第四章-静力学与动力学P讲解课件

第四章：机器人静力学和动力学StaticsandDynamicsofRobot第四章：机器人静力学和动力学StaticsandDyna

第四章机器人静力学和动力学概述a）静力学问题b）动力学问题末端力F与关节力矩关系末端运动特性与关节力矩关系第四章机器人静力学和动力学概述a）静力学问题b）动力学3

第四章机器人静力学和动力学

相同点：都与关节力矩有关不同点：如下图概述AmIstrong?解决接触力大小问题-静力学问题DoIoperate

smoothly?动力学问题从力学的角度让机器人工作的更平稳、更精确。3第四章机器人静力学和动力学相同点：都与关节力§4—1机器人静力学F一、静力学问题：（1）假设各构件处在静止状态（相当于运动受限状态）（2）关节力矩末端输出力末端输出力§4—1机器人静力学F一、静力学问题：（1）假设各构件处在二、静力学两类问题：1、

正向静力学—知各关节驱动力（力矩），求末端点能输出的力（力矩）。2、

逆向静力学—已知末端点作用力（力矩），求关节需施加的力（力矩）。二、静力学两类问题：三、静力学分析方法F1、静力平衡法2、虚功原理

（虚位移原理）三、静力学分析方法F1、静力平衡法2、虚功原理

（虚位移原7例静力平衡法已知：AC=CB=l，P=10kN;求：铰链A和DC杆受力.解：取AB梁，画受力图.解得7例静力平衡法已知：AC=CB=l，P=10kN;求：铰8约束·虚位移·虚功1约束及其分类限制质点或质点系运动的条件称为约束.限制条件的数学方程称为约束方程.

限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束.（（1）几何约束和运动约束如8约束·虚位移·虚功1约束及其分类限制质点或质点系运动9910（2）定常约束和非定常约束

约束条件随时间变化的称非定常约束.不随时间变化的约束称定常约束.10（2）定常约束和非定常约束约束条件随时间变化的称非定11（3）其它分类

约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分为有限形式的约束称非完整约束.

约束方程是等式的，称双侧约束（或称固执约束）.

约束方程为不等式的，称单侧约束（或称非固执单侧约束）

n为质点数，S为约束方程数.

约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程中的积分项可以积分为有限形式的约束为完整约束.本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束.11（3）其它分类约束方程中包含坐标对时间的导数,且不122虚位移

在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何无限小的位移称为虚位移

.只与约束条件有关.虚位移等实位移等实位移是质点系真实实现的位移，它与约束条件、时间、主动力以及运动的初始条件有关

.122虚位移在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,13（1）静止质点可以有虚位移，但肯定没有实位移。即：实位移与力有关，而虚位移只与约束有关。

（2）虚位移是约束允许的微小位移，与时间无关，实位移是真实发生的位移，可以是微小值，也可以是有限值，而且与时间有关。

2、虚位移与实位移的区别与联系

（3）虚位移不惟一，而实位移是惟一的。13（1）静止质点可以有虚位移，但肯定没有实位移。（2）虚14虚功

4理想约束

如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为理想约束.力在虚位移中作的功称虚功.

光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不可伸长的柔索、固定端、轮子只滚不滑等约束为理想约束.14虚功4理想约束如果在质点系的任何虚位移中,所有15即设质点系处于平衡,有或记为此方程称虚功方程,其表达的原理称虚位移原理或虚功原理.虚位移原理

对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是:作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零.解析式为15即设质点系处于平衡,有或记为此方程称虚功方程,其表达的原16已知：如图所示,在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在水平面内的力偶(

),其力矩,螺杆的导程为.求：机构平衡时加在被压物体上的力.例16已知：如图所示,在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在水平求：17解:给虚位移以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对象,受力如图.17解:给虚位移以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对象,受力18总结：虚功原理解题步骤分析系统所受主动力选择虚位移

