数列求和方法小结

((8\((8\数列求和方法小结等差数列、等比数列的求和是高考常考的内容之一，一般数列求和的基本思想是将其通项变形，化归为等差数列或等比数列的求和问题，或利用代数式的对称性，采用消元等方法来求和.下面我们结合具体实例来研究求和的方法.一、直接求和法(或公式法)将数列转化为等差或等比数列，直接使用等差或等比数列的前n项和公式求得.小n(a+a)n(n-1)7常用公式：等差数列的求和公式：S=1n=na+d，n212na(q=1)等比数列的求和公式S=]a匕-qn)(亠(切记：公比含字母时一定要讨论),n(q丰1)I1—qynn(n+l)(2n+1)另外乂k2=12+22+32++n2=另外6k=1k3=13+23+33+k=1例1.…二、倒序相加法此方法源于等差数列前n项和公式的推导，目的在于利用与首末两项等距离的两项相加有公因式可提取，以便化简后求和.例2已知函数f(x)=竺严2x+J2(1)证明：f(x)+f(1-x)=1；(9、》士

110丿的值解：((9、》士

110丿的值解：(1)先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边(2)利用第(1)小题已经证明的结论可知，(2)求f—+f—++f—+f—的值.10丿10丿10丿10丿=1+f[—]+110丿10丿6262nn两式相加得：2S二2S二9x110丿110丿丿小结：对某些具有对称性的数列，可使用此法.三、裂项相消法如果一个数列的每一项都能化为两项之差，而前一项的减数恰与后一项的被减数相同，一减一加，中间项全部相消为零，那么原数列的前n项之和等于第一项的被减数与最末项的减数之差•多用于分母为等差数列的相邻k项之积，且分子为常数的分式型数列的求和•一些常见的裂项方法：11(1)11(1)/1x=1-n\n+k)k(n特另U地当k=1时，x=一nn+1n(2)=-vn+k+\：'nk，特别地当k=1时1<n+1+Jn=\：n+1一Jn例3数列｛a｝的通项公式为an解：S=a+a+a++a+an123n-1n111+++111+++1x22x33x41+1

(n-l)nn(n+1)r1)(111(111(111(111+++++12丿〔23丿〔34丿(n-1n丿(nn+1丿小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项能够分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.四、错位相减法源于等比数列前n项和公式的推导，对于形如｛ab｝的数列，其中｛a｝为等差数列，｛b｝为nnnn等比数列，均可用此法.例4.已知数列l,3a,5a2,…,(2n一1)an-，求它的前n项和Sn(n+1)，求它的前n项和Sn(n+1)n思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，—2n-1与等比数列a0,a,a2,…,an-1对应项积，可用错位相减法求和。解：S=1+3a+5a2++(2n-1)an-1G)naS=a+3a2+5a3++(2n一1)an(2)

G-G)：(1-a)S=1+2a+2a2+2a3++2an-1-(2nG-G)：(1-a)S=1+2a+2a2+2a3++2an-1-(2n-1)ann当a主1时,(1-a)S=1+2a(1-a"-1)-(2n-1)nn(1-a)21+a-(2n+1)an+(2n-1)an+1(1-a)2当a=1时,S=n2n小结：错位相减法的步骤是：①在等式两边同时乘以等比数列｛b｝的公比；②将两个等式相减;n③利用等比数列的前n项和公式求和.五、分组求和法若数列的通项是若干项的代数和,可将其分成几部分来求.例5求数列2—，—，-—，，n+,■■的前n项和4S6•48162n+1n,n+2n+1分析：此数列的通项公式是a=2n+丄，而数列｛2n｝是n2n+1个等差数列，数列是一个等比数列，故采用分组求和法求解．解:S=(2+4+6++2n)+f丄+丄+—+222324=n(n+1)+—-丄-22n+1小结：在求和时,一定要认真观察数列的通项公式,如果它能拆分成几项的和,而这些项分别构成等差数列或等比数列，•那么我们就用此方法求和.…(四)巩固练习：1•求下列数列的前n项和S:n5,55,555,5555,…，|(10n—1),•…1)2)1111x3‘2x4‘3x5’'n(n+2)'3)=1nvn+,n+1'n个5n个解：(1)S=5+55+555++555=-(9+99+999++999)n9=5[(10—1)+(102—1)+(103—1)++(10n—1)]9=5[10+102+103++10n—n]=50(10n—1)—5n.9819⑵•:=2(-—吕，n(n+2)2nn+2••-・・・S=丄[(1-1)+(丄—丄)+(1—丄)++(1-丄)]=-(1+-—丄—-).n232435nn+222n+1n+2v'n+1—Jn(3)：a===\n+1—、■'nnn+*n+1(pn+pn+1)(n+1—€n)•••Sn=Z^1+T3^++vn+1万=(迈—1)+点-迈)+...+(亦匚！-祐)^n+T—1.4)S=a+2a2+3a3++nan，n当a=1时，Sn=1+2+3+・・・+n=—2当a丰1时，Sn=a+2a2+3a3++nanaSn=a2+2a3+3a4+—+nan+1,a(1—an)两式相减得(1—a)S=a+a2+a3+…+an—nan+1=—nan+1,n1—a・・・S’=nan+2—(n+1)an+1+an(1—a)2(5)Tn(n+2)=n2+2n,・•・原式=(12+22+32+・一+n2)+2x(1+2+3+・一+n)="(”+1)(2“+7)(6)设S=sin21+sin22+sin23++sin289,又、:S=sin289+sin288+sin287++sin21,°89.・・2S=89,S=89\6n-52•已知数列｛an｝的通项an=^n（n为奇数）（n为偶数）求其前n项和S.n解：奇数项组成以ai=1为首项’公差为12的等差数列,偶数项组成以a2=4为首项’公比为4的等比数列;n+1n—1当n为奇数时，奇数项有—厂项，偶数项有—厂项,.v_岁(1+6n—5)丄4(1—4罗)—(n+1)(3n—2)丄4(2n—1—1)n21—4n当n为偶数时，奇数项和偶数项分别有-项,厶•Snn•Snn-(1+6n—5)_—+4(1—42)n(3n—2)4(2n—1)_+—1—4（（n为奇数）（n为偶数）(n+1)(3n—2)丄4(2n-1—1