MXT-高中数学三角函数疑点难点讲解-2

高中数学三角函数疑点难点讲解【考点审查】1、掌握三角函数看法，其中以三角函数的定义学习为重点。（理科：兼顾反三角）2、提高三角函数的恒等变形的能力，重点是熟悉引诱公式、同角关系、和差角公式及倍角公式等，掌握常有的变形方法。3、解决三角函数中的求值问题，重点是掌握未知与已知之间的联系。4、熟练运用三角函数的性质，需关注复合问题，在问题转变过程中，进一步重视三角恒等变形。5、掌握yAsin(x)等的图象及性质，深刻理解图象变换之原理。6、解决与三角函数有关的（常有的）最值问题。7、正确办理三角形内的三角函数问题，主若是理解并熟练掌握正弦定理、余弦定理及三角形内角和定理，提高边角、角角转变意识。8、提高综合运用的能力，如对实责问题的解决以及与其他章节内容的整合办理。【疑难点拔】一、看法不清例1．若、为第三象限角，且，则（）（A）coscos（B）coscos（C）coscos（D）以上都不对错解选（A）解析：角的看法不清，误将象限角看作近似(,3)区间角。如取27,4263选（D）。二、以偏概全

，可知（A）不对。用消除法，可知应例2．已知sinm，求cos的值及相应的取值范围。错解当是第一、四象限时，cos1m2，当是第二、三象限时，cos1m2。解析：把限制为象限角时，只考虑|m|1且m0的情况，遗漏了界线角。应增补：当|m|1时，k(kZ),cos0；当m0时，k(kZ),cos1，或cos1。2三、忽略隐含条件例3．若sinxcosx10，求x的取值范围。错解移项得sinxcosx，两边平方得sin2x0,那么2k2x2k(kZ)1即kxk(kZ)2解析：忽略了满足不等式的x在第一象限，上述解法引进了sinxcosx1。正解：sinxcosx1即2sin(x)1，由sin(x)22得442k4x2k3(kZ)∴2kx2k(kZ)442四、忽略角的范围，盲目地套用正弦、余弦的有界性例4．设、为锐角，且+120，谈论函数ycos2cos2的最值。错解y11(cos2cos2)1cos()cos()11cos()22可见，当cos()1时，ymax3)1时，ymin1；当cos(。22解析：由已知得30,90，∴6060，则1cos()12∴当cos()1，即60时，ymin1，最大值不存在。2五、忽略应用均值不等式的条件例5．求函数ya2b2(ab0,0x)的最小值。cos2xsin2x2错解ya2b2(1)2ab4ab(2)4ab(0sin2x1)cos2xsin2xsinxcosxsin2x∴当sin2x1时，ymin4ab解析：在已知条件下，（1）、（2）两处不能够同时取等号。正解：ya2(1tan2x)b2(1cot2x)a2b2(a2tan2xb2cot2x)a2b22ab(ab)2当且仅当atanxbcotx，即tanxb，时，ymin(ab)2a专题四：三角函数【经典题例】例1：点P从（1，0）出发，沿单位圆x2y21逆时针方向运动2弧长到达Q点，则Q点的坐标为（）3（A）(1,3)（B）(3,1)（C）(1,3)（D）(3,1)22222222[思路解析]记POQ，由三角函数定义可知Q点的坐标(x,y)满足xrcos,yrsin，应选（A）[简要谈论]三角函数定义是三角函数理论的基础，理解掌握能起到事半功倍的收效。例2：求函数sin4xcos4xsin2xcos2xf(x)2的最小正周期、最大值和最小值.sin2x[思路解析]f(x)1sin2xcos2x1(1sinxcosx)1sin2x12(1sinxcosx)242因此函数f(x)的最小正周期是π，最大值是3，最小值是1.44[简要谈论]三角恒等变形是历年高考察看的主要内容，变形能力的提高取决于必然量的训练以及方法的积累，在此例中“降次、化同角”是基本的思路。其他，求函数的周期、最值是察看的热点，变形化简是必经之路。例3：已知sin(2)sin(2)1,(,)，求2sin244442tancot1的值.[思路解析]∵sin(42)sin(42)sin(2)cos(42)41sin(4)1cos4,∴得cos41.又(,),因此5.22224212于是2sin2tancot1cos2sin2cos2cos22cos2sincossin2(cos22cot2)(cos52cot5)(323)53.6622[简要谈论]此类求值问题的种类是：已知三角方程，求某三角代数式的值。一般来说先解三角方程，得角的值或角的某个三角函数值。如何使解题过程化繁为简，变形依旧显得重要，此题中巧用引诱公式、二倍角公式，还用到了常用的变形方法，即“化正余切为正余弦”。例4：已知b、c是实数，函数f(x)=x2bxc对任意α、βR有：f(sin)0,且f(2cos)0,（1）求f（1）的值；（2）证明：c3；（3）设f(sin)的最大值为10，求f（x）。[思路解析]（1）令α=，得f(1)0,令β=，得f(1)0,因此f(1)0,；2（2）证明：由已知，当1x1时，f(x)0,当1x3时，f(x)0,经过数形结合的方法可得：f(3)0,化简得c3；（3）由上述可知，[-1，1]是f(x)的减区间，那么f(1)10,又f(1)0,联立方程组可得b5,c4,因此f(x)x25x4[简要谈论]三角复合问题是综合运用知识的一个方面，复合函数问题的认识是高中数学学习的重点和难点，这一方面的学习有利于提高综合运用的能力。例5：关于正弦曲线回答下述问题：（1）函数ylog1sin(3x)的单调递加区间是[8k2x8k4]kZ；2433（2）若函数ysin2xacos2x的图象关于直线x对称，则a的值是1；8（3）把函数ysin(3x)的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），则所得48的函数解析式子是；（4）若函数yAsin(x)B(A0,0,||)的最大值是22，最小值是22，图象经过，最小正周期是23点（0，-2），则函数的解析式子是；4[思路解析]略[简要谈论]正弦曲线问题是三角函数性质、图象问题中的重点内容，必定熟练掌握。上述问题的解答能够依照正弦曲线的“五点画法”在稿本纸上作出函数的草图来考据答案或获取答案。例6：函数f(x)

