机械振动理论基础(第一章)课件

机械振动理论基础12/23/20221一、关于振动问题

振动就是物体（形状，位置或与之有关的某个参数）或某种状态随时间的往复变化现象。例如：声，光，电磁波等等，就是广泛意义上的振动现象。12/23/20222东北大学设备诊断工程中心1、机械振动

机械振动是指在一定条件下，物体在平衡位置附近所作的往复性运动。12/23/20223东北大学设备诊断工程中心二、振动的分类1、视弹性元件的恢复力和位移的关系而定线形振动非线形振动12/23/20225东北大学设备诊断工程中心2、按振动系统的自由度数目而定单自由度多自由度系统12/23/20226东北大学设备诊断工程中心

第一章

单自由度系统

预备知识：1、周期运动经过相等时间间隔又重复出现的运动叫周期运动。周期运动必须满足如下关系式：式中，---周期，单位为秒，其倒数是义为频率（每秒种内的振动次数），（Hz）12/23/20227东北大学设备诊断工程中心2、简谐运动（周期运动的一种）简谐运动是周期运动中的一种，简谐运动的数学描述为：

或式中：——振幅，表示位移的最大值。——相角，——初相角——角频率或叫园频率，单位为12/23/20228东北大学设备诊断工程中心动点P在X方向的速度为：动点P在X方向上的加速度为：3、简谐运动的复数表示在复平面中，横轴表示一个复数的实数部分谓之实轴，纵轴表示一个数的虚数部分谓之虚轴，单位为，在复平面中矢量表示为：12/23/202210东北大学设备诊断工程中心1-1节一个自由度无阻尼自由振动。

1、方程式的建立——弹簧原长——弹簧的静伸长建立运微分方程的步骤：A)选取研究对象，物块。B)建立座标系，取静平衡位置为座标原点。C)运动对象的受力分析。D)根据牛顿第二定律列方程。12/23/202212东北大学设备诊断工程中心为积分常数，可根据初始条件来确定。设代入原方程设所以无阻尼振动系统的（特）通解为：12/23/202214东北大学设备诊断工程中心式中：

其中称之为圆频率。----又称之为固有频率，仅与系统本身的弹簧刚度和振动质量有关，与初始条件无关。

叫系统的振动频率。单位为或为HZ12/23/202215东北大学设备诊断工程中心

叫系统的振动周期，单位为秒。

频率相同的两个简谐振动合成后仍为简谐振动，方程的通解还可以表示为另一种形式。12/23/202216东北大学设备诊断工程中心利用旋转矢量法也可以得到这个解或12/23/202217东北大学设备诊断工程中心根据合角公式——振幅，——初相位与振动的固有频率不同，振幅，初相位取决于初始条件12/23/202218东北大学设备诊断工程中心

设弹簧的刚度为K，由平衡条件知，以物块的静平衡位置为坐标原点，坐标朝上为正，设物体与梁碰撞的瞬间为初瞬间时，则12/23/202220东北大学设备诊断工程中心梁的最大挠度：

例1—2求弹簧等效刚度及系统的固有频率12/23/202221东北大学设备诊断工程中心由弹簧的伸长量可知：12/23/202223东北大学设备诊断工程中心12/23/202224东北大学设备诊断工程中心解：由之间的夹角来表示园盘的位置，扭转刚度用表示，既使轴转动单位角度所施加的力矩。单位为由材料力学知：12/23/202226东北大学设备诊断工程中心由刚体绕定轴转动微分方程，（或由动量矩定理）或12/23/202227东北大学设备诊断工程中心例1—3轴长度分别为，，直为，，求等效刚度。12/23/202228东北大学设备诊断工程中心又故有：12/23/202230东北大学设备诊断工程中心1-3节能量法无阻尼的自由振动系统是一个保守系统（运动中无能量损失）对保守系统而言，系统的机械能守恒定律是适用的，在振动的任何时刻系统的动能，势能之和恒为常数。12/23/202231东北大学设备诊断工程中心

