高中数学新版必修一课时跟踪检测试题汇编及解析

课时跟踪检测（一）集合的含义A级——学考合格性考试达标练1．下列说法正确的是()A．某班中年龄较小的同学能够组成一个集合B．由1，2，3和eq\r(9)，1，eq\r(4)组成的集合不相等C．不超过20的非负数组成一个集合D．方程(x－1)(x＋1)2＝0的所有解组成的集合中有3个元素解析：选CA项中元素不确定．B项中两个集合元素相同，因为集合中的元素具有无序性，所以两个集合相等．D项中方程的解分别是x1＝1，x2＝x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个元素．2．已知集合A中的元素x满足x－1<eq\r(3)，则下列各式正确的是()A．3∈A且－3∉A B．3∈A且－3∈AC．3∉A且－3∉A D．3∉A且－3∈A解析：选D∵3－1＝2>eq\r(3)，∴3∉A.又－3－1＝－4<eq\r(3)，∴－3∈A.3．下面几个命题中正确命题的个数是()①N*中最小的数是1；②若－a∉N*，则a∈N*；③若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2；④x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素．A．0 B．1C．2 D．3解析：选CN*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a∉N*，且a∉N*，故②错；若a∈N*，则a的最小值是1，又b∈N*，b的最小值也是1，当a和b都取最小值时，a＋b取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．4．已知集合A含有三个元素2，4，6，且当a∈A，有6－a∈A，则a为()A．2 B．2或4C．4 D．0解析：选B若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；若a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0∉A.故选B.5．由实数－a，a，|a|，eq\r(a2)所组成的集合最多含有的元素个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B当a＝0时，这四个数都是0，所组成的集合只有一个元素0.当a≠0时，eq\r(a2)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a>0，,－a，a<0，))所以一定与a或－a中的一个一致．故组成的集合中最多含有两个元素，故选B.6．下列说法中：①集合N与集合N＋是同一个集合；②集合N中的元素都是集合Z中的元素；③集合Q中的元素都是集合Z中的元素；④集合Q中的元素都是集合R中的元素．其中正确的有________(填序号)．解析：因为集合N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以①③中的说法不正确，②④中的说法正确．答案：②④7．已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A．(填∈或∉)．解析：∵a是偶数，b是奇数，∴a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b∉A，ab∈A.答案：∉∈8．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2<x<a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________．解析：∵x∈N，2<x<a，且集合P中恰有三个元素，易知a＝6.答案：69．设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．解：∵a∈A且3a∈A，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<6，,3a<6，))解得a<2.又a∈N，∴a＝0或1.10．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值．解：因为集合A，B相等，则x＝0或y＝0.(1)当x＝0时，x2＝0，不满足集合中元素的互异性，故舍去．(2)当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1.由(1)知x＝0应舍去．综上可知：x＝1，y＝0.B级——面向全国卷高考高分练1．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是()A．P是由元素1，eq\r(3)，π组成的集合，Q是由元素π，1，|－eq\r(3)|组成的集合B．P是由π组成的集合，Q是由3.14159组成的集合C．P是由2，3组成的集合，Q是由有序数对(2，3)组成的集合D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数组成的集合，Q是方程x2＝1的解集解析：选A由于A中P，Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．故选A.2．若以集合A的四个元素a，b，c，d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A．梯形 B．平行四边形C．菱形 D．矩形解析：选A由于a，b，c，d四个元素互不相同，故它们组成的四边形的四条边都不相等．3．若集合A中有三个元素1，a＋b，a；集合B中有三个元素0，eq\f(b,a)，b.若集合A与集合B相等，则b－a＝()A．1 B．－1C．2 D．－2解析：选C由题意可知a＋b＝0且a≠0，∴a＝－b，∴eq\f(b,a)＝－1.∴a＝－1，b＝1，故b－a＝2.4．已知a，b是非零实数，代数式eq\f(|a|,a)＋eq\f(|b|,b)＋eq\f(|ab|,ab)的值组成的集合是M，则下列判断正确的是()A．0∈M B．－1∈MC．3∉M D．1∈M解析：选B当a，b全为正数时，代数式的值是3；当a，b全是负数时，代数式的值是－1；当a，b是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B正确．5．不等式x－a≥0的解集为A，若3∉A，则实数a的取值范围是________．解析：因为3∉A，所以3是不等式x－a<0的解，所以3－a<0，解得a>3.答案：a>36．若集合A中含有三个元素a－3，2a－1，a2－4，且－3∈A，则实数a的值为________．解析：(1)若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，满足题意．(2)若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性．(3)若a2－4＝－3，则a＝±1.当a＝1时，A＝{－2，1，－3}，满足题意；当a＝－1时，由(2)知不合题意．综上可知：a＝0或a＝1.答案：0或17．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则eq\f(1,1－a)∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明：(1)若a∈A，则eq\f(1,1－a)∈A.∵2∈A，∴eq\f(1,1－2)＝－1∈A.∵－1∈A，∴eq\f(1,1－（－1）)＝eq\f(1,2)∈A.∵eq\f(1,2)∈A，∴eq\f(1,1－\f(1,2))＝2∈A.∴A中必还有另外两个元素，且为－1，eq\f(1,2).(2)若A为单元素集，则a＝eq\f(1,1－a)，即a2－a＋1＝0，方程无解．∴a≠eq\f(1,1－a)，∴集合A不可能是单元素集．C级——拓展探索性题目应用练集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．解：∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4，9，25；B中的元素为9，0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4，5，9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．当a＝－3时，A中的元素为－4，－7，9；B中的元素为9，－8，4，符合题意．综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3.

