误差与数据处理第三章课件

第3章

误差的合成与分配张婉莹2012年4月6日第3章

误差的合成与分配张婉莹

本章较为全面地论述了误差合成与分配的基本规律和基本方法，这些规律和方法不仅应用于测量数据处理中给出测量结果的精度，而且还适用于测量方法和仪器装置的精度分析计算以及解决测量方法的拟定和仪器设计中的误差分配、微小误差取舍及最佳测量方案确定等问题。概述概述间接测量

函数误差

间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差

通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量第一节函数误差研究函数误差的实质就是研究误差的传递问题，而对于具有确定关系的误差计算，也称为误差合成。下面分别介绍函数系统误差和函数随机误差的计算问题。间接测量函数误差间接测得的被测量误差也应一、函数系统误差计算第一节函数误差间接测量的数学模型

为与被测量有函数关系的各个直接测量值

y

间接测量值求上述函数y

的全微分，其表达式为：

(3-1)一、函数系统误差计算第一节函数误差间接测量的数学模型和的量纲或单位不相同，则起到误差单位换算的作用和的量纲或单位相同，则起到误差放大或缩小的作用由y的全微分，得函数系统误差的计算公式为各个输入量在该测量点处的误差传递系数第一节函数误差(3-2)和的量纲或单位不相同，则几种简单函数的系统误差

1、线性函数系统误差公式当当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和

第一节函数误差(3-3)(3-4)几种简单函数的系统误差1、线性函数系统误差公式当当函数为第一节函数误差2、三角函数形式

由式(3-2)得

(3-5)又因故(3-6)同理(3-7)(3-8)(3-9)第一节函数误差2、三角函数形式由式(3-2)得【例】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高h=50mm

，弦长l=500mm。已知，弓高的系统误差h=-0.1mm,玄长的系统误差l

=-1mm。试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。【解】建立间接测量大工件直径的函数模型

不考虑测量值的系统误差，可求出在处的直径测量值第一节函数误差【例】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用直径的系统误差:故修正后的测量结果:

计算结果：误差传递系数为:第一节函数误差直径的系统误差:故修正后的测量结果:计算结果：误差传递系第一节函数误差第一节函数误差第一节函数误差第一节函数误差在式(3-1)中采用各测得量值的随机误差代替各微分量，只能得到函数的随机误差，而得不到函数的标准差函数的一般形式设对各个测量值都进行了N次等精度测量，其相应随机误差为则y的随机误差为(3-10)

将每个方程平方得(3-11)二、函数随机误差计算在式(3-1)中采用各测得量值的随机误差第一节函数误差将方程组(3-11)各方程相加

(3-12)

上式各项除以N，并由式(2-12)得若定义

则可得(3-13)式中，为第i个测得量与第j个测得量之间的误差相关系数。因该式可由各测量值的标准差计算出函数的标准差，故该式称为函数随机误差公式。第一节函数误差将方程组(3-11)各方程相加若各测量值的随机误差是相互独立的，则当N适当增大时，相关项则相关系数也为零，误差公式可简化为(3-14)

令，则(3-15)

各测量值随机误差间互不相关的情况较为常见，且当各相关系数很小时，也可近似作不相关处理。当各测量值的随机误差为正态分布时，式(3-15)中的标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差(3-16)

在多数情况下，则：(3-17)(3-18)第一节函数误差若各测量值的随机误差是相互独立的，则当N适当增大时，相关项第三角函数随机误差计算根据三角函数系统误差公式(3-6)～(3-9)和式(3-14)得相应的角度标准差公式

1）正弦函数形式为:函数随机误差公式为：2）余弦函数形式为:

函数随机误差公式为：3）正切函数形式为:函数随机误差公式为：

4）余切函数形式为:

函数随机误差公式为：

第一节函数误差(3-22)(3-20)(3-19)(3-21)三角函数随机误差计算1）正弦函数形式为:函数随机误差公式第一节函数误差【例3.3】对例3.1用弓高弦长法间接测量大工件直径D。若已知，弓高h=50mm，弦长l=500mm，求直径的极限偏差。

