最新北师大版数学九年级上学期《期末考试试卷》含答案

精品试卷精品试卷2020-2021学年第一学期期末测试

北师大版九年级数学试题一．选择题1.若3a=2b（ab主0）,则下列比例式中正确的是（）A.a3B.b2C.A.a3B.b2C.D.下列事件中,是随机事件的是（）A.三角形任意两边之和大于第三边任意选择某一电视频道,它正在播放新闻联播a是实数，|a|>0在一个装着白球和黑球的袋中摸球,摸出红球已知0O的半径为4cm，点P在0O上，则OP的长为（）A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm4.如图，△ABC的顶点A、B、C均在0O上，若ZABC+ZAOC=75°，贝JZOAC的大小是（）25°B.50°C.65°D.75°5•如图，线段AB5•如图，线段AB两个端点坐标分别为A（4,6），B（6,2），以原点O为位似中心，在第三象限内将线段16.如图，点6是厶ABC的重心，下列结论中正确的个数有（）A.1个B.2A.1个B.2个C.3个D.4个DG1aeEDS1△BGC①G=2；®肓-反；®△EDG-^CBG；④产=4△BGC点C为线段AB的黄金分割点，且AC〉BC，下列说法正确的有（①AC=_1AB，②AC=35AB，③AB：AC=AC：BC，④ACuO.618AB22A.1个B.2个C.3个D.4个如图，将边长为6的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S1）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为s2），则S]与S2的关系为（）兀A.S[=S2B.S1<S2C.S[=S2D.S[〉S2132121212若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为4,称此抛物线为定弦抛物线.已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=2,将此抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线过点（）A.（1，0）B.（1，8）C.（1，-1）D.（1，-6）10.如图坐标系中，O（0,0），A（3,3伍），B（6,0），将AOAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段6OB上的点E处，若OE=5，则AC：AD的值是（）D.7：8A.1：2B.2：3C.D.7：8二．填空题11.抛物线y=（x-1）2-2与y轴的交点坐标・12.计算：2sin245。-tan45°=13.如图，直线13.如图，直线1］〃12〃13,直线AC交I，12,13于点A，B，C；直线DF交12,13于点D，E,F,已知ABAC3则14•如图，点二，三，匚均在：：正方形网格格点上，过二，三，匚三点的外接圆除经过二，三，匚三线CD则14•如图，点二，三，匚均在：：正方形网格格点上，过二，三，匚三点的外接圆除经过二，三，匚三线CD的对称点为E,若点E落在半径OA上，则OE=EFDE点外还能经过的格点数为JAJP11—115•如图，扇形OAB中，ZAOB=60°,OA=4,点C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直116•如图，抛物线y=-3(x+1)(x-9)与坐标轴交于A、B、C三点，D为顶点，连结AC，BC.点P是PF该抛物线在第一象限内上的一点.过点P作y轴的平行线交BC于点E,连结AP交BC于点F,贝9的AF最大值为．三．解答题一个不透明的袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．采用树状图或列表法列出两次摸出小球出现所有可能结果；求摸出的两个小球号码之和等于4的概率．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠的澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离(CD的长)约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°，测得B点的俯角为20°，求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离(AB的长).(已知J.732,tan20°".36，结果精确到0.1)19.如图，锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上,AG丄BC于点G，AF丄DE于点F，/EAF=/GAC.(1)求证：△ADEs^ABC；、•■川(2)若AD=3，AB=5，求，的值.■i(J20.如图，在△ABC中,AB=AC,0O是厶ABC的外接圆,D为弧AC的中点,E是BA延长线上一点，ZDAE=105°.求ZCAD度数；若0O的半径为4,求弧BC的长.我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务，据市场调查，天猫超市在销售一种进价为每件40元的护眼台灯中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示：（1）当销售单价定为50元时，求每月的销售件数；（2）设每月获得的利润为W（元），求利润的最大值；3）由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月获得的利润不低于8000元，那么每月的成本最少需要多少元？（成本=进价x销售量）如图①，是一张直角三角形纸片，ZB=90°,AB=12,BC=8,小明想从中剪出一个以ZB为内角且面积最大的矩形，经过操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大.（1）请通过计算说明小明的猜想是否正确；（2）如图②，在△ABC中，BC=10,BC边上的高AD=10，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求矩形PQMN面积的最大值；（3）如图③，在五边形ABCDE中，AB=16,BC=20,AE=10,CD=8，ZA=ZB=ZC=90°.小明从中剪出了一个面积最大的矩形（ZB为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积.图①图②图③23.如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A,顶点为D.（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点〔，使厶EDC的周长最小，求符合条件的E点坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得ZAPB=ZOCB?若存在，求出PB2的值；若不存在，请

