公开课、竞赛课课件-等边三角形

等边三角形等边三角形教学目标探索等边三角形的性质和判定．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．探索含30°角的直角三角形的性质．理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计算．教学目标探索等边三角形的性质和判定．能运用等边三角形的性质和教学重点探索等边三角形的性质与判定．探索并理解含30°角的直角三角形的性质．教学难点等边三角形判定定理的发现与证明及其应用．教学重点探索等边三角形的性质与判定．探索并理解含30°角的直知识回顾三线合一等角对等边图形判定性质等边对等角知识回顾三线合一等角对等边图形判定性质等边对等角知识回顾满足什么条件的三角形是等边三角形？三边都相等的三角形是等边三角形等边三角形也叫

正三角形知识回顾满足什么条件的三角形是等边三角形？三边都相等的三角形探究等腰三角形有哪些特殊的性质呢？

从边的角度：从角的角度：从对称的角度：两腰相等等边对等角三线合一将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？

探究等腰三角形有哪些特殊的性质呢？

从边的角度：从角的角度：猜想结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？图形轴对称图形边角两边相等两底角相等底边上的三线合一三边相等三角相等都等于60°三边的三线合一猜想结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？证明等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°已知：△ABC是等边三角形．求证：∠A=∠B=∠C=60°．证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，BC=AB．∴∠A=∠B，∠A=∠C．∴∠A=∠B=∠C．∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=60°．∴∠A=∠B=∠C=60°．证明等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°已结论等边三角形的性质1等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°怎么写过程呢？

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°．

结论等边三角形的性质1等边三角形的三个内角都相等，并且每一猜想等边三角形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．等边三角形是轴对称图形等边三角形有三条对称轴每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线所在的所有直线都是它的对称轴等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都分别重合．猜想等边三角形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．等边证明等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都分别重合．∵AB=AC，BD=DC∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC∵BA=BC，EA=EC∴∠ABE=∠CBE，BE⊥AC∵CA=CB，AF=BF∴∠ACF=∠BCF，CF⊥AB证明等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都结论等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都分别重合．简而言之，等边三角形

每一边上的三线都合一结论等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都归纳等边三角形有都有哪些性质呢？三角相等都等于60°三边上都有三线合一边角对称性三边相等归纳等边三角形有都有哪些性质呢？三角相等都等于60°三边上练习如图，等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，AD=AE，则∠EDC的度数是________．答案：15°．

练习如图，等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，A练习如图，△ABC是等边三角形，AD⊥AB于A，DC⊥BC于C．求证：△DAC是等腰三角形．提示：证明∠DAC=∠DCA．

练习如图，△ABC是等边三角形，AD⊥AB于A，DC⊥BC练习如图，已知，△ABC是等边三角形，BD是中线，BD=6，延长BC到E．使CE=CD，求DE长．提示：证明BD=DE．练习如图，已知，△ABC是等边三角形，BD是中线，BD=6思考你知道怎么判定一个三角形是等边三角形吗？可以利用定义，证明它的三边相等除此之外，还有没有其他办法呢？证明它三角相等行不行呢？猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形思考你知道怎么判定一个三角形是等边三角形吗？可以利用定义，证证明三个角都相等的三角形是等边三角形已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠A=∠B=∠C，∴BC=AC=AB（等角对等边），∴△ABC是等边三角形．证明三个角都相等的三角形是等边三角形已知：△ABC中，∠A思考三边相等或三角相等都能直接判定一个三角形是等边三角形除此之外还有没有其他判定方法呢？我们知道，等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形加个什么条件，能变成等边三角形呢？有一个角是60°？思考三边相等或三角相等都能直接判定一个三角形是等边三角形除此猜想有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形这个60°角的位置有哪几种情况呢？60°角是等腰三角形的顶角60°角是等腰三角形的底角猜想有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形这个60°角的位证明先证60°角是等腰三角形的顶角的情况已知：△ABC，AB=AC，∠A=60°．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠A=60°，∴∠B+∠C=120°．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形．证明先证60°角是等腰三角形的顶角的情况已知：△ABC，AB证明再证60°角是等腰三角形的底角的情况已知：△ABC，AB=AC，∠B=60°．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B=60°∴∠B=∠C=60°，∴∠A=60°，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形．证明再证60°角是等腰三角形的底角的情况已知：△ABC，AB归纳要判定一个三角形是等边三角形有哪几种方法？方法二方法三有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形三角相等的三角形是等边三角形三边相等的三角形是等边三角形方法一归纳要判定一个三角形是等边三角形有哪几种方法？方法二方法三有例题如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等边三角形．想一想，还有其他证法吗？例题如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，练习如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC的延长线于点D，E．求证：△ADE是等边三角形．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等边三角形．练习如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，练习如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC的方向延长线于点D，E．求证：△ADE是等边三角形．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等边三角形．练习如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，练习已知：D，E分别是等边△ABC中AB，AC边上的点，且BD=CE．求证：△ADE是等边三角形.提示：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．练习已知：D，E分别是等边△ABC中AB，AC边上的练习已知△ABC中，∠A=60°,（