如图所示的系统不计阻尼，则在振动过程中没有能量损失，即振动过程中的任一瞬时机械能保持不变。

T+V=常数T---系统的动能V---系统的重力势能和弹性力势能

以平衡位0为坐标原点，且以0点作为弹性势能的零点和重力势能的零点，质点在任意位置X所具有的势能等于质点从该处到零点场力所做的功，故质点在X处的势能为：12/23/202232东北大学设备诊断工程中心由上式可见，本系统以平衡位置为坐标原点和计算势能的零点（重力势能和弹性势能都以它为原点）总势能的表达式很简单。机械能守恒表达式也可以表示为下面的形式：即任选两个瞬时，其机械能的总和相等，我们通常选两个特殊的瞬时，一为质点通过静平衡位置瞬间该时动能最大，12/23/202233东北大学设备诊断工程中心（）而势能等于零，另一为质点到达最大位移时，该时的动能为零，势能达最大值，

则有：所以：12/23/202234东北大学设备诊断工程中心由于系统的振动为简谐振：对于上面的简单的系统，能量法并没有显出它的优势所在，但对于一个结构上复杂的系统，能量法常为计算因有频率的一种简单的方法。12/23/202235东北大学设备诊断工程中心例1—4如图所示为测量低频振幅用的传感器中的一个元件——无定向摆。试求系统的固有频率12/23/202236东北大学设备诊断工程中心设已知整个系统对转动轴0的转动惯量为：解：以摇杆偏离静平衡位置的角位移为广义坐标,并设:12/23/202237东北大学设备诊断工程中心在摇杆过平衡位置的瞬间，系统具有最大值的动能。当摇杆摆到最大位移时，系统具有最大的势能12/23/202238东北大学设备诊断工程中心代入数据：由此可见传感器的固有频率很低，因而可用来测量2----30HZ范围内的低频振动。12/23/202239东北大学设备诊断工程中心1-4节瑞利法

瑞利法（Rayleign）是一种考虑弹性元件自身质量影响以求系统基频的近似方法，此法很有效且较准确。1、等效质量在以上的讨论中我们都假定系统的弹性元件的质量可以略去，当弹性元件的质量相对于运动物体的质量较小时，这样的处理带来的误差不大，常为工程实际允许，但也有12/23/202240东北大学设备诊断工程中心许多场合弹性体的质量相对于运动物体的质量不能算小或者计算的精确度要求较高，此时就不能忽略弹性元件质量去计算系统的振动周期和频率。如果考虑系统弹性元件质量的影响，系统就成为无穷多的自由度系统，其固有频率也就有无穷多个，用瑞利法求出的频率是系统的最低频率，一般称为基频。欲应用瑞利法，首先必须对弹性元件每点速度分怖作出恰当的假定，它假定系统振动过程中有某一不变的振动形式。12/23/202241东北大学设备诊断工程中心（简称振型），[当假定的振型与实际振型愈接近，其精确度就愈高]，把系统简化为单自由度系统然后应用能量法求出相当准确的固有频率。设质量—弹簧系统的物块重M，弹簧长度为L，弹簧刚度为K，单位长度上的弹簧质量m’,考虑弹簧质量来求系统的固有频率.12/23/202242东北大学设备诊断工程中心设弹簧末端受一力的静作用下有一静位移弹簧任意点应有位移,某一瞬时,质量块的速度为,则弹簧上任意点处的速度为设为单位长度上的质量,则弹簧段的动能为:这样，整根弹簧的动能为：(考虑弹簧质量)当系统过平衡位置时，动能达最大值.12/23/202243东北大学设备诊断工程中心整个系统的动能为：当系统过平衡位置时，动能达最大值：