求解

静平衡系统虚功之和为零求力在虚位移上的虚功18总结：虚功原理解题步骤分析系统所受主动力选择虚位移

求解利用虚功原理建立静力平衡方程，令F忽略摩擦力和重力利用虚功原理建立静力平衡方程，令F忽略摩擦力和重力式中

J——雅可比矩阵。该式表明关节空间力矩和笛卡尔空间广义力可以借助于雅可比矩阵J变换。式中J——雅可比矩阵。该式表明关节空间力矩和笛卡尔空间？？静力平衡方法验证静力平衡方法验证机器人逆静力计算静力学逆解。逆解的关系式为

机器人的自由度不是6，例如n>6时，力雅可比矩阵就不是方阵，则JT就没有逆解。所以，对第二类问题的求解就困难得多，一般情况不一定能得到唯一的解。如果F的维数比τ的维数低，且J满秩，则可利用最小二乘法求得F的估计值。F=(JT)–1τ机器人逆静力计算静力学逆解。逆解的关系式为F=(JT)–1一、动力学问题：§4—2机器人动力学二、机器人动力学研究的问题可分为两类：（总结）

1、给定机器人的驱动力（矩），用动力学方程求解机器人（关节）的运动参数或动力学效应,称为动力学正问题）。

2、给定机器人的运动要求，求应加于机器人上的驱动力（矩）称为动力学逆问题）。（1）机器人处于运动状态（不论是否与外界接触）（2）关节力矩末端位置、速度、加速度

给定期望的末端位置、速度、加速度动力学计算关节力矩（时变）自动控制算法控制电机转矩一、动力学问题：§4—2机器人动力学二、机器人动力学研究三、动力学研究方法：1．拉格朗日方程法：通过动、势能变化与广义力的关系，建立机器人的动力学方程。代表人物R.P.Paul、J.J.Uicker、J.M.Hollerbach等。3．高斯原理法:

利用力学中的高斯最小约束原理,把机器人动力学问题化成极值问题求解.代表人物波波夫(苏)。4．凯恩方程法：引入偏速度概念，应用矢量分析建立动力学方程。该方法在求构件的速度、加速度及关节驱动力时，只进行一次由基础到末杆的推导，即可求出关节驱动力，其间不必求关节的约束力，具有完整的结构，也适用于闭链机器人。2．牛顿—欧拉方程法：用构件质心的平动和相对质心的转动表示机器人构件的运动，利用动静法建立基于牛顿—欧拉方程的动力学方程。代表人物Orin,Luh(陆养生)等。三、动力学研究方法：3．高斯原理法:利用力学中的高斯最小约我们研究动力学的重要目的之一是为了对机器人的运动进行有效控制，以实现预期的轨迹运动。常用的方法有牛顿—欧拉法、拉格朗日法等。牛顿—欧拉动力学法是利用牛顿力学的刚体力学知识导出逆动力学的递推计算公式，再由它归纳出机器人动力学的数学模型——机器人矩阵形式的运动学方程；拉格朗日法是引入拉格朗日方程直接获得机器人动力学方程的解析公式，并可得到其递推计算方法。我们研究动力学的重要目的之一是为了对机器人的运动进行有效控制对多自由度的机械手，拉格朗日法可以直接推导运动方程式，但随着自由度的增多演算量将大量增加。与此相反，牛顿－欧拉法着眼于每一个连杆的运动，即便对于多自由度的机械手其计算量也不增加，因此算法易于编程。由于推导出的是一系列公式的组合，要注意惯性矩阵等的选择和求解问题。进一步的问题请参考相关文献资料。对多自由度的机械手，拉格朗日法可以直接推导运动方程式，但随着28质点的拉格朗日方程fmgyxo总结：解题的一般思路28质点的拉格朗日方程fmgyxo总结：解题的一般思路

系统的动能和势能可在任何形式的坐标系（极坐标系、圆柱坐标系等）中表示

，不是一定在直角坐标系中。四串联二自由度机器人的拉格朗日方程定义：L=K-P

L—Lagrange函数；K—系统动能之和；P—系统势能之和。刚体系统拉格朗日方程应用质点系的拉格朗日方程来处理杆系的问题。系统的动能和势能可在任何形式的坐标系（极坐标系、圆柱坐标系一、动能和势能

