数学解三角形和数列填空18题

数学解三角形和数列填空题：18题，每题6分1•已知VABC的面积等于1,若BC=1，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sinA二在圆心为O,半径为2的圆内接AABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a4一2a2（b2+c2）+c4+b4+b^c2=0，则AOBC的面积为.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c且a>b,a>c.AABC的外接圆uuumur半径为1,a=、：3，若边BC上一点D满足BD=3DC,且ZBAD=90。,则AABC的面积为兀设AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且A-C=a,b,c成等差数列，TOC\o"1-5"\h\z则cosB=.已知P,E,G,F都在球面C上，且p在AEFG所在平面外，PE丄EF,PE丄EG,PE=2GF=2EG=4,ZEGF=120o，在球C内任取一点，则该点落在三棱锥P-EFG内的概率为.uuuvuuuvuuuv已知O为△ABC的外心，其外接圆半径为1,且BO=XBA+yBC.若ZABC=60o，则九+卩的最大值为.c2b已知AABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若A=2B，则丁+一ba的取值范围为.如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角0的大小（仰角0为直线AP与平面ABC所成角）。若AB=15m,AC=25m,ZBCM=30°，则tan0的最大值为.数列｛a｝的前m项为a,a,L,a(meN)，若对任意正整数n，有a二aqn12mn+mn(其中q为常数，q丰0且q丰1),则称数列｛a｝是以m为周期，以q为周期公比的n似周期性等比数列，已知似周期性等比数列｛b｝的前4项为1，1，1,2,周期为4,n周期公比为3,则数列｛b｝前4t+2项的和等于.(t为正整数)n已知数列｛a｝的前n项和为S，且数列n\是首项为3,公差为2的等差数列，nnInJ若b=a，数列｛b｝的前n项和为t，则使得S+T>268成立的n的最小值为n2nnnnn已知a，a，…，a是l，2,…，n满足下列性质T的一个排列(n>2，neN*)，性质TOC\o"1-5"\h\z12nT:排列a,a,…,a有且只有一个a>a(ie｛1,2,…,n-1｝)，则满足性质T的所12nii+1有数列的个数f(n)二已知数列｛a｝中，a=2，对任意keN*，a，a，a成等差数列，公差n22k2k+12k+2为2k+1，则a=—.101已知集合A=｛xIx=2n-1,neN*｝，B=｛xIx=2n,neN*｝.将AUB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列｛a｝.记S为数列｛a｝的前n项和，则使得TOC\o"1-5"\h\znnnS>12a1成立的n的最小值为.nn+1(2016安徽模拟改编)已知数列｛a｝的前n项和为S，S=(-1)na++n—3,nnnn2n若aM对任意的neN*恒成立，则实数M的取值范围是.n等差数列｛an｝前n项和为Sn，公差d<0,若S20>0,S21<0,，当Sn取得最大值时，n的值为丄1对于实数x,[x]表示不超过x的最大整数，已知正数列｛an｝满足Sn=-(an+—),nn2nan111nWN*,其中Sn为数列｛an｝的前n项的和，贝V[彳+「+•••+§]=.12121已知数列｛a｝是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数n，记集合n=a+a,ieN,jeN,\<i<j<n｝的元素个数为c，把｛c｝的各项摆成如图ijnn试卷第2页，总3页

所示的三角形数阵，则数阵中第17行由左向右数第10个数为\afaa18.等差数列n的公差d^O,a3是a2,，5的等比中项，已知数列a2,，4,k1,k2a{k}kn,……为等比数列，数列n的前n项和记为Tn,则2Tn+9=试卷第3页,总3页

