高一数学必修二《圆与方程》知识点整理

《圆与方程》知识点整理、标准方程1.求标准方程的方法一一关键是求出圆心 (a,b)和半径r①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材p①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材p|19例2☆②利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理般方程x2y2DxEyF=0D2E2-4F0_ 2 2Ax+By+Cxy+Dx+Ey+F=0表不圆方程则A=B二0C=0、2A=B二0C=0、21A)CC=02 2F D2E2-4AF0-4 0A求圆的一般方程一般可采用待定系数法:2 2D+E-4FA0常可用来求有关参数的范围三、圆系方程：四、参数方程：五、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系d<r=点在圆内；d=r=点在圆上;2.涉及最值：dar二点在圆外(1)圆外一点B,圆上一动点P,讨论PB的最值PBmin=BN(2)圆内一点PAmin=BC—rPBmax=BMBC十rA,圆上一动点P,讨论PA的最值AN二r-AC思考：过此A点作最短的弦？(此弦垂直AC)PAmax=AMl=r+六、直线与圆的位置关系.判断方法(d为圆心到直线的距离) / \/■■■■/TOC\o"1-5"\h\z(1)相离U没有公共点u△<0UdAr ( \/(2)相切已只有一个公共点u△=0ud=r1 /(3)相交二有两个公共点=A>0-d<r B这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围 ..直线与圆相切(1)知识要点①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l与圆C相切意味着什么？圆心C到直线l的距离恰好等于半径r(2)常见题型一一求过定点的切线方程①切线条数点在圆外——两条；点在圆上一一一条；点在圆内——无☆②求切线方程的方法及注意点♦♦♦i)点在圆外上 2 2 2 2 2 2如th点P(%,y0),圆：(x—a)+(y—b)=r,[(%—a)+(y^—b)>r]第一步：设切线l方程y—y0=k(x—Xo)第二步：通过d=r=k,从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上—千万不要漏了!如：过点P(1,1)作圆x2+y2—4x—6y+12=0的切线，求切线方程.答案：3x-4y+1=0和x=1ii)点在圆上1)若点(x0,y0)在圆x2+y2=r2上，则切线方程为xox+yoy=r2TOC\o"1-5"\h\z会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目 ^2 2 22)若点(x°,v。)在圆(x—a)+(y-b)=r上，则切线方程为x°-ax-a y°-by-b=r2碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果 ^由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程， 非常重要的第一步就是一一判断点与圆的位置关系，得出切线的条数 .③求切线长：利用基本图形， AP2=CP2—r23AP|二J|cp|2_r2.直线与圆相交(1)求弦长及弦长的应用问题垂径定理及勾股定理一一常用♦♦♦♦弦长公式：l 1TL XIh+k2、力+X；4Xx1（暂作了解，无需掌握）l=I_kx1_x2—I-k।।x1-x2_4x1x2（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合） ：直线过定点，而定点恰好在圆内（3）关于点的个数问题例：若圆（x—3j十（y+5（=r2上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离为1,则半径r的取值范围是. 答案：（4,6）.直线与圆相离会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）七、对称问题1.若圆x2+y2+（m2-1）x+2my—m=0,关于直线x—y+1=0,则实数m的值为答案：3（注意：m=—1时，D2+E2—4F<0,故舍去）变式：已知点A是圆C：x2+y2+ax+4y-5=0上任意一点，A点关于直线x+2y—1=0的对称点在圆C上，则实数a=.TOC\o"1-5"\h\z2 22.圆（x—1）+（y—3）=1关于直线x+y=0对称的曲线方程是.、..一 2 2 2 2变式：已知圆C1：（x—4）+（y—2）=1与圆C2：（x-2）+（y—4）=1关于直线l对称，则直线l的方程为.2 23.圆（x—3）+（y+1）=1关于点（2,3）对称的曲线方程是.八、最值问题方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程1.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求：-y—的最大值和最小值；一一看作斜率x-5y-x的最小值；一一参数法； 截距（线性规划）x2+y2的最大值和最小值.一一两点间的距离的平方.已知MOB中，OB=3,OA=4,AB|=5,点P是MOB内切圆上一点，求以PA,PB,PO为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值 .数形结合和参数方程两种方法均可！2 2.设P（x,y）为圆x2+（y—1）=1上的任一点，欲使不等式x+y+c之0恒成立，则c的取值范围是.答案：c>72-1（数形结合和参数方程两种方法均可！）七、圆的参数方程