由于我们假定的振动形势和不计弹簧质量时的振型是一样的，所以系统的势能仍和不计弹簧质量时一样。12/23/202244东北大学设备诊断工程中心由于又假设系统为简谐振动：12/23/202245东北大学设备诊断工程中心可见，要计及弹簧质量双系统固有频率的影响，只需要把弹簧质量的当作集中质量加到质量块上去，就可以得到满意的结果。用（Rayleigh）法求固有频率，关键在于假定振型的形式，能得到较高的精度。例如：当时，近似解的误差仅为0.5%,当时，误差为0.75%，当时，误差为3%。由于假定振型相当于给系统增加了刚度，用Rayleigh法求得的固有频率偏高。12/23/202246东北大学设备诊断工程中心例1-5设有一均质等截面简支梁，如图所示，中点集中一质量，梁的质量为，求系统的固有频率。12/23/202247东北大学设备诊断工程中心解：系统振动时，梁的振型和不计梁的质量接近，即梁在m质量的作用下产生的静挠曲线一样。所以我们假定静挠度为系统的振型。由材料力学知：(a)恒能成立12/23/202248东北大学设备诊断工程中心设振动过程中各点位移间的比值不变，即振型不变，这样系统又简化为单自由度系统。设为梁单位长度上的质量，则整个梁的动能为：12/23/202249东北大学设备诊断工程中心梁的刚度为挠度的倒数12/23/202250东北大学设备诊断工程中心若计算梁的质对系统的影响只要加上17m’/35即可。1—5节有限尼的自由振动工程上的任何系统中，振动时总是存在着各种形式的阻尼，因此振动系统过程中振幅逐渐减少而停止。阻尼有各种各样这样的系统称之为耗散系统，非保守系统。12/23/202251东北大学设备诊断工程中心

现在我们来讨论一下有阻尼系统，仍以静平衡位置为座标原点，写出运动微分方程如下12/23/202252东北大学设备诊断工程中心令解：得特征方程其解为：

为待定系数,由初始条件来确定。解:12/23/202253东北大学设备诊断工程中心运动的性质决定于根式是实数,零,还是虚数,引进一个无量刚的量

称为相对阻尼系数（或称之为阻尼比）当：12/23/202254东北大学设备诊断工程中心下面分别加以讨论(1）弱阻尼状态此时或利用欧拉公式:则解可写成:式中的为初始条件所确定：设：12/23/202255东北大学设备诊断工程中心令：式中：12/23/202256东北大学设备诊断工程中心可看成两条曲线的叠加。12/23/202257东北大学设备诊断工程中心由振动图形可以求出，系统的振动已不再是简谐振动，而是一衰减振动，振幅被限制在之内，随时间不断衰减，最终振动将消失，不在是周期函数，但相邻两峰间的时间是一定的，我们仍称之为周期用表示。由上式：为无阻尼自由振动周期，可见阻尼使系统的振动周期增大了，当阻尼较小时12/23/202258东北大学设备诊断工程中心例如：时，时，很小时，阻尼对周期的影响可忽略不计。系统的振幅接几何级数衰减，相邻两振幅之比为：式中称为减幅系数，快速减小12/23/202259东北大学设备诊断工程中心当时，振动一周后振幅减少，可见衰减是显著的。减幅系数的自然对数称为对数减幅系数用表示。可用来测定阻尼系数。12/23/202260东北大学设备诊断工程中心（2）强阻尼状态根式是实根。两个指数函数均为负实数，位移X按指数函数衰减，不再有振动的特征。

12/23/202261东北大学设备诊断工程中心

（3）临界阻尼状态特征方程具有二重根即：通解为：显然运动也是非周期性的。临界阻尼以表示12/23/202262东北大学设备诊断工程中心例1—6图示系统，弹簧刚度K=400N/cm，阻尼器阻尼系数C=2Nsec/cm,活塞质量m=5kg,以速度V=15m/s在缸内匀速移动，求碰上弹簧和阻尼器后的运动，碰上弹簧后的最大位移，及达最大位移所需的时间。12/23/202263东北大学设备诊断工程中心解：碰上弹簧后的运动微分方程为：运动方程：式中[由化为米]12/23/202264东北大学设备诊断工程中心由初始条件：当活塞向右移至最大位移的速度为零，由上式：令=0，得最大位移所需的时间：12/23/202265东北大学设备诊断工程中心求得最大位移:12/23/202266东北大学设备诊断工程中心1-6节单自由度系统的强迫振动振动领域中的一个重要的课题是求系统在外扰力作用下的响应，系统由外界持续激励所引起的振动，叫强迫振动。激振力的形式决定了响应的振动规律，我们从最简单的简谐激振动力讲起，然后推广到周期力的情况，最后讨论任意激励的响应。12/23/202267东北大学设备诊断工程中心1-6-1简谐激振力引起的强迫振动我们以电磁式振动台为例来说明有阻尼的单自由度系统在简谐激振力作用下的响应。1--平台面2—平板弹簧3—外壳4—导磁体5—励磁线圈6—振动线圈7—导杆12/23/202268东北大学设备诊断工程中心（1）振动微分方程及其解振动器供给的交流电是正旋波，所以产生的电磁力是简谐的,用来表示。频率与激振力幅值都可以调节。由受力分析：12/23/202269东北大学设备诊断工程中心