课时跟踪检测（二）集合的表示A级——学考合格性考试达标练1．下列说法中正确的是()A．集合{x|x2＝1，x∈R}中有两个元素B．集合{0}中没有元素C．eq\r(13)∈{x|x<2eq\r(3)}D．{1，2}与{2，1}是不同的集合解析：选A{x|x2＝1，x∈R}＝{1，－1}；集合{0}是单元素集，有一个元素，这个元素是0；{x|x<2eq\r(3)}＝{x|x<eq\r(12)}，eq\r(13)>eq\r(12)，所以eq\r(13)∉{x|x{<2eq\r(3)}；根据集合中元素的无序性可知{1，2}与{2，1}是同一个集合．2．实数1不是下面哪一个集合中的元素()A．整数集Z B．{x|x＝|x|}C．{x∈N|－1<x<1} D．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,x＋1)≤0))))解析：选C1不满足－1<x<1，故选C.3．下列集合的表示方法正确的是()A．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}B．不等式x－1<4的解集为{x<5}C．{全体整数}D．实数集可表示为R解析：选D选项A中应是xy<0；选项B的本意是想用描述法表示，但不符合描述法的规范格式，缺少了竖线和竖线前面的代表元素x；选项C的“{}”与“全体”意思重复．4．已知M＝{x|x－1<eq\r(2)}，那么()A．2∈M，－2∈M B．2∈M，－2∉MC．2∉M，－2∉M D．2∉M，－2∈M解析：选A若x＝2，则x－1＝1<eq\r(2)，所以2∈M；若x＝－2，则x－1＝－3<eq\r(2)，所以－2∈M.故选A.5．方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x2－y2＝9))的解集是()A．(－5，4) B．(5，－4)C．{(－5，4)} D．{(5，－4)}解析：选D解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x2－y2＝9，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－4，))故解集为{(5，－4)}，选D.6．若A＝{－2，2，3，4}，B＝{x|x＝t2，t∈A}，用列举法表示集合B为________．解析：由题意可知集合B是由A中元素的平方构成的，故B＝{4，9，16}．答案：{4，9，16}7．设集合A＝{1，－2，a2－1}，B＝{1，a2－3a，0}，若A，B相等，则实数a＝________．解析：由集合相等的概念得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－1＝0，,a2－3a＝－2，))解得a＝1.答案：18．设－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}＝________．解析：由题意知，－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，所以(－5)2＋5a－5＝0，得a＝－4，则方程x2＋ax＋3＝0，即x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}．答案：{1，3}9．用适当的方法表示下列集合：(1)方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝14，,3x＋2y＝8，))的解集；(2)由所有小于13的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；(3)方程x2－4x＋4＝0的实数根组成的集合；(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合；(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合．解：(1)解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＝14，,3x＋2y＝8，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2，))故解集可用描述法表示为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝－2))))，也可用列举法表示为{(4，－2)}．(2)小于13的既是奇数又是质数的自然数有4个，分别为3，5，7，11.可用列举法表示为{3，5，7，11}．(3)方程x2－4x＋4＝0的实数根为2，因此可用列举法表示为{2}，也可用描述法表示为{x∈R|x2－4x＋4＝0}．(4)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有的点组成的集合中，代表元素为有序实数对(x，y)，其中x，y满足y＝x2＋2x－10，由于点有无数个，则用描述法表示为{(x，y)|y＝x2＋2x－10}．(5)二次函数y＝x2＋2x－10的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y，是实数，故可用描述法表示为{y|y＝x2＋2x－10}．10．设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3，1}，试用列举法表示集合B.解：将y＝x2－ax＋b代入集合A中的方程并整理，得x2－(a＋1)x＋b＝0.因为A＝{－3，1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两个实数根为－3，1.由根与系数的关系得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－3＋1＝a＋1，,－3×1＝b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－3，))所以y＝x2＋3x－3.将y＝x2＋3x－3，a＝－3代入集合B中的方程并整理，得x2＋6x－3＝0，解得x＝－3±2eq\r(3)，所以B＝{－3－2eq\r(3)，－3＋2eq\r(3)}．B级——面向全国卷高考高分练1．集合{－1，0，1，2，3，4，5，6，7，8}用描述法可表示为()A．{－1≤x≤8} B．{x|－1≤x≤8}C．{x∈Z|－1≤x≤8} D．{x∈N|－1≤x≤8}解析：选C观察可知集合中的元素是从－1到8的连续整数，所以可以表示为{x∈Z|－1≤x≤8}，选C.2．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是()A．x1·x2∈A B．x2·x3∈BC．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A解析：选D∵集合A表示奇数集，集合B表示偶数集，∴x1，x2是奇数，x3是偶数，∴x1＋x2＋x3应为偶数，即D是错误的．3．集合A＝{y|y＝x2＋1}，集合B＝{(x，y)|y＝x2＋1}(A，B中x∈R，y∈R)．选项中元素与集合的关系都正确的是()A．2∈A，且2∈B B．(1，2)∈A，且(1，2)∈BC．2∈A，且(3，10)∈B D．(3，10)∈A，且2∈B解析：选C集合A中元素y是实数，不是点，故选项B，D不对．集合B的元素(x，y)是点而不是实数，2∈B不正确，所以A错．4．(2019·襄阳高一检测)对于任意两个正整数m，n，定义运算“※”：当m，n都为偶数或奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为偶数，另一个为奇数时，m※n＝mn.在此定义下，集合M＝{(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是()A．18 B．17C．16 D．15解析：选B因为1＋15＝16，2＋14＝16，3＋13＝16，4＋12＝16，5＋11＝16，6＋10＝16，7＋9＝16，8＋8＝16，9＋7＝16，10＋6＝16，11＋5＝16，12＋4＝16，13＋3＝16，14＋2＝16，15＋1＝16，1×16＝16，16×1＝16，且集合M中的元素是有序数对(a，b)，所以集合M中的元素共有17个，故选B.5．(2018·安庆市高一联考)已知集合A＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(6,5－a)∈N，a∈Z))))，则A可用列举法表示为________．解析：由eq\f(6,5－a)∈N，可知0<5－a≤6，即－1≤a<5，又a∈Z，所以当a＝－1时，eq\f(6,5－a)＝1∈N；当a＝0时，eq\f(6,5－a)＝eq\f(6,5)∉N，当a＝1时，eq\f(6,5－a)＝eq\f(3,2)∉N；当a＝2时，eq\f(6,5－a)＝2∈N；当a＝3时，eq\f(6,5－a)＝3∈N；当a＝4时，eq\f(6,5－a)＝6∈N.综上可得A＝{－1，2，3，4}．答案：{－1，2，3，4}6．定义P*Q＝{ab|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，1，2}，Q＝{1，2，3}，则P*Q中元素的个数是________．