说明理由．AAHZ)HDBSoo0FEEEU3_C匿AAHZ)HDBSoo0FEEEU3_C匿|124•已知：在0O中，弦AC丄弦BD,垂足为H,连接BC,过点D作DE丄BC于点E,DE交AC于点F(1)如图1,求证：BD平分ZADF；(2)如图2,连接OC,若AC=BC，求证：OC平分ZACB；(3)如图3,在(2)的条件下，连接AB,过点D作DN〃AC交0O于点N,若AB=^.;10,DN=9.求sinZADB的值.答案与解析一．选择题1.若3d2bdb°,则下列比例式中正确的是（）a3A.B.C.D.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据比例的基本性质直接判断即可.【详解】由3a2bab0,根据比例性质，两边同时除以6,可得到£2,故选C.点睛】本题考查比例的基本性质,掌握性质是解题关键.2.下列事件中,是随机事件的是（）二角形任意两边之和大于第二边任意选择某一电视频道，它正在播放新闻联播c.a是实数，|a|>0D.在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球【答案】B【解析】【分析】随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，根据定义即可判断【详解】A、三角形任意两边之和大于第三边是必然事件，故选项不合题意;B、任意选择某一电视频道，它正在播放新闻联播，是随机事件，故选项符合题意;C、a是实数，|a|》0是必然事件，故选项不合题意；D、在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，是不可能事件，故选项不合题意.故选：B•【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件•不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件•不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.3•已知®0的半径为4cm，点P在®0上，则0P的长为（）A.2cmB.4cmC.6cmD.8cmA.2cmB.4cmC.6cmD.8cm【答案】B【解析】【分析】根据点在圆上，点到圆心的距离等于圆的半径求解．【详解】T0O的半径为4cm，点P在0O上，0P=4cm.故选：B.【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设0O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有：点P在圆外od>r；点P在圆上od=r；点P在圆内odVr.4.如图，△ABC的顶点A、B、C均在00上，若ZABC+ZAOC=75°，贝^ZOAC的大小是()A.25°B.50°C.65°D.75°【答案】C【解析】【分析】根据圆周角定理得出ZA0C=2ZABC,求出ZAOC=50。，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可.【详解】解：•・•根据圆周角定理得：ZAOC=2ZABC,VZABC+ZAOC=75°，2.\ZAOC=3x75。=50。，•0A=0C,1.•・Z0AC=Z0CA=—(180°-ZAOC)=65°,2故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出ZAOC是解此题的关键.5•如图，线段AB两个端点坐标分别为A(4,6),B(6,2),以原点O为位似中心，在第三象限内将线段