）

请你在括号内补充一个条件，使△ABC能成为等边三角形．答案：∠B=60°或∠C=60°

或AB=BC或AC=BC．练习已知△ABC中，∠A=60°,（

）练习已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为_______．答案：9cm．练习已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△A练习△ABC是等腰三角形，周长为15cm，且∠A=60°，则BC=_______．答案：5cm．练习△ABC是等腰三角形，周长为15cm，且∠A=60°，练习如图，D、E、F分别是等边三角形ABC三边上三点，且AD=BE=CF．试问：△DEF是什么三角形？提示：证明△ADF≌△BED≌△CFE．练习如图，D、E、F分别是等边三角形ABC三边上三点，且A练习１．等边三角形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．练习１．等边三角形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．练习2．如图，等边三角形△ABC中，AD是BC边上的高，∠BDE＝∠CDF＝60°，图中与BD相等的线段有哪些？练习2．如图，等边三角形△ABC中，AD是BC边上的高，探究将两个含有30°的三角尺摆放在一起你能借助这个图形，找到Rt△ABC

的直角边BC

与斜边AB

之间的数量关系吗?你能用学过的方法证明吗?探究将两个含有30°的三角尺摆放在一起你能借助这个图形，找证明如图，已知△ABC≌△ADC，∠ACB=∠ACD=90°，∠BAC=∠DAC=30°．求证：证明：∵△ABC≌△ADC，∴AB＝AD，BC=CD，又∵∠BAC=∠DAC=30°∴∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形．∴BD=AB，∴BC＝DC＝还有别的证法吗？证明如图，已知△ABC≌△ADC，∠ACB=∠ACD=90证明如图，已知△ABC，∠ACB=90°，∠BAC=30°．求证：证明：在BA上截取BD=BC，∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，∴∠B=60°∴△ABD是等边三角形，∴BC=CD=BD，∠DCB=60°，∴∠DCA＝30°，∴∠DCA=∠A，∴AD=DC，∴AD=BD=BC．证明如图，已知△ABC，∠ACB=90°，∠BAC=30°结论在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．这个定理该怎么写过程呢？∵在Rt△ABC中，

∠C=90°，∠A=30°，∴结论在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角例题下图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE

垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，立柱BC、DE

要多长?答案：3.7m，1.85m．例题下图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱练习在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度，边AB和BC之间有什么关系？答案：60°，30°；AB=2BC．练习在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠练习如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，则BC的长为________．答案：5．练习如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，A练习如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD=______.

答案：1．练习如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠练习如图：在Rt△ABC中∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=_____cm．答案：8．练习如图：在Rt△ABC中∠A=30°，AB+BC=12cm练习如图：△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB=8cm，BD=_______，BE=_______．答案：4cm，2cm．练习如图：△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若A练习如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的中垂线，BE=5，则AE=______，AC=_____．答案：5，2.5．练习如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE练习如图：已知在△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，AD平分∠BAC．求证：AD=2DC．提示：证明∠DAC=30°．练习如图：已知在△ABC中，∠B=30°，∠C=90等边共顶点已知：如图，B，O，C三点在一条直线上，△AOB和△COD都是等边三角形，AC，BD交于点E.求证：（1）AC=BD；（2）∠AEB=60°．提示：证明△AOC≌△BOD．等边共顶点已知：如图，B，O，C三点在一条直线上，△AOB公开课、竞赛课课件-等边三角形等边共顶点如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，连接BD、AE，且BD交AC于F、AE交CD于H，连接FH．

（1）求证：BD＝AE；提示：证明△BCD≌△ACE．总结：等边共顶点就会有边角边全等．等边共顶点如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，连接B等边共顶点如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，连接BD、AE，且BD交AC于F、AE交CD于H，连接FH．

