微观经济学数学分析方法课件

第二章微观经济学分析的数学方法第二章微观经济学分析的数学方法凸集定义

凸集定义例子

1维空间：单个点2维空间：直线、射线、线段圆、椭圆、矩形、梯形、三角形等例子

1维空间：单个点三维空间呢？三维空间呢？微观经济学数学分析方法课件总结“没有任何孔，边缘不能有缩进”

——蒋中一总结“没有任何孔，边缘不能有缩进”意义经济分析中，常假设可行集合（约束集）为凸集。约束条件下可行集是凸集保证最优解唯一的必要条件。意义经济分析中，常假设可行集合（约束集）为凸集。问题经济学分析中，有哪些约束集合？问题经济学分析中，有哪些约束集合？微观经济学数学分析方法课件练习题：判断下列集合是否为凸集练习题：判断下列集合是否为凸集凹函数（concave）凹函数（concave）凹函数的定义以最简单的单变量函数为例来定义：，和是定义域中的两个量，令，如果满足则称为凹函数（小于等于，凸函数）若则称为严格凹函数（小于，严格凸函数）凹函数的定义以最简单的单变量函数为例来定义：直观图形严格凹函数ABCD直观图形严格凹函数ABCD直观图形非严格凹函数直观图形非严格凹函数总结两点间的曲线（弧）与两点间的直线重合，或在其之上。总结两点间的曲线（弧）与两点间的直线重合，或在其之上。用一阶导数来定义用一阶导数来定义xf(x)图示xf(x)图示总结该曲线与其切线重合或者位于其切线的下方。过曲线上任何一点的做切线，该曲线均在切线或切线下方。总结该曲线与其切线重合或者位于其切线的下方。凹函数的定义对双变量函数来说：

凹函数的定义对双变量函数来说：图示ABCDzy图示ABCDzy总结在曲面上，任何两点的连线均在对应的曲线的下方，则称为凹函数。总结在曲面上，任何两点的连线均在对应的曲线的下方，则称为凹函一阶导数的定义当且仅当：即：做任何一个切面，函数值均在切面或切面之下。一阶导数的定义当且仅当：即：做任何一个切面，函数值均在切面或对于多变量函数对于多变量函数凹函数的二阶导数的判定方法若函数存在二阶连续偏微分，则：凹函数的二阶导数的判定方法若函数存在二阶连续偏微分，则：与上述判定方法等价的方法：引入海塞矩阵多变量函数：该函数的一阶全微分表示为：与上述判定方法等价的方法：引入海塞矩阵多变量函数：二阶全微分表达式二阶全微分表达式简化表达简化表达海塞矩阵（二阶导数矩阵）海塞矩阵（二阶导数矩阵）二阶全微分的简洁表达（引入海塞矩阵）二阶全微分的简洁表达（引入海塞矩阵）二阶导数的判定方法当且仅当海塞矩阵为负半定时，该函数为凹函数。

负半定：即顺序主子式值正负交替变化，一阶小于等于零，二阶大于等于零……当（非当且仅当）海塞矩阵为负定时，该函数为严格凹函数。

负定：即即顺序主子式值正负交替变化，一阶小于零，二阶大于零……二阶导数的判定方法当且仅当海塞矩阵为负半定时，该函数为凹函数顺序主子式值正负交替变化顺序主子式值正负交替变化二阶导数的判定方法当且仅当海塞矩阵为正半定时，该函数为凸函数。

