九年级上册数学一元二次方程的根与系数的关系课件

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系21.2.4一元二次方程的根与系数的关系学目习标1.通过求根公式探索并理解根与系数的关系，会用这个关系求方程的两根之和与积或未知数.2.通过对代数式的熟练变形，能根据一元二次方程根与系数的关系求代数式的值.学目习标1.通过求根公式探索并理解根与系数的关系，会用这个关2预反习馈1．完成下列表格：方程x1x2x1＋x2x1x2x2－5x＋6＝0x2＋3x－10＝023562-5-3-10方程x1x2x1＋x2x1x22x2－3x－2＝03x2－4x＋1＝02--11两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项.x1＋x2＝－p，x1x2＝q.②ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，用式子表示你发现的规律：x1＋x2＝

，x1x2＝

.问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律：.②x2＋px＋q＝0的两根为x1，x2，用式子表示你发现的规律：

.①用语言叙述发现的规律：

问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)请完善规律：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比.预反习馈1．完成下列表格：方程x1x2x1＋x2x1x2x23名讲校坛3.利用求根公式推导根与系数的关系：ax2＋bx＋c＝0的两根x1＝

，x2＝

．则x1＋x2＝

，x1x2＝

.名讲校坛3.利用求根公式推导根与系数的关系：名讲校坛类型1利用根与系数的关系求方程的两根之和与积例1

（教材P16例4）不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：(1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15.(2)x1＋x2＝－，x1x2＝－3.(3)x1＋x2＝，x1x2＝.【点拨】先将方程化为一般形式，找对a，b，c的值，若b2-4ac≥0，则x1＋x2＝－，x1x2＝.名讲校坛类型1利用根与系数的关系求方程的两根之和与积例1名讲校坛例2

已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．【点拨】本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；另一种是利用根与系数关系解答．解：另一根为，k＝3.名讲校坛例2已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求名讲校坛跟踪训练1：已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）

A．x2-7x+12=0

B．x2+7x+12=0

C．x2+7x-12=0

D．x2-7x-12=0A【点拨】以x1，x2为根的一元二次方程是x2-（x1+x2）x+x1x2=0.名讲校坛跟踪训练1：已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x名讲校坛跟踪训练2（《名校课堂》21.2.4习题）不解方程，求下列方程两个根的和与积．(1)x2－6x＝－5；(2)2x2－1＝3－5x；(3)3x2－3x＝x2；

(4)4x2－2x＋1＝x＋8.解：(1)原方程化为x2－6x＋5＝0，所以两根的和为6，两根的积为5.(2)原方程化为2x2＋5x－4＝0，所以两根的和为－，两根的积为－2.(3)原方程化为2x2－3x＝0，所以两根的和为，两根的积为0.(4)原方程化为4x2－3x－7＝0，所以两根的和为，两根的积为.名讲校坛跟踪训练2（《名校课堂》21.2.4习题）不解方程名讲校坛类型2根据一元二次方程根与系数的关系求相关代数式的值例3

已知α，β是方程x2－3x－5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．(1)；(2)α2＋β2；(3)α－β.解：∵α，β是方程x2-3x-5=0的两根，∴α+β=3，αβ=-5.(1)==-.(2)α2＋β2=（α+β）2-2αβ=32-2×（-5）=19.(3)∵（α－β）2=（α+β）2-4αβ=32-4×（-5）=29.∴α－β=或-.名讲校坛类型2根据一元二次方程根与系数的关系求相关代数式名讲校坛【方法归纳】利用根与系数的关系求代数式值的三个步骤及六种常用变形：1.三个步骤：（1）算：计算出两根的和与积；（2）变：将所求的代数式表示成两根的和与积的形式；（3）代：代入求值.2.六种常用变形：名讲校坛【方法归纳】利用根与系数的关系求代数式值的三个步骤及名讲校坛跟踪训练3：若方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为

．跟踪训练4：已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足＝3，则k的值是__

_．32名讲校坛跟踪训练3：若方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1巩训固练1．一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1、x2，则x1x2的值是(

)A．4

B．－4

C．3

D．－32．若x1、x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1＋x2的值是(

)A．1

B．5

C．－5

D．63．两个实数根的和为3的一元二次方程是(

)A．x2－3x－4＝0

B．x2＋3x－4＝0C．x2－3x＋4＝0

D．x2＋3x＋4＝04.已知方程x2＋mx＋3＝0的一个根是1，则它的另一个根是________，m的值_____．5.已知方程x2+5x+1=0的两个实数根分别为x1、x2，则x12+x22=

