误差理论与数据处理第六版

第3章误差的合成与分解3-1相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件，量块组由4块量块研合而成，它们的基本尺寸为:l=40mm，l=40mm，l=12mm，l=1.25mm，l=1.005mm。经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分Al]=—0.7旦m，A12=+0.5旦m，A13=—0.3旦m，A14=+0.1Rm；6.l=±0.35旦m，6,l=+0.25^m，B.l=±0.20^m，B.l=±0.20^m。试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。【解】量块组的关系为：L=l]+12+lj14,显然本题是一个关于函数系统误差和函数随机误差的计算问题。已知个组成块的尺寸偏差(属系统误差)，则可计算量块组的系统误差。AL=A1]+A12+A13+A14=—0.7+0.5—0.3+0.1=—0.4rm所以，量块组按基本尺寸使用时的修正值E为：E=-AL=—(-0.4)=0.4rm量块组按基本尺寸使用时的测量误差(系统极限误差)为：61L=+M2(+6].212+6].24+6].214=+,/0.352+0.252+0.202+0.202=±0.515rm3-2为求长方体体积V，直接测量其各边长为：a=161.6mm，b=44.5mm，c=11.2mm，已知测量的系统误差为Aa=1.2mm，Ab=—0.8mm，Ac=0.5mm，测量的极限误差为=±0.5mm，=±0.5mm，6=±0.5mm，试求立方体的体积及其体积的极限误差。b c【解】立方体体积：V=abc，若不考虑测得值的系统误差，则计算体积为：匕=abc=161.6x44.5x11.2=80541.44mm体积V的系统误差为：AV=铲Aa+齐Ab+冲Ac=abc[占+9+a]=80541.44(氤+霆+荒)=2745.744(mm3)考虑测量系统误差后的立方体体积：V=1—AV=77795.696277795.70(mm3)又直接测量值存在极限误差，则间接测量体积存在的极限误差为:a5V=±、,'(针8)2+(k8)2+(砰8)2lim daa dbb dcc=±7(bc8)2+(ac8)2+(ab8)2=±\；[44.5x11.2x(±0.8)]2+[161.6x11.2x(±0.5)]2+[161.6x44.5x(±0.5)]2=±x/398.722+904.962+3595.62二±3729.1(mm3)故测量结果为：V±5.V=77795.70士3729.1(mm3)3-3长方体的边长分别为a「3、a「测量时：①标准差均为。；②标准差各为得、。2、。3。试求体积的标准差。【解】长方体体积计算式：V=abc=a1a2a3，则体积的标准差为：o二,''(中o)2+(*o)2+(卉O)2=,1'(aao)2+(aao)2+(aao)2TOC\o"1-5"\h\zVYda 1aa2aa3 231 132 1231 2 3\o"CurrentDocument"二a『2a3s(°t)2+(、)2+(°r)2a1 a2 a3①标准差均为。时，则体积的标准差为:o=aaa:'(%)2+(%)2+(%)2=V：'(o)2+(,)2+(o)2V123，a a a 飞a a a1 2 3 1 2 3,：(+)2+(+),：(+)2+(+)2+"2

