A全等三角形之手拉手模型、倍长中线-截长补短法

手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：(l)AABD^△AEC(2)Za结论：(l)AABD^△AEC(2)Za+ZB0C=180°DBA例1.如图在直线ABC的同一侧作个等边三角形AABD与ABCE，连结AE与个等边三角形AABD与ABCE，连结AE与CD，证明AABE=ADBC⑵AE与DC之间的夹角为60。(3)BH平分ZAHC变式精练1：如图两个等边三角形AABD与ABCE,连结AE与CD,证明(1)AABE=ADBCAE与DC之间的夹角为60。AE与DC的交点设为H,BH平分ZAHC变式精练2:如图两个等边三角形AABD与ABCE，连结AE与CD,证明(1)AABE=ADBCAE与DC之间的夹角为60。（3）AE与DC的交点设为H,BH平分ZAHC例2:如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG,CE，二者相交于点H问：（1）AADG仝ACDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分ZAHE？例3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG,连结AG,CE,二者相交于点H问：（1）AADG=ACDE是否成立？（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分ZAHE？例4：两个等腰三角形AABD与ABCE，其AB二BD,CB二EB,ZABD=ZCBE=a,连结CD，问：（1）AABE仝ADBC是否成立？（2）AE是否与CD相等？（3）AE与CD之间的夹角为多少度？（4）HB是否平分ZAHC？例5：如图，点A.B.?C在同一条直线上，分别以AB、BC为边在直线AC的同侧作等边三角形△ABD、ABCE.连接AE、DC,AE与DC所在直线相交于F，连接FB.判断线段FB、FE与FC之间的数量关系，并证明你的结论。

分别以AB、【练1】如图，三角形ABC和三角形CDE都是等边三角形，点A,E,D,同在一条直线上，且角EBD=62°，求角AEB的度数倍长与中点有关的线段倍长中线类?考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、平移线段。【方法精讲】常用辅助线添加方法AD到E，△ABC中EAD是BC边中线方式1:延长使DE=AD，连接BE方式2：间接倍长TOC\o"1-5"\h\z作CF丄AD于F，延长MD到N，作BE丄AD的延长线于E使DN=MD，连接BE连接CD【例1】已知：AABC中，AM是中线.求证：2【练1】在△ABC中，AB=5,AC=9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？【练2】如图所示，在aabc的ab边上取两点E、F，使AE-BF，连接CE、CF，求证：AC+BC>EC+FC-【练3】如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,D是AB上一点，F是AC延长线上的一点，且BD=CF,连结DF交BC于E.求证：DE=EF（倍长中线、截长补短）AA【例2】如图，已知在AABC中，AD是BC边上的中线，EA是AD上一点，延长BE交AC于F，AF二EF，求/\证：AC=BE•\【练1】如图，已知在AABC中，AD是BC边上的中线,E叭\\是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求B\EX证：TOC\o"1-5"\h\zAF二EF\\【练2】如图，在△ABC中，AB>AC,E为BC边的中点，AD为ZBAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F,交：CA的延长线于G.求证：BF=CG.，-“【练3】如图，在aabc中,点，EF//AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若'BG=CF，求证：AD为AABC的角平分线.::'【练4】如图所示，已知平分ZBAC，E、F分占三二匸另U在BD、AD上.DE=CD，EF=AC-求证：EF/AB【例3】已知AM为AABC的中线，ZAMB，ZAMC的平分线分别交AB于E、交AC于F•求证：BE+CF>EF-【练1】在八E分别在边CA、CB上,满足ZDFE=90。•若AD=3，BE=4，则线段DE的长度为•【练2】如图，AABC中，AB=2AC,AD平分BC且AD丄AC,则ZBAC二.【练3】在点M、N分别为AB、AC上的点，且MD丄ND-（1）若ZA=90°，以线段BM、MN、CN为边能否构成一个三角形？若能,该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？（2）如果BM2+CN2=DM2+DN2，求证AD2=1（AB2+AC2）•4【例4】如图，等腰直角AABC与等腰直角ABDE,P为CE中点，连接PA、PD.探究PA、PD的关系.（证角相等方法）【练1】如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA父EF于点Q•探究AP与EF的数量关系和位置关系•（证角相等方法）【练2】如图，在AABC中，CD=AB,ZBAD二ZBDA,AE是bd边的中线.求证：AC二2AE【例5】如图所示，在AABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD二AB，E为AB的中点，连接CE、CD，求证CD=2EC•【练1】已知AABC中，AB=AC，BD为AB的延长线，且BD二AB，CE为AABC的AB边上的中线.33求证：cd=2CE【练2】如图,CB、CD分别是钝角△AEC和锐角AABC中线，且AC=AB,ZACB=ZABC.求证CE=2CD.【例16】如图，两个正方形ABDE和ACGF,点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q.探究AP与EF的数量关系和位置关系.（倍长中线与手拉手模型综合应用）【练1】已知：如图，正方形ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点.⑴试说明线段ME与MC数量关系和关系.⑵如图，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转a度数（a<90。），其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明;若不正确，请说明理由.★全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法（把长边截成两个短边或把两个短边放到一起；出现角平分线进行翻折；有具体角的度数说明要求角的度数，进而得到角相等，A全等）【例10】如图所示，AABC中，ZC二9Oo,ZB二45o，AD平分ABAC交BC于D。求证:AB二AC+CD。【练1】如图所示，在AABC中，ZB二600，AABC的角平分线AD、CE相交于点0。求证：AE+CD二AC。【练2】已知AABC中，ZA二60，BD、CE分别平分ZABC和ZACB，BD、CE交于点O，试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.ABEABCEDO【练2】如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,AE平分ZBAD交DC于点E,连接BE,且AE丄BE，求证：AB=AD+BC.