解析：若a＝0，则ab＝0；若a＝1，则ab＝1，2，3；若a＝2，则ab＝2，4，6.故P*Q＝{0，1，2，3，4，6}，共6个元素．答案：67．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋1＝0，a∈R}．(1)若集合A中仅有一个元素，求实数a的值；(2)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；(3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝0时，x＝eq\f(1,3)，符合题意；当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a＝0，∴a＝eq\f(9,4).综上，集合A中仅含有一个元素时，a＝0或a＝eq\f(9,4).(2)集合A中含有两个元素，即关于x的方程ax2－3x＋1＝0有两个不相等的实数解，所以a≠0，且Δ＝(－3)2－4a>0，解得a<eq\f(9,4)且a≠0，所以实数a的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a<\f(9,4)且a≠0)))).(3)当a＝0时，x＝eq\f(1,3)，符合题意；当a≠0时，Δ＝(－3)2－4a≤0，即a≥eq\f(9,4).所以实数a的取值范围为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(a≥\f(9,4)或a＝0)))).C级——拓展探索性题目应用练(2019·安庆高三二模)已知集合A＝{x|x＝3N＋1，n∈Z}，B＝{x|x＝3N＋2，n∈Z}，M＝{x|x＝6N＋3，n∈Z}．(1)若m∈M，则是否存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立？(2)对于任意a∈A，b∈B，是否一定存在m∈M，使a＋b＝m？证明你的结论．解：(1)设m＝6k＋3＝3k＋1＋3k＋2(k∈Z)，令a＝3k＋1(k∈Z)，b＝3k＋2(k∈Z)，则m＝a＋b.故若m∈M，则存在a∈A，b∈B，使m＝a＋b成立．(2)不一定存在m∈M，使a＋b＝m，证明如下：设a＝3k＋1，b＝3l＋2，k，l∈Z，则a＋b＝3(k＋l)＋3，k，l∈Z.当k＋l＝2p(p∈Z)时，a＋b＝6p＋3∈M，此时存在m∈M，使a＋b＝m成立；当k＋l＝2p＋1(p∈Z)时，a＋b＝6p＋6∉M，此时不存在m∈M，使a＋b＝m成立．故对于任意a∈A，b∈B，不一定存在m∈M，使a＋b＝m.

课时跟踪检测（三）集合间的基本关系A级——学考合格性考试达标练1．已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子表示正确的有()①1∈A； ②{－1}∈A；③∅⊆A; ④{1，－1}⊆A.A．①③ B．①②③C．①③④ D．①②③④解析：选CA＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，故①③④正确，②不正确．2．(2019·天门高一检测)若集合A＝{x|x≥0}，且B⊆A，则集合B可能是()A．{1，2} B．{x|x≤1}C．{－1，0，1} D．R解析：选A因为集合A＝{x|x≥0}，且B⊆A，所以集合B是集合A的子集．当集合B＝{1，2}时，满足题意；当集合B＝{x|x≤1}时，－1∉A，不满足题意；当集合B＝{－1，0，1}时，－1∉A，不满足题意；当集合B＝R时，－1∉A，不满足题意，故选A.3．已知集合U＝R，则正确表示集合U，M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2＋x＝0}之间关系的Venn图是()解析：选B由N＝{x|x2＋x＝0}，得N＝{－1，0}，则NMU.4．满足{a}⊆M{a，b，c，d}的集合M共有()A．6个 B．7个C．8个 D．15个解析：选B依题意a∈M，且M{a，b，c，d}，因此M中必含有元素a，且可含有元素b，c，d中的0个、1个或2个，即M的个数等于集合{b，c，d}的真子集的个数，有23－1＝7(个)．5．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于()A．2 B．－1C．2或－1 D．4解析：选C∵A＝B，∴m2－m＝2，∴m＝2或m＝－1.6．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＝1))))，则A，B准确的关系是________．解析：因为B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＝1))))＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA.答案：BA7．已知集合A⊆{0，1，2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________．解析：集合{0，1，2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，其中含有偶数的集合有6个．答案：68．已知集合A＝{x|x<3}，集合B＝{x|x<m}，且A⊆B，则实数m满足的条件是________．解析：将数集A在数轴上表示出来，如图所示，要满足A⊆B，表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3.答案：m≥39．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，求a的值．解：∵B⊆A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.(1)当a2－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2.经检验，满足题意．(2)当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，此时集合A中的元素1重复，故a＝1不合题意．综上所述，a＝－1或a＝2.10．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．(1)若AB，求a的取值范围；(2)若B⊆A，求a的取值范围．解：(1)若AB，由图可知，a>2.故a的取值范围为{a|a>2}．(2)若B⊆A，由图可知，1≤a≤2.故a的取值范围为{a|1≤a≤2}．B级——面向全国卷高考高分练1．(2019·南昌高一检测)已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x≤2))))，若A＝B，则实数a的值为()A．0 B．－eq\f(1,2)C．2 D．5解析：选C因为B＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x≤2))))，且A＝B，所以当x＝2时，2a＋1＝5，解得a＝2.故选C.2．(2019·怀仁高一检测)定义集合P－Q＝{x|x＝p－q，p∈P，q∈Q}，若集合P＝{4，5，6}，Q＝{1，2，3}，则集合P－Q的所有真子集的个数为()A．32 B．31C．16 D．15解析：选B由题中所给定义，可知P－Q＝{1，2，3，4，5}，∴P－Q的所有真子集的个数为25－1＝31.故选B.3．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是()A．A⊆B B．A＝BC．AB D．AB解析：选D对于x＝3k(k∈Z)，当k＝2m(m∈Z)时，x＝6m(m∈Z)；当k＝2m－1(m∈Z)时，x＝6m－3(m∈Z)．由此可知AB.4．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是()A．1 B．－1C．0，1 D．－1，0，1解析：选D因为集合A有且仅有两个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．当a＝0时，方程化为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．当a≠0时，由Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，故a＝±1.此时A＝{－1}，或A＝{1}，符合题意．综上所述，a＝0或a＝±1.5．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，1－2a}，且B⊆A，则a的值为________．解析：由题意，得1－2a＝3或1－2a＝a，解得a＝－1或a＝eq\f(1,3).当a＝－1时，A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，符合题意；当a＝eq\f(1,3)时，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，3，\f(1,3)))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,3)))，符合题意．