(完整)高中数学教学案例

第第页共66页［设计意图］:［设计意图］:将尝试练习的结论推广得到数量积的运算性质，使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。活动四：探究数量积的运算律1、提出问题7:我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？答:①交换律：ab=ba②结合律：（ab）c=a（bc）③分配律：（a+b）c=ac+bc猜想：a-b=b-a ②（a・b）c=a（b-c）③（a+b）・c=a-c+b•c2、分析猜想：猜想①的正确性是显而易见的。关于猜想②的正确性，请同学们先讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？答：左边是与向量C共线的向量，而右边则是与向量a共线的向量，显然在向量c与向量a不共线的情况下猜测②是不正确的。［设计意图］:要求学生通过对过去所学过的运算律的回顾类比得出数量积的运算律。通过讨论纠错来理解不同运算的运算律不尽相同， 看到数学的法则与法则问的相互联系与区别，体会法则，学习研究的重要性。3、明晰：数量积的运算律：已知向量a、b、c和实数入，则：a -b= b -a （2）（入a ）・b=入（a ・b尸 a •（入b ）— f 1 f3）（a+b）c=ac+b-c4、学生活动：证明运算律2在证明时，学生可能只考虑到人＞0的情况，为了帮助学生完善证明，提出以下问题：当入＜0时，向量a与入a,b与入b的方向的关系如何？此时，向量入a与b及a与入b的夹角与向量a与b的夹角相等吗？5、师生活动：证明运算律(3)［设计意图］:学会利用定义证明运算律(1)(2),运算律(3)的图形构造有些困难，先让学生讨论，后根据学生的情况加以指导或共同完成。活动五：应用与提高1、学生独立完成：已知Ia|=5,|b|=4,a与b的夹角9=120°,求a•b。［设计意图］:通过计算巩固对定义的理解。2、师生共同完成： 已知|3|二6,|b|=4,&与b的夹角为60°,求(a+2b)-(a-3b),并思考此运算过程类似于哪种实数运算？3、学生独立完成：对任意向量a,b是否有以下结论：(1)(a+b)2=a2+2a-b+b2⑵(a+b)-(a-b)=a2—b2［设计意图］:让学生体会解题中运算律的作用，比较向量运算与数运算的异同。4、师生共同完成：已知IaI=3,|b|=4,且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直？并讨论：通过本题，你有什么体会？［设计意图］:学会利用数量积来解决垂直问题，体会用数量积将几何问题转化为方程求解，体现向量的工具性。5、反馈练习(1)判断下列各题正确与否：f T f f①、若awo,则对任一非零向量b,有a•bwo.②、若awo,a•b=a•c,则b=c. *f *--F f — f f(2)已知△ABC中，AB=a,AC=b,当a・b<0或a•b=o时，试判断4ABC的形状。［设计意图］:1.加强学生的练习。2.通过观察、问答等方式对学生的掌握情况有了进一步的了解和把握。活动六：小结1、本节课我们学习的主要内容是什么？2、平面向量的数量积有哪些应用？3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？［设计意图］:通过学生讨论总结，