6为参数2 2 2 x=r6为参数x=arcos「"x=arcos「"y=b+rsin0'日为参数2 1 2 2x-a।-।y-b=rr0=八、相关应用.若直线mx+2ny-4=0(m,nwR),始终平分圆x2+y2—4x—2y-4=0的周长，则mn的取值范围是..已知圆C：x2+y2—2x+4y—4=0,问：是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得的弦为AB,以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程，若不存在，说明理由.提示：x1x2+y1y2=0或弦长公式d=Ji+k2为一x2.答案：x—y+1=0或x—y—4=0TOC\o"1-5"\h\z2 23.已知圆C：(x—3)十(y—4)=1,点A(0,1),B(0,1),设P点是圆C上的动点，2 2d=|PA+|PB，求d的最值及对应的P点坐标.2 2.已知圆C：(x—1)+(y—2)=25,直线l：(2m+1)x+(m+1)y—7m—4=0(m^R)(1)证明：不论m取什么值，直线l与圆C均有两个交点；(2)求其中弦长最短的直线方程..若直线y=-x+k与曲线x=-71-y2恰有一个公共点，则k的取值范围.. 2 2.已知圆x十y十x—6y+m=0与直线x+2y-3=0交于P,Q两点，O为坐标原点，问：是否存在实数m,使OP_LOQ,若存在，求出m的值；若不存在，说明理由九、圆与圆的位置关系.判断方法：几何法(d为圆心距)d>r1+r2u外离 (2)d=r1+r2u外切q—r2|<dcrj十bu相交(4)d=|r)—r2u内切(5)d<|r1-r2|«内含2.两圆公共弦所在直线方程2 2 2 2圆C1：x+y+D1x+E1y+F1=0,圆C2：x+y+D?x+E?y+F2=0,则(D1—D2)x+(E1—E2)y+(F1—F2)=0为两相交圆公共弦方程补充说明:

若G与C2相切，则表示其中一条公切线方程;若Ci与C2相离，则表示连心线的中垂线方程 .3圆系问题2 2 2 2(1)过两圆C1：x+y+D1x+E1y+F1=0和C2：x+y+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+九(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(九二一1)说明：1)上述圆系不包括C2；2)当儿=-1时，表示过两圆交点的直线方程(公共弦)(2)过直线Ax+BpC0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2y2DxEyF：AxByC=0(3)有关圆系的简单应用(4)两圆公切线的条数问题①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线十、轨迹方程(1)定义法(圆的定义)：略(2)直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式一一轨迹方程.例：过圆x2+y2=1外一点A(2,0祚圆的割线，求割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程,一 2分析：,一 2分析：OP+AP(3)相关点法(平移转换法)特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的(固定)轨迹上运动法2:（参数法）设B(3cosd3sin6》由NBOC=2/BAC=C3cosI6+,3sinI日+法2:（参数法）设B(3cosd3sin6》由NBOC=2/BAC=C3cosI6+,3sinI日+——I,I3力设G（x,y卜则,则xaxbxcx二 2二33cos13cosI1——3 . . 2二——二1cos二cos—|||1yAy=yB yc3 . . 2二—=sin二sinI' ——3linn2日WI一,3,((1)-1)+(2)得：(x—1)+2 /C3)y=ix=jo,-12；，产3任:[-T,1参数法的本质是将动点坐标（x,y）中的x和y