数学中考专题训练-二次函数压轴题

中考专题训练二次函数压轴题.在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=a?+%x-3交x轴负半轴于点4,交x轴正半轴于点B,交y轴于点C,OB=OC=3oA.2(1)如图1,求抛物线的解析式;(2)如图2,点。在抛物线上，且点O在第二象限，连接8。交y轴于点E,若tan/EBA=—,求点。的坐标:2(3)如图(3)如图3,在(2)的条件下,点尸在抛物线上，且点P在第三象限，点尸在尸8上,FC=FB,过点尸作FC=FB,过点尸作x轴的垂线,点G为垂足，连接OG并延长交8尸于点4,若NDHP=ZCEB,求BP的长.D=ZCEB,求BP的长.D图3图2图1.如图，已知抛物线yna?+bx+Z经过8(2,0)、C(6,0)二点，与直线y=2x+2交

3于A、。两点，且点4为直线y=]x+2和抛物线丫=田?+法+2与y轴的交点，点G为直线y=2x+2与x轴的交点..3(1)求抛物线的解析式及点。的坐标;(2)点M是抛物线上位于直线AO下方上的一个动点，当点M运动到什么位置时△MDA的面积最大？最大值是多少？(3)在x轴上是否存在点P,使以4、P、。为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.备用图出满足条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.备用图.已知：抛物线y=-£/+bx+c交x轴于A、8两点，交y轴于点C,过点B的直线y=-x+6交抛物线于点E,点E的横坐标为1,交y轴于点O.(1)如图1,求抛物线的解析式；(2)如图2,点P是第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点F,设点P的横坐标为r,。尸长为d,求d与f的函数关系式(不要求写出自变量f的取值范围)；(3)如图3,在(2)的条件下，连接8C,点G为EO延长线上一点，连接0G,过点。作OKLOG交BC于点K.连接PK交x轴于点，，连接E"，若OG=2OK,NPHB=NE4A时，求d的值.图1 图2 图3.已知抛物线y=(w+1)/+(Am-2)x-3.(1)无论m取何值，抛物线必过第三象限一个定点，则该定点的坐标为:(不影响后两问解答)(2)当机=0时，不与坐标轴平行的直线A与抛物线有且只有一个交点尸(2,a),求直线/1的解析式；(3)在(2)的条件下，直线y=fcv+b交抛物线于M,N两点(M在N的右侧)，PQ//y轴交于点Q,若MQ=NQ,求％的值..己知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,8),该抛物线的顶点为D.(I)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标：(H)①直线CD的解析式为；②过点D作DHYx轴于H,在线段DH上有一点P到直线CD的距离等于线段P0的长，求点P的坐标；(HI)设直线C。交x轴于点E.过点8作x轴的垂线，交直线CD于点F,将抛物线沿其对称轴平移，使平移后的抛物线与线段EF总有公共点.试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？.如图，已知抛物线y=o?+/?x+c的图象与x轴交于点A,8(点A在点B的右侧)，且与y轴交于点C,若OA=OC,一元二次方程”的两根为1和3,点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点4运动(点尸与A不重合)，过点尸作PO〃y轴，交AC于点。.(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△AO尸是直角三角形时，求点尸的坐标；(3)在题(2)的结论下，若点E在x轴上，点尸在抛物线上，问是否存在以A、P、E、尸为顶点的平行四边形？若存在，求点尸的坐标；若不存在，请说明理由..如图①，抛物线y=-』+(a+l)x-a与x轴交于A,B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C.已知△4BC的面积是6.(1)求a的值；(2)在△4BC内是否存在一点M,使得点M到点4、点B和点C的距离相等，若存在,请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图②，P是抛物线上一点，。为射线。上一点，且P、。两点均在第三象限内,Q、A是位于直线8尸同侧的不同两点，若点尸到x轴的距离为d,4OPB的面积为24,且求点。的坐标..如图，抛物线》=/+2%+<?(a<0)与x轴交于点A和点8(点A在原点的左侧，点B在原点的右侧)，与y轴交于点C,OB=OC=3.图1 图2(1)求该抛物线的函数解析式；(2)如图1,连接BC,点O是直线BC上方抛物线上的点，连接。£),CD,0D交BC于点凡当SaCOF：SaCPF=3：2时，求点。的坐标.(3)如图2,点E的坐标为(0,小■),在抛物线上是否存在点P,使NOBP=2NOBE?2若存在，请直接写出符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由..如图，已知直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点4、B,抛物线过A,8两点，点P是线段AB上一动点，过点尸作PCJ_x轴于点C,交抛物线于点。.(1)若抛物线的解析式为y=-2?+2r+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.①求点M和点N的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点。，使|AQ-8Q|的值最大，请宜接写出点Q的坐标；③是否存在点P,使四边形MNPO为菱形？并说明理由；(2)当点P的横坐标为I时，是否存在这样的抛物线，使得以8、P、。为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由..抛物线丫=--4办+3。交x轴于点8、C两点，交y轴于点A,点。为抛物线的顶点，连接AB、AC,已知△48C的面积为3.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴右侧一点，点P的横坐标为机，过点P作PQ〃4C交y轴于点Q,A。的长度为“，求d与"的函数关系式；(3)在(2)的条件下，当d=4时，作ON，y轴于点N,点G为抛物线上一点，AG交线段PO于点M,连接MN,若△4"可是以MN为底的等腰三角形，求点G的坐标..如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=Z/+±r-2与x轴交于A、B两点(点A3 3在点。的左侧)，与y轴交于点C(1)求点A的坐标;(2)如图1,连接AC,点O为线段AC下方抛物线上一动点，过点。作。七〃y轴交线段AC于E点，连接E0,记△AOC的面积为Si,ZXAEO的面积为S2,求Si-S2的最大值及此时点D的坐标；(3)如图2,将抛物线沿射线C8方向平移漆找个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当为以AM为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标..如图①，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线丫=/+法+。