（负号与坐标系建立有关）机器人拉格朗日方程一、动能和势能（负号与坐标系建立有关）机器人拉格朗日方程第四章-静力学与动力学P讲解课件三、动力学方程

先求第一个关节上的力矩

三、动力学方程先求第一个关节上的力矩同理，对和微分，可求得第二关节力矩

同理，对和微分，可求得第二关节力矩34WritteninMatricesForm:有效惯量(effectiveinertial)：关节i的加速度在关节i上产生的惯性力，等效转动惯量的概念四、动力学方程中各系数的物理意义34WritteninMatricesForm:有效惯35WritteninMatricesForm:耦合惯量(coupledinertial)：关节i,j的加速度在关节j,i上产生的惯性力D12=D21，惯量矩阵为对称阵（symmetry）四、动力学方程中各系数的物理意义35WritteninMatricesForm:耦合惯36向心加速度(accelerationcentripetal)系数：关节i的速度在关节i上产生的向心力四、动力学方程中各系数的物理意义36向心加速度(accelerationcentripet37向心加速度(accelerationcentripetal)系数：关节j的速度在关节i上产生的向心力四、动力学方程中各系数的物理意义37向心加速度(accelerationcentripet38哥氏加速度(Coriolisaccelaration)系数：关节j,k的速度引起的在关节i上产生的哥氏力(Coriolisforce)此时，哥氏力(Coriolisforce)只在关节1产生，因为哥氏力是由于牵连运动是转动造成的四、动力学方程中各系数的物理意义38哥氏加速度(Coriolisaccelaration)39重力项(gravity)：关节i,j处的重力四、动力学方程中各系数的物理意义39重力项(gravity)：关节i,j处的重力四、动力学方

比较二杆机器人例中的系数与一般表达式中的系数得到有效惯量系数：

耦合惯量系数：

向心力项系数：

比较二杆机器人例中的系数与一般表达式中的系数得到耦合哥氏力项系数：

重力项：

哥氏力项系数：重力项：

动力学方程中的惯量项和重力项在机器人控制中特别重要，将直接影响系统的稳定性和定位精度。只有当机器人高速运动时，向心力项和哥氏力项才是重要的。传动装置的惯量值往往较大，对系统动态特性的影响也不可忽略。

在机器人动力学问题的讨论中，拉格朗日动力学方程常写作更简化的一般形式：式中：的意义。动力学方程中的惯量项和重力项在机器人控制中特别重要，将直接机器人拉格朗日动力学一般步骤：

从上节容易看出Lagrange方程是一个二阶耦合、非线性的微分方程，为简化计算，未虑及传动链中的摩擦。以下方程的推导，也是不考虑传动链带来的摩擦影响，只考虑杆件本身，然后再加入关节处驱动装置（如电机、码盘等）的影响。

推导分五步进行：一、计算任意杆件上任意点的速度；二、计算动能；三、计算势能；四、形成Lagrange函数；五、建立动力学方程。机器人拉格朗日动力学一般步骤：从上节容易看出Lagran44拉格朗日方法建立如图所示动力学模型

作业44拉格朗日方法建立如图所示动力学模型作业第四章：机器人静力学和动力学StaticsandDynamicsofRobot第四章：机器人静力学和动力学StaticsandDyna

第四章机器人静力学和动力学概述a）静力学问题b）动力学问题末端力F与关节力矩关系末端运动特性与关节力矩关系第四章机器人静力学和动力学概述a）静力学问题b）动力学47

第四章机器人静力学和动力学

相同点：都与关节力矩有关不同点：如下图概述AmIstrong?解决接触力大小问题-静力学问题DoIoperate

smoothly?动力学问题从力学的角度让机器人工作的更平稳、更精确。3第四章机器人静力学和动力学相同点：都与关节力§4—1机器人静力学F一、静力学问题：（1）假设各构件处在静止状态（相当于运动受限状态）（2）关节力矩末端输出力末端输出力§4—1机器人静力学F一、静力学问题：（1）假设各构件处在二、静力学两类问题：1、