所以a的值为－1或eq\f(1,3).答案：－1或eq\f(1,3)6．已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B⊆A，则实数a的取值范围为______________．解析：∵B⊆A，∴B的可能情况有B≠∅和B＝∅两种．①当B≠∅时，∵B⊆A，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>3，,a≤2a－1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－1<－2，,a≤2a－1))成立，解得a>3；②当B＝∅时，由a>2a－1，得a<1.综上所述，实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}．答案：{a|a<1或a>3}7．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A⊇B，求m的取值范围．解：化简集合A，得A＝{x|－2≤x≤5}．(1)∵x∈Z，∴A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，即A中含有8个元素，∴A的非空真子集数为28－2＝254(个)．(2)①当m－1≥2m＋1，即m≤－2时，B＝∅⊆A；②当m>－2时，B＝{x|m－1<x<2m＋1}，因此，要B⊆A，则只要eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1≥－2，,2m＋1≤5))⇒－1≤m≤2.综上所述，m的取值范围是{m|－1≤m≤2或m≤－2}．C级——拓展探索性题目应用练已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足BA，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由．解：A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，∵B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，∴1∈B.又BA，∴a－1＝1，即a＝2.∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C⊆A，∴C＝∅或{1}或{2}或{1，2}．当C＝{1，2}时，b＝3；当C＝{1}或{2}时，Δ＝b2－8＝0，即b＝±2eq\r(2)，此时x＝±eq\r(2)，与C＝{1}或{2}矛盾，故舍去；当C＝∅时，Δ＝b2－8<0，即－2eq\r(2)<b<2eq\r(2).综上可知，存在a＝2，b＝3或－2eq\r(2)<b<2eq\r(2)满足要求.

课时跟踪检测（四）并集与交集A级——学考合格性考试达标练1．(2019·郑州高一检测)已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1}，那么集合A∩B等于()A．{x|2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x<－1} D．{x|－1≤x≤3}解析：选C在数轴上表示出两个集合，由图可知A∩B＝{x|－2≤x<－1}．3.已知集合A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为()A．{2} B．{3}C．{－3，2} D．{－2，3}解析：选A注意到集合A中的元素为自然数，因此A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，而B＝{－3，2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}，故选A.4．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1，5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于()A．{1，2} B．{1，5}C．{2，5} D．{1，2，5}解析：选D∵A∩B＝{2}，∴2∈A，2∈B，∴a＋1＝2，∴a＝1，b＝2，即A＝{1，2}，B＝{2，5}．∴A∪B＝{1，2，5}，故选D.5．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是()A．t<－3 B．t≤－3C．t>3 D．t≥3解析：选AB＝{y|y≤t}，结合数轴可知t<－3.6．若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤1或x≥4}，则A∪B＝________，A∩B＝________．解析：借助数轴可知：A∪B＝R，A∩B＝{x|－1＜x≤1或4≤x<5}．答案：R{x|－1＜x≤1或4≤x<5}7．若集合A＝{0，1，2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x的值为________．解析：∵A∪B＝A，∴B⊆A.∵A＝{0，1，2，x}，B＝{1，x2}，∴x2＝0或x2＝2或x2＝x，解得x＝0或eq\r(2)或－eq\r(2)或1.经检验，当x＝eq\r(2)或－eq\r(2)时满足题意．答案：±eq\r(2)8．已知集合A＝{x|1≤x<5}，C＝{x|－a<x≤a＋3}，若C∩A＝C，则a的取值范围为________．解析：因为C∩A＝C，所以C⊆A.①当C＝∅时，满足C⊆A，此时－a≥a＋3，解得a≤－eq\f(3,2)；②当C≠∅时，要使C⊆A，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－a<a＋3，,－a≥1，,a＋3<5，))解得－eq\f(3,2)<a≤－1.由①②，得a的取值范围为{a|a≤－1}．答案：{a|a≤－1}9．已知集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x－m<0}．(1)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围；(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．解：(1)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，又A∩B＝∅，∴m≤－2.故m的取值范围为{m|m≤－2}．(2)∵A＝{x|－2<x<4}，B＝{x|x<m}，由A∩B＝A，得A⊆B，∴m≥4.故m的取值范围为{m|m≥4}．10．设集合A＝{－2}，B＝{x|ax＋1＝0，a∈R}，若A∪B＝A，求a的值．解：∵A∪B＝A，∴B⊆A.∵A＝{－2}≠∅，∴B＝∅或B≠∅.当B＝∅时，方程ax＋1＝0无解，此时a＝0.当B≠∅时，此时a≠0，则B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))，∴－eq\f(1,a)∈A，即有－eq\f(1,a)＝－2，得a＝eq\f(1,2).综上，a＝0或a＝eq\f(1,2).B级——面向全国卷高考高分练1．设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝()A．{0，1} B．{－1，0，1}C．{0，1，2} D．{－1，0，1，2}解析：选B由题意，得M＝{－2，－1，0，1}，N＝{－1，0，1，2，3}，∴M∩N＝{－1，0，1}．2．已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为()A．x＝3，y＝－1 B．(3，－1)C．{3，－1} D．{(3，－1)}解析：选D集合M，N中的元素是平面上的点，M∩N是集合，并且其中元素也是点，解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－y＝4，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝－1.))3．(2019·中山高一检测)已知集合A＝{x|x2－eq\r(m)x＋1＝0}，若A∩R＝∅，则实数m的取值范围为()A．{m|0≤m≤4} B．{m|m<4}C．{m|0<m<4} D．{m|0≤m<4}解析：选D∵A∩R＝∅，∴A＝∅，∴关于x的方程x2－eq\r(m)x＋1＝0无实根，即Δ＝m－4<0.又m≥0，∴0≤m<4，故选D.4．(2019·长沙高一检测)设A，B是非空集合，定义A*B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|x≥1}，则A*B＝()A．{x|1≤x<3} B．{x|1≤x≤3}C．{x|0≤x<1或x>3} D．{x|0≤x≤1或x≥3}解析：选C由题意，知A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1≤x≤3}，则A*B＝{x|0≤x<1或x>3}．