的顶点是A(2,3),将04绕点O顺时针旋转90°后得到0B,点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)如图②，P是线段AC上一动点，且不与点A,C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M,N两点，将以直线MN为对称轴翻折，得到4A'MN,设点P的纵坐标为“当aA'MN在△0A8的内部时，求"?的取值范围;(3)在(2)的条件下，是否存在点P,使S"mn=3SaOA8,若存在，求出满足条.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=//+bx+c与x轴交于8,C两点(C在8的左侧)，与y轴交于点4,已知4(0,-4),OA=2OB.(1)求抛物线的表达式；(2)若点Q是线段4c下方抛物线上一点，过点。作QO垂直AC交AC于点£),求OQ的最大值及此时点。的坐标；(3)点、E是线段AB上一■点，且S^oe=—5a4OC：将抛物线y=—x^+bx+c沿射线AB4 2的方向平移，当抛物线恰好经过点E时，停止运动，已知点M是平移后抛物线对称轴上的动点，N是平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以点A,B,M,N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来..如图，抛物线y=a?+bx过点A(4,0)、fi(1,3)两点，点C、8关于抛物线的对称轴对称，过点8作直线B/7_Lx轴，交x轴于点4.(1)求抛物线的表达式；(2)直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；(3)点尸是抛物线上一动点，且位于第四象限，当aAB尸的面积为6时，求出点尸的坐标；(4)已知点M在直线上运动，点N在x轴上运动，若△CMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时△CMN的面积.备用图.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-亚，-2叵x+JE与x轴交于4、8两点3 3（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.（1）求A、C两点的坐标；（2）连接AC,点尸为直线AC上方抛物线上（不与A、C重合）的一动点，过点P作POL4c交AC于点O, 轴交AC于点E,求PO+OE的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2,将原抛物线沿射线CB方向平移3百个单位得到新抛物线八点M为新抛物线y'对称轴上一点，在新抛物线y'上是否存在一点N,使以点C、A、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由..已知抛物线y=-3/+%x+c与x轴交于4、B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标4为（-1,0）,点C的坐标为（0,3）.（1）求该抛物线的函数表达式，及顶点坐标；（2）如图1,有两动点。、E在△C08的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点。沿折线COB按方向向终点8运动，点、E沿线段BC按B-C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动时间为r秒，请解答下列问题：①当r=时，/XBOE的面积等于世；10②在点£）、E运动过程中，该抛物线上存在点F,使得依次连接4。、DF、FE、E4得到的四边形AOFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点尸的坐标..如图，在平面直角坐标系中，抛物线ynoAbx+BMWO)与x轴交于点A(-百，0),点B(3百，0),与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)点P为直线BC上方抛物线上的一点，过点P作PO〃y轴，交BC于点。，点E在直线BC上，且四边形PE0F为矩形，求矩形尸ECF周长的最大值以及此时点尸的坐标；(3)在(2)间的条件下，将抛物线沿射线EP方向平移个单位长度得到新抛物线，。为平面内一点，将△AOC绕点。顺时针方向旋转90°后得到△A67C,若△4OC的两个顶点恰好落在新抛物线上时，直接写出此时点C的坐标，并把求其中一个点C的坐.如图，已知抛物线y=/-2x-8与x轴相交于点4,B(点B在点4的右侧)，与y轴相交于点C,其顶点为点D,连接AC,BC.(1)求点A,B,。的坐标；(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E,P为第四象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点凡若四边形OEFP为平行四边形，求点P的坐标；(3)设点M是线段BC上的一个动点，过点M作交AC于点N.点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为f(r<6)秒，直接写出当f为何值时，△QMN为等腰直角三角形..如图，在平面直角坐标系中，ZACB=90°,0C=20B,AC=2BC,点B的坐标为(1,0),抛物线y=-7+bx+c经过A,B两点.(1)求抛物线的函数解析式.(2)P是直线AB上方抛物线上的一点，过点尸作轴于点力，交线段AB于点E,使PE最大.①求点P的坐标和PE的最大值.②在直线上是否存在点M,使点M在以AB为直径的圆上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由..如图，二次函数y=o?+法-2的图象与x轴交于点A(-4,0)和点8(1,0),与y轴交于点C,点尸(m,n)在第三象限内的二次函数图象上运动.(1)求二次函数的解析式：(2)如图1,设四边形8APC的面积为S,试求S的最大值并求出此时点尸坐标；(3)如图2,点。在二次函数图象上，且位于直线AC的下方，过点。作QML4C,垂足为点M,连接C。，若△CA/Q与△AOC相似，求点Q的坐标.参考答案与试题解析1.在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y=加+加-3交x轴负半轴于点A,交x轴正半轴于点B,交y轴于点C,OB=OC^OA.2(1)如图1,求抛物线的解析式；(2)如图2,点。在抛物线上，且点。在第二象限，连接8。交y轴于点E,若tanNEBA=—,求点。的坐标：2(3)如图3,在(2)的条件下，点尸在抛物线上，且点P在第三象限，点尸在PB上，FC=FB,过点尸作x轴的垂线，点G为垂足，连接。G并延长交8尸于点“，若NDHP=NCEB,求BP的长.图1 图2 图3【分析】(1)利用二次函数图象上点的坐标可求出点C的坐标，进而可得出。C的长，结合0B=0C=g0A,可求出08,0A的长，进而可得出点A,8的坐标，再利用待定2系数法即可求出二次函数解析式；(2)过点。作x轴的垂线，点M为垂足，设点。的横坐标为3构建方程求解即可.(3)连接。凡过点尸作y轴的垂线，点T为垂足，取0M的中点N,连接。N,过点G作DN的垂线交DN的延长线于点R,依次证明△0FB乌△OFC(SSS)、四边形OTFG为正方形、40EB学AMND(SAS)；设OG=GF=m,BG=3-m,NG=&+m,由tan2NNDG=tanNGBF,得关于机的等式，解得加的值；设点尸的横坐标为〃，则点P的纵坐标为n-3.在RtZ\PWB中，由tan/PBW=F^=』，得关于〃的方程，解2 2 BW2得”的值；最后在RtZXPWB中，根据8尸=产雇+8解，求得BP的长即可.【解答】解：(1)；二次函数y=a?+bx-3,.,.当x=0时，y=3,C(0,-3),：.OC=3,3VOB=OC=^-OA,08=3,04=2,2：.B(3,0),A(-2,0),

