则采样器的输出将是一串重复周期为T，宽度为的脉冲，脉冲的幅度是时间内连续信号的幅值代表输入的连续时间信号，代表采样输出信号，是周期为，宽度为，幅度为1的矩形脉冲，则第四节采样信号分析第四节采样信号分析

第四节采样信号分析第四节采样信号分析

的傅立叶级数形式其中，则两端进行傅里叶变换，得

第四节采样信号分析的傅立叶级数形式第四节采样信号分析

第四节采样信号分析第四节采样信号分析若采样脉冲的宽度趋于零，采样信号为一系列冲激函数，即

将这样的采样信号称为理想采样信号。的傅立叶级数为

式中第四节采样信号分析若采样脉冲的宽度趋于零，采样信号为一系第四节采样信号分析即

冲激序列具有梳状谱的结构，它的各次谐波都具有相同的幅度。因此，理想采样信号的傅里叶变换第四节采样信号分析即第四节采样信号分析连续时间信号经理想采样后，其理想采样信号的频谱的幅值将是连续时间信号频谱的倍，并从开始，沿频率轴正、负方向，每隔一个采样频率重复一次。

第四节采样信号分析连续时间信号经理想采样后，其理想采样信号第四节采样信号分析

第四节采样信号分析第四节采样信号分析二、时域采样定理（香农采样定理）

“频率混迭”现象周期延拓的频谱在各频率分量处有任何的重迭部分，频谱叠加后，则在带限内的频谱将与原有的频谱不同。香农采样定理

要使采样信号的频谱不出现频率混迭就必须要求：①连续时间信号必须是带限信号；②采样器的采样频率必须满足

实际工程应用中，采样频率一般大于连续时间信号中最高频率的2倍，可选4倍～10倍。第四节采样信号分析二、时域采样定理（香农采样定理）第四节采样信号分析三、采样信号的恢复若连续时间信号的频谱函数为，当采样频率高于连续时间信号的最高频率的两倍时，它经理想采样后的频谱在范围内表示为

这个要求可以将采样信号通过一个理想低通滤波器来实现。第四节采样信号分析三、采样信号的恢复第四节采样信号分析

低通滤波器特性

采样信号频谱经过该理想滤波器后，就可以得到原连续时间信号的频谱。再由恢复的连续时间信号

第四节采样信号分析第四节采样信号分析四、采样信号恢复的内插公式

第四节采样信号分析四、采样信号恢复的内插公式第四节采样信号分析采样内插公式特点：在采样点上，其函数值为1，而在其他采样点上函数值为零。用内插公式将采样信号恢复为连续时间信号虽然准确，但是却难以实现，因为在各点采样间的连续信号的值要靠无穷项求和得到。第四节采样信号分析采样内插公式第四节采样信号分析实际上，常用两种近似的内插方法来恢复原来的连续时间信号，这就是“零阶保持法”和“一阶保持法”。第四节采样信号分析实际上，常用两种近似的内插方法来恢复原来《测试信号分析与处理》课程

第二章连续时间信号分析

第一节周期信号分析第二节非周期信号的频域分析第三节周期信号的傅里叶变换第四节采样信号分析《测试信号分析与处理》课程第二章连续时间信号分析第第一节周期信号分析信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的叠加，并从信号分量的组成情况去考察信号的特性。只要知道周期信号在一个周期内的特性，也就可以了解到它所具有的全部特性。所以，对周期信号的研究往往是在一个周期内进行。第一节周期信号分析信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的第一节周期信号分析如矢量的分解，一个信号也可以对于某一基函数集找出此信号在各基函数中的分量；一个基函数集即可构成一个信号空间，常用的则是正交函数集。从数学上可以证明，任何一个连续函数都可以在定义域里用某个正交函数集来表示。若此函数集不仅是正交而且完备，则用他来表示信号时将没有误差。

第一节周期信号分析如矢量的分解，一个信号也可以对于某一基函第一节周期信号分析两个函数是否正交，必须指明在什么区间内三角函数集和指数函数集是应用最广的完备正交集。第一节周期信号分析第一节周期信号分析一、三角函数形式的傅里叶级数