5．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________．解析：∵A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，A∪B＝{0，1，2，4，16}，∴a＝4，a2＝16或a＝16，a2＝4(舍去)，解得a＝4.答案：46．已知A＝{x|a<x≤a＋8}，B＝{x|x<－1，或x>5}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．解析：由题意A∪B＝R，在数轴上表示出A，B，如图所示，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<－1，,a＋8≥5，))解得－3≤a<－1.答案：{a|－3≤a<－1}7．已知集合A＝{－2，0，3}，M＝{x|x2＋(a＋1)x－6＝0}，N＝{y|y2＋2y－b＝0}，若M∪N＝A，求实数a，b的值．解：因为A＝{－2，0，3}，0∉M且M∪N＝A，所以0∈N.将y＝0代入方程y2＋2y－b＝0，解得b＝0.由此可得N＝{y|y2＋2y＝0}＝{0，－2}．因为3∉N且M∪N＝A，所以3∈M.将x＝3代入方程x2＋(a＋1)x－6＝0，解得a＝－2.此时M＝{x|x2－x－6＝0}＝{－2，3}，满足M∪N＝A，所以a＝－2，b＝0.C级——拓展探索性题目应用练设集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．(1)若A∩B＝A∪B，求实数a的值；(2)若∅(A∩B)，且A∩C＝∅，求实数a的值；(3)若A∩B＝A∩C≠∅，求实数a的值．解：(1)B＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，因为A∩B＝A∪B，所以A＝B，则A＝{2，3}，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋3＝a，,2×3＝a2－19))解得a＝5.(2)因为∅(A∩B)，且A∩C＝∅，B＝{2，3}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}＝{－4，2}，所以－4∉A，2∉A，3∈A，所以32－3a＋a2－19＝0，即a2－3a－10＝0，解得a＝5或a＝－2.当a＝－2时，A＝{－5，3}，满足题意；当a＝5时，A＝{2，3}，不满足题意，舍去．综上可知，a＝－2.(3)因为A∩B＝A∩C≠∅，B＝{2，3}，C＝{－4，2}，所以2∈A，则22－2a＋a2－19＝0，即a2－2a－15＝0，解得a＝5或a＝－3.当a＝5时，A＝{2，3}，不满足题意，舍去；当a＝－3时，A＝{－5，2}，满足题意．综上可知，a＝－3.

课时跟踪检测（五）补集及综合应用A级——学考合格性考试达标练1．设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U(A∩B)等于()A．{2，3} B．{1，4，5}C．{4，5} D．{1，5}解析：选B∵A∩B＝{2，3}，∴∁U(A∩B)＝{1，4，5}．2．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，5}，∁UB＝{4，5，6}，则A∩B＝()A．{1，2} B．{5}C．{1，2，3} D．{3，4，6}解析：选A因为∁UB＝{4，5，6}，所以B＝{1，2，3}，所以A∩B＝{1，2，5}∩{1，2，3}＝{1，2}，故选A.3．已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁RB)＝()A．{x|x>1} B．{x|x≥1}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}解析：选D∵B＝{x|x<1}，∴∁RB＝{x|x≥1}．∴A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}．4．已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于()A．0或2 B．0C．1或2 D．2解析：选D由题意，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,a2－2a＋3＝3，))则a＝2.5．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{3，4，5}，B＝{1，3，6}，那么集合{2，7}是()A．A∪B B．A∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)解析：选D∵A＝{3，4，5}，B＝{1，3，6}，∴A∪B＝{1，3，4，5，6}，又U＝{1，2，3，4，5，6，7}，∴∁U(A∪B)＝{2，7}．6．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁UA)∪B＝__________．解析：因为∁UA＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁UA)∪B＝{x|x<0或x≥1}．答案：{x|x<0或x≥1}7．设全集U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝________．解析：∵∁UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}，∴0，3是方程x2＋mx＝0的两个根，∴m＝－3.答案：－38．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁UN＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________．解析：∵U＝R，∁UN＝{x|0<x<2}，∴N＝{x|x≤0或x≥2}，∴M∪N＝{x|－1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}＝{x|x<1或x≥2}．答案：{x|x<1或x≥2}9．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤0或x≥\f(5,2)))))，求A∩B，(∁UB)∪P，(A∩B)∩(∁UP)．解：∵A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1<x≤3}，∴A∩B＝{x|－1<x<2}．∵∁UB＝{x|x≤－1或x>3}，∴(∁UB)∪P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤0或x≥\f(5,2)))))，∴(A∩B)∩(∁UP)＝{x|－1<x<2}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(5,2)))))＝{x|0<x<2}．10．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}满足(∁UA)∩B＝{2}，A∩(∁UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值．解：∵(∁UA)∩B＝{2}，∴2∈B，∴4－2a＋b＝0.①又∵A∩(∁UB)＝{4}，∴4∈A，∴16＋4a＋12b＝0.②联立①②，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(8,7)，,b＝－\f(12,7).))B级——面向全国卷高考高分练1．设全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9}，B＝{x∈Z|－4<x<4}，则集合(∁UA)∩B中的元素的个数为()A．3 B．4C．5 D．6解析：选B∵U＝R，A＝{x|0<x<9}，∴∁UA＝{x|x≤0或x≥9}，又∵B＝{x∈Z|－4<x<4}，∴(∁UA)∩B＝{x∈Z|－4<x≤0}＝{－3，－2，－1，0}共4个元素．2．已知全集U＝{x∈Z|0<x<8}，集合M＝{2，3，5}，N＝{x|x2－8x＋12＝0}，则集合{1，4，7}为()A．M∩(∁UN) B．∁U(M∩N)C．∁U(M∪N) D．(∁UM)∩N解析：选C由已知得U＝{1，2，3，4，5，6，7}，N＝{2，6}，M∩(∁UN)＝{2，3，5}∩{1，3，4，5，7}＝{3，5}，M∩N＝{2}，∁U(M∩N)＝{1，3，4，5，6，7}，M∪N＝{2，3，5，6}，∁U(M∪N)＝{1，4，7}，(∁UM)∩N＝{1，4，6，7}∩{2，6}＝{6}，选C.3．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁IM＝∅，则M∪N等于()A．M B．NC．I D．∅解析：选A因为N∩∁IM＝∅，所以N⊆M(如图)，所以M∪N＝M.4．图中阴影部分所表示的集合是()A．