9a+3b_3=04a_2b_3=01解得a至解得b」d21 2i・•・抛物线的解析式为尸品-yx-3图1图1(2)过点。作x轴的垂线，点M为垂足，设点D的横坐标为t,则点。的纵坐标为121亍-3・・,点O在第二象限,._121--1-3VOM=03=3,:,MB=-什3,在RtZkOMB中，tan/DBA=典,MBVtanZ£BA=^,2解得n=3(舍去)，g=-3,二点。的纵坐标为/x(-3)2-^-X(-3)-3=3,图2(3)连接OR：OB=OC,FB=FC,OF=OF,:.丛OFB9/\OFC(SSS),:・/COF=/BOF；过点尸作y轴的垂线，点7为垂足，:FG1OB,：.FT=FG,:/BOT=/OTF=NFGO=90°,J四边形O"G为矩形；,:FT=FG,，四边形。疗G为正方形；取OM的中点N,连接0M过点G作。N的垂线交。N的延长线于点R,在RtZXOEB中，tanNE80=«^=工，0B2:.oe=3；2•・・OM=3,:.mn=3,2:・MN=OE；9：DM=OB=3；:・/DMN=/EOB=90°,：・40EB畛4MND(SAS),：・4DNM=/OEB,NDHP=NCEB,:・/DNM=/DHP,■:ZDNM=NDGN+/NDG,/DHP=/HGB+NGBF,ZDGN=/HGB,：・4NDG=4GBF；在RtZXOEB中，OE=2,80=3,BE1=OB2+OE1,在RlZXONM中，tanNONM=^=2,/DNM=/GNR,MN在RtZXGNR中，tanNGNR=^=2,NR:.RG=2RN；在RtAGNR中,J5:.NR=^-NG,5•四边形O7FG为正方形，♦•♦设OG=GF=m,BG=3~tn»NG=^~+m,2NR=®(—+w),RG=^^~(—+/n),5 2 5 2"/NNOG=NGBF,tanZNDG=tanZGBF,在RtZ\OGR中tan/ROG=电，DR在RtZXGBF中tan/G8F=四，BG解得mi=-3(舍去)，m2=l:AtanZGBF=A.2过点P作x轴的垂线，点W为垂足，1 2 1设点P的横坐标为〃，则点P的纵坐标为弥-yn-3-•.•点P在第三象限，• 121..PW=-—n+5n+3,在RtZkPWB中，tanNP8W=EL=2，BW2：.2PW=BWt*：OW=-n.：.BW=-什3,. 121，2(——n+5n+3)=-〃+3,解得ni=3（舍去），H2=~1,：.BW=4,PW=2.在RtZXPWB中，8尸=尸雇+8解,:.BP=2娓.图32.如图，已知抛物线y=o?+bx+2经过B(2,0)、C(6,0)二点，与直线y=£x+2交于A、。两点，且点4为直线y=2x+2和抛物线y=a?+6x+2与y轴的交点，点G为直3线y=Zx+2与x轴的交点.3(1)求抛物线的解析式及点。的坐标；(2)点M是抛物线上位于直线A。下方上的一个动点，当点M运动到什么位置时△MDA的面积最大？最大值是多少？(3)在x轴上是否存在点P,使以A、P、。为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出满足条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.备用图【分析】(1)由待定系数法可求出抛物线解析，联立直线和抛物线解析式可得出点。的坐标;(2)如图1,过点M作y轴的平行线交线段4。于点N,设点N坐标为N(x,?x+2),3设M坐标为M(x,l?--lx+2),可求出△AMO的面积，由二次函数的性质可得出答6 3案;(3)分三种情况：①当点P为直角顶点时，②当点A为直角顶点时，③当点。为直角顶点时，由直角三角形的性质及相似三角形的性质可得出答案.【解答】解：(1)•.•抛物线丫=0?+加+2经过8(2,0)、C(6,0)两点，[4a+2b+2=0I36a+6b+2=0TOC\o"1-5"\h\z.•.抛物线的解析式-Ax+2,-6 3•••抛物线丫=2？-lx+2与直线y=2x+2交于A、。两点,6 3 3(2尸铲+2用干1寸、 , »y[=2|y2=10：.D(12,10)；(2)如图1,过点M作)，轴的平行线交线段AO于点M图1设点N坐标为N(x,—x+2).设M坐标为M(x,—x2-—x+2),3 6 3".yNM=—x+2-(—x2-—x+2),3 6 3=--x2+2x=-—(x-6)2+6,6 6.•.S=2X12X(-A(x-6)2+6)=-(x-6)2+36,\o"CurrentDocument"2 6'：a=-l<0,

>MN有最大值当何运动到M①当点P为直角顶点时则>MN有最大值当何运动到M①当点P为直角顶点时则△P£），sz^4P0,点P的坐标为轴于点P，则△。以s/\qag,过点。作£)”，x轴，垂足为Hy“N有最大值为36②当点A为直角顶点时，如图3,过点A作APLAO，点P的坐标为（且，0）,3则△如生必的，，.DH_HG"ph而，.10,15*'x-12Io'丫_56•A- 一，3...点P的坐标为（因，0）,3，满足条件的点尸的坐标为（2,0）或（10,0）或（刍，0）或（国，0）.3 33.己知：抛物线y=-■1■/+&+<■交X轴于A、B两点,交y轴于点C,过点B的直线y=-x+6交抛物线于点E,点E的横坐标为1,交y轴于点O.（1）如图1,求抛物线的解析式；（2）如图2,点P是第一象限内抛物线上一点，连接AP交y轴于点F,设点P的横坐标为r,DF长为d,求d与r的函数关系式（不要求写出自变量f的取值范围）；（3）如图3,在（2）的条件下，连接BC,点G为EO延长线上一点，连接OG,过点。作OKLOG交BC于点K,连接尸K交x轴于点，，连接E”，若0G=20K,NPHB=时，求d的值.图1 图2 图3【分析】（1）根据已知，可确定点E和点B的坐标，然后将两点坐标代入抛物线的解析式即可确定出6、c的值，得出结论；（2）先确定点A的坐标，设出点尸的坐标.过点尸作尸例，x轴于点然后根据相似三角形的判定与性质列出方程，求解即可得到问题的答案；（3）过点K作KRL08,过点B作BNLBE交0K延长线于点N,然后根据相似三角形的判定与性质得到OG=ON=2OK,设出K点坐标，最后由三角函数关系求得答案.【解答】解：（1）•••过点8的直线y=-x+6交抛物线于点E,点£的横坐标为1,.•.y=-1+6=5,：.E（1,5）,B（6,0）,点、B,E均在抛物线y=-^+bx+c上,f1 25=^-xr+b+c・・< f1,20=^X6+6b+c・b^ic=3（2）由题意知，且A在抛物线上，且在x轴上,在抛物线上且横坐标为，，设尸(r,-工P+5/+3),过点P作/轴于点22pu多之亭+3tan/B4M=22L=_^ ± =_±(r-6),AMt+1 2，△AOFs△以m,.PMOF••——»AMOA/.0F=-Az+3,2**•0D=6,由题意知，DF=d,DF+FO=OD,•"=6-(-—+3),d=—t+3.2 2图1 图2 图3(3)过点K作KRLO8,过点8作BN,BE交OK延长线于点MOG_LOK,:・/DOB=/GON,:.NOO3+NOON=NDON+NBON,即NOOG=N3ON,OB=OD,BDO=/OBD=45°,：・NGDO=NOBN=135°,:AGDOs^obN,•：OG=2OK,：.OG=ON,：.OG=ON=2OK,VB(6,0),C(0,3),・・・BC解析式为：y=-Ax+3,2设点K(桃，-工机+3)过点N作NSJ_x轴于S,2•:△KOR与△NOS相似，KR〃NS,.KROR1••,SNOS2***OS=2m,：.BS=2m-6fNS=2KR=6-m,

