【浙教版】2017年秋八年级上《第2章特殊三角形》单元试卷含答案

第2章一、选择题(每小题3分，共30分)1下列图形中，是轴对称图形的是(A)下列四组线段能构成直角三角形的是(D)A.a=l,b=2,c=3B・a=2,b=3,c=4C・a=2,b=4,c=5D・a=3,b=4,c=5有下列命题：①同位角相等，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相等；④等边对等角.其中逆命题是真命题的有(B)A.l个B.2个C.3个D.4个如图，AB〃CD,AD=CD,Z1=70°，则Z2的度数是(C)A．20°B．35°C.40°D.70°(第4(第4题)5.如图，已知D为“ABC的边AB的中点，点E在AC上，将△ABC沿着DE折叠,使点A落在BC上的点F处.若ZB=65°，则ZBDF等于(B)A.65°B.50°C.60°D.57.5°【解】•「△DEF是ADEA沿直线DE翻折变换而来的,•••DF二AD.••D是AB的中点,「.AD二BDJ.BD二DF.

AZB二ZBFD.••NB二65°,•••ZBDF二180°-ZB-ZBFD二180°-65°-65°二50°.（第（第6题）6.如图，已知OP平分ZAOB,ZAOB=60°,CP=2,CFIIOA,PD丄OA于点D,PE丄OB于点E.如果M是OP的中点，那么DM的长是(C)A.2B.迈C.远D.A'37•如图，所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，已知S1=4,S2=9,S3=8,84=10，则S=(B)A.25B.31C.32D.40C.32D.40s,（第7题））如图，在△ABC中，ZC=90°,ZB=30。，以点A为圆心，任意长为半径画弧,分别交AB,AC于点M和N,再分别以点M,N为圆心，大于£mN长为半径画弧，两弧交于点P,连结AP并延长，交BC于点D,则下列说法中，正确的个数是(D)①AD是ZBAC的平分线；②ZADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④SDAC:SABC△DAC△ABC=1:3.A.1B.2C.3D.4（第（第9题）如图，等边三角形ABC的边长为4,AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点,E是AC边上一点.若AE=2,当EF+CF取得最小值时，/ECF的度数为(C)A.20°B.25°C.30°D.45°(第9题解)【解】如解图，过点E作EM//BC,交AB于点M,则ZAME=ZB，ZAEM二ZACB.•••△ABC是等边三角形，•••ZB二ZACB二60。，AB=AC=BC=4.•••ZAME二ZAEM二60°.・•・AM二AE二2.•BM=AB-AM=2.•AD是BC边上的中线，「.AD丄BC.•EMIIBC,•AD丄EM.•点E和点M关于AD对称.连结CM交AD于点F,连结EF,则此时EF+CF的值最小.•AC二BC,AM=BM,•ZECF二2ZACB二30°.如图，在四边形ABCD中，AC平分ZBAD,CE丄AB于点E,ZADC+ZABC=180°，有下列结论：①D=CB；②AD+AB=2AE；③ZACD=ZBCE；④AB—AD=2BE.其中正确的是(C)A.②B.①②③C.①②④D.①②③④【解】如解图，在EA上取点F,使EF二BE,连结CF.•••CE^AB,EF二BE,^CF=CB,^ZCFB=ZB.••NAFC+ZCFB二180°,ZADC+ZABC=180°,AZD=ZAFC.•AC平分/BAD,•••ZDAC二ZFAC./D二/AFC,在AACD和AACF中,•|ZDAC二/FAC,IaC二AC,•△ACD^^ACF(AAS).•AD=AF,CD=CF.^CD=CB,故①正确.AD+AB=AF+(BE+AE)=AF+EF+AE=AE+AE=2AE,故②正确.根据已知条件无法证明/ACD=/BCE,故③错误．AB-AD=AB-AF=BF=2BE,故④正确.综上所述,正确的是①②④.二、填空题(每小题3分,共30分)11.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是中线.若/B=60°，则/BAD=30°.