B∩[∁U(A∪C)] B．(A∪B)∪(B∪C)C．(A∪C)∩(∁UB) D．[∁U(A∪C)]∪B解析：选A阴影部分中的元素既在集合B中，又在A∪C的补集中，故选A.5．已知集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|x<a}．若(∁UA)∩B≠∅，则a的取值范围为________．解析：因为A＝{x|x<3或x≥7}，所以∁UA＝{x|3≤x<7}，又(∁UA)∩B≠∅，则a>3.答案：{a|a>3}6．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，A∪(∁RB)＝R，则实数a的取值范围是________．解析：∵B＝{x|1<x<2}，∴∁RB＝{x|x≤1或x≥2}．又∵A∪(∁RB)＝R，A＝{x|x<a}．观察∁RB与A在数轴上表示的区间，如图所示：可得当a≥2时，A∪(∁RB)＝R.答案：{a|a≥2}7．已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，C＝{x|x<a}．(1)求A∪B，(∁RA)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．解：(1)因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，所以A∪B＝{x|2≤x<10}．因为A＝{x|2≤x<7}，所以∁RA＝{x|x<2或x≥7}，则(∁RA)∩B＝{x|7≤x<10}．(2)因为A＝{x|2≤x<7}，C＝{x|x<a}，且A∩C≠∅，所以a>2，所以a的取值范围是{a|a＞2}．C级——拓展探索性题目应用练(2019·邯郸高一检测)设全集U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁UA)∩B＝∅，求实数m的值．解：由已知，得A＝{－2，－1}，由(∁UA)∩B＝∅，得B⊆A.∵方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，∴B≠∅.∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．①若B＝{－1}，则m＝1；②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m＝2.经检验，知m＝1，m＝2均符合条件，∴m＝1或2.

课时跟踪检测（六）充分条件与必要条件A级——学考合格性考试达标练1．设x∈R，则“1<x<2”是“1<x<3”的()A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析：选B“1<x<2”⇒“1<x<3”，反之不成立．∴“1<x<2”是“1<x<3”的充分不必要条件．故选B.2．(2019·佛山期末)“x＝1是x2－4x＋3＝0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析：选A若x＝1，则x2－4x＋3＝0，是充分条件，若x2－4x＋3＝0，则x＝1或x＝3，不是必要条件．故选A.3．(2019·济宁期末)设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析：选B由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．故选B.4．已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝eq\r(x＋6)”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析：选B由于“x2＝x＋6”，则“x＝±eq\r(x＋6)”，故“x2＝x＋6”是“x＝eq\r(x＋6)”的必要不充分条件．故选B.5．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要条件是()A．a≥b＋1 B．a>b－1C．a2>b2 D．a3>b3解析：选A由a≥b＋1>b，从而a≥b＋1⇒a>b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4>3.54≥3.5＋1，故a>ba≥b＋1，故A正确．6．“x≠－1”是“x2－1≠0”的________条件．解析：由x2－1≠0，x≠1且x≠－1，因为“x≠－1”是“x≠1且x≠－1”的必要不充分条件，所以“x≠－1”是“x2－1≠0”的必要不充分条件．答案：必要不充分7．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但eq\a\vs4\al(q⇒/p)，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.答案：{a|a<1}8．(2019·南昌期末)王大妈在地摊上因为贪图便宜买了劣质商品，非常气愤的说了句“真是便宜没好货”，按照王大妈的理解，“好货”是“不便宜”的________________条件．解析：“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”⇒“不便宜”，所以“好货”是“不便宜”的充分不必要条件．答案：充分不必要9．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：x2>0，q：x>0；(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；(3)p：a能被6整除，q：a能被3整除；(4)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等．解：(1)p：x2>0，则x>0，或x<0，q：x>0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2，则x＋2≠y，且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．(3)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．(4)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．10．下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p是q的必要条件？(1)若x>2，则|x|>1；(2)若x<3，则x2<4；(3)若x＝1，则x－1＝eq\r(x－1)；(4)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等．解：(1)若x>2，则|x|>1成立，反之当x＝－2时，满足|x|>1但x>2不成立，即p是q的充分条件．(2)若x<3，则x2<4不一定成立，反之若x2<4，则－2<x<2，则x<3成立，即p是q的必要条件．(3)若x＝1，则x－1＝eq\r(x－1)成立，反之当x＝2时，x－1＝eq\r(x－1)成立，但x＝1不成立，即p是q的充分条件．(4)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p是q的既不充分又不必要条件．B级——面向全国卷高考高分练1．设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a<b”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A因为a2≥0，而(a－b)a2<0，所以a－b<0，即a<b；由a<b，a2≥0，得到(a－b)a2≤0，(a－b)a2可以为0，所以“(a－b)a2<0”是“a<b”的充分不必要条件．2．已知a，b为实数，则“a＋b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析：选A“a＋b>4”⇒“a，b中至少有一个大于2”，反之不成立．∴“a＋b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的充分不必要条件．故选A.3．若a为实数，则“a<1”是“eq\f(1,a)>1”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析：选B由eq\f(1,a)>1得0<a<1，则“a<1”是“eq\f(1,a)>1”的必要不充分条件，故选B.4．“a<eq\f(1,4)”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的()A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件解析：选A当一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解，则Δ≥0，即1－4a≥0，即a≤eq\f(1,4)，又“a<eq\f(1,4)”能推出“a≤eq\f(1,4)”，但“a≤eq\f(1,4)”不能推出“a<eq\f(1,4)”，即“a<eq\f(1,4)”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的充分不必要条件，故选A.5．