•：NOBN=135°,AZNBS=45°,:,BS=NS,即2tn-6=6-机，，m=4,:.K(4,1),延长EH交PM延长线于点T,过点E作EQLPM于点Q,：・NPHB=/EHA,HM1.PT,：・HP=HT,:,PM=MT=-力+互什3,22EQ=xp-xe.EQ=t-bQT=WMT=--l/2+^.?+8,过点K作KL1.PM,KL=t-4,PL=-工户+互r+2,22二tan二tanNTPH=tanN7=黑普-f-20=0,n=5>ft—4(舍去).1o11万t+F4.已知抛物线y=(m+1)/+(—m-2)x-3.(1)无论m取何值，抛物线必过第三象限一个定点，则该定点的坐标为__仁"I■一工)；(不影响后两问解答)4-(2)当m=Q时，不与坐标轴平行的直线/I与抛物线有且只有一个交点P(2,a),求直线/1的解析式；(3)在(2)的条件下，直线》=履+匕交抛物线于M，N两点(M在2的右侧)，PQ//y轴交MN于点Q,若MQ=NQ,求左的值.图1 图2【分析】(1)提取公因数m可得出y=m(^+―x)+X2-2r-3.进而可得出当*+工1=2 20,即x=0或x=-工时，y值与小无关，代入x=0,x=-工可求出定点的坐标，取其2 2第三象限的点的坐标即可得出结论：(2)利用点的坐标特征可得出点P的坐标，设直线/1的解析式为y=nu+〃(mWO),利用一次函数图象上点的坐标特征可得出〃=-2m-3,即直线A的解析式为y=,nr-2m-3,将y=/«x-2/n-3代入y=/-2x-3整理后可得出关于x的一元二次方程，由直线/1与抛物线有且只有一个交点可得出△=0,解之可得出力的值，再将其代入y=，nr-2m-3中即可得出结论；(3)过点Q作直线/〃x轴，过点M作直线/于点E,过点w作桥，直线/于点F,则△ME。丝ZXNFQCAAS),利用全等三角形的性质可得出QE=QF,进而可得出xm+xn=2xp=4,将丫=丘+方代入代入y=W-2r-3整理后可得出关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系可得出xm+xn=4+2,进而可得出什2=4,解之即可得出结论.【解答】解：(1)•.•》=(m+1)*+(Aw-2)x-3=m(f+lx)-2x-3,TOC\o"1-5"\h\z2 2...当f+axn。，即x=0或x=-］时，y值与m无关.当x=0时，y=-3；当x=-l时，y=-工，2 - 4•••该定点的坐标为(-工，；2 4(2)当m=0时，y=x1-2x-3.•.•点P(2,a)为抛物线y=/-2r-3上的点，.0=22-2X2-3=-3,...点P的坐标为(2,-3).设直线力的解析式为(mWO),・,点P(2,-3)为直线/i上的点，A2/n+n=-3,-2771-3,二直线/1的解析式为y=mr-2m-3.将y=mx-2/71-3代入y=x^-2x-3>得：x2-2x-3=mx-2/n-3»整理，得：7-(2+m)x+2m=O.・,直线/1与抛物线有且只有一个交点，.*.△=[-(2+w)]2-4XlX2m=0,解得：小1=用2=2,•・直线1\的解析式为y=2x-7.(3)在图2中，过点。作直线/〃x轴，过点M作ME,直线/于点E,过点N作N/，直线/于点F,在AMEQ和△NfQ中，^ZMEQ=ZNFQ=90"ZMQE=ZNQF，MQ=NQ:.XMEQ^XNFQ(A4S),：.QE=QF,.XE-XQ=XQ-XFfBPXM~XP=XP-XN,xm+xn=2xp=4.将产质+b代入y=/-2x・3,得：/-2x-3=H+b,整理，得：7-(k+2)x・3-b=O,.•.xm+xn=Z+2,J2+2=4,：.k=2.5.已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0),与y轴交于点C(0,8),该抛物线的顶点为O.(1)求抛物线的解析式及其顶点。的坐标；(II)①直线CD的解析式为y=x+8；②过点。作轴于H,在线段。，上有一点尸到直线CD的距离等于线段PO的长，求点P的坐标；(1H)设直线C。交x轴于点E.过点B作x轴的垂线，交直线C。于点凡将抛物线沿其对称轴平移，使平移后的抛物线与线段EF总有公共点.试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？【分析】(I)设抛物线的解析式为(x+2)(x-4),将点C坐标代入可求解；(II)①利用待定系数法可求解析式；②过点P作尸MJ_C。于M,由勾股定理可求尸O2,PM2,即可求解；(III)抛物线向上平移或向下平移，可设解析式为y=-/+2%+8+,"或y=-/+入+8-如把x=4或-8代入即可列出不等式，即可求出答案.【解答】解：(I)设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4),•抛物线与y轴交于点C(0,8),***9=-8〃，••Q〜1,二抛物线的解析式为y=-(x+2)(x-4)=-/+2x+8=-(x-1)2+9,顶点D坐标(1,9)；(II)①设直线CD解析式为y=kx+b,]9=k+bIb=8.fk=l,lb=8，二直线CD的解析式为y=x+8,故答案为y=x+8；②如图1,过点P作PM_LCO于M,

设点p(1,t),;直线CD与x轴的夹角为45°,；.PM=^-PD=^~(97),2 2,:PM=PO,：.PM2=PO2,/.1+?=A(9-r)2,2/.ri=-9+4a/10-Z2=-9-4-/1Q(舍去)，；♦点P的坐标为(1,-9+4p10)；(III)如图2,图2:直线C。交x轴于点E,••0=x+8»• -8,...点E(-8,0),轴,.•.点尸的横坐标为4,,点尸在直线CD上,，点F(4,12),①当抛物线向上平移，设平移后解析式为y=-/+2x+8+〃？(/n>0),当x=-8时，y=-12+m,当x=4时，y=m,：.-72+mWO或m02,/.0<w^72：②当抛物线向下平移，设平移后解析式为y=-f+2x+8(相>0),联立方程组可得：Jr+2x+8-m,y=x+8Ax2-x+m=0,.♦.△=1-4心0,——,

4.•.0</nW2，4.•.抛物线向上最多可平移72个单位长度，向下最多可平移工个单位长度.46.如图，已知抛物线yua^+bx+c的图象与x轴交于点A,8(点4在点B的右侧)，且与y轴交于点C,若OA=OC,一元二次方程a^+bx+cn。的两根为1和3,点尸是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动(点P与A不重合)，过点P作PO〃y轴，交AC于点D(1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△AOP是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在题(2)的结论下，若点E在x轴上，点尸在抛物线上，问是否存在以A、尸、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由.