正半定：即顺序主子式值全部大于等于零当（非当且仅当）海塞矩阵为正定时，该函数为严格凸函数。

正定：即即顺序主子式值全部大于零二阶导数的判定方法当且仅当海塞矩阵为正半定时，该函数为凸函数练习检验下列函数的凹凸性：练习检验下列函数的凹凸性：（使用顺序主子式方法检验）（使用顺序主子式方法检验）拟凹函数（quasiconcave）拟凹函数（quasiconcave）定义定义定义定义图示N函数图形上任意一段弧MN,使N点高于M点，如果除M和N点外，该弧段上的点均高于或等于M点，则该函数为拟凹函数。AB图示N函数图形上任意一段弧MN,使N点高于M点，如果除M和N思考：与凹函数的关系？凹函数一定是拟凹函数，但拟凹函数不一定是凹函数。拟凹性是比凹性要弱的条件。思考：与凹函数的关系？凹函数一定是拟凹函数，但拟凹函数不一定典型图示Xf(x)典型图示Xf(x)上等值集判定方法如果该函数的上等值集是凸集，则该函数为拟凹函数。上等值集的定义：上等值集判定方法如果该函数的上等值集是凸集，则该函数为拟凹函例子：

例子：

微观经济学数学分析方法课件一阶导数定义一阶导数定义拟凹函数的二阶必要条件拟凹函数的二阶必要条件加边海塞矩阵加边海塞矩阵微观经济学数学分析方法课件拟凹函数的充分条件拟凹函数的充分条件拟凸函数的充分条件拟凸函数的充分条件练习练习无约束条件下的极值问题无约束条件下的极值问题最优化的一阶条件最优化的一阶条件满足一阶条件是极值的必要条件？充分条件？满足一阶条件是极值的必要条件？充分条件？双变量的情形双变量的情形微观经济学数学分析方法课件AA微观经济学数学分析方法课件AA二阶条件二阶条件二阶必要条件二阶必要条件回忆：关于凹函数回忆：关于凹函数等式约束条件下的最优化问题等式约束条件下的最优化问题自由极值、约束极值在无约束的最优化问题中，决策变量之间是彼此独立的。但是当存在约束条件时，决策变量之间就要受到相互影响。自由极值、约束极值在无约束的最优化问题中，决策变量之间是彼此xyz自由极值约束极值xyz自由极值约束极值多约束条件下：约束条件的数量应少于决策变量的数量多约束条件下：约束条件的数量应少于决策变量的数量约束条件下求极值的方法拉格朗日乘数法目标函数：约束条件：构造一个新函数：

约束条件下求极值的方法拉格朗日乘数法微观经济学数学分析方法课件面临多个约束时的一阶条件面临多个约束时的一阶条件面临多个约束时的一阶条件面临多个约束时的一阶条件拉格朗日乘数的含义拉格朗日乘数的含义单个等式约束情形下极值的二阶条件单个等式约束情形下极值的二阶条件极大值的二阶充分条件：用海塞加边行列式注意：与前面自由极值不同，所加的边是约束条件函数的一阶导数，而非目标函数的一阶导数；二阶矩阵是关于新函数F的二阶导数。极大值的二阶充分条件：用海塞加边行列式注意：与前面自由极值不负定负定多重等式约束的二阶条件：略，参见蒋中一P504多重等式约束的二阶条件：略，参见蒋中一P504微观经济学数学分析方法课件拟凹函数与极大值当函数为二阶连续可微的严格拟凹函数时，则在满足一阶条件的点上，二阶条件也能满足极大值的要求。当约束集是凸集（例如等式且线性约束）时，存在唯一的约束极大值解。拟凹函数与极大值当函数为二阶连续可微的严格拟凹函数时，则在满练习练习不等式约束条件下极值问题*线性规划非线性规划不等式约束条件下极值问题*线性规划人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。人有了知识，就会具备各种分析能力，微观经济学数学分析方法课件第二章微观经济学分析的数学方法第二章微观经济学分析的数学方法凸集定义

凸集定义例子

1维空间：单个点2维空间：直线、射线、线段圆、椭圆、矩形、梯形、三角形等例子

1维空间：单个点三维空间呢？三维空间呢？微观经济学数学分析方法课件总结“没有任何孔，边缘不能有缩进”