（2）求证：CF＝CH；（3）判断△CFH是什么特殊三角形并说明理由．提示：证明△BCF≌△ACH．等边共顶点如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，连接B等边内的点到三边的距离之和如图，已知等边三角形ABC，P是三角形内一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，求证：PD+PE+PF是等于等边三角形的高．提示：连接PA，PB，PC，利用面积相等．等边内的点到三边的距离之和如图，已知等边三角形ABC，P是三含30°直角三角形的剖分要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植,如果∠C＝90°，∠B＝30°，要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同，请你试着分一分，在图上画出来．含30°直角三角形的剖分要把一块三角形的土地均匀分给甲、构造含30°的直角三角形如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN交BC于M，交AB于N．求证：CM=2BM．提示：连接AM．构造含30°的直角三角形如图，在△ABC中，AB=AC，∠构造含30°的直角三角形如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，EF垂直平分AC且交BC于F．求证：BF＝2CF．提示：连接AF．构造含30°的直角三角形如图，在△ABC中，AB＝AC，∠构造含30°的直角三角形如图在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，求△ABC的面积．提示：作出AB边上的高．构造含30°的直角三角形如图在△ABC中，AB=AC构造含30°的直角三角形腰长为2，底角为15°的等腰三角形的面积为_______．提示：作出底边上的高．答案：1．构造含30°的直角三角形腰长为2，底角为15°的等腰三角形等边与全等综合如图，△ABC为等边三角形，D，E两点分别在BC，AC边上，AE=DC，AD，BE相交点于P，BQ⊥AD于点Q，若PQ=3，PE=1，求AD的长．提示1：证明△ACD≌△BAE．提示2：∠BPQ=∠BAP+∠ABP．等边与全等综合如图，△ABC为等边三角形，D，E两点分别等边与全等综合已知：如图，在等边△ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE=CD，连结AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，求证：（1）∠APE=60°；（2）BP=2PQ．提示1：证明△ABD≌△BCE．提示2：∠APE=∠BAP+∠ABP．等边与全等综合已知：如图，在等边△ABC中，D、E分别为B等边与全等综合如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AB上，且BO=3，点P是BC上一动点，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在AC上，则BP的长是_____．提示：先画出示意图，然后证明△BOP≌△ADO．答案：6．等边与全等综合如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在直角边是斜边的一半已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=

AB．求证：∠A=30°．提示：延长BC至D，使得CD=BC，连接AD．总结：若直角边是斜边的一半，则直角边所对的角是30°．直角边是斜边的一半已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°与代数综合的问题若三边长a，b，c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，则三角形的形状为____________．答案：等腰三角形．与代数综合的问题若三边长a，b，c满足（a-b）（b-c与代数综合的问题若三边长a，b，c满足（a-b）

+（b-c）

+（c-a）

=0，则三角形的形状为____________．答案：等边三角形．222与代数综合的问题若三边长a，b，c满足（a-b）

+（总结这节课我们学到了什么？等边三角形的性质三角相等都等于60°三边上都有三线合一三边相等对称性边角总结这节课我们学到了什么？等边三角形的性质三角相等都等于6总结这节课我们还学到了什么？等边三角形的判定方法一方法二方法三三角相等的三角形是等边三角形有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形三边相等的三角形是等边三角形总结这节课我们还学到了什么？等边三角形的判定方法一方法二方法总结在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．这节课我们还学到了什么？总结在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角等边三角形有什么性质？等边三角形有什么判定？等边三角形等边三角形有什么性质？等边三角形有什么判定？等边三角形含30°角的直角三角形有什么性质？如何证明？含30°角的直角三角形含30°角的直角三角形有什么性质？如何证明？含30°角的直角复习巩固1.（1）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角是多少度？

（2）等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角是多少度？

复习巩固1.（1）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个复习巩固2.如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证AB=AD.复习巩固2.如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证AB复习巩固3.如图，五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，为了画出五角星，还需要知道∠AMB的度数.算一算∠AMB等于多少度.

复习巩固3.如图，五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形复习巩固4.如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，且顶角∠BAC=120°.∠B，∠C，∠BAD，∠CAD各是多少度？复习巩固4.如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB=A复习巩固5.如图，∠A=∠B，CE∥DA，CE交AB于点E.求证：△CEB是等腰三角形.复习巩固5.如图，∠A=∠B，CE∥DA，CE交AB于点复习巩固6.如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE.求证BD=CE.