如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10cm,BC=12cm,则BC边上的高AD是8cm.如图，在△ABC中，ZC=31°,ZABC的平分线BD交AC于点D,如果DE垂直平分BC,那么ZA=87°.如图，△ABC的三边AB,BC,CA的长分别为40,50,60,其三条角平分线交于点。，则SAABO:f:Sacao=4：5：6-如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB,ZBAC=102°，则ZADC=52°.【解】^AC=AD=DB,•••ZB二/BAD,ZADC二ZC.设ZADC二a,贝g/B=ZBAD=a.2••NBAC二102°,「.ZDAC二102°-a2・■:ZADC+ZC+ZDAC二180°,•••2a+102°-a=180。，2解得a二52°,即ZADC二52°.16.如图，已知△ABC的周长是21,BO,CO分别平分ZABC和ZACB,OD丄BC,63垂足为D,且OD=3，则△ABC的面积是了.

【解】如解图，过点O作OE丄AB,OF±AC,垂足分别为E,F,连结OA,由角平分线的性质知OD=OE=OF,••QABc二S^aob+Loe+S^oc二2aB・OE+1BCOD+如。OF二1(AB+BC+AC)-ODX21X21X3二632-17.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6.若点P在边AC上移动，则BP的最小值【解】过点A作AD丄BC于点D,如解图.TAB二AC二5,BC二6,•••BD二3•••BD二3,/.AD二、：AB2-BD2二4.易得当BP±AC时，BP有最小值.此时1AD・BC二*BP.AC,得4得4X6二5BP,.•.BP二245-18.如图是两块完全一样的含30°角的直角三角尺，分别记做AABC与△ABC,现将两块三角尺重叠在一起，设较长直角边的中点为M,绕中点M转动上面的三角尺ABC,使其直角顶点C恰好落在三角尺ABC的斜边AB上.当ZA=30°,AC=10时，两直角顶点C,C间的距离是_5__.

【解】如解图，连结CC•:M是AC,AC的中点，AC=A'C'=10,^CM=A'M=C'M=1AC=5,2・・・ZA'CM二ZA『二30°,・・・ZCMC二60°.•••△MCC'为等边三角形.••・CC二CM二5.（第（第19题）19.按如图所示的方式作正方形和等腰直角三角形.若第一个正方形的边长AB=1,第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为耳，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S2……则第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和S=丄.2n2"+1【解】J第一个正方形的边长为1，第二个正方形的边长为二第三个正方形的边长为第n个正方形的边长为(¥)二••第n••第n个正方形的面积为(亨厂12_12n－1第n个等腰直角三角形的面积为丄X1二丄2n－142n+1••第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和S二丄+丄二」（第20题）如图，在RtAABC中，ZC=90°,ZABC=60°,D是BC边上的点，CD=1,将AACD沿直线AD翻折，点C刚好落在AB边上的点E处.若P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是1+3【解】•・•将AACD沿直线AD翻折，点C与点E重合，.•.ZAED二ZACD二90°,ED二CD二1.易得当点P与点D重合时，"EB的周长最小，最小值为BD+ED+EB.•••上ABC二60°,ZDEB二90°,BDE二30°,.BD二2BE.设BE二x,贝QBD二2x.由勾股定理，得12+x2=（2x）2,解得x=¥，即BE^3.:,BD=233..BD+ED+EB二1+辭,即APEB的周长的最小值是1+品.三、解答题（共40分）（6分）如图，已知AB=AC=AD,且AD〃BC,求证：ZC=2ZD.（第21题）【解】TAB二AC二AD,.ZC二ZABC,ZD二ZABD..ZABC=ZCBD+ZD.