【答案】A【解析】【详解】解：•・•线段AB的两个端点坐标分别为A(4,6),B(6,2),以原点O为位似中心，在第三象1限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD,・•・端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，・•・端点C的坐标为：(-2,-3).故选A．6•如图，点6是厶ABC的重心，下列结论中正确的个数有()DGAEEDGBABBC:③厶EDGs^CBG；④-EGD△BGCDGAEEDGBABBC:③厶EDGs^CBG；④-EGD△BGC答案】DB.2个C.3个D.4个解析】分析】根据三角形的重心的概念和性质得到AE,CD是△ABC的中线，根据三角形中位线定理得到DE〃BC,DE1=2BC,根据相似三角形的性质定理判断即可.【详解】解：•・•点G是△ABC的重心，・AE,CD是△ABC的中线，1:.DE//BC,DE=—BC,2.•.△DGEsABGC,DGGB1=2，①正确;AEDGGB1=2，①正确;AE_EDAB_BC②正确；S―EGD_SaBGC12_二,④正确,△EDG^^CBG,③正确;故选D.【点睛】本题考查三角形的重心的概念和性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题关键.点C为线段AB的黄金分割点，且AC〉BC,下列说法正确的有（）①AC=*5_1AB，②AC=35AB，③AB：AC=AC：BC，④AC".618AB22A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值进行解答即可得.【详解】・・•点C数线段AB的黄金分割点，且AC〉BC,,.AC=咛AB，故①正确;由AC=卡5-1AB，故②错误；2BC：AC=AC：AB，即：AB：AC=AC：BC，③正确；ACmO.618AB，故④正确，故选C・J5-1【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，熟记黄金分割的比为是解题的关键.2如图，将边长为6的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S1）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S2），则S］与S2的关系为（）AB

兀A.S]=-S2B.S]VS2C.S]=S2D.S1>S2【答案】D【解析】【分析】1由正六边形的长得到EAC的长，根据扇形面积公式二㊁x弧长x半径，可得结果.【详解】由题意：EAC的长度二6x4=24，11S2=—x弧长x半径二—x24x6=72,•・•正六边形ABCDEF的边长为6,.・・ODE为等边三角形，ZODE=60。，OD=DE=6,・・・OG=ODsin60o=6x二=3打，2]❷・・S]=6x—x6x3^/3—54^3，・S1>S2，故选：D．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、扇形面积公式；熟练掌握正六边形的性质，求出弧长是解决问题的关键．若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为4,称此抛物线为定弦抛物线.已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=2，将此抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线过点（）A.（1，0）B.（1，8）C.（1，-1）D.（1，-6）【答案】A【解析】【分析】根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．【详解】•・•某定弦抛物线的对称轴为直线x=2,・•・该定弦抛物线过点(0,0)、(4,0),•°•该抛物线解析式为y=x(x-4)=x2-4x=(x-2)2-4.将此抛物线向左平移2个单位,再向上平移3个单位,得到新抛物线的解析式为y=(x-2+2)2-4+3=x2-1.当x=1时,y=x2-1=0,•得到的新抛物线过点(1,0)．故选：A.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质,根据定弦抛物线的定义结合其对称轴,求出原抛物线的解析式是解题的关键．10•如图坐标系中，O(0,0),A(3,3J3),B(6,0),将△OAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段6OB上的点E处，若OE=5，则AC：AD的值是()A.1：2B.2：3C.6：7D.7：8【答案】B【解析】【分析】过A作AF丄OB于F,如图所示：根据已知条件得到AF=3*3,OF=3,OB=6,求得ZAOB=60。，推出△AOB是等边三角形，得到ZAOB=ZABO=60°,根据折叠的性质得到ZCED=ZOAB=60°,求得ZOCE=ZDEB,624根据相似三角形的性质得到BE=OB-OE=6-5=丁，设CE=a,则CA=a,CO=6-a,ED=b,则AD=b,DB=6-b于是得到结论.【详解】过A作AF丄OB于F,如图所示：•.•A(3,3朽),B(6,0),.•・AF=3+''3,OF=3,OB=6,・•・BF=3,.OF=BF，・AO=AB，•・ZAOB=60。，••△AOB是等边三角形，•・ZAOB=ZABO=60。，.•将AOAB沿直线CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处,•・ZCED=ZOAB=60。，/ZOCE+ZCOE=ZOCE+60°=ZCED+ZDEB=60°+ZDEB，•・ZOCE=ZDEB,•.△CEOs^EDB,OECECO・__•BD=ED=~BE，6/OE=5'624•・BE=OB-OE=6-5=亏设CE=a,则CA=a,CO=6-a,ED=b，贝AD=b,DB=6-b,66—aa_则=a,24b,6一bb5.•・6b=30a-5ab①，24a=30b-5ab②，②-①得：24a-6b=30b-30a,