根据式(3-16)求得直径的极限误差为

则所求直径的最后结果为：第一节函数误差【例3.3】对例3.1用弓高弦长法间接测量大1、相关系数对函数误差的影响

反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响

函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传递关系

函数随机误差公式当相关系数时当相关系数时三、误差间的相关关系和相关系数第一节函数误差

因此，无插件的相关性与误差合成有密切关系。正确的处理误差间的相关问题，具有重要的意义。1、相关系数对函数误差的影响反映了各随机误差分量相互第一节函数误差2、相关系数的确定两误差间有线性关系时，其相关性强弱由相关系数来反映，在误差合成时应求得相关系数，并求出相关项的大小。若两误差与之间的相关系数为，根据式(3-13)中相关系数定义，则有(3-24)式中——误差与之间的协方差；——分别为误差与的标准差根据概率论可知相关系数的取值范围是当时，两误差正相关，即一误差增大时，另一误差的取值平均的增大；当时，两误差负相关，即一误差增大时，另一误差的取值平均的减少；当时，两误差完全正相关，当时，两误差完全负相关，此时两误差之间存在着确定的线性函数关系；当时，两误差间无线性关系或称不相关。注意：当相关系数很小甚至等于零时，两误差间不存在线性关系，但并不表示它们之间不存在其它的函数关系。第一节函数误差2、相关系数的确定两误差间有线性关系时，其相可判断的情形断定与两分量之间没有相互依赖关系的影响当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变化，反之亦然与属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量与虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不计的弱相关确定相关系数的方法如下：1、直接判断法第一节函数误差可判断的情形断定与两分量之间可判断或的情形断定与两分量间近似呈现正的线性关系或负的线性关系当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或减小，反之亦然与属于同一体系的分量，如用1m基准尺测和用2m基准尺测，则各米分量间完全正相关第一节函数误差2、试样观察法和简略计算法

（1）观察法

用多组测量的对应值作图，然后与标准图形相比，看与哪一图形相近，从而确定相关系数的近似值。

=1=0=-1可判断或的情形断定与第一节函数误差

（2）简单计算法其中，n2n3n4n10

（3）直接计算法根据多组测量的对应值，按如下统计公式计算相关系数分别为的算术平均值第一节函数误差（2）简单计算法其中，n2n3

3、理论计算法第一节函数误差

根据概率论和最小二乘法直接求出。如果求得两个误差与间为线性关系，即，则相关系数为(3-27)结论：

一般先在理论上探求；数值小或一般性的误差间的相关系数可用直接判断法；数值大或重要的误差间的相关系数宜采用多组成对观测，并分情况采用不同的计算的方法。3、理论计算法第一节函数误差THEENDTHANKYOUTHEEND第3章

误差的合成与分配张婉莹2012年4月6日第3章

误差的合成与分配张婉莹

本章较为全面地论述了误差合成与分配的基本规律和基本方法，这些规律和方法不仅应用于测量数据处理中给出测量结果的精度，而且还适用于测量方法和仪器装置的精度分析计算以及解决测量方法的拟定和仪器设计中的误差分配、微小误差取舍及最佳测量方案确定等问题。概述概述间接测量

函数误差

间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差

通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量第一节函数误差研究函数误差的实质就是研究误差的传递问题，而对于具有确定关系的误差计算，也称为误差合成。下面分别介绍函数系统误差和函数随机误差的计算问题。间接测量函数误差间接测得的被测量误差也应一、函数系统误差计算第一节函数误差间接测量的数学模型

为与被测量有函数关系的各个直接测量值

y

间接测量值求上述函数y

的全微分，其表达式为：

(3-1)一、函数系统误差计算第一节函数误差间接测量的数学模型和的量纲或单位不相同，则起到误差单位换算的作用和的量纲或单位相同，则起到误差放大或缩小的作用由y的全微分，得函数系统误差的计算公式为各个输入量在该测量点处的误差传递系数第一节函数误差(3-2)和的量纲或单位不相同，则几种简单函数的系统误差

