【全国初中数学竞赛辅导】八年级：第四讲 分式的化简与求值

貪日"+2a+a+l+laTla;+2a-5a-6+1rr21El+1(2a+1)+貪日"+2a+a+l+laTla;+2a-5a-6+1rr21El+1(2a+1)+=[(2a+l)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)]第四讲分式的化简与求值分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据．在分式运算中，主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值．除此之外，还要根据分式的具体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答．本讲主要介绍分式的化简与求值．例1化简分式：2a2-8a+52a2-8a+5a+Sa-2分析直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化简将简便得多．解原式=1111++a+1a+2a-2a-31111—+—a+1a+'2a-a-31-1(a+l)(.a+2>+•阻+診更—.鎏「挈-8a+4(a+l)(a+2Xa-2)(a-^：说明本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式．

例2求分式1丄24g1.61_a1+a1+az1+a41+J1+a15当a=2时的值．分析与解先化简再求值．直接通分较复杂，注意到平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)，可将分式分步通分，每一步只通分左边两项．TOC\o"1-5"\h\z审卡―〔1+时+(1-韻，2^,8,1-6-E248_16.1-a2*1+a2'1+a41+a8'''1+护迸］+『》+电(1一/j(4816(l-a2XI+a2)丁1+a4+1+a8'+1+a16448161-a4+1+a4*l+aS+8816_16;1.6T^7+T7^+'f77^=T^rTT^32321-a3f=1-2a'例3若abc=1，例3若abc=1，求ab+a+1be+b+1ca+c+1的值.分析本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．解法1因为abc=1,所以a,b,c都不为零.原式=T^T7原式=T^T7+~ab+a+1abab+—*be+b+1abcca+：竇+1aabab^：：-：++

ab+a+1创彳匚+ab+aabca+abc+abaab1ab+a+11+ab+aa+1+aba+ab+1”ab+a+1解法2因为abc=1,所以aHO,bHO,cHO.

臣宾=+、：八’ab+a+abcbe+b+1cba+.6：+1cba+.6：+1b+l+bEbe+b+1bca+be+b—1—+b+——=1.解法戋由abc=l,例4化简分式：得解法戋由abc=l,例4化简分式：得a=/；；,将之代居摒式1*]*1

i2+3x+2''x2+5x+6S：2++1i'原式=伐+盹+1)1+仗+刁仗原式=伐+盹+1)1+仗+刁仗+3)=〔丙一筑+2)*(于丁亍才=_1___J球x+1x+48：2+5^+4'说明本题在将每个分式的分母因式分解后，各个分式具有(x+n)；+n+l)的一般形比与分式运算的通分思想方法相反，我们将上式拆成丄与亠=两项，这样，前后两冷分式中就有可以相,x+nx+n+1互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技巧．例5化简计算(式中a，b，c两两不相等)：

2a-b-c2b--c-a2c-a-b—2+—2+—2.a-ab-ap+beb-ab-be+c-ac-be+ab分析本题关键是搞清分式严丁-c的变形,.其他两项是类

a一M-ac+be似的，对于这个分式，显然分母可以分解因式为(a-b)(a-c)，而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c)，因此有下面的解法.解原式=(a-b)+(a-c'(a-b)('a原式=(a-b)+(a-c'(a-b)('a-e》：(b-c)+■(b-a)

：(b-c)(b-a)(c-a)+(c-b)

住-ajtft-5)；111111

++111111

+++++

a-da-bb-ab-c於一bc-a=0.说明本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用例6已知：x+y+z=3a(aH0，且x，y，z不全相等)，求分析本题字母多，分式复杂.若把条件写成分析本题字母多，分式复杂.若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0,那么题目只与x-a，y-a，z-a有关，为简化计算，可用换元法求解．解令x-a=u，y-a=v，z-a=w，则分式变为孚：罕乜二且由己知有u+v+w=0.将^+v+w=0两边平方得U+V+Wu2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=0.由于x，y，z不全相等，所以u，v，w不全为零，所以U2+V2+W2HO,从而有UV+VW+WU1u2+v+w"!2?即所求分式的值为-|■说明从本例中可以看出，换元法可以减少字母个数，使运算过程简化.例7化简分式：3.©+分析原式中只岀现了弓和严的形式，而且宀—y_瓷因此可用换元法.解224—=a,则X23晾式aa2a+1S-2a+3a8x+15例8若詰7i?药1求分式X4-6x3.©+分析原式中只岀现了弓和严的形式，而且宀—y_瓷因此可用换元法.解224—=a,则X23晾式aa2a+1S-2a+3a8x+15例8若詰7i?药1求分式X4-6x3-Sx2+18x+-23^^分析直按检前值代入原式求值，计算繁琐，可将S忑适当变形，化简分式后再计算求值．解34-馅J19凋朽二-2*4(x-4)2=3，即X2-8x+13=0.原式分子=(x4-8x3+13x2)+(2x3-16x2+26x)+(x2-8x+13)+io=x2(x2-8x+13)+2x(x2-8x+13)+(x2-8x+13)+10=10，原式分母=(X2-8x+13)+2=2,所以原式=y=5.说明本例的解法采用的是整体代入的方法,这是代入消元法的一种特殊类型,应用得当会使问题的求解过程大大简化．rt-i+h-ca~h+c--a+b+vTOC\o"1-5"\h\z例9若=—-一=,求coa心+巧3+&©+切的值ahc-""解法1利用比例的性质解决分式问题．⑴若a+b+cHO,由等比定理有a+b-ca-b+-a+b+cScJ-ba(a+b-cj+(a-b+c)+(-a+b+c)a+b+c所以a+b-c=c,a-b+c=b,-a+b+c=a,于是有(a+b)(a+c)〔b+c).2匚*2b*2a呂abcabc：-(2)若a+b+c=O,则a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b,于是有(a+b)(a+^.(b+c>-:_(-空-进书=abcabc?说明比例有一系列重要的性质，在解决分式问题时，灵活巧妙地使用,便于问题的求解．解法2设参数法．令a+b-c_a-b+c_-a+b+c逛ba则a+b=(k+l)c，①a+c=(k+l)b，②b+c=(k+l)a.③①+②+③有2(a+b+c)=(k+1)(a+b+c)，所以(a+b+c)(k-1)=0，故有k=1或a+b+c=0.当k=1时，(a+b)'(b+c)(c-:+a)2c*2a*-2b.、abcabc""(|+bgb+c)(c-+a>=(-够-加叨=_]abcabc?当a+b+c=0时，说明引进一个参数k表示以连比形式出现的已知条件，可使已知条件便于使用.练习四1.化简分式：5x2x~57x-10x2+x-6k2-k-12-6s+3