复习巩固6.如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC复习巩固7.如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D.求∠DBC的度数.

复习巩固7.如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分综合运用8.尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.

综合运用8.尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线综合运用9.某地地震过后，河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：

在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点.同学们由此确信房梁是水平的.他们的判断对吗？为什么？

综合运用9.某地地震过后，河沿村中学的同学用下面的方法检测教综合运用10.如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN∥BC.求证：△AMN的周长等于AB+AC.

综合运用10.如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO综合运用11.上午8时，一条船从海岛A出发，以15nmile/h（海里/时，1nmile=1852m）的速度向正北航行，10时到达海岛B处.从A，B望灯塔C，测得∠NAC=42°，∠NBC=84°.求从海岛B到灯塔C的距离.

综合运用11.上午8时，一条船从海岛A出发，以15nmi综合运用12.如图，△ABD，△AEC都是等边三角形.求证BE=DC.

综合运用12.如图，△ABD，△AEC都是等边三角形.求综合运用11.等腰三角形两底角的平分线相等吗？两腰上的中线呢？两腰上的高呢？证明其中的一个结论.

综合运用11.等腰三角形两底角的平分线相等吗？两腰上的中线呢拓广探索14.如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，并且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数.

拓广探索14.如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，并且拓广探索15.如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户，如果∠C=90°，∠B=30°，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着分一分，并在图上画出来.

拓广探索15.如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三等边三角形等边三角形教学目标探索等边三角形的性质和判定．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．探索含30°角的直角三角形的性质．理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计算．教学目标探索等边三角形的性质和判定．能运用等边三角形的性质和教学重点探索等边三角形的性质与判定．探索并理解含30°角的直角三角形的性质．教学难点等边三角形判定定理的发现与证明及其应用．教学重点探索等边三角形的性质与判定．探索并理解含30°角的直知识回顾三线合一等角对等边图形判定性质等边对等角知识回顾三线合一等角对等边图形判定性质等边对等角知识回顾满足什么条件的三角形是等边三角形？三边都相等的三角形是等边三角形等边三角形也叫

正三角形知识回顾满足什么条件的三角形是等边三角形？三边都相等的三角形探究等腰三角形有哪些特殊的性质呢？

从边的角度：从角的角度：从对称的角度：两腰相等等边对等角三线合一将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？

探究等腰三角形有哪些特殊的性质呢？

从边的角度：从角的角度：猜想结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？图形轴对称图形边角两边相等两底角相等底边上的三线合一三边相等三角相等都等于60°三边的三线合一猜想结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？证明等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°已知：△ABC是等边三角形．求证：∠A=∠B=∠C=60°．证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，BC=AB．∴∠A=∠B，∠A=∠C．∴∠A=∠B=∠C．∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=60°．∴∠A=∠B=∠C=60°．证明等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°已结论等边三角形的性质1等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°怎么写过程呢？

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°．

结论等边三角形的性质1等边三角形的三个内角都相等，并且每一猜想等边三角形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．等边三角形是轴对称图形等边三角形有三条对称轴每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线所在的所有直线都是它的对称轴等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都分别重合．猜想等边三角形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．等边证明等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都分别重合．∵AB=AC，BD=DC∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC∵BA=BC，EA=EC∴∠ABE=∠CBE，BE⊥AC∵CA=CB，AF=BF∴∠ACF=∠BCF，CF⊥AB证明等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都结论等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都分别重合．简而言之，等边三角形

每一边上的三线都合一结论等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都归纳等边三角形有都有哪些性质呢？三角相等都等于60°三边上都有三线合一边角对称性三边相等归纳等边三角形有都有哪些性质呢？三角相等都等于60°三边上练习如图，等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，AD=AE，则∠EDC的度数是________．答案：15°．

练习如图，等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，A练习如图，△ABC是等边三角形，AD⊥AB于A，DC⊥BC于C．求证：△DAC是等腰三角形．提示：证明∠DAC=∠DCA．