正向静力学—知各关节驱动力（力矩），求末端点能输出的力（力矩）。2、

逆向静力学—已知末端点作用力（力矩），求关节需施加的力（力矩）。二、静力学两类问题：三、静力学分析方法F1、静力平衡法2、虚功原理

（虚位移原理）三、静力学分析方法F1、静力平衡法2、虚功原理

（虚位移原51例静力平衡法已知：AC=CB=l，P=10kN;求：铰链A和DC杆受力.解：取AB梁，画受力图.解得7例静力平衡法已知：AC=CB=l，P=10kN;求：铰52约束·虚位移·虚功1约束及其分类限制质点或质点系运动的条件称为约束.限制条件的数学方程称为约束方程.

限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为几何约束.（（1）几何约束和运动约束如8约束·虚位移·虚功1约束及其分类限制质点或质点系运动53954（2）定常约束和非定常约束

约束条件随时间变化的称非定常约束.不随时间变化的约束称定常约束.10（2）定常约束和非定常约束约束条件随时间变化的称非定55（3）其它分类

约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分为有限形式的约束称非完整约束.

约束方程是等式的，称双侧约束（或称固执约束）.

约束方程为不等式的，称单侧约束（或称非固执单侧约束）

n为质点数，S为约束方程数.

约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程中的积分项可以积分为有限形式的约束为完整约束.本章只讨论定常的双侧、完整、几何约束.11（3）其它分类约束方程中包含坐标对时间的导数,且不562虚位移

在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何无限小的位移称为虚位移

.只与约束条件有关.虚位移等实位移等实位移是质点系真实实现的位移，它与约束条件、时间、主动力以及运动的初始条件有关

.122虚位移在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,57（1）静止质点可以有虚位移，但肯定没有实位移。即：实位移与力有关，而虚位移只与约束有关。

（2）虚位移是约束允许的微小位移，与时间无关，实位移是真实发生的位移，可以是微小值，也可以是有限值，而且与时间有关。

2、虚位移与实位移的区别与联系

（3）虚位移不惟一，而实位移是惟一的。13（1）静止质点可以有虚位移，但肯定没有实位移。（2）虚58虚功

4理想约束

如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和等于零，称这种约束为理想约束.力在虚位移中作的功称虚功.

光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不可伸长的柔索、固定端、轮子只滚不滑等约束为理想约束.14虚功4理想约束如果在质点系的任何虚位移中,所有59即设质点系处于平衡,有或记为此方程称虚功方程,其表达的原理称虚位移原理或虚功原理.虚位移原理

对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是:作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零.解析式为15即设质点系处于平衡,有或记为此方程称虚功方程,其表达的原60已知：如图所示,在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在水平面内的力偶(

),其力矩,螺杆的导程为.求：机构平衡时加在被压物体上的力.例16已知：如图所示,在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在水平求：61解:给虚位移以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对象,受力如图.17解:给虚位移以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对象,受力62总结：虚功原理解题步骤分析系统所受主动力选择虚位移

求解

静平衡系统虚功之和为零求力在虚位移上的虚功18总结：虚功原理解题步骤分析系统所受主动力选择虚位移

求解利用虚功原理建立静力平衡方程，令F忽略摩擦力和重力利用虚功原理建立静力平衡方程，令F忽略摩擦力和重力式中

J——雅可比矩阵。该式表明关节空间力矩和笛卡尔空间广义力可以借助于雅可比矩阵J变换。式中J——雅可比矩阵。该式表明关节空间力矩和笛卡尔空间？？静力平衡方法验证静力平衡方法验证机器人逆静力计算静力学逆解。逆解的关系式为

机器人的自由度不是6，例如n>6时，力雅可比矩阵就不是方阵，则JT就没有逆解。所以，对第二类问题的求解就困难得多，一般情况不一定能得到唯一的解。如果F的维数比τ的维数低，且J满秩，则可利用最小二乘法求得F的估计值。F=(JT)–1τ机器人逆静力计算静力学逆解。逆解的关系式为F=(JT)–1一、动力学问题：§4—2机器人动力学二、机器人动力学研究的问题可分为两类：（总结）