简化为：设：则有：（a）这个一个二阶常数非齐次微分方程，其全解由齐次微分方程的通解和非齐次微分方程的特解组成，即：齐次微分方程的解这在上一节已经讨论过，对应于有阻尼的振动解：12/23/202270东北大学设备诊断工程中心

（b）为任意常数下面我们来讨论特解令：（c）式中的为待定常数

12/23/202271东北大学设备诊断工程中心（c）式代入（a）式得：

—（d）—（e）将(e)式代入(d)整理得:(利用数学二角和公式)12/23/202272东北大学设备诊断工程中心这个方程对任意时间t都应恒等于零，由于对任意时刻：这个以与为未知量的一组二元一次方程组，联立解得：12/23/202273东北大学设备诊断工程中心由初始条件求待定系数设：12/23/202274东北大学设备诊断工程中心12/23/202275东北大学设备诊断工程中心这就是在初始条件下，简谐激振力作用下系统的响应，系统的运动两部分组成，第一项为初条件下的自由衰减振动，第二项，第三项为初位移，初速度均为零（不含初始条件）条件下系统突加激励引起的振动。所以系统的响应可看成作为12/23/202276东北大学设备诊断工程中心这两种运动的叠加。——这也是线性系统的重要特征之一。从得到的解可以看出，前两项是衰减的，经过一段时间后这两项系统的振动就会消失，最后的系统振动为：这是一种持续的等幅振动，称为稳态振动。（2）稳态强迫振动的特性。在简谐激励条件下，稳态强迫振动是简谐振动，其频率等于激振力的频率，强迫振动振幅B和相位差，只决定于系统本身的参数12/23/202277东北大学设备诊断工程中心和激振力的大小以及频率的大小，与初始条件无关。A）幅频特性振幅B的表达式改写如下：令：12/23/202278东北大学设备诊断工程中心得：12/23/202279东北大学设备诊断工程中心以为横座标，为纵坐标，对于不同的值，得一组频率响应曲线：讨论曲线：12/23/202280东北大学设备诊断工程中心B）相频特性激振力为，而它的强迫振动为后者比前者滞后一相角，——称为相角差。12/23/202281东北大学设备诊断工程中心12/23/202282东北大学设备诊断工程中心1-6-2偏心质量引起的强迫振动

旋转机械中，由于偏心质量引起的强迫振动现象很多。例如电机安装在简支梁中点，若电子转子偏心，则运动时将引起电机梁系统的强迫振动。12/23/202283东北大学设备诊断工程中心设电机质量M，转子偏心质量m，偏心距e，不计梁的质量，转子以等角速度匀速转动，以电机轴的静平衡位置为座标原点，坐标轴X向上为正，则任意瞬时电机（不包括偏心质量）的位置用坐标轴X表示，其加速度为，而偏心质量的加速度，由动静法写出平衡方程。得：12/23/202284东北大学设备诊断工程中心显然，偏心质量的离心惯性力在铅垂方向的投影相当于作用于系统上的激振力。整理上式：设稳态强迫振动方程为：12/23/202285东北大学设备诊断工程中心由上式可以看到，振幅B与偏心质量距me成正比，所以要减小系统的振动，必须尽量使转动部分不偏心，所以发电机，离心机，汽轮机等高速运转的转子都要做平衡试验，以解正其不平衡状态。由于偏心激振的“激振力”幅随而变化，所以幅频特性和上节介绍简谐激振力的情况有些不同，将上式改写成无量纲的量形式：12/23/202286东北大学设备诊断工程中心的物理意义是，把电机放在光滑的水平面上（无任何约束）当偏心质量由铅垂位置转到水平位置时，电机有水平位移X，由质心守恒条件知：