用完备正交函数集对周期信号分解，即可得到周期信号的傅里叶展开式。进行傅立叶展开的周期函数f(t)必须满足狄里赫利（Dirichlet）条件，即在周期内，函数f(t)1）若有间断点存在，则间断点数目必须有限；2）极大值和极小值数目应该是有限个；3）应是绝对可积的，即在工程实践中所遇到的周期信号一般都满足狄里赫利条件。第一节周期信号分析一、三角函数形式的傅里叶级数第一节周期信号分析周期信号f(t)的三角级数形式的傅立叶展开式其中，第一节周期信号分析周期信号f(t)的三角级数形式的傅立叶展将同频率项合为一项，即

第一节周期信号分析于是将同频率项合为一项，即第一节周期信号分析于是第一节周期信号分析二、指数函数形式的傅里叶级数在内可以用指数函数集来表示周期信号f(t)。式中

第一节周期信号分析二、指数函数形式的傅里叶级数第一节周期信号分析第一节周期信号分析第一节周期信号分析例周期对称方波如图所示。它在一个周期内的表达式为第一节周期信号分析例周期对称方波如图所示。它在一个周期内第一节周期信号分析周期对称方波的频谱图第一节周期信号分析周期对称方波的频谱图第一节周期信号分析吉布斯现象(Gibbs)第一节周期信号分析吉布斯现象(Gibbs)第一节周期信号分析三、周期信号的功率谱信号能量能量有限信号：平均功率：功率有限信号：信号f(t)在时间（-∞,+∞）上的平均功率

第一节周期信号分析三、周期信号的功率谱第一节周期信号分析周期信号f(t)的平均功率与傅里叶系数有右示关系这是周期信号的帕斯瓦尔（Parseval）公式。它说明周期信号的平均功率等于直流、基波和各次谐波分量有效值的平方和。

与的关系图，称为周期信号的功率谱,表示信号各次谐波分量的功率分布规律。

第一节周期信号分析周期信号f(t)的平均功率与傅里叶系数有第一节周期信号分析四、周期信号频谱的基本性质

线性：如果一个周期信号可以分解为几个简单信号的线性叠加，则原周期信号的频谱为几个简单信号频谱的线性叠加。

延时性：一周期信号，若波形不变，仅延迟了时间，那么，频谱中各次谐波分量的幅度不变，仅相位平移了一个值。这个相移值与延迟时间和谐波次数n成正比。频移特性：乘以后频谱分量的振幅和相位保持不变，但频率都增加了。也就是频谱图在频率轴上平行移动了距离

第一节周期信号分析四、周期信号频谱的基本性质第一节周期信号分析例周期矩形脉冲信号，如图所示。他在区间内的数学表达式为

第一节周期信号分析例周期矩形脉冲信号，如图所示。他在区间第二节非周期信号的频域分析一、非周期信号的傅里叶变换对于周期为的周期信号，可以利用傅里叶级数对他进行频域分析，得到它的离散频谱。对于非周期信号却不能直接利用傅里叶级数来对它进行频域分析，但是，可以将非周期信号看作是周期为无穷大的信号。若仍用傅立叶级数表示，则

式中第二节非周期信号的频域分析一、非周期信号的傅里叶变换第二节非周期信号的频域分析由于信号周期趋于无穷，前述各式有如下变化1）趋于零，谱线也将由离散频谱变为连续频谱。其离散增量将变为连续增量，即2）谱线长度趋于零，与相乘，可表示为第二节非周期信号的频域分析由于信号周期趋于无穷，前述各式有第二节非周期信号的频域分析因为即它具有单位频率的振幅的量纲，因此称原函数的频谱密度函数，简称频谱函数。第二节非周期信号的频域分析因为第二节非周期信号的频域分析非周期信号的傅立叶积分表达式，它与周期信号的傅立叶级数表达式相当。第二节非周期信号的频域分析非周期信号的傅立叶积分表达第二节非周期信号的频域分析频谱函数原函数

第二节非周期信号的频域分析频谱函数第二节非周期信号的频域分析傅立叶正变换傅立叶反变换

第二节非周期信号的频域分析第二节非周期信号的频域分析非周期信号进行傅里叶变换也与周期信号展成傅里叶级数一样，需要满足狄里赫利条件，即

它表示信号在全部时间内具有有限能量。在一般情况下所遇到的实际信号总是能满足狄里赫利条件的。第二节非周期信号的频域分析非周期信号进行傅里叶变换也与周期第二节非周期信号的频域分析三、傅里叶变换的性质（一）线性特性若则若干信号加权和的频谱等于各个信号频谱之加权和，在时域中的线性叠加对应着频域中的线性叠加。