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab>0中选出适合下列条件的，用序号填空：(1)“使a，b都为0”的必要条件是________．(2)“使a，b都不为0”的充分条件是________．(3)“使a，b至少有一个为0”的充要条件是________．解析：①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0；))④ab>0⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,b>0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,b<0，))则a，b都不为0.答案：(1)①②③(2)④(3)①6．若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出：(1)A∪B＝R的一个充要条件；(2)A∪B＝R的一个必要不充分条件；(3)A∪B＝R的一个充分不必要条件．解：集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，(1)若A∪B＝R，则b≥－2，故A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2.(2)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，∴A∪B＝R的一个必要不充分条件可以是b≥－3;(3)由(1)知A∪B＝R充要条件是b≥－2，∴A∪B＝R的一个充分不必要条件b≥－1.7．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.证明：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋b2＝0，xeq\o\al(2,0)＋2cx0－b2＝0.两式相减，得x0＝eq\f(b2,c－a)，将此式代入xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.充分性：∵∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.①将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.故两方程有公共根x＝－(a＋c)．∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.C级——拓展探索性题目应用练已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．解：“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下：当a，b，c∈R，a≠0时，若“a－b＋c＝0”，则－1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件，若“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”，故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件，综上所述，“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．

课时跟踪检测（七）全称量词与存在量词A级——学考合格性考试达标练1．下列结论正确的个数是()①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题；③若p：∃x∈R，x2＋4x＋4≤0，则綈p：∀x∈R，x2＋4x＋4＞0.A．0 B．1C．2 D．3解析：选C①命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；②命题“∀x∈R，x2＋2<0”是全称量词命题，故②正确；③若p：∃x∈R，x2＋4x＋4≤0，则綈p：∀x∈R，x2＋4x＋4＞0，故③正确．故选C.2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是()A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使eq\f(1,x)>2解析：选BA是全称量词命题．B项为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确．因为eq\r(3)＋(－eq\r(3))＝0，所以C为假命题．对于任何一个负数x，都有eq\f(1,x)<0，所以D错误．故选B.3．命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式綈p为()A．∀x∈N，x3≤x2 B．∃x∈N，x3>x2C．∃x∈N，x3<x2 D．∃x∈N，x3≤x2解析：选D命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式是存在量词命题，∴綈p：“∃x∈N，x3≤x2”．故选D.4．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A．∃x>1，x2－2x－3＝0B．若2x为偶数，则x∈NC．所有菱形的四条边都相等D．π是无理数解析：选C对于A，是存在量词命题，故A不正确；对于B，是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确；对于C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对于D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确，故选C.5．下列命题为真命题的是()A．存在x∈Q，使方程eq\r(2)x－2＝0有解B．存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0C．有些整数只有两个正因数D．所有的质数都是奇数解析：选CA.eq\r(2)x－2＝0⇔x＝eq\r(2)∉Q，故A错误；B．∵x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，∴存在一个实数x，使x2＋2x＋4＝0错误．C．∵2＝1×2，∴有些整数只有两个正因数正确，D．2是质数，但2不是奇数，故D错误，故选C.6．下列命题中，是全称量词命题的是________；是存在量词命题的是________．(填序号)①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根不等于0”是全称量词命题；④是存在量词命题．答案：①②③④7．“若a<b，则ac2<bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．解析：原命题：“若a<b，则ac2<bc2”，这是假命题，因为若c＝0时，由a<b，得到ac2＝bc2＝0，不能推出ac2<bc2.逆命题：“若ac2<bc2，则a<b”，这是真命题，因为由ac2<bc2得到c2>0，所以两边同除以c2，得a<b，因为原命题和逆否命题的真假性相同，逆命题和否命题的真假性相同，所以真命题的个数是2.答案：28．下列存在量词命题是真命题的序号是________．①有些不相似的三角形面积相等；②存在实数x，使x2＋2<0;③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．解析：①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋2＞0，所以不存在实数x，使x2＋2<0，为假命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题．故真命题的序号是①③④.答案：①③④9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解：(1)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.(2)是全称量词命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是存在量词命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．10．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)∃x∈R，使4x－3>x；(3)∀x∈R，有x＋1＝2x；(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．(2)命题的否定：∀x∈R.有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5>2，所以“∀x∈R，有4x－3≤x”是假命题．