得：以为横坐标，（表示振幅是的多少倍）为纵坐标，画出幅频的响应曲线图。12/23/202287东北大学设备诊断工程中心当12/23/202288东北大学设备诊断工程中心例1—7惯性式激振器由两个带有偏心质块反向等速向内转动的齿轮子构成，旋转时，偏心力水平方向的分水相互平衡，惯性力的合力，为了测定某结构的振动特性，将激振器按装于结构的顶部。该结构的质量为200kg。激振器的转速为900rpm，闪光观测仪示出当结构物向上运动通过其平衡位置瞬间偏心重在顶上，且对应的振幅为2cm，如果每轮不均衡质量矩me是5kgcm。求：A）结构的固有频率B）结构的阻尼因子C）当激振器转速为1200rpm时的振幅和结构向上运动通过平衡位置，其偏心位置。12/23/202289东北大学设备诊断工程中心12/23/202290东北大学设备诊断工程中心解：1）方程与稳态解。稳态解为：由前面的结论共振时12/23/202291东北大学设备诊断工程中心2）向上运动通过平衡位置时，偏心在顶上，这名话意味着位移X的相位落后激振力，这是共振时的情形，因此，系统的固有频率等于此时的激振频率。由已知条件及振幅B的表达式：12/23/202292东北大学设备诊断工程中心3）当转数为可见此时位移与激振力的相角差是177033’，即当结构向上运动通过其平衡位置的瞬间，偏心在第二象限与水平线成而向下运动。12/23/202293东北大学设备诊断工程中心例1—8为了测定某一结构的阻尼系数，在其上按一惯性式激振器，不断变化激振器的速度，测得共振时的垂直振幅为1.07cm，在超过共振区很远时，垂直振幅趋于一定的值0.32cm。试计算该结构垂直方向的相对阻尼系数。解：由上例的结论为激振器的偏心矩12/23/202294东北大学设备诊断工程中心由于结构阻尼系数不易计算，上面的方法是一种简单的测定阻尼系数的方法。1-6-3支承运动引起的强迫振动

在许多情况下，系统产生强迫振动是由支承点的运动引起的。例如，机器振动引起仪表的振动，汽车驶过不平的路面产生的振动等等。

12/23/202295东北大学设备诊断工程中心设支承点做简谐振动以质块平衡位置为坐标原点，得出的运动微分方程如下：或：弹性力阻尼力12/23/202296东北大学设备诊断工程中心从上式可以看到，支承运动时，相当于系统上作用有两个激振力，即：弹簧传递过来的弹性力为阻尼力为。激振力：则有，合力则上式改写为：12/23/202297东北大学设备诊断工程中心设：则有：代入上式：12/23/202298东北大学设备诊断工程中心由矢量图知：求出B12/23/202299东北大学设备诊断工程中心位移支承间的相位差可求出如下：由于12/23/2022100东北大学设备诊断工程中心放大因子例1-9有一阻尼弹簧系统，如图所示，地面有水平运动，求质块对地面的稳态相对运动。12/23/2022101东北大学设备诊断工程中心解：以X表示质量块对惯性参数系坐标以表示质量块相对于地面的坐标，12/23/2022102东北大学设备诊断工程中心1-6-4隔振原理

有些机器设备运转时，振动是不可避免，不但会引起机器本身结构疲劳破坏，而且会影响周围机器的正常工作，振动时的噪声对人体也很有害，因此有效地隔振是现代化工业中的重要问题。隔振有主动隔振与被动隔振之分。12/23/2022103东北大学设备诊断工程中心被动隔振的情况如下图所示，振源来至地基，图示为未采取隔振措施的情形，机器随地基一起振动，振动的规律为：（a）未采取隔振措施(b)采取隔振措施的情形12/23/2022104东北大学设备诊断工程中心在基础上按上橡胶弹簧或其它弹性材料，由前面讨论的式子知：隔振效果用隔振系数来表示上式表示机器在采取隔振措施后，机器的振幅和未采取隔振措施时机器的振幅之比。12/23/2022105东北大学设备诊断工程中心主动隔振：机器本身是振源，例如共振筛，振动成型机等，为了减少对周围的影响，也把它与地基础隔离开来。主动隔振的效果用隔振系数表示，它是采取隔振措施后传到地基的力和没有隔振时传给地基的力之比。12/23/2022106东北大学设备诊断工程中心未隔振前，机器传给基础上的力为机器隔振传给基础上的力为：弹性力：阻尼力：两个同频率的合力相差，用旋转矢量合成得合力为：12/23/2022107东北大学设备诊断工程中心于是得隔振系数从被动隔振系数与主动隔振系数表达式，的随频率变化规律是相同的，从表达式中可以得出，只有当频率比时，才有隔振效果。12/23/2022108东北大学设备诊断工程中心例1—10冷冻设备质量，由3根弹簧K支承，设备在条件下运转，要求只有的振动力传给支承结构，忽略阻尼，求K=？解：由题意，而无阻尼时，12/23/2022109东北大学设备诊断工程中心例1—11一台精密仪器有8根弹簧（每边四个并联）作隔振装置，仪器，已知地板按规律振动，求隔振系数。解：系统的固有频率为：12/23/2022110东北大学设备诊断工程中心1-6-5周期激励的响应现在我们共同来讨论周期激振力