1、给定机器人的驱动力（矩），用动力学方程求解机器人（关节）的运动参数或动力学效应,称为动力学正问题）。

2、给定机器人的运动要求，求应加于机器人上的驱动力（矩）称为动力学逆问题）。（1）机器人处于运动状态（不论是否与外界接触）（2）关节力矩末端位置、速度、加速度

给定期望的末端位置、速度、加速度动力学计算关节力矩（时变）自动控制算法控制电机转矩一、动力学问题：§4—2机器人动力学二、机器人动力学研究三、动力学研究方法：1．拉格朗日方程法：通过动、势能变化与广义力的关系，建立机器人的动力学方程。代表人物R.P.Paul、J.J.Uicker、J.M.Hollerbach等。3．高斯原理法:

利用力学中的高斯最小约束原理,把机器人动力学问题化成极值问题求解.代表人物波波夫(苏)。4．凯恩方程法：引入偏速度概念，应用矢量分析建立动力学方程。该方法在求构件的速度、加速度及关节驱动力时，只进行一次由基础到末杆的推导，即可求出关节驱动力，其间不必求关节的约束力，具有完整的结构，也适用于闭链机器人。2．牛顿—欧拉方程法：用构件质心的平动和相对质心的转动表示机器人构件的运动，利用动静法建立基于牛顿—欧拉方程的动力学方程。代表人物Orin,Luh(陆养生)等。三、动力学研究方法：3．高斯原理法:利用力学中的高斯最小约我们研究动力学的重要目的之一是为了对机器人的运动进行有效控制，以实现预期的轨迹运动。常用的方法有牛顿—欧拉法、拉格朗日法等。牛顿—欧拉动力学法是利用牛顿力学的刚体力学知识导出逆动力学的递推计算公式，再由它归纳出机器人动力学的数学模型——机器人矩阵形式的运动学方程；拉格朗日法是引入拉格朗日方程直接获得机器人动力学方程的解析公式，并可得到其递推计算方法。我们研究动力学的重要目的之一是为了对机器人的运动进行有效控制对多自由度的机械手，拉格朗日法可以直接推导运动方程式，但随着自由度的增多演算量将大量增加。与此相反，牛顿－欧拉法着眼于每一个连杆的运动，即便对于多自由度的机械手其计算量也不增加，因此算法易于编程。由于推导出的是一系列公式的组合，要注意惯性矩阵等的选择和求解问题。进一步的问题请参考相关文献资料。对多自由度的机械手，拉格朗日法可以直接推导运动方程式，但随着72质点的拉格朗日方程fmgyxo总结：解题的一般思路28质点的拉格朗日方程fmgyxo总结：解题的一般思路

系统的动能和势能可在任何形式的坐标系（极坐标系、圆柱坐标系等）中表示

，不是一定在直角坐标系中。四串联二自由度机器人的拉格朗日方程定义：L=K-P

L—Lagrange函数；K—系统动能之和；P—系统势能之和。刚体系统拉格朗日方程应用质点系的拉格朗日方程来处理杆系的问题。系统的动能和势能可在任何形式的坐标系（极坐标系、圆柱坐标系一、动能和势能

（负号与坐标系建立有关）机器人拉格朗日方程一、动能和势能（负号与坐标系建立有关）机器人拉格朗日方程第四章-静力学与动力学P讲解课件三、动力学方程

先求第一个关节上的力矩

三、动力学方程先求第一个关节上的力矩同理，对和微分，可求得第二关节力矩

同理，对和微分，可求得第二关节力矩78WritteninMatricesForm:有效惯量(effectiveinertial)：关节i的加速度在关节i上产生的惯性力，等效转动惯量的概念四、动力学方程中各系数的物理意义34WritteninMatricesForm:有效惯79WritteninMatricesForm:耦合惯量(coupledinertial)：关节i,j的加速度在关节j,i上产生的惯性力D12=D21，惯量矩阵为对称阵（symmetry）四、动力学方程中各系数的物理意义35WritteninMatricesForm