a2即AC:AD=2:3．故选：B.【点睛】本题考查了翻折变换-折叠问题，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，证得AAOB是等边三角形是解题的关键.二.填空题11.抛物线y=(x-1)2-2与y轴的交点坐标是【答案】(0,【解析】-1)【分析】将x=0代入y=(x-1)2-2,计算即可求得抛物线与y轴的交点坐标.【详解】解：将x=0代入y=(x-1)2-2,得y=-1,所以抛物线与y轴的交点坐标是(0，-1).故答案为(0，-1).【点睛】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0求出交点的纵坐标是解题的关键.的12.计算：2sin245。-tan45°=.【答案】0解析】-1=2-1=2x2-1=0,则则故答案为0.AB113•如图，直线1］〃12〃13,直线AC交I.12,13于点A,B,C；直线DF交1.12,13于点D，E,F,已知二3，AC3EFDE答案】2解析】

分析】根据题意求得BC~AB，根据平行线分线段成比例定理解答.13'分析】根据题意求得BC~AB，根据平行线分线段成比例定理解答.13'BCA=2,•••liW，EFBC==2DEAB故答案为：2．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．14•如图，点二，三，C均在■::的正方形网格格点上，过二，三，C三点的外接圆除经过二，3■，匚三点外还能经过的格点数为J逻A11【答案】5.解析】试题分析：根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案.如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O,JpA002G以O为圆心、OA为半径作圆，则0O即为过A，B，C三点的外接圆，由图可知，OO还经过点D、E、F、G、H这5个格点，故答案为5．考点：圆的有关性质.15•如图，扇形OAB中，ZAOB=60°,OA=4，点C为弧AB的中点，D为半径OA上一点，点A关于直线CD的对称点为E,若点E落在半径OA上，则OE=.【答案】4爲-4【解析】【分析】连接OC,作EF丄OC于F,根据圆心角、弧、弦的关系定理得到ZAOC=30。，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到ZECF=45°,根据正切的定义列式计算，得到答案.【详解】连接OC,作EF丄OC于F,•・•点A关于直线CD的对称点为E,点E落在半径OA上,.•・CE=CA,*•*AC=BC,1.•・ZAOC=—ZAOB=30°,2OA=OC，.\ZOAC=ZOCA=75°,CE=CA，.\ZCAE=ZCEA=75°,.\ZACE=30°,.\ZECF=ZOCA-ZACE=75°-30°=45°,设EF=x，贝9FC=x,EF在RtAEOF中，tanZEOF=：OF