单缸活塞式发动机——圆周运动运动质量——相对机身往复运动质量12/23/2022111东北大学设备诊断工程中心解：坐标原点在转轴0的静平衡位置上，X轴向下为正。12/23/2022112东北大学设备诊断工程中心设整个发动机质量为M，以X表示机身的位置由动静法写出方程。

得：两个不平衡质量的相对惯性力相当于激振力，显然，激振力包括两部分一部分具有与曲柄转速相同频率，另一部分为两倍于曲柄转速的频率，总激励不再是简谐，而是周期激励。12/23/2022113东北大学设备诊断工程中心现设：这样总激振力为，利用线性振动的叠加原理，求稳态响应（忽略阻尼）得：显然，其振动的解已不是简谐振动而是周期振动了。12/23/2022114东北大学设备诊断工程中心由于激振力由两部分组成，此系统共有两个共振的可能性，一个是曲柄的转速等于系统的固有频率时，一是当曲柄的转速等于固有频率的一半时，由于我们用富氏展开时，仅取的是前两项，略去了高次项，而实际系统将会发生许多高次共振的，只是它们的幅值很小很小，一般情况下，任何一种周期干扰力都可以展开12/23/2022115东北大学设备诊断工程中心为富氏级数，也就是说可以把一组周期激励展成不同频率的简谐函数，设周期激振力用表示。则：由富氏展开：式中：为基频可求出如下：12/23/2022116东北大学设备诊断工程中心如果周期激励能够展开为富氏级数，则有阻尼振动微分方程如下：系统的解由两部分组成，一部分为微分方程的齐次解，另一部分为解齐次微分方程的特解，由叠加原理和稳态解的定义。12/23/2022117东北大学设备诊断工程中心系统的稳态响应为：式中：

从上式可知：右端任何一项的频率与固有频率相同时，系统将发生共振。也就是说，只要干扰的周期T等于固有振动周期或等于固有振动周期的整数倍，系统就会发生共振。12/23/2022118东北大学设备诊断工程中心例1—12一周期激振力为方型波，作用于一无阻尼弹簧质量系统，系统参数为，K，M，求稳态响应。解：把方波力函数展开为富氏级数。12/23/2022119东北大学设备诊断工程中心首先讨论值：由于对成反对称，而对成对称，所以两者乘积在一周期内积分等于零。又：中的偶数项，（是偶数）对成对称。而对成反对称，所以偶数项的，而为奇数时，12/23/2022120东北大学设备诊断工程中心得：设弹簧质量系统的固有频率为，则求出系统的稳态解为：12/23/2022121东北大学设备诊断工程中心仍为频率比：1-6-6任意激励的响应本节我们来共同讨论任意激励的情况。求任意激励振动的响应有几种方法，本节只给出杜哈曼积分（Duhamel）法。本方法的基本思想是把任意激振力的作用时间分为一系列的微小时间间隔每一小段时间12/23/2022122东北大学设备诊断工程中心内力的作用用元冲量来表示，分别求出系统对每个元冲量的响应，然后根据线性系统的叠加原理，把它们叠加起来，得到任意激励的响应。设任意激振力用表示，其运动微分方程为：把时间分成一系列的小间隔，任意力的作用成为一系列元冲量的相继作用，先看第一个元冲量的作用效果。12/23/2022123东北大学设备诊断工程中心设，在元冲量作用后，获得动量于是，