1、线性函数系统误差公式当当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个测量值系统误差之和

第一节函数误差(3-3)(3-4)几种简单函数的系统误差1、线性函数系统误差公式当当函数为第一节函数误差2、三角函数形式

由式(3-2)得

(3-5)又因故(3-6)同理(3-7)(3-8)(3-9)第一节函数误差2、三角函数形式由式(3-2)得【例】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用一把卡尺量得弓高h=50mm

，弦长l=500mm。已知，弓高的系统误差h=-0.1mm,玄长的系统误差l

=-1mm。试问车间工人测量该工件直径的系统误差，并求修正后的测量结果。【解】建立间接测量大工件直径的函数模型

不考虑测量值的系统误差，可求出在处的直径测量值第一节函数误差【例】用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工人用直径的系统误差:故修正后的测量结果:

计算结果：误差传递系数为:第一节函数误差直径的系统误差:故修正后的测量结果:计算结果：误差传递系第一节函数误差第一节函数误差第一节函数误差第一节函数误差在式(3-1)中采用各测得量值的随机误差代替各微分量，只能得到函数的随机误差，而得不到函数的标准差函数的一般形式设对各个测量值都进行了N次等精度测量，其相应随机误差为则y的随机误差为(3-10)

将每个方程平方得(3-11)二、函数随机误差计算在式(3-1)中采用各测得量值的随机误差第一节函数误差将方程组(3-11)各方程相加

(3-12)

上式各项除以N，并由式(2-12)得若定义

则可得(3-13)式中，为第i个测得量与第j个测得量之间的误差相关系数。因该式可由各测量值的标准差计算出函数的标准差，故该式称为函数随机误差公式。第一节函数误差将方程组(3-11)各方程相加若各测量值的随机误差是相互独立的，则当N适当增大时，相关项则相关系数也为零，误差公式可简化为(3-14)

令，则(3-15)

各测量值随机误差间互不相关的情况较为常见，且当各相关系数很小时，也可近似作不相关处理。当各测量值的随机误差为正态分布时，式(3-15)中的标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差(3-16)

在多数情况下，则：(3-17)(3-18)第一节函数误差若各测量值的随机误差是相互独立的，则当N适当增大时，相关项第三角函数随机误差计算根据三角函数系统误差公式(3-6)～(3-9)和式(3-14)得相应的角度标准差公式

1）正弦函数形式为:函数随机误差公式为：2）余弦函数形式为:

函数随机误差公式为：3）正切函数形式为:函数随机误差公式为：

4）余切函数形式为:

函数随机误差公式为：

第一节函数误差(3-22)(3-20)(3-19)(3-21)三角函数随机误差计算1）正弦函数形式为:函数随机误差公式第一节函数误差【例3.3】对例3.1用弓高弦长法间接测量大工件直径D。若已知，弓高h=50mm，弦长l=500mm，求直径的极限偏差。

根据式(3-16)求得直径的极限误差为

则所求直径的最后结果为：第一节函数误差【例3.3】对例3.1用弓高弦长法间接测量大1、相关系数对函数误差的影响

反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误差的影响

函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传递关系

函数随机误差公式当相关系数时当相关系数时三、误差间的相关关系和相关系数第一节函数误差

因此，无插件的相关性与误差合成有密切关系。正确的处理误差间的相关问题，具有重要的意义。1、相关系数对函数误差的影响反映了各随机误差分量相互第一节函数误差2、相关系数的确定两误差间有线性关系时，其相关性强弱由相关系数来反映，在误差合成时应求得相关系数，并求出相关项的大小。若两误差与之间的相关系数为，根据式(3-13)中相关系数定义，则有(3-24)式中——误差与之间的协方差；——分别为误差与的标准差根据概率论可知相关系数的取值范围是当时，两误差正相关，即一误差增大时，另一误差的取值平均的增大；当时，