OF=OF=tan30由题意得，OF+FC=OC，即J3x+x=4,解得，x=2-3-2,•.•ZEOF=30。,.•・OE=2EF=4y'3-4,故答案为：4帯3-4.【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、解直角三角形的应用、三角形内角和定理，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.116•如图，抛物线y=-3（x+1）（x-9）与坐标轴交于A、B、C三点，D为顶点，连结AC,BC.点P是PF该抛物线在第一象限内上的一点.过点P作y轴的平行线交BC于点E,连结AP交BC于点F,贝的AF最大值为最大值为81【答案】石【解析】【分析】根据抛物线的解析式求得A、B、C的坐标，进而求得AB、BC、AC的长，根据待定系数法求得直线BC的解析式，作PN丄BC,垂足为N.先证明△PNEsABOC,由相似三角形的性质可知PN=3巴PE，然后10PF再证明△PFNs^AFC,由相似三角形的性质可得到PF:AF与m的函数关系式，从而可求得的最大值.AF1【详解】•抛物线y=-3（x+1）（x-9）与坐标轴交于A、B、C三点，.A（-1，0），B（9，0），令x=0,则y=3,.C（0，3），••・BC*OB2+OC2+3=3事10，设直线BC••・BC*OB2+OC2+3=3事10，设直线BC的解析式为y=kx+b．19k+b二01T将B、C的坐标代入得：1b_3，解得k=-3,b=3，・•・直线BC的解析式为y=-1x+3.1设点P的横坐标为m,则纵坐标为-3(m+1)(m-9),111PE=-3(m+1)(m-9)-(-3m+3)=-3m2+3m.点E(m，13m+3),作PN丄BC,垂足为N.•.•PE〃y轴，PN丄BC,•ZPNE=ZCOB=90°,ZPEN=ZBCO.•••△PNEsABOC.PN=OB=_9_=巫…PE=BC=3.10="TF•...pn=竺10PE=(-1m2+3m).10103TAB2=(9+1)2=100,AC2=12+32=10,BC2=90AC2+BC2=AB2．ZBCA=90°,又•.•ZPFN=ZCFA,△PFNs^AFC.PF=PN=3f(-1m2+3m)1AFAC—而9=-m2+m=-10101981(m-—)2+102401•a_-<0,10・••当m2时，tF的最大值为40•2AF40故答案为：81故答案为：8140"【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数图象上点的坐标特征、一PF次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及相似三角形的证明与性质，求得"与m的函AF数关系式是解题的关键．三．解答题一个不透明袋子中装有3个标号分别为1、2、3的完全相同的小球，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球．（1）采用树状图或的列表法列出两次摸出小球出现的所有可能结果；（2）求摸出的两个小球号码之和等于4的概率．1【答案】⑴见解析；⑵3.【解析】【分析】（1）画树状图列举出所有情况；（2）让摸出的两个球号码之和等于4的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】解：（1）根据题意，可以画出如下的树形图：从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有6种．（2）由树状图知摸出的两个小球号码之和等于4的有2种结果，21・••摸出的两个小球号码之和等于4的概率为=.【点睛】本题要查列表法与树状图法求概率，列出树状图得出所有等可能结果是解题关键.港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．如图是港珠澳大桥的海豚塔部分效果图，为了测得海豚塔斜拉索顶端A距离海平面的高度，先测出斜拉索底端C到桥塔的距离（CD的长）约为100米，又在C点测得A点的仰角为30°,测得B点的俯角为20°,求斜拉索顶端A点到海平面B点的距离（AB的长）.（已知^3-1.732,tan20°".36，结果精确到0.1）

【答案】斜拉索顶端A点到海平面B点的距离AB约为93.7米.【解析】【分析】在RtAACD和RtABCD中，根据锐角三角函数求出AD、BD,即可求出AB.【详解】如图，-57.73（米）,由题意得，在△ABC中，CD=100,ZACD=30°,ZDCB=20°,CD丄AB,-57.73（米）,Rt^ACD中，AD=CD・tanZACD=100x在Rt^BCD中，BD=CD・tanZBCD-100x0.36-36(米),••・AB=AD+DB=57.73+36=93.73-93.7(米)，答：斜拉索顶端A点到海平面B点的距离AB约为93.7米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题问题,掌握锐角三角函数的意义是解题的关键19•如图，在锐角三角形ABC中，点D,E分别在边AC,AB上,AGLBC于点G,AF丄DE于点F,/EAF=/GAC.求证：△ADEs^ABC；、川若AD=3,AB=5，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）5.【解析】【分析】(1)由于AG丄BC,AF丄DE,所以ZAFE=ZAGC=90。，从而可证明ZAED=ZACB，进而可证明△ADEs^ABC；ADAEAFAE(2)△ADEs^ABC,二，又易证厶EAFs^CAG，所以二，从而可求解.ABACAGAC【详解】(1)TAG丄BC,AF丄DE,.\ZAFE=ZAGC=90°，•?ZEAF=ZGAC，AZAED=ZACB，VZEAD=ZBAC，.•.△ADEs^ABC,(2)由(1)可知：△ADEs^ABC,ADAE3•…5由(1)可知：ZAFE=ZAGC=90°,?.ZEAF=ZGAC,.•.△EAFs^CAG,AFAE•AGACAF3••AG5考点：相似三角形的判定20.如图，在△ABC中，AB=AC,0O是厶ABC的外接圆,D为弧AC的中点,E是BA延长线上一点，ZDAE=105°.求ZCAD的度数；若0O的半径为4,求弧BC的长.