第二节非周期信号的频域分析三、傅里叶变换的性质第二节非周期信号的频域分析

（二）对称特性若有若的频谱为。那么，形状为的信号波形，其频谱形状同第二节非周期信号的频域分析第二节非周期信号的频域分析

（三）延时特性若有信号在时域中延迟时间，该信号各频谱分量的幅值大小不变，但各频谱分量的相位却附加了一个与频率分量成线性关系的相移。这就说明，信号在时域中的延时和在频域中的移相相对应。第二节非周期信号的频域分析（三）延时特性第二节非周期信号的频域分析（四）频移特性若有（五）时间尺度变化若有第二节非周期信号的频域分析（四）频移特性第二节非周期信号的频域分析（六）奇偶虚实性当为实函数时（七）微分特性若则第二节非周期信号的频域分析（六）奇偶虚实性第二节非周期信号的频域分析（八）积分特性若，且满足在处是有界的，或满足，则否则（九）时域卷积定理第二节非周期信号的频域分析（八）积分特性第二节非周期信号的频域分析（十）频域卷积定理（十一）相关定理第二节非周期信号的频域分析（十）频域卷积定理第二节非周期信号的频域分析四、典型非周期函数的傅里叶变换单位冲激函数的傅里叶变换

单边指数函数的傅里叶变换

式中，

第二节非周期信号的频域分析四、典型非周期函数的傅里叶变换第二节非周期信号的频域分析单位阶跃函数的傅里叶变换

由于时，u(t)不符合绝对可积条件，即不存在，不能直接进行傅里叶变换。为了解决这问题，可以由单边指数函数的极限状态来逼近函数u(t)。

第二节非周期信号的频域分析单位阶跃函数的傅里叶变换第二节非周期信号的频域分析

第二节非周期信号的频域分析第二节非周期信号的频域分析复指数函数的傅里叶变换

该函数不符合绝对可积条件，可借助于冲激函数的傅里叶变换对。

第二节非周期信号的频域分析复指数函数的傅里叶变换第二节非周期信号的频域分析

第二节非周期信号的频域分析第三节周期信号的傅立叶变换周期信号是不满足绝对可积条件的，为了解决这个问题，我们可同样借助于复指数函数的傅里叶变换对。

傅立叶级数展开式式中，两边傅立叶变换

第三节周期信号的傅立叶变换周期信号是不满足绝对可积条件的，第三节周期信号的傅立叶变换周期信号傅里叶变换所得到的是频谱密度函数，在这里它是冲激函数，它表示在无穷小频带范围内（即谐频点）取得了无限大的频谱值，而不像傅里叶级数的相应系数所表示的是谐频分量的幅值。例2-5

求周期为的周期单位冲激函数的傅里叶级数和傅里叶变换。

第三节周期信号的傅立叶变换第三节周期信号的傅立叶变换解：其傅立叶级数展开式为

式中的傅里叶变换为第三节周期信号的傅立叶变换解：第三节周期信号的傅立叶变换讨论周期为的矩形脉冲信号与它一个周期内的信号的傅里叶变换间的关系。

周期信号的傅立叶级数表达式为式中

单脉信号的傅立叶变换表达式为当时第三节周期信号的傅立叶变换讨论周期为的矩形脉冲信号第三节周期信号的傅立叶变换

第三节周期信号的傅立叶变换第四节采样信号分析连续时间信号必须经过采样和模数转换，变成数字信号后才能用计算机处理。所谓采样信号就是按一定时间间隔对一连续时间信号进行采样所得到的信号。采样信号是一种时间离散信号，它表示只在时间轴上的一些离散点上才有信号值。采样信号也是一种序列，以表示，其定义为第四节采样信号分析第四节采样信号分析

一、连续时间信号的采样过程

第四节采样信号分析一、连续时间信号的采样过程第四节采样信号分析采样器可理解为一个开关，则采样器的输出将是一串重复周期为T，宽度为的脉冲，脉冲的幅度是时间内连续信号的幅值代表输入的连续时间信号，代表采样输出信号，是周期为，宽度为，幅度为1的矩形脉冲，则第四节采样信号分析第四节采样信号分析

第四节采样信号分析第四节采样信号分析

的傅立叶级数形式其中，则两端进行傅里叶变换，得

第四节采样信号分析的傅立叶级数形式第