电子科大矩阵理论试题答案(2005级)

2005级硕士研究生《矩阵理论》试卷参考答案一、判断题（40，错者打）1、,则x为R中的列向量，定义||x||xAxnT().n2、设,,,是矩阵的特征值，则LAA.为阶Hermite矩阵，A22212nii1())3AC0(AA)AA,则||AA||n.(mnAH24、设||为丛属于向量范数||x||的算子范数，HEuu其中，E为n阶单Haa位矩阵，uC且||u||1，则||H||n()n2a555562/6665、设A，则矩阵的谱半径r()1.()A77778884/8因为||A||1，故结论成立6、若AC(m1)严格对角占优，则的谱半径r(A)||2A||.()Amm7、若设xR，则||x||||x||n||x||.()n21211118、设2222，则||A||1.()A333319、设G为矩阵AC(rn)的广义逆A，A为A的最大秩分解，则mnr秩(DGB)n.()0.1210、设=0.010.8，则A的特征值均为实数.()A0.010.4二、证明：(1)当A0时，||A0；当A0时，存在i,j使得a0，从而ij||Amn|a0。ij(2)||kAmax|i,jkmn|||max||||||||.kAi,jmnijaij(3)||ABabmax||i,jmnabmax(||||)mnijijijiji,jmn(max|a|max|b|)||A||||B||.ijiji,ji,jmnmnnmn|a2)•|x2n(4)||||2|ax2(|a2•|x2)(2ijjijjijji1j1i1j1j1i1j1j1mnmax|a2•||x||2||A2•||x2ij22ij三、证明：r(A)||A||1|1EA01为A的特征值r()1DC为列满秩矩阵，D为M-P广义逆，AC,证明:||A||||DAD||nnmn2为C上的矩阵范数.(10分)nn证明：(1)当A0时，||A0；当A0时，DC为列满秩矩阵,则nD(DD)D,DDE。于是0，从而||A||||DAD||0。H1H2(2)||kA||||D(kA)D|||k|||DAD|||k|||A||22(3)||AB||||D(AB)D||||DADDBD||||DAD||DBD||2222||A||||B||五、12211001°A0110A的最大秩序分解为解：(1)1111A21120000121001A1101102165566/11-5/11(2)，(BB)BBH1H-5/116/1120021/2001/2DD，(DDH)1H4177141AD(DD)(BB)BHH1H1H7144172(3)线性方程组的最佳逼近解为：xAb(1,1,1,1)T11六证：A为n阶正规矩阵⇒AUU⇒HAxx⇒Ux⇒UxUxuurxxH'''设x(x,L,x)⇒,x0''1'T'niiy⇒UUyy⇒⇒yUyyyH'''设y(y,L,y)⇒,y0''1'T'nii⇒(x,y)0''yxy,0x,yUx)UyUyx''HxHUHH另证：A为n阶正规矩阵⇒UAUdiag(,,L,)⇒UAUdiag(,L,)HHH1n12n⇒H(,,,)U(u,u,L,u)⇒AuuiL,n)⇒HAUUdiagL12n12iniiAHyy。(,)(,)(,)(,xy)(,)(,)⇒()(,)0xyxyyxAyxyxyH()0⇒(x,y)0七、证：(1)若矩阵范数||A||r(A)||A||.为自相容矩阵范数，则1iOi(2)1PAPJdiagJJ(,,L,)，其中。JJ12siO1i对0，取对角矩阵D,L,n1)，则iO°°°°°，于是JD1diag(J,J,L,J)，其中Ji12siOi°||J||||D1JD||||D1P1APD||(A)r记Q||A||QAQAQAQ为自相容矩1||||||||1||阵范数。于是||A||QAQ1||()rA。八、aa0LL