【答案】(1【答案】(1)ZCAD=35°；(2)16~9解析】分析】(1)由AB=AC，得到AB=AC，求得ZABC=ZACB，推出ZCAD=ZACD，得到ZACB=2ZACD，于是得到结论；⑵根据平角的定义得到ZBAC=40°,连接OB,OC，根据圆周角定理得到ZBOC=80°，根据弧长公式即可得到结论．【详解】(1)TAB=AC,•:AB=AC，.\ZABC=ZACB，•••D为AC的中点,AD=CD，.\ZCAD=ZACD，•:AB=2AD，.\ZACB=2ZACD，又VZDAE=105°，.•・ZBCD=105。，1.\ZACD=3灯05。=35。,.\ZCAD=35°；(2)VZDAE=105°，ZCAD=35°，.\ZBAC=180°-ZDAE-ZCAD=40°,连接OB，OC，.•・ZBOC=80。，

.••弧BC.••弧BC的长=nnr=80kx418016k点睛】本题考查了三角形的外接圆和外心，圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理，垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务，据市场调查，天猫超市在销售一种进价为每件40元的护眼台灯中发现：每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示：当销售单价定为50元时，求每月的销售件数；设每月获得的利润为W(元)，求利润的最大值；由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月获得的利润不低于8000元，那么每月的成本最少需要多少元？(成本=进价x那么每月的成本最少需要多少元？(成本=进价x销售量)【答案(1)500件；(2)利润的最大值为9000；(3)每月的成本最少需要10000元．【解析】【分析】⑴设函数关系式为y=kx+b，把(40,600),(75,250)代入，列方程组即可.根据利润=每件的利润x销售量，列出式子即可.思想列出不等式求出x的取值范围，设成本为S,构建一次函数，利用二次函数的性质即可解决问题.【详解】(1)设函数关系式为y=kx+b，「40k+b二600把(40,600)，(75,250)代入可得仁[75k+b二250fk=—10解得：|b=1000，.*.y=-10x+1000,当x=50时，y=-10x50+1000=500(件)；(2)根据题意得，W=(x-40)(-10x+1000)=-10x2+1400x-40000=-10(x-70)2+9000．当x=70时，利润的最大值为9000；x<75—10x2+1400x-40000>8000解得：60<x<75设成本为S，.•・S=40(-10x+1000)=-400x+40000,•・•-400V0,.S随x增大而减小,••・x=75时，S有最小值=10000元，答：每月的成本最少需要10000元．【点睛】本题考查了二次函数、一次函数的实际应用，不等式组的应用等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．如图①，是一张直角三角形纸片，ZB=90°,AB=12,BC=8,小明想从中剪出一个以ZB为内角且面积最大的矩形，经过操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大.请通过计算说明小明的猜想是否正确；如图②，在△ABC中，BC=10,BC边上的高AD=10，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求矩形PQMN面积的最大值；如图③，在五边形ABCDE中，AB=16,BC=20,AE=10,CD=8,ZA=ZB=ZC=90°.小明从中剪出了一个面积最大的矩形(ZB为所剪出矩形的内角)，求该矩形的面积.图①图②图③【答案(1)正确，理由见解析；(2)当a=5时，S矩形mnpq最大为25；(3)矩形的最大面积为180.【解析】【分析】2(1)设BF=x，则AF=12-x,证明△AFEs^ABC,进而表示出EF,利用面积公式得出SBDEF=-(x-矩形BDEF36)2+24，即可得出结论；⑵设DE=a,AE=10-a,则证明△APN^^ABC,进而得出PN=10-a,利用面积公式S矩形MNPQ=-(a-5)2+25,即可得出结果；⑶延长BA、DE交于点F,延长BC、ED交于点G,延长AE、CD交于点H,取BF中点I,FG的中点K,连接IK,过点K作KL丄BC于L,由矩形性质知AE=EH=10、CD=DH=8，分别证厶AEF^AHED、△CDG9AHDE得AF=DH=8、CG=HE=10,从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用(1)的结论解答即可．【详解】(1)正确；理由：设BF=x(0VxV12),•.•AB=12,AF=12-x,过点F作FE〃BC交AC于E,过点E作ED#AB交BC于D,・•・四边形BDEF是平行四边形，VZB=90°,・•・BDEF是矩形，EF#BC,.•.△AFEs^ABC,AFEF…AB=BC，12-xEF…~12r，2.•・EF=3(12-x),22•••S矩形bdef=EF・bf=3(12-x)・x=-3(x-6)2+24•:当x=6时，S矩形BDEF最大=24，.BF=6,AF=6,.AF=BF,・•・当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大；(2)设DE=a,(0VaV10),AD=10,.AE=10-a,•四边形MNPQ是矩形，.PQ=DE=a,PN#BC,.•.△APNsAABC,PNAE~BC=~ADPN10-a10=10.•・PN=10-a,•••S矩形mnpq=PN・PQ=(10-a)・a=-(a-5)2+25,•••当a=5时，S矩形mnpq最大为25；(3)延长BA、DE交于点F,延长(3)延长BA、DE交于点F,延长BC、ED交于点G,延长AE、CD交于点H,取BF中点I,FG的中点K,连接IK,过点K作KL丄BC于L,如图③所示:HADL.GB图③VZA=ZHAB=ZBCH=90°,・•・四边形ABCH是矩形,•.•AB=16,BC=20,AE=10,CD=8,EH=10、DH=8,AE=EH、CD=DH,^FAE二ZDHE=90在AAEF和AHED中，SAE=EHZAEF=ZHED△AEF^AHED(ASA),AF=DH=8,BF=AB+AF=16+8=24,同理ACDG^AHDE,CG=HE=10,BG=BC+CG=20+10=30,1BI=BF=12,2BI=12V16,