(3)命题的否定：∃x∈R.使x＋1≠2x.因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“∃x∈R，使x＋1≠2x”是真命题．(4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．B级——面向全国卷高考高分练1．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()A．∀x∈R，|x|>0 B．∃x∈R，|x|>0C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x∈R，|x|≤0解析：选C由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.2．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是()A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆C．所有四边形的四个顶点共圆D．所有四边形的四个顶点都不共圆解析：选A根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”，故选A.3．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则()A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉PC．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q解析：选B∵P∩Q＝P，∴P⊆Q，如图，∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B.4．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是()A．{a|a<－1} B．{a|a≥1}C．{a|a>1} D．{a|a≤－1}解析：选B∵p为假命题，∴綈p为真命题，即：∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，∴1－a≤0，则a≥1.∴a的取值范围是a≥1，故选B.5．下列命题：①存在x<0，x2－2x－3＝0；②对一切实数x<0，都有|x|>x；③∀x∈R，eq\r(x2)＝x；④已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N*，an≠bm.其中，所有真命题的序号为________．解析：因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，所以存在x＝－1<0，使x2－2x－3＝0，故①为真命题；②显然为真命题；③eq\r(x2)＝|x|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x，x>0，,0，x＝0，,－x，x<0，))故③为假命题；④当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故④为假命题．答案：①②6．某中学开展小组合作学习模式，高二某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m范围．你认为，两位同学题中m范围是否一致？________(填“是”“否”中的一种)解析：∵命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”．而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题．∴两位同学题中m范围是一致的．答案：是7．写出下列命题的否定并判断真假：(1)所有自然数的平方都是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)∀x∈R，x2＋3＜0；(4)有些质数不是奇数．解：(1)命题的否定：至少存在一个自然数的平方不是正数．真命题．(2)命题的否定：∃x∈R，5x－12≠0.真命题．(3)命题的否定：∃x∈R，x2＋3≥0.真命题．(4)命题的否定：所有的质数都是奇数．假命题．C级——拓展探索性题目应用练命题“eq\f(\r(（a＋b）2),|1＋b|)＝eq\f(a＋b,1＋b)”是全称量词命题吗？如果是，请给予证明．如果不是，请补充必要的条件，使之成为全称量词命题．解：存在1＋b<0使得命题“eq\f(\r(（a＋b）2),|1＋b|)＝eq\f(a＋b,1＋b)”不成立．故不是全称量词命题，增加“对∀a，b∈R，且满足1＋b>0，a＋b≥0”，得到命题是全称量词命题．

课时跟踪检测（八）等式性质与不等式性质A级——学考合格性考试达标练1．李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机，他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有400元．设x个月后他至少有400元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是()A．30x－60≥400 B．30x＋60≥400C．30x－60≤400 D．30x＋40≤400解析：选Bx个月后他至少有400元，可表示成30x＋60≥400.2．若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，则()A．b＜0，c＜0 B．b＞0，c＞0C．b＞0，c＜0 D．0＜c＜b或c＜b＜0解析：选D由a＞0，d＜0，且abcd＜0，知bc＞0，又∵b＞c，∴0＜c＜b或c＜b＜0.3．已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是()A．若a＞b，c＞b，则a＞cB．若a＞－b，则c－a＜c＋bC．若a＞b，c＜d，则eq\f(a,c)＞eq\f(b,d)D．若a2＞b2，则－a＜－b解析：选B选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立，故选B.4．已知0<a1<1，0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A．M<N B．M>NC．M＝N D．M≥N解析：选B∵0<a1<1，0<a2<1，∴－1<a1－1<0，－1<a2－1<0，∴M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，∴M>N.5．设0<α<eq\f(π,2)，0≤β≤eq\f(π,2)，则2α－eq\f(β,3)的范围是()A．0<2α－eq\f(β,3)<eq\f(5π,6) B．－eq\f(π,6)<2α－eq\f(β,3)<eq\f(5π,6)C．0<2α－eq\f(β,3)<π D．－eq\f(π,6)<2α－eq\f(β,3)<π解析：选D由已知，得0＜2α＜π，0≤eq\f(β,3)≤eq\f(π,6)，∴－eq\f(π,6)≤－eq\f(β,3)≤0，由同向不等式相加得到－eq\f(π,6)＜2α－eq\f(β,3)＜π.6．给出四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推得eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的是________．解析：eq\f(1,a)<eq\f(1,b)⇔eq\f(b－a,ab)<0，所以①②④能使它成立．答案：①②④7．比较大小：a2＋b2＋c2________2(a＋b＋c)－4.解析：a2＋b2＋c2－[2(a＋b＋c)－4]＝a2＋b2＋c2－2a－2b－2c＋4＝(a－1)2＋(b－1)2＋(c－1)2＋1≥1＞0，故a2＋b2＋c2＞2(a＋b＋c)－4.答案：＞8．已知三个不等式①ab>0；②eq\f(c,a)>eq\f(d,b)；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．解析：①②⇒③，③①⇒②.(证明略)由②得eq\f(bc－ad,ab)>0，又由③得bc－ad>0，所以ab>0⇒①.所以可以组成3个正确命题．答案：39．已知a，b∈R，a＋b>0，试比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小．解：因为a＋b>0，(a－b)2≥0，所以a3＋b3－ab2－a2b＝a3－a2b＋b3－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)(a－b)(a＋b)＝(a－b)2(a＋b)≥0，所以a3＋b3≥ab2＋a2b.10．设x≥1，y≥1，证明x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy.证明：因为x≥1，y≥1，所以xy≥1，所以x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上面