•••ADIIBC,AZCBD二ZD.Z.ZABC二2ZD.又^ZC=ZABC,AZC=2ZD.（第22（第22题）(6分)如图，△ABC为等边三角形，DE丄BC,EF丄AC,FD丄AB,垂足分别为E,F,D,则ADEF是等边三角形吗？说明你的理由.【解】ADEF是等边三角形.理由如下：TDE丄BC,EF丄AC,FD丄AB,△ABC为等边三角形，•••ZA二60°,ZADF二ZCFE二90°,.•.ZAFD二30°,•ZDFE二180。-30°-90°二60°.同理，ZFDE二ZDEF二60°.•△DEF是等边三角形.(8分)如图，OE平分ZAOB，且EC丄OA,ED丄OB,垂足分别是C,D,连结CD与OE交于点F.求证：Z1=Z2.求证：OE是线段CD的垂直平分线.若Z1=30°,OC=2，求AOCD与ACDE的面积之差.【解】(l)TOE平分ZAOB,EC丄OA,ED丄OB,•••CE二DE,.•.,1二Z2.\OE=OE,⑵在R3OCE和R2ODE中，EC=ED,.•.R2OCE竺R3ODE(HL).・・・OC二OD.又JCE二DE,：.OE是线段CD的垂直平分线.(3)TZ1二30。，,OCE二90。，•••ZOCD二60°.••OC二OD,•••△OCD是边长为2的等边三角形，•CD二OC二2,ZCOD二60。,•,COE=zdoe=|Zcod=30°,•OE二2CE.设CE=x,则OE=2x.由勾股定理，得(2x)2=X2+22,解得x二羊,即CE二学OE=433.VZ1=30°,ZEFC二90。,•EF二1CE二看,.OF二OE-EF二电,•S-S二丄.CDOF-1-CDEF二复OCDCDE2CDOF2CDEF324.(10分)已知△ABC和AADE是等腰直角三角形，ZACB=ZADE=90°,F为BE的中点,连结DF,CF.如图①，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF,CF的数量关系和位置关系.如图②，在(1)的条件下将AADE绕点A顺时针旋转45°，请你判断此时(1)中的结论是否仍然成立,并证明你的判断.如图③，在(1)的条件下将AADE绕点A顺时针旋转90°，若AD=1,AC=^；2,求此时线段CF的长(直接写出结果).

解】(第24题)解】(1)TZACB二ZADE二90°,F为BE的中点,.•.DF二BF二1be,CF二*E,「.DF二CF.•••△ABC是等腰直角三角形，.ZABC二45°.••BF二DF,.ZDBF二ZBDF.•.NDFE二ZDBF+ZBDF,.ADFE=2ZDBF.同理，ACFE=2ZCBF,:.ADFE+ZCFE二2ZDBF+2ZCBF二2,ABC二90°,.DF丄CF.(2)(1)中的结论仍然成立．证明：如解图①，延长DF交BC于点G.•NADE二ZACB二90°,.DEIIBC.•••ZDEF二ZGBF,ZEDF二ZBGF.•F为BE的中点,.EF二BF.•••△DEFWGBF(AAS).：・DE二GB,DF=GF.•AD二DE,.AD二GB.•AC=BC,.AC-AD=BC-GB,即DC二GC.••NACB二90°,•••△DCG是等腰直角三角形.•DF二GF,.DF=CF,DF丄CF.(第24题解)⑶如解图②，延长DF交BA于点H.•••△ABC和AADE是等腰直角三角形，:.AC=BC,AD=DE,ZAED=ZABC=45°.由旋转可知ZCAE=ZBAD=ZACB=90°,：・AE//BC,.\ZAEB=ZCBE,AZDEF=ZHBF.F是BE的中点，・・・EF=BF.又VZDFE=ZHFB,/.△DEF^AHBF(ASA).・•・ED=BH.VBC=AC=^'2,ZACB=90°,AAB=4.•:BH=ED=AD=1,・AH=3.ZBAD=90。，・•・DH=帀,25．(10分)问题探究：如图①，在锐角△ABC中，分别以AB,AC为边向外作等腰AABE和等腰AACD,使AE=AB,AD=AC,ZBAE=ZCAD，连结BD,CE,试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由.深入探究：如图②，在四边形ABCD中，AB=7,BC=3,ZABC=ZACD=ZADC=45°，求BD的长.如图③，在(2)的条件下，当AACD在线段AC的左侧时，求BD的长.(第25题)【解】⑴BD二CE理由如下：•.NBAE二ZCAD,AZBAE+ZBAC二ZCAD+ZBAC,即ZEAC二ZBAD.AE二AB,在AEAC和ABAD中，vlZEAC二/BAD,(AC二AD,•••△EACWBAD(SAS)..・.BD二CE.⑵如解图①，在AABC的外部作等腰直角三角形BAE,使ZBAE二90°,AE=AB,连结EA,EB,EC.••NACD二ZADC二45°,•AC二AD,ZCAD=90°,•ZBAE+ZBAC=/CAD+/BAC,即ZEAC二ZBAD.AE=AB,在AEAC和ABAD中，vlZEAC二/BAD,^AC=AD,•••△EACMBAD(SAS).・・・EC二BD.vAE二AB二7,「.BE二-J72+72二7冷2易知/ABE=45°,又T/ABC二45°,•••/CBE二45°+45°二90°.•EC=、JBE2+BC2=^1'(^2)2+32二“..