【分析】(1)先求出点C坐标，代入解析式可求解；(2)分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解；(3)分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解.【解答】解：(1)•.•一元二次方程以的两根为1和3,：.OA=OC=3,OB=\,.•.点C(0,3),设二次函数的表达式y=a(x-1)(x-3),：.a(0-1)(0-3)=3,•・ 1f，y=(x-1)(x-3),抛物线解析式为：y=/-4x+3；(2)分两种情况：①如图1,当点Pi为直角顶点时，点Pi与点B重合，则Pi(1,0),图1②如图2,当点A为△4P£>2的直角顶点,

，NOA£>2=45°,当N£MP2=90°时，NOAP2=45°,，NOA£>2=45°,当N£MP2=90°时，NOAP2=45°,；.A。平分N£MP2.又；P2£>2〃y轴,：.P2D2-\-AO,:.点P2,。2关于X轴对称,设直线AC的函数关系式为y=kx+h.由题意得:3k+b=0b=3尸，lb=3直线4c的解析式为：y=-x+3,£>2在y=-x+3上，Pi在y=f-4x+3上,设£>2(x,-x+3),Pi(x,x2-4x+3),(-x+3)+(，-4x+3)=0,x\=2,X2=3(舍)，当x=2时，y=7-4x+3=22-4X2+3=-1,P2的坐标为P2(2,-1综上所得尸点坐标为尸1(1,0),Pi(2,-1)；(3)分两种情况考虑:①以A尸为边构造平行四边形，平移直线AP交x轴于点E,交抛物线于点H

图3•••点P的坐标为（2,-1）,.•.设点尸的坐标为（x,1）,.'.X2-4x+3=1,解得：xi=2->/2>x2=2+y/2<.,.点F的坐标为（2-&,1）和（2+&,1）；②以AP为对角线进行构造平行四边形，•点4,E的纵坐标为0,.•.点尸的纵坐标为-1,此时点P,尸重合，不存在这种情况，舍去.综上所述，符合条件的尸点有两个，即（2-a,1）和（2+&，1）.7.如图①，抛物线y=-*+（a+l）x-a与x轴交于A,8两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C.已知△ABC的面积是6.图①图②（1）求a的值；（2）在△ABC内是否存在一点使得点M到点A、点B和点C的距离相等，若存在,请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，尸是抛物线上一点，。为射线C4上一点，且P、。两点均在第三象限内,。、A是位于直线8P同侧的不同两点，若点尸到x轴的距离为d,ZXQPB的面积为2d,且/必Q=NAQB,求点。的坐标.【分析】(1)由y=-f+(a+1)x-a,令y=0,即-/+(a+1)x-a—0,可求出A、B坐标结合三角形的面积，解出a=-3；(2)三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，求出两边垂直平分线，解交点可求出；(3)作PMLx轴，则S^BAP=—AB'PM=^X4d,由SaP°b=S△用B可得4、Q到PB2 2的距离相等，得到AQ〃尸8,求出直线尸B的解析式，以抛物线解析式联立得出点P坐标,由于△PB。丝△ABP,可得PQ=AB=4,利用两点间距离公式，解出m值.【解答】解：(1) -7+(a+1)x-a令y=0,即-/+(a+1)x-a=0解得xi=a,X2=l由图象知：a<0：.A(小0),B(1,0),:Saabc=6(1-tz)(,-a)=62解得：a=-3.(a=4舍去)；(2)存在，理由如下：如图①，VA(-3,0),C(0,3),：.OA=OC,二线段4c的垂直平分线过原点，二线段AC的垂直平分线解析式为：y=-x,•由A(-3,0),B(1,0),线段AB的垂直平分线为》=-1将x=-1代入y=-x,解得：y=l...△ABC外接圆圆心的坐标(-1,1),二当点M(-1,1)时，点M到点A、点B和点C的距离相等，(3)如图②，作尸M_Lx轴交x轴于M,则Sabap=2A8•尸M=2X4d2 2*.*S&pqb=Sapab・・・A、。到尸8的距离相等，J.AQ//PB设直线P8解析式为：y=x+b•.•直线经过点B(1,0)所以：直线尸8的解析式为y=x-1联立|y=-x2-2x+3y=x-l解得：［'I|y=-5...点尸坐标为(-4,-5)又YN秒IQ=NAQ8,：.ZBPA=ZPBQ,：.AP=QB,在△P8Q与△BB4中，'QB=AP,ZBPA=ZPBQ«PB=BP：./\PBQ^/\ABP(SAS),:.PQ=AB=4设Q(ni,m+3)由PQ=4得：(m+4)2+(w+3+5)2=42解得：m=-4,m=-8(当/n=-8时，NB4QW/AQB,故应舍去)二。坐标为(-4,-1).图②图①8.如图，抛物线y=o?+2x+c(aVO)与x轴交于点A和点B(点4在原点的左侧，点B在原点的右侧)，与y轴交于点C,OB=OC=3.图1 图2(1)求该抛物线的函数解析式；(2)如图1,连接BC,点。是直线BC上方抛物线上的点，连接。£),CD,OD交BC于点凡当Sacof：SaCDF=3：2时，求点。的坐标.(3)如图2,点E的坐标为(0,工)，在抛物线上是否存在点P,使NOBP=2NOBE?2若存在，请直接写出符合条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(l)c=3,点8(3,0),将点B的坐标代入抛物线表达式：丫=—+入+3并解得：a=-\,即可求解；(2)S^cof：Sacdf=3：2,则。尸：尸£)=3：2,DH//CO,故CO：DM=3：2,贝ij£>M=—CO=2,而。M=-/+2x+3-(-x+3)=2,即可求解；3(3)分点尸在x轴上方、点尸在x轴下方两种情况，分别求解即可.【解答】解：(1)c=3,点、B(3,0),将点B的坐标代入抛物线表达式：y=ar2+2x+3并解得：a=-1,故抛物线的表达式为：y=-7+2x+3…①：(2)如图1,过点。作轴于点”，交CB于点M,图1 国2Skof：S«df=3：2,则OF：FD=3：2,"：DH//CO,故CO：DM=3：2,则OM=2cO=2,3由8、C的坐标得：直线BC的表达式为：y=-x+3,设点。