sin2x1sinxcosx（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的最大值及对应的x值。[思路解析]（1）{x|x2k且x2kkZ}2(2)设t=sinx+cosx,则y=t-1ymax21,x2k4kZ[简要谈论]若f(x)关于sinxcosx与sinx?cosx的表达式，求函数的最值常经过换元法，如令tsinxcosx，使问题得到简化。例7：在ABC中，已知sinAcos2CsinCcos2A3sinB（1）求证：a、b、c成等差数列；（2）求角B的取值范围。222[思路解析]（1）条件等式降次化简得sinAsinC2sinBac2ba2c2(ac)2221,（2）cosB23(ac)2ac6ac2ac2ac8ac8ac2∴，得B的取值范围(0,]3[简要谈论]三角形中的变换问题，除了需要运用三角式变换的所有方法、技巧外，还经常需要考虑对条件或结论中的“边”与“角”运用“正弦定理、余弦定理或面积公式”进行互换。例8：水渠横断面为等腰梯形，以下列图，渠道深为h，梯形面积为S，为了使渠道的渗水量达BA到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角α应该是多少？DC[思路解析]CD=Shcot,C=Sh(2cot),转变成考虑y=2cos的最小值，可适合时，y最小，即Chhsinsin3最小。[简要谈论]“学以致用”是学习的目的之一，三角知识的应用很广泛，在复习过程中应碰到重视。【热身冲刺】一、选择题：10a10，则满足sina=0.5的角a的个数是（C）．若（A）2（B）3（C）4（D）52．为了获取函数ysin(2x)的图象，能够将函数ycos2x的图象（）6（A）向右平移个单位长度（B）向右平移个单位长度63（C）向左平移个单位长度（D）向左平移个单位长度63f(3)0；（3）f(3)f(3)0；3．已知函数f(x)sinx,，则下面三个命题中：（1）f(1)f( )0；（2）f(2)444其中正确的命题共有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个4．若f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)x2sinx，则当xR时，f(x)为( )（A）2sinx（）2（）（）xsinx|x|xsinxBCD|x|xsinx5．函数f(x)3cos(3x)sin(3x)是奇函数，则等于（）（A）k（B）k6（C）k3（D）k36．若是圆x2y2k2最少覆盖函数f(x)3sinx的一个最大值点和一个最小值点，则k的取值范围是（）k（A）|k|3（B）|k|2（C）|k|1（D）1|k|27．若x∈[5,]，则y＝tan(x2)tan(x)cos(x)123366的最大值是（）（A）122（B）112（C）113（D）12356658．．函数ysin2x2cosx在区间[2,a]上的最小值为-1，则a的取值为（）34（A）[2,)（B）[0，2]（C）[2,2]（D）(2,4]31(a2333339．若△ABC面积S=b2c2)则∠C=（）4（A）2（B）（C）4（D）3610．已知向量a(2cos,2sin),(,),b(0,1),则a与b的夹角为（）2（A）3（B）2（C）2（D）2二、填空题：11．若f(x)是以5为周期的奇函数，f(3)=4,且cos1，则f(4cos2)=-4.212．函数y=lg(sinxcosx)的增区间是(k,k]kZ413．用[x]表示不高出实数x的最大整数。则[sin10][sin20][sin30][sin2000]=-81。14．设xcossin，且sin3cos30，则x的取值范围是(0,2]；三、解答题：15．（文）求函数y22sinxlg(3tanx3)的定义域。答案：kkk7k3)kZ(2,2](26,2264（理）二次函数f（x）的二次项系数是负数，对任何xR，都有f(x3)）=f(1x)，设M=f[arcsin(sin4)]，N=f[arcos(cos4)]，谈论M和N的大小。答案：M>N16．在锐角三角形ABC中，sin(AB)3,sin(AB)1.55（Ⅰ）求证tanA2tanB；（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高.sinAcosBcosAsinB3sinAcosB2,,5略解（Ⅰ）证明：5tanA2.1.1tanBsinAcosBcosAsinBcosAsinB55因此tanA2tanB.（Ⅱ）解：AB2即tanAtanB1tanAtanB

，sin(AB)3,因此tan(AB)3,543，将tanA2tanB代入上式并整理后解得426tanA2tanB26.tanB，舍去负值，∴2设AB边上的高为CD.由AB=AD+DB=CDCD2CD得CD=2+6.tanAtanB2617．已知y2sin?cossincos，xsincos，其中0.，求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的最大值、最小值。答案：yx2x1；ymax5;ymin1;418．在锐角ABC中，已知A<B<C,且B=60，又(1cos2A)(1cos2C)31，求证：a2b2c2略证：由已知得cosAcosC31,又cos(AC)1，进一步可求出cos(C3，得42A)2A45,B60,C75，∴a2b2R(sin452sin60)4R?624Rsin752c419．（1）已知x(0,)，证明不存在实数m(0,1)能使等式cosx+msinx=m(*)成立；2（2）试扩大x的取值范围，使关于实数m(0,1)，等式(*)能成立；（3）在扩大后的x取值范围内，若取m3成立的x值。,求出使等式(*)3提示：（1）可化为mtan(x)1（2）x(,)（3）x2422620．设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx，3sin2x