.DBA3-423巩训固练1．一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1、x212巩训固练6.已知关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2－2＝0，试根据下列条件，求m的值．(1)两根互为相反数；(2)两根互为倒数．解：设原方程的两个根为x1，x2，由根与系数的关系，得x1＋x2＝2(m＋1)，x1x2＝m2－2.(1)若两根互为相反数，则x1＋x2＝2(m＋1)＝0，解得m＝－1.(2)若两根互为倒数，则x1x2＝m2－2＝1，解得m＝±，而Δ＝b2－4ac＝[－2(m＋1)]2－4×1(m2－2)≥0，解得m≥－.因为－<－，所以m＝－舍去，因此m＝.巩训固练6.已知关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2－2＝13课小堂结一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0)的两根x1,x2和系数a,b,c有如下关系：x1＋x2＝－，x1x2＝.课小堂结一元二次方程根与系数的关系：14THANKYOU！THANKYOU！1521.2.4一元二次方程的根与系数的关系21.2.4一元二次方程的根与系数的关系学目习标1.通过求根公式探索并理解根与系数的关系，会用这个关系求方程的两根之和与积或未知数.2.通过对代数式的熟练变形，能根据一元二次方程根与系数的关系求代数式的值.学目习标1.通过求根公式探索并理解根与系数的关系，会用这个关17预反习馈1．完成下列表格：方程x1x2x1＋x2x1x2x2－5x＋6＝0x2＋3x－10＝023562-5-3-10方程x1x2x1＋x2x1x22x2－3x－2＝03x2－4x＋1＝02--11两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项.x1＋x2＝－p，x1x2＝q.②ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，用式子表示你发现的规律：x1＋x2＝

，x1x2＝

.问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律：.②x2＋px＋q＝0的两根为x1，x2，用式子表示你发现的规律：

.①用语言叙述发现的规律：

问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)请完善规律：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比.预反习馈1．完成下列表格：方程x1x2x1＋x2x1x2x218名讲校坛3.利用求根公式推导根与系数的关系：ax2＋bx＋c＝0的两根x1＝

，x2＝

．则x1＋x2＝

，x1x2＝

.名讲校坛3.利用求根公式推导根与系数的关系：名讲校坛类型1利用根与系数的关系求方程的两根之和与积例1

（教材P16例4）不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：(1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15.(2)x1＋x2＝－，x1x2＝－3.(3)x1＋x2＝，x1x2＝.【点拨】先将方程化为一般形式，找对a，b，c的值，若b2-4ac≥0，则x1＋x2＝－，x1x2＝.名讲校坛类型1利用根与系数的关系求方程的两根之和与积例1名讲校坛例2

已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．【点拨】本题有两种解法：一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；另一种是利用根与系数关系解答．解：另一根为，k＝3.名讲校坛例2已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求名讲校坛跟踪训练1：已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）

A．x2-7x+12=0

B．x2+7x+12=0

C．x2+7x-12=0

D．x2-7x-12=0A【点拨】以x1，x2为根的一元二次方程是x2-（x1+x2）x+x1x2=0.名讲校坛跟踪训练1：已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x名讲校坛跟踪训练2（《名校课堂》21.2.4习题）不解方程，求下列方程两个根的和与积．(1)x2－6x＝－5；(2)2x2－1＝3－5x；(3)3x2－3x＝x2；

(4)4x2－2x＋1＝x＋8.解：(1)原方程化为x2－6x＋5＝0，所以两根的和为6，两根的积为5.(2)原方程化为2x2＋5x－4＝0，所以两根的和为－，两根的积为－2.(3)原方程化为2x2－3x＝0，所以两根的和为，两根的积为0.(4)原方程化为4x2－3x－7＝0，所以两根的和为，两根的积为.名讲校坛跟踪训练2（《名校课堂》21.2.4习题）不解方程名讲校坛类型2根据一元二次方程根与系数的关系求相关代数式的值例3

已知α，β是方程x2－3x－5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值．(1)；(2)α2＋β2；(3)α－β.解：∵α，β是方程x2-3x-5=0的两根，∴α+β=3，αβ=-5.(1)==-.(2)α2＋β2=（α+β）2-2αβ=32-2×（-5）=19.(3)∵（α－β）2=（α+β）2-4αβ=32-4×（-5）=29.∴α－β=或-.名讲校坛类型2根据一元二次方程根与系数的关系求相关代数式名讲校坛【方法归纳】利用根与系数的关系求代数式值的三个步骤及六种常用变形：1.三个步骤：（1）算：计算出两根的和与积；（2）变：将所求的代数式表示成两根的和与积的形式；（3）代：代入求值.2.六种常用变形：名讲校坛【方法归纳】利用根与系数的关系求代数式值的三个步骤及名讲校坛跟踪训练3：若方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为

．跟踪训练4：已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足＝3，则k的值是__

_．32名讲校坛跟踪训练3：若方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1巩训固练1．一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1、x2，则x1x2的值是(

)A．4

B．－4

C．3

D．－32．若x1、x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1＋x2的值是(

)A．1

B．5

C．－5

D．63．两个实数根的和为3的一元二次方程是(

)A．x2－3x－4＝0