(x,-x1+2x+3),则点M(x,-x+3),DM=-x1+2x+3-(-x+3)=2,解得：x=l或2,故点O(1,4)或(2,3)；（3）①当点P在x轴上方时，取OG=OE,连接BG,过点B作直线PB交抛物线于点P,交y轴于点使NGBM=NGBO,则/O8P=2NOBE,过点G作GHLBM,设设MH=x,则MG=则△OBM中，OB：2+Om2=MB2,即({X2弓+亳)?+9=(x+3)2,解得：x=2,故 则点/(0,4),将点B、M的坐标代入一次函数表达式并解得:直线BM的表达式为：y=-&x+4…②,3联立①②并解得：x=3（舍去）或工，3TOC\o"1-5"\h\z故点P ;3 9②当点尸在X轴下方时，同理可得：点P（-2，-空）；3 9综上，点P的坐标（工，丝）或（-工，-星）.3 9 3 99.如图，已知直线y=-2x+4分别交X轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PCl_x轴于点C,交抛物线于点£>.（1）若抛物线的解析式为y=-2?+2r+4,设其顶点为M,其对称轴交4B于点N.①求点M和点N的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点。，使IAQ-8QI的值最大，请直接写出点Q的坐标；③是否存在点P,使四边形MNP。为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以8、P、O为顶点的三角形与△408相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.【分析】（1）①函数的对称轴为：》=-卫-=工，故点M（1,2）,即可求解；2a2 22②设抛物线与x轴左侧的交点为R（-1,0）,则点4与R关于抛物线的对称轴对称,连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q,则点。为所求，即可求解；③四边形MNP。为菱形，首先PD=MN,即（-2?+2%+4）-（-2r+4）=3,解得:2x=工或旦（舍去工），故点P1）>而PN=71+4=«LMN，即可求解；TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"22 2 2（2）分NO8尸为直角、N83P为直角两种情况，分别求解即可.【解答】解：（1）①函数的对称轴为：x=-'=工，故点M（1,1）,\o"CurrentDocument"2a2 22当x=2时，y=-2x+4=3,故点N（2，3）；2 2②设抛物线与x轴左侧的交点为R（-1,0）,则点A与R关于抛物线的对称轴对称,连接RB并延长交抛物线的对称轴于点°,则点。为所求，

Q图1将/?、B的坐标代入一次函数表达式：并解得:直线RB的表达式为：y=4x+4,当x=^■时，y=6,故点Q（工，6）；2③不存在，理由：设点尸（x,-2x+4）,则点。（x,-2?+2x+4）,TOC\o"1-5"\h\zg 3MN=—-3=—,2 2四边形MNP。为菱形，首先PD=MN,即（-廿+21+4）-（-2x+4）=—,解得：或S（舍去1）,2 22 2故点P（_1,1）,而PN=j/=A*MN,故不存在点P,使四边形MNP。为菱形；（2）当点P的横坐标为1时，则其坐标为：（1,2）,此时点A、8的坐标分别为：（2,0)、(0,4),①当NO8P为直角时，以8、P、。为顶点的三角形与△AOB相似,则/BAO=NBOP=a,tan/BAO=^>=2=tana,则sina=—^=r0A V5PA=®PB=AB-PA=2娓-娓=而,则尸c=BP=§,故点。a,2).sinQ2 2②当NBOP为直角时，以8、P、。为顶点的三角形与△AOB相似,则8£>〃x轴，则点8、。关于抛物线的对称轴对称，故点。(1,4),综上，点。的坐标为：(1,4)或(1,9),2将点A、B、。的坐标代入抛物线表达式：丫=0?+云+0并解得：y=-2r2+2x+4或y=--x2+3x+4.210.抛物线y=a？-4ar+3a交x轴于点B、C两点，交y轴于点A,点。为抛物线的顶点，连接A8、AC,已知△4BC的面积为3.(1)求抛物线的解析式；(2)点尸为抛物线对称轴右侧一点，点P的横坐标为相，过点P作尸。〃4c交y轴于点Q,AQ的长度为d,求d与6的函数关系式：(3)在(2)的条件下，当d=4时，作£W_Ly轴于点N,点G为抛物线上一点，AG交线段PO于点连接MM若是以MN为底的等腰三角形，求点G的坐标.【分析】(1)y=o？-4ax+3。交x轴于点8、C两点，交y轴于点A,则点8、C的坐标分别为：(I,0),(3,0),点A(0,3a),ZkABC的面积=*ABXOA=/x2X3。=3,即可求解；(2)PQ平行线于AC直线，其表达式设为：y=-x+b,设点尸zn2-4zn+3)(/n>2),将点P的坐标代入上式，即可求解；(3)d=4时，点P(4,3),设点G(”，«2-4n+3),直线P。的函数表达式为：y=2x-5…①，直线AG的函数表达式为：y=(〃-4)x+3…②，联立①②并解得：、=上6-n故点M(旦，*--5),AN=AM,即16=(上)2+(旦-8)2,即可求解.6-n6-n 6-n 6-n【解答】解：(1)yuor2-4or+3。交x轴于点5、C两点，交y轴于点A,则点3、。的坐标分别为：(1,0)、(3,0),点4(0,3a),△ABC的面积=/AB><O4=/x2X3a=3,解得：a=l,故抛物线的表达式为：y=x2-4x+3；(2)点A(0,3),点C(3,0),D(2,-1),则尸。平行线于4c直线，其表达式设为：y=-x+b,设点P(m,m2-4m+3)(m>2),将点P的坐标代入上式并解得：b=m2-3/n+3,贝I]d=AQ=|/«2-3词(/n>2)；(3)当3=4时,|m2-3m|=4.解得：m=4或-1(舍去-1),故点P(4,3),设点G(〃，〃2-4〃+3),点。(2,-1),则点N(0,-1)同理可得：直线尸。的函数表达式为：y=2x-5…①，直线AG的函数表达式为：y=(〃-4)x+3…②，联立①②并解得：x=-^~,故点M旦-5),6-n 6-n6-n点A(0,3)、点N(0,-1),TOC\o"1-5"\h\zAN=AM,即16=(―?-)2+ 2,6-n 6-n解得：〃=&或4,3故点G(区,-&)或(4,3).3 9