aaa1 2 3②标准差各为时o「o2、o3，则体积的标准差为：o=V；'(g)2+(%)2+(%)2V\。］ a2 a33-4测量某电路的电流I=22.5mA，电压U=12.6V，测量的标准差分别为o厂0.5mA,oU=0.1V，求所耗功率P=UI及其标准差0P。【解】若不考虑测得值的误差，则计算所耗功率为：P=UI=12.6x22.5x10-3=0.2835(W)所耗功率标准差oP①若U、I完全不相关，则P=0o=■''(mo)2+($o)2=.(Io)2+(Uo)2pauu aii u i\-'(22.5x10.3x0.1)2+(12.6x0.5x10.3)2=$39.69+5.0625x10一3=6.69x10-3(W)②若U、I完全相关，则P=1，所以=A/(22.5xlO-3)2xO,l2+12.62x(O.5xlO-3)2+2xlx22.5xlO_3xl2.6xO.lxO.5x=75.0625xl0-6+39.69xIO-6+28.35xIO-6=7t3,1O25x1O-6=8.55x10-切所以，该电路所消耗功率为0.2385W,其标准差为&55*10-虱3-5已知x±。工=2.0土0.1,j±o,=3.0土0.2相关系数p^^=0，试求：中=x后的值及其标准差。【解】①以中=x3y为例若不考虑测得值的误差，计算其值：甲=X3y=2.0X3’30=2.885已知o工=0.1,oy=0.2，则中的标准差:o中o)o中o)2+(go)2x 。yy\；(\；(3而X0.1)2+(2.0X”3.0-2/3X0.2)2=<0.021+0.077=0.313②以甲=X3、.：y为例若不考虑测得值的误差，计算其值：甲=X3G=(2.0)3v3.0=13.85已知o工=0.1,oy=0.2，则中的标准差:o=.;'(即o)2+(碑o)2=.：(3X2：y^G)2+(丑+o)2

中\。xx dyy \' 'x 2yy=(：(3x(2.0)2v3^0x0.1)2+(3-x0.2)2=2.12922 --3.0TOC\o"1-5"\h\z3-6已知乂与y的相关系数P=—1，试求u=x2+ay的方差o2。xy u【解】属于函数随机误差合成问题。\o"CurrentDocument"扭=2x;且=a;p =1由教材式(3-13)有：o2=(即o)2+(即o)2+2即即poou dxx dyy dxdyxyxy=(2x)2o2+a2o2+2X2xxax(1)oo=(2xo—ao)2x y xy x y3.7通过电流表的电流I与指针偏转角平服务从下列关系：I=Ctan①。式中C为决定于仪表结构的常数，CC=5.031x10-7A，两次测得甲1=6017'±1',、=43032'±1'。试求两种情况下的11,12及极限误差，并分析最佳方案。【解】：因I=Ctan①一tan①二I/C，由三角函数随机误差(极限误差)计算公式(3-21)，有，O=C0S2①：'(或)2o2=jC0S2中,5①二C0S2中：’(f)252I=SlimzC0S2中① YeI IC lim %：dI limC5I=C5lim9

limcos2中 ⑴当T=q时，把①1=6017'代入关系式，有：11=Ctan①1=5.031X10-7tan6o17'=5.54x10-8(A)相应的极限误差为：5I=C5lim*=5.031X10-7x[±1x//(180/60)]=±1.481x10-10(A)lim1 cos2q COS26017'当中=92时，把32=43032,代入关系式，有：12=Ctanq=5.031x10-tan43032'=4.78x10-7(A)相应的极限误差为：5I=C5.9c=5.031x10-7刈±1x冗/(180/60)]=±2.784x10-10(A)lim2 \ /lim2 COS292 COS243032,C,^=0C C=0根据求得测量电流的误差传递式(1)，欲使极限误差5linI变小，必须满足短& 或为最小，因C为常数，这意味着只能是COS29最大，又因电流表指针偏转角在0«9〈兀范围内变化，当0«9〈兀/2时，COS29单调下降，为使C/COS29趋小，9应该愈小愈好，即测小电流误差小。上述计算结果验证了该方案的正确性。3-8如图3-6所示，用双球法测量孔的直倒，其钢球直径分别为d”2,测出距离分别为此、H2，试求被测孔径D与各直接测量量的函数关系D=f(d/d2,斗、HJ，及其误差传递系数。【解】如图所示，利用勾股定理得=+(幺也+^^)2(d^+4)2=(±tl)2_(吊 +^^)2）2-由「H2TJ©+耳-乜）@-耳+耳）然后，分别求偏导数，即得出误差传递系数。3.9按公式求圆柱体积V=兀r2h，若已知r约为2cm,h约为20cm,要使体积的相对误差等于1%,试问和测量时相对误差应为多少？【解】：已知圆柱体的半径和高度分别为：r=2cm,h=20cm，则可计算出圆柱体的体积：V=兀r2h=3.146x2x20=251.328(cm2)0而体积的绝对误差为：5v=V0x1%=2.51(cm2)测量项目有2项，仁2,且按等只要原则分配误差，则可得测量半径r和高度h的极限误差:5=5t-1-=且x1=241x 1 =0.071(mm)r ..n dV/dr 22 2冗rh <2 3.1416x2x205=」-1—=鼠x1=241x 1 =1.41(mm)h nn °V/°h 22 nr2 -2 3.1416x22即，允许r的测量误差为土0.071mm，高度h的测量误差为土1.41mm3.10题3-7中，若测得C+oc=(124.18土0.03)A,①+。甲=19。41'30”±40”，试求电流I的标准差。【解】测量电流I的误差由C、①两个因数带来，因此按照函数误差的合成TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"o=±H(ao)2,a=a