——蒋中一总结“没有任何孔，边缘不能有缩进”意义经济分析中，常假设可行集合（约束集）为凸集。约束条件下可行集是凸集保证最优解唯一的必要条件。意义经济分析中，常假设可行集合（约束集）为凸集。问题经济学分析中，有哪些约束集合？问题经济学分析中，有哪些约束集合？微观经济学数学分析方法课件练习题：判断下列集合是否为凸集练习题：判断下列集合是否为凸集凹函数（concave）凹函数（concave）凹函数的定义以最简单的单变量函数为例来定义：，和是定义域中的两个量，令，如果满足则称为凹函数（小于等于，凸函数）若则称为严格凹函数（小于，严格凸函数）凹函数的定义以最简单的单变量函数为例来定义：直观图形严格凹函数ABCD直观图形严格凹函数ABCD直观图形非严格凹函数直观图形非严格凹函数总结两点间的曲线（弧）与两点间的直线重合，或在其之上。总结两点间的曲线（弧）与两点间的直线重合，或在其之上。用一阶导数来定义用一阶导数来定义xf(x)图示xf(x)图示总结该曲线与其切线重合或者位于其切线的下方。过曲线上任何一点的做切线，该曲线均在切线或切线下方。总结该曲线与其切线重合或者位于其切线的下方。凹函数的定义对双变量函数来说：

凹函数的定义对双变量函数来说：图示ABCDzy图示ABCDzy总结在曲面上，任何两点的连线均在对应的曲线的下方，则称为凹函数。总结在曲面上，任何两点的连线均在对应的曲线的下方，则称为凹函一阶导数的定义当且仅当：即：做任何一个切面，函数值均在切面或切面之下。一阶导数的定义当且仅当：即：做任何一个切面，函数值均在切面或对于多变量函数对于多变量函数凹函数的二阶导数的判定方法若函数存在二阶连续偏微分，则：凹函数的二阶导数的判定方法若函数存在二阶连续偏微分，则：与上述判定方法等价的方法：引入海塞矩阵多变量函数：该函数的一阶全微分表示为：与上述判定方法等价的方法：引入海塞矩阵多变量函数：二阶全微分表达式二阶全微分表达式简化表达简化表达海塞矩阵（二阶导数矩阵）海塞矩阵（二阶导数矩阵）二阶全微分的简洁表达（引入海塞矩阵）二阶全微分的简洁表达（引入海塞矩阵）二阶导数的判定方法当且仅当海塞矩阵为负半定时，该函数为凹函数。

负半定：即顺序主子式值正负交替变化，一阶小于等于零，二阶大于等于零……当（非当且仅当）海塞矩阵为负定时，该函数为严格凹函数。

负定：即即顺序主子式值正负交替变化，一阶小于零，二阶大于零……二阶导数的判定方法当且仅当海塞矩阵为负半定时，该函数为凹函数顺序主子式值正负交替变化顺序主子式值正负交替变化二阶导数的判定方法当且仅当海塞矩阵为正半定时，该函数为凸函数。

正半定：即顺序主子式值全部大于等于零当（非当且仅当）海塞矩阵为正定时，该函数为严格凸函数。

正定：即即顺序主子式值全部大于零二阶导数的判定方法当且仅当海塞矩阵为正半定时，该函数为凸函数练习检验下列函数的凹凸性：练习检验下列函数的凹凸性：（使用顺序主子式方法检验）（使用顺序主子式方法检验）拟凹函数（quasiconcave）拟凹函数（quasiconcave）定义定义定义定义图示N函数图形上任意一段弧MN,使N点高于M点，如果除M和N点外，该弧段上的点均高于或等于M点，则该函数为拟凹函数。AB图示N函数图形上任意一段弧MN,使N点高于M点，如果除M和N思考：与凹函数的关系？凹函数一定是拟凹函数，但拟凹函数不一定是凹函数。拟凹性是比凹性要弱的条件。思考：与凹函数的关系？凹函数一定是拟凹函数，但拟凹函数不一定典型图示Xf(x)典型图示Xf(x)上等值集判定方法如果该函数的上等值集是凸集，则该函数为拟凹函数。上等值集的定义：上等值集判定方法如果该函数的上等值集是凸集，则该函数为拟凹函例子：

例子：

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约束条件下求极值的方法拉格朗日乘数法微观经济学数学分析方法课件面临多