・•・中位线IK的两端点在线段AB和DE上，1.•.IK二一BG=15,2由(1)知矩形的最大面积为BI・IK=12x15=180.【点睛】本题是四边形综合题，主要考查矩形判定与性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质、全等三角形的判定与相似三角的形的判定是解题的关键．23.如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=-x2+bx+c经过B、C两点，与x轴另一交点为A,顶点为D.(1)求抛物线的解析式；在x轴上找一点〔，使厶EDC的周长最小，求符合条件的E点坐标；在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得ZAPB=ZOCB?若存在，求出PB2的值；若不存在，请说明理由.VA.V*D:D:D【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)点E(3，0)；(3)PB2的值为16+8.【解析】【分析】求出点B、C的坐标分别为(3,0)、(0，3)，将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；如图1,作点C关于x轴的对称点C',连接CD'交x轴于点E,则此时EC+ED为最小，AEDC的周长最小，即可求解；分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，由勾股定理可求解.【详解】(1)直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，令x=0,则y=3,令y=0,则x=3,・••点B、C的坐标分别为(3,0)、(0,3),将点B、C的坐标代入二次函数表达式得:—9—9+3b+c二0c二3解得:故函数的表达式为：y=-x2+2x+3；(2)如图1,作点C关于x轴的对称点C,连接CD交x轴于点E,此时EC+ED为最小，则△EDC的周长最小，JIoC耳~罕~?圏1令x=0,则-x2+2x+3=0,解得：x1=T，x2二3,・••点A的坐标为(-1,0),*•*y=-x2+2x+3=—(x-1)2+4,・•・抛物线的顶点D的坐标为(1,4),则点C'的坐标为(0,-3),设直线CD的表达式为y二kx+b,Fk+b二4将C'、D的坐标代入得］b=-3k二7b=-3'・•・直线C'D的表达式为：y=7x-3,3当y=0时，x=7,3故点E的坐标为(7,0)；①当点P在x轴上方时，如图2,

、P*01卜/