11.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+2x-2与x轴交于A、8两点（点A

3 3在点8的左侧），与y轴交于点C（1）求点A的坐标；（2）如图1,连接AC,点O为线段AC下方抛物线上一动点，过点。作。E〃y轴交线段AC于E点，连接E0,记△AOC的面积为Si,△AEO的面积为S2,求Si-S2的最大值及此时点D的坐标；（3）如图2,将抛物线沿射线C8方向平移裾个单位长度得到新抛物线，动点N在原抛物线的对称轴上，点M为新抛物线与y轴的交点，当△/1〃代为以4M为腰的等腰三角形时，请直接写出点N的坐标.【分析】（1）令y=0,即可求A点坐标；（2）延长。E交x轴于点K,求出直线AC的函数表达式为y=《x-2，设D(t, ,其中-3<7<0,则E(t,~~t~2),K(t,0)>即可求Si-oo oSi=-及-3/-7-3=-户-41-3=-(f+2),当1=-2时，Si-S2取得最大值，最大值为L此时点。的坐标为（-2,-2）；（3）由题意可求抛物线向右平移S个单位长度，向上平移3个单位长度，则平移后的抛2物线解析式为y=2（x-1）2+1,可求M（0,工），设N（-l,〃），分两种情况①TOC\o"1-5"\h\z2 3 2当AM=AN时，9+工=4+/,得到N（-l,返I.）或N（-l,-返L）；②当AM=4 2 2MN时，9+1=1+（1-n）2,得到N（-1,上返_）或N（-1,上返_）.2 2 2【解答】解:（1【解答】解:（1）.•,抛物线丫去2+-2,与x轴交于A、B两点,令y=0,得—x2特x-2=0,解得xi=-3,X2=l,•.•点A在点8的左侧，二点A的坐标为(-3,0)；(2)如图1,延长OE交x轴于点K,•抛物线与y轴交于点C,：.C(0,-2),设直线AC的函数表达式为y=fcv+〃(AHO),VA(-3,0),C(0,-2),.fn=-2*l-3k+n=0'[2解得厂3.n=-2直线AC的函数表达式为y=-1x-2.设D(t,yt2-tyt-2)>其中,•E(tt-2)9K(t,0),0：.DE=-2尸-2t,3..ncDE-0A_3z2, %,S1=SAADC=--2(-3r2z)-/3652=5.=号，(f+2)=+3，ASi-S2=-»-3lL3=-r2-4l3=-(f+2)2+l,.•.当f=-2时，Si-S2取得最大值，最大值为1,此时点。的坐标为(-2,-2)；(3)VC(0,-2),B(1,0),.0B_1•»0C2••抛物线沿射线CB方向平移去而个单位长度，•.抛物线向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度，2•・平移后的抛物线解析式为y=2(x+1-S)2-&+3=2(x-1)2+1,-3 2 3 3 2 3当x=0时，y=—,2：.M(0,A),2•.•原抛物线的对称轴为直线x=-1,设N(-1,n),①当AM=AN时，9+—=4+n2,42.•.N(-1,2/IL)或N(-1,-2^21)；TOC\o"1-5"\h\z2 2②当4M=MN时，9+工=1+(A-„)2,4 2, 1733gg1+V332 2：.N(-1,上国)或N(-1,1±场_):2 2综上所述：n点坐标为(-1,返L)或(-1,-返L)或(-1,土返^_)或(-1,2 2 21W33. 7•212.如图①，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线卜=0?+法+£'的顶点是4(2,3),将。4绕点。顺时针旋转90°后得到08,点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)如图②，P是线段AC上一动点，且不与点4,C重合，过点尸作平行于x轴的直

线，与△OAB的边分别交于M,N两点，将以直线MN为对称轴翻折，得到△/!'MN,设点P的纵坐标为机.当aA'MN在△0A8的内部时，求机的取值范围；(3)在(2)的条件下，是否存在点P,使S"，8，若存在，求出满足条15图① 图②【分析】(1)抛物线y=a?+&r+c的顶点是A(2,3),可以假设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3,求出点B的坐标，利用待定系数法即可解决问题.(2)根据AA'MN在△04B内部，构建不等式即可解决问题.(3)求出直线OA,AB的解析式，求出MN,利用面积关系构建方程即可解决问题.【解答】解：⑴•••抛物线产苏+云+。的顶点是A(2,3),二设抛物线的解析式为y=a(x-2)2+3,,/0A绕点。顺时针旋转90°后得到OB,：.B(3,-2),把8(3,-2)代入y=a(x-2)2+3,可得：a=-5,二抛物线的解析式为y=-5(x-2)2+3,即y=-5/+20X-17.(2)设直线。8的解析式为y=履，把8(3,-2)代入得，k=23直线OB的解析式为y=-2x,3设P(2,m),'：PA=PA',A(2,3),：.AA'=2PA=2(3-m)=6-2m,：.A'(2,3-6+2机)，即A'(2,2m-3),当AA'MN在△OAB的内部时，有-4V2m-3＜3,3解得：$＜加＜3.(3)存在，满足条件点尸的坐标为(2,6-V22).设直线0A的解析式为y=心，把A(2,3)代入得，n=—,直线OA的解析式为y=-1x,设直线AB的解析式为y=Mx+〃'，把A(2,3)、B(3,-2)代入得:(2m+n，=3,+ny=-2解得：=-5,\n=13...直线AB的解析式为y=-5x+13,VP(2,m),'.MC—m,zn),N(U国,,3 5—39-13m.1,39-13m,(39~2-15―整理得：m2-6/?7+9=|6/n-5|,方程可化为62-]2m+14=0或62=一4(无实数根)，解得：，wi=6-J^,m2=6+722，：.m=6-V22，,满足条件点p的坐标为(2,6-722).13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线、=£/+法+。与x轴交于8,C两点(C在B的左侧)，与y轴交于点A,已知A(0,-4),OA=2OB.(1)求抛物线的表达式；(2)若点Q是线段AC下方抛物线上一点，过点。作QO垂直AC交AC于点。