1．171．17参考答案解析】分析】设三条高分别为h，h,h，根据面积计算出三条高，并将三条高的乘积的最大值问题，转abc化为sinA最大来求解.详解】—ah=12a依题意可知a=1，三条高分别为h，h，h，根据三角形面积公式有］1bh=1，故h=2,abc2babceh=12e二A二4sinA.bc二A二4sinA.bch-h-h==，而-2-besinA=1，即厂=，所以h-h-habcabcbc2bc2abc故当sinA取得最大值时，三条咼的乘积取得最大值.作平行于BC且与BC距离为2的平行直线l，作BC的垂直平分线AD，交直线l于A.过AD上一点O作圆O,使圆经过A,B,C三个点，由于由于圆外角小于圆周角，故此时ZBAC取得最大值，也即sinABAC/17取得最大值•在三角形ABC中,AB二AC七,BC二1，由余弦定理得1717cosZBAC=冷导17=17，sinABAC=、：'l-cos2ABAC=万•即三角形的三xx228条咼的乘积取最大值时sinA=17.答案第答案第页，总15页详解：^设a=2k，贝0S—[(2x1—1)+(2x2—1)+L+(2•2k_i—1)]+[2+22+L+2k]nn2k-1(L+2x2k-1—1)2(1—2k)—+—22k-2+2k+1—221—2由S>12a得22k—2+2k+1—2>12(2k+1),(2k-1)2—20(2k-1)—14>0,2k-1'25,k'6nn+1所以只需研究25<a<26是否有满足条件的解,n此时S—[(2x1—1)+(2x2—1)+L+(2m—1)]+[2+22+L+25]—m2+25+1—2,na—2m+1,m为等差数列项数，且m>16.n+1由m2+25+1—2>12(2m+1),m2—24m+50>0,m>22,n—m+5>27得满足条件的n最小值为27.点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组n,n为奇数转化法求和的常见类型主要有分段型（如a—仁％裡粉）,符号型（如a—（—1）nn2），n2n,n为偶数n.nn周期型(如a—sm).n314.[3,+a)【解析】由S—(—1)na++n—3得a——3；nn2n141当n>2时，a—S—S—(—1)na+(—1)na—+1,nnn—1nn—12n11n为偶数时，则a——1，•:a——1(n为正奇数)；n—12nn2n+111n为奇数时，a—3一，•：a—3一(n为正偶数)；n—12n—1n2n131函数a——1(n为正奇数)是减函数，有最大值a——4.函数a—3—(n为正偶n2n+114n2n数)是增函数，最大值a<3，综上，a<3(ngN*)，故只需M>3，填[3,+a).nn点睛：本题考查了S与a的关系，以及分类讨论的思想，以及数列中求最值、恒成立等nn问题，属于难题.解决数列的最值时，一般要根据数列的单调性进行处理，本题特别是对项数进行了奇偶分类，要分别研究奇数项和偶数项的最大值，从而利用恒成立求出参数的取

值范围，由S求a也是本题的一个难点，一定要注意分析全面严谨.nn15．10【解析】试题分析：根据所给的等差数列的S20>0,S21<0,，根据等差数列的前n项和公式，看出第11项小于0，第10项和第11项的和大于0，得到第10项大于0，这样前10项的和最大．•.•等差数列｛a｝中，S>0,SV0，即S=6(a+a)>0,S=13a<0，n20212010112111a+a>0,a<0,a>0，a<0,Qd<0，・.S达到最大值时对应的项数n的值为1011111011n10考点：等差数列性质16．20【解析】【分析】先由数列a,S的关系求出S，再利用放缩法和裂项相消求得前n项和S的值，可得答案.nnn【详解】11由题可知S>0，当n>1时，S=2［(S一S丿+o—］化简可得S2-S2=1，当TOC\o"1-5"\h\z2nnTS—Snn-1nn-1n=1,S2=a2=111所以数列｛S2｝是以首项和公差都是1的等差数列，即S2=n•S=、血nnn又n>1时，2（*；n+1一、]n）=<<=2（"一當n一1）n+1+^n2Sn+\n—11~S~1~S~12111记S=++L记SS12一方面S>2h；122—.121+L迈-1]=2G，''122-1）>20另一方面S<1+2［（€百―叮而）+L+（迈-1）］=1+2（-1）=21所以20<S<21即［S］二20故答案为20【点睛】本题考查了新定义、数列通项与求和、不等式知识点，构造新的等差数列｛S2｝以及用放缩n法求数列的和是解答本题的关键，注意常见的裂项相消法求和的模型，属于难题.17．293【解析】【分析】设出等差数列的通项公式，用来表示表示a.+a.的值，通过其最小值和最大值，求得前16ij行共有136个数，由此求得第17行左数第10个数.详解】设a=a+(n-l)d，则a+a=2a+C+j一2)d，由题意1<i<j<n，当i=1，j=2n1i.1时，.+j-2取最小值1，当i=n-1，j=n时，.+j—2取最大值2n-3，易知i+j—2可取遍1,2,3,...,2n—3，即c=2n—3(n>3).数阵中前16行共有1+2+3+...+16=136n个数，所以第17行左数第10个数为［48=2x148-3=293【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查对新定义三角形数阵的分析，属于难题.需要有较强的分析能力.18．3n+2+2n【解析】【分析】根据等差数列及等比中项的定义，求得首项；由等比数列前两项求得公比，进而利用等比数列通项公式与等差数列通项公式求得kn;利用等比数列及等差数列求和公式即可求得Tn，代入即可求得2Tn+9。【详解】因为数列｛a｝是等差数列，且a3是a2,a5的等比中项n325所以(a匕二a•a325(a+2d匕=(a+d)・(a+4d)111因为公差d丰Q解得件二0a3d公比q=f二二3ad2