练习如图，△ABC是等边三角形，AD⊥AB于A，DC⊥BC练习如图，已知，△ABC是等边三角形，BD是中线，BD=6，延长BC到E．使CE=CD，求DE长．提示：证明BD=DE．练习如图，已知，△ABC是等边三角形，BD是中线，BD=6思考你知道怎么判定一个三角形是等边三角形吗？可以利用定义，证明它的三边相等除此之外，还有没有其他办法呢？证明它三角相等行不行呢？猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形思考你知道怎么判定一个三角形是等边三角形吗？可以利用定义，证证明三个角都相等的三角形是等边三角形已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠A=∠B=∠C，∴BC=AC=AB（等角对等边），∴△ABC是等边三角形．证明三个角都相等的三角形是等边三角形已知：△ABC中，∠A思考三边相等或三角相等都能直接判定一个三角形是等边三角形除此之外还有没有其他判定方法呢？我们知道，等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形加个什么条件，能变成等边三角形呢？有一个角是60°？思考三边相等或三角相等都能直接判定一个三角形是等边三角形除此猜想有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形这个60°角的位置有哪几种情况呢？60°角是等腰三角形的顶角60°角是等腰三角形的底角猜想有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形这个60°角的位证明先证60°角是等腰三角形的顶角的情况已知：△ABC，AB=AC，∠A=60°．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠A=60°，∴∠B+∠C=120°．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形．证明先证60°角是等腰三角形的顶角的情况已知：△ABC，AB证明再证60°角是等腰三角形的底角的情况已知：△ABC，AB=AC，∠B=60°．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B=60°∴∠B=∠C=60°，∴∠A=60°，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形．证明再证60°角是等腰三角形的底角的情况已知：△ABC，AB归纳要判定一个三角形是等边三角形有哪几种方法？方法二方法三有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形三角相等的三角形是等边三角形三边相等的三角形是等边三角形方法一归纳要判定一个三角形是等边三角形有哪几种方法？方法二方法三有例题如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等边三角形．想一想，还有其他证法吗？例题如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，练习如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC的延长线于点D，E．求证：△ADE是等边三角形．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等边三角形．练习如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，练习如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC的方向延长线于点D，E．求证：△ADE是等边三角形．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等边三角形．练习如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，练习已知：D，E分别是等边△ABC中AB，AC边上的点，且BD=CE．求证：△ADE是等边三角形.提示：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．练习已知：D，E分别是等边△ABC中AB，AC边上的练习已知△ABC中，∠A=60°,（

）

请你在括号内补充一个条件，使△ABC能成为等边三角形．答案：∠B=60°或∠C=60°

或AB=BC或AC=BC．练习已知△ABC中，∠A=60°,（

）练习已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为_______．答案：9cm．练习已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△A练习△ABC是等腰三角形，周长为15cm，且∠A=60°，则BC=_______．答案：5cm．练习△ABC是等腰三角形，周长为15cm，且∠A=60°，练习如图，D、E、F分别是等边三角形ABC三边上三点，且AD=BE=CF．试问：△DEF是什么三角形？提示：证明△ADF≌△BED≌△CFE．练习如图，D、E、F分别是等边三角形ABC三边上三点，且A练习１．等边三角形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．练习１．等边三角形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．练习2．如图，等边三角形△ABC中，AD是BC边上的高，∠BDE＝∠CDF＝60°，图中与BD相等的线段有哪些？练习2．如图，等边三角形△ABC中，AD是BC边上的高，探究将两个含有30°的三角尺摆放在一起你能借助这个图形，找到Rt△ABC

的直角边BC

与斜边AB

之间的数量关系吗?你能用学过的方法证明吗?探究将两个含有30°的三角尺摆放在一起你能借助这个图形，找证明如图，已知△ABC≌△ADC，∠ACB=∠ACD=90°，∠BAC=∠DAC=30°．求证：证明：∵△ABC≌△ADC，∴AB＝AD，BC=CD，又∵∠BAC=∠DAC=30°∴∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形．∴BD=AB，∴BC＝DC＝还有别的证法吗？证明如图，已知△ABC≌△ADC，∠ACB=∠ACD=90证明如图，已知△ABC，∠ACB=90°，∠BAC=30°．求证：证明：在BA上截取BD=BC，∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，∴∠B=60°∴△ABD是等边三角形，∴BC=CD=BD，∠DCB=60°，∴∠DCA＝30°，∴∠DCA=∠A，∴AD=DC，∴AD=BD=BC．证明如图，已知△ABC，∠ACB=90°，∠BAC=30°结论在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．这个定理该怎么写过程呢？∵在Rt△ABC中，

∠C=90°，∠A=30°，∴结论在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角例题下图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE

垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，立柱BC、DE

要多长?答案：3.7m，1.85m．例题下图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱练习在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度，边AB和BC之间有什么关系？答案：60°，30°；AB=2BC．练习在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠练习如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，则BC的长为________．答案：5．练习如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，A练习如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD=______.