ABEABCEDO【练3】已知：如图，在△ABC中，ZA=90°,AB二AC,BD是ZABC的平分线。求证：BC二AB+AD.【练4】点M,N在等边三角形ABC的AB边上运动，BD=DC,ZBBDC=120°,ZMDN=60°，求证MN二MB+NC.【例11】已知如图所示，在△ABC中,AD是角平分线，且AC=AB+BD,CZABD=ZCBD，CE垂直于BDCZABD=ZCBD，CE垂直于BD的延长线于E。求证：BD=2CE。【练1】已知：如图示，在RtAABC中，ZA=90°ZC，BD是ZABC的平分线.求证：CD=2AD.【练2】如图所示，在AABC中，ZABC二900，AD为ZBAC的平分线，ZC=300，BE丄AD于E点，求证：AC-AB=2BE。1212【练3】正方形ABCD,E是BC上一点，AE丄EF,交ZDCH的平分线于点F,求证AE=EF【练4】已知在△ABC中，AB=AC,D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F,且DF=EF，求证：BD=CE【例14】如图所示，已知ab//CD，ZABC,ZBCD的平分线恰好交于AD上一点E，求证：BC二AB+CD。【练1】如图，已知AD〃BC,ZPAB的平分线与ZCBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D.求证：AD+BC二AB.【练2】如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分ZDAE，求证：AE二EC+CD.A【练3】在厶ABC中，AD是BC边上的高，ZB=2ZC.求证:CD二AB+BD.ABSD【练4】如图所示在三角形ABC中,ZACB=90°,AC=BC,D为三角形ABC外一点，且AD=BD,DE丄AC交AC的延长线于点E.试探求ED、AE和BC之间有何数量关系【练5】在四边形ABCD中，AB〃DC,E为BC边的中点，ZBAE=ZEAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线D段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论【例15】如图在△ABC中，AB>AC，Z1=Z2,P为AD上任意一点，求证：AB-AC〉PB—PCDBB【练1】已知AM为AABC的中线，ZAMB，ZAMC的平分线分别交AB于E、交AC于F-求证：BE+CF>EF-如图，E是ZAOB的平分线上一点，EC丄OA,ED丄OB,垂足为C、D。求证：（1）OC=OD；（2）DF=CFO构造等边三角形1、如图，已知AABC中,AB=AC,D是CB延长线上一点,ZADB=60°,E是AD上一点，且有DE=DB.求证：AE=BE+BC.2、在等腰AB=AC，AB上取点练习1、如图，在△ABC中，ZACB=90°,BE平分ZABC,DE丄AB于D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于A、2cmB、3cmC、4cmD、5cmAA练习2、在厶ABC和^A'B'C'中,AB=A'B',AC=A'C'，点D,D'分别是BC,B'C'的中点,且AD=A'D',证明：AABC仝AABC.（倍长中线）练习3、如图，在△ABC中，BE是ZAB（B的角平分线rADZ2=Z1+ZC练习4、如图（1），已知△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC，AE是过A的一条直线,

且B、C在A、E的异侧，BD丄AE于D,CE丄AE于E（1）试说明：BD二DE+CE.（2）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BDVCE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果；（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD〉CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不需说明理由.如图所示，在RtAABC中，AB=AC，ZBAC=90。，有过A的任一条直线AN，BD丄AN于D，CE丄AN于E,求证：DE=BD-CE.（思路：截长补短法）如图，在△ABC中,AB=AC,D是三角形外一点，且ZABD=60°,BD+DC=AB.求证：ZACD=60°.（截长补短）1、如图，等腰直角AABC与等腰直角ABDE，P为CE中点，连接PA、PD.探究PA、PD的关系.（辅助线的连法都一样）2、已知：如图，正方形ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点.⑴试说明线段ME与MC数量关系和关系（辅助线的连法都一样）⑵如图，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转a度数（a<90。），其他条件不变，上述结论还正确吗？若正确，请你证明;若不正确，请说明理由.3、已知AM为AABC的中线，ZAMB，ZAMC的平分线分别交AB于E、交AC于F-求证：（辅助线的连法都一样）【阅读理解】已知：如图1,等腰直角三角形ABC中，zB=90。，AD是角平分线，交BC边于点D.求证：AC二AB+BD证明：如图1，在AC上截取AE=AB，连接DE，则由已知条件易知：RfADB雯Rt△ADE(AAS)•••zAED二zB=90°,DE=DB

又•••zC=45°,.oDEC是等腰直角三角形.•••DE二EC.•••AC二AE+EC二AB+BD.【解决问题】已知，如图2,等腰直角三角形ABC中，zB=90。，AD是zBAC的平分线，交BC边于点D,DE丄AC，垂足为E，若AB=2，则三角形DEC的周长为.【数学思考】：现