I iii °xiIi=1 1因为传递系数为：母=tan①，牛=<°c 的 cos2中o=±：'(在xo)2+(hxo)2=±.(tan①xo)2+(cxo)2I%°cc即中、： c cos2P ①o=±：(tanpxo)2+(xo)2=±；(tan19041'30”x(±0.03))2+(-4^x(±40"))21 % CCOS2Pp \ cos219041'30"3.11测量某电路电阻R两端的电压降U，可由公式I=U/R计算出电路电流I。若电压降为16V，电阻为4Q。欲使电流的极限误差为0.04A，试决定电阻R和电压降U的测量误差为多少？【解】：已知电压降为16V，电阻为4Q测量项目有2项，仁2,且按等分配原则分配误差，则可得测量电压降U和电阻R的极限误差:5=41=Atx1=0.Q4x1=0.0283(Q)Rnn°I/°R、2_U211R216=J1=4XX=004X4=0.1131(V)vndI/dv2十23—12按公式V=nr小求圆柱体体积，若已知「约为2cm,h约为20cm,要使体积的相对误差等于1%,试问r和h测量时误差应为多少？【解】若不考虑测量误差，圆柱体积为V=兀・r2.h=3.14x22x20=251.2cm3根据题意，体积测量的相对误差为1%,即测定体积的相对误差为：G—=1%V即。=V.1%=251.2X1%=2.51现按等作用原则分配误差，可以求出测定r的误差应为：o=工一1一=251 =0.007cmr i2aV/ar1.412兀hr测定h的误差应为：o= ---="I---=0.142cmh工.2aV/ah 1.41兀・r23-13假定从支点到重心的长度为L的单摆振动周期为T,重力加速度可由公式T=2兀*L/g中给出，若要求测量g的相对标准差OJg<0.1%，试问按等作用原则分配误差时，测量L和T的相对标准差应是多少？【解】：可直接测量单摆长度L和单摆振动周期T,然后按下式计算重力加速度，T=2兀、而影响重力加速度的因数有2个(n=2),按等作用原则分配误差，则测量L和T的标准差分别为:。 =晨1 =晨T2=OgLLn~nag/aLv24兀2 2gg2-/2g因要求测量g的相对标准差og/g<0.1%，则测量L的相对标准差应为:气=恐<4x0.1%=0.071%测量T的相对标准差应为:与二'<上x0.1%=0.035%T2丫2g2^23-14对某一质量进行4次重复测量，测得数据(单位§)为428.6,429.2,426.5,430.8。已知测量的已定系统误差A=-2.6g，测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所列。若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差。序极限误差/g误差传递函数随机误差未定系统误差12.1121.5131.0140.5154.5162.21.471.02.281.81【解】①4次重复测量的平均值:x=+力x=+(428.6+429.2+426.5+430.8)=428.775(g)i=1②已知测量有已定系统误差，依此对测量结果进行修正，则测量结果的最可信赖值为:x0=X-A=428.775-(-2.6)=431.375(g)③因测量的极限误差服从正态分布，其合成的极限误差为a、随机误差有三项，其合成极限误差为：I 8=±F(a8)2=±,：(1X2.1)2+(1x4.5)2+(2.2x1)2=±5.43139(g)\iiXi=1b、未定系统误差有五项，其合成极限误差为：