答案：1．练习如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠练习如图：在Rt△ABC中∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=_____cm．答案：8．练习如图：在Rt△ABC中∠A=30°，AB+BC=12cm练习如图：△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB=8cm，BD=_______，BE=_______．答案：4cm，2cm．练习如图：△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若A练习如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的中垂线，BE=5，则AE=______，AC=_____．答案：5，2.5．练习如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE练习如图：已知在△ABC中，∠B=30°，∠C=90°，AD平分∠BAC．求证：AD=2DC．提示：证明∠DAC=30°．练习如图：已知在△ABC中，∠B=30°，∠C=90等边共顶点已知：如图，B，O，C三点在一条直线上，△AOB和△COD都是等边三角形，AC，BD交于点E.求证：（1）AC=BD；（2）∠AEB=60°．提示：证明△AOC≌△BOD．等边共顶点已知：如图，B，O，C三点在一条直线上，△AOB公开课、竞赛课课件-等边三角形等边共顶点如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，连接BD、AE，且BD交AC于F、AE交CD于H，连接FH．

（1）求证：BD＝AE；提示：证明△BCD≌△ACE．总结：等边共顶点就会有边角边全等．等边共顶点如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，连接B等边共顶点如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，连接BD、AE，且BD交AC于F、AE交CD于H，连接FH．

（2）求证：CF＝CH；（3）判断△CFH是什么特殊三角形并说明理由．提示：证明△BCF≌△ACH．等边共顶点如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，连接B等边内的点到三边的距离之和如图，已知等边三角形ABC，P是三角形内一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，求证：PD+PE+PF是等于等边三角形的高．提示：连接PA，PB，PC，利用面积相等．等边内的点到三边的距离之和如图，已知等边三角形ABC，P是三含30°直角三角形的剖分要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植,如果∠C＝90°，∠B＝30°，要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同，请你试着分一分，在图上画出来．含30°直角三角形的剖分要把一块三角形的土地均匀分给甲、构造含30°的直角三角形如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN交BC于M，交AB于N．求证：CM=2BM．提示：连接AM．构造含30°的直角三角形如图，在△ABC中，AB=AC，∠构造含30°的直角三角形如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，EF垂直平分AC且交BC于F．求证：BF＝2CF．提示：连接AF．构造含30°的直角三角形如图，在△ABC中，AB＝AC，∠构造含30°的直角三角形如图在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，求△ABC的面积．提示：作出AB边上的高．构造含30°的直角三角形如图在△ABC中，AB=AC构造含30°的直角三角形腰长为2，底角为15°的等腰三角形的面积为_______．提示：作出底边上的高．答案：1．构造含30°的直角三角形腰长为2，底角为15°的等腰三角形等边与全等综合如图，△ABC为等边三角形，D，E两点分别在BC，AC边上，AE=DC，AD，BE相交点于P，BQ⊥AD于点Q，若PQ=3，PE=1，求AD的长．提示1：证明△ACD≌△BAE．提示2：∠BPQ=∠BAP+∠ABP．等边与全等综合如图，△ABC为等边三角形，D，E两点分别等边与全等综合已知：如图，在等边△ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE=CD，连结AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，求证：（1）∠APE=60°；（2）BP=2PQ．提示1：证明△ABD≌△BCE．提示2：∠APE=∠BAP+∠ABP．等边与全等综合已知：如图，在等边△ABC中，D、E分别为B等边与全等综合如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AB上，且BO=3，点P是BC上一动点，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在AC上，则BP的长是_____．提示：先画出示意图，然后证明△BOP≌△ADO．答案：6．等边与全等综合如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在直角边是斜边的一半已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=

AB．求证：∠A=30°．提示：延长BC至D，使得CD=BC，连接AD．总结：若直角边是斜边的一半，则直角边所对的角是30°．直角边是斜边的一半已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°与代数综合的问题若三边长a，b，c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，则三角形的形状为____________．答案：等腰三角形．与代数综合的问题若三边长a，b，c满足（a-b）（b-c与代数综合的问题若三边长a，b，c满足（a-b）

+（b-c）

+（c-a）

=0，则三角形的形状为____________．答案：等边三角形．222与代数综合的问题若三边长a，b，c满足（a-b）

+（总结这节课我们学到了什么？等边三角形的性质三角相等都等于60°三边上都有三线合一三边相等对称性边角总结这节课我们学到了什么？等边三角形的性质三角相