，求OQ的最大值及此时点Q的坐标；(3)点、E是线段AB上~"点，且S^aoe=—Sa/AOC：将抛物线y=—x^+bx+c沿射线AB4 2的方向平移，当抛物线恰好经过点E时，停止运动，已知点M是平移后抛物线对称轴上的动点，N是平面直角坐标系中一点，直接写出所有使得以点A,B,M,N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来.【分析】(1)求出8点坐标，再将点B(2,0),A(0,-4)代入y=//+bx+c,即可求解析式；(2)过点Q作。尸，x轴交于产点，交直线AC于点E,求出C点坐标，可知NOC4=NEQ£)=45。，则QO=EO=**QE,直线AC的解析式为y=-x-4,设Q(r,TOC\o"1-5"\h\z-4),E(r,-r-4),贝1]£＞。=返(-Ar2-2z)=-亚(r+1)2+返，当/=-22 2 4 4时，。。有最大值Y2,此时。(-1,-9)；4 2(3)先求出E(l,-2),设抛物线向x轴正方向平移，”个单位，则向y轴正方向平移2m个单位，则平移后y=^+x-4=1(x+1-m)2-9+2m,代入点E可求抛物线解2 2 2析式尸尹-设M(0,〃)，N(x,y),①当A8为菱形对角线时，AM=BM,x=2-4=n+y ,解得n(2,n2+4=(n+4)22+x=0-互）；②当AM为菱形对角线时，n-4=y220=4+/x=2解得N(-2,0)；③当AN为对角线时，AB=AM,■y-4=n ,解得N(2,2遥)20=(n+4)2或N(2,-275).【解答】解：（1）VA（0,-4）,，OA=4,•：OA=2OB,：・OB=2,：.B(2,0),将点8(2,0),4(0,-4)代入yn.f+bx+c,'c=-4/J1 ,yX4+2b+c=0.小=1,lc=-4^4-x-4；2(2)过点。作QFLx轴交于F点，交直线AC于点£令工/+x-4=0,贝I」x=-4或x=2,2：.C(-4,0),:.OC=4f•：OA=OC,OCA=45°,,:OQL4G：.ZOCA=ZEQD=45°,J?：.QD=ED=^±-QE,设直线AC的解析式为y=kx^b,.fb=-4*l-4k+b=0，.fk=-l.*.y=-x-4,设。(，，—P+t*4)，E(Z,-f-4),2：.QE=-A/2-2t,：.DQ=J^(-A？-2t)=-亚(/+2)2+V2>2 2 4当r=-2时，OQ有最大值J5，此时。(-2,-4)；(3)设A3的解析式为y=fcr+4.j2k+b=0,lb=-4・fk=2lb=-4.\y=2x-4,**.SaAOC=—X4X4=8,2*.*SaAOE=—SaAOCf4S〉AOE=2=—X4Xxe,2•・XE=1,AE(1,-2),设抛物线向x轴正方向平移m个单位，则向y轴正方向平移2机个单位,.,.y=2/+x-4=—(x+1-m)1--+2m,2 2 2•抛物线经过点E,•\-2=—(1+1-m)2--+2m,2 2."./n=±1,・・,抛物线沿射线AB的方向平移，AW—1>.*.y=—x2--,-2 2对称轴为直线x=0,设M(0,〃)，N(x,y),①当A8为菱形对角线时，AM=BM,x=2.*.<-4=n+y ,,n2+4=(n+4)2'x=2.・1_5,y~~2：.N(2,-5)；2②当AM为菱形对角线时，AB=BM,'2+x=0TOC\o"1-5"\h\z/.<n-4=y ,120=4+n2'x=-2/x=-2.Iy=0或<y=-8(舍)，n=4 ln=-4：.N(-2,0)；③当AN为对角线时，AB=AM,'x=2y-4=n ,20=(n+4)2'x=2 (x=2y=2>/5或，y=-2立，n=-4+2V5ln=-4-2泥：.N(2,2>/5)或N(2,-2遥)；综上所述：N点坐标为(2,-日)或(-2,0)或(2,275)或⑵-2遥).14.如图，抛物线y=o?+陵过点A(4,0)、B(1,3)两点，点C、8关于抛物线的对称轴对称，过点8作直线BHLv轴，交x轴于点”.(1)求抛物线的表达式；(2)直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；(3)点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当AAB尸的面积为6时，求出点P的坐标；(4)已知点M在直线8”上运动，点N在x轴上运动，若△CMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时△CMN的面积.【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可；(2)求出抛物线的对称轴，再根据对称性求出点C的坐标即可解决问题；(3)设点尸(nz,-m2+4/n).S^abp=S^abh+S^-ahdp-S^pbd,建立方程求解即可；(4)以点M为直角顶点，利用全等三角形和勾股定理ON的长，求出点M的坐标进而求出CM的长，求出的面积即可.【解答】解：(1)•.•抛物线丫二小+反过A(4,0),B(1,3)两点，.(16a+4b=0j1a+b=3解得：］a=T,Ib=4抛物线的解析式为y=-?+4x.(2)如图1,''y=-x2+4x=-(x-2)2+4,对称轴为直线x=2,,:B,C关于对称轴对称，B(1,3),：.C(3,3),：.BC=2,/.Saabc=—X2X3=3.2(3)如图1,设点P(m,-m2+4m),根据题意，得：BH=AH=3,HD=n^-4w,PD^m-1,S^ABP=S^ABH+S梯形尸-S"BD,/.6=Ax3X3+Ax(3+mi-1)X(ot2-4w)-工X(/n-1)X(3+m2-4/n),2 2 2解得：m\=Of62=5,・•点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，••机>0,，m=5,-w2+4/?7=-52+4X5=-5,：.P(5,-5)；(4)点M在直线3”上，点N在x轴上，△CMN为等腰直角三角形时，分两种情况讨论：①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2,CM=MN,NCMN=90°,:/CBM=/MHN=90°,ZCMB+NNMH=NNMH+ZMNH=90°,:・NCMB=NMNH,:・RCBMm4MHN(A4S),:・BC=MH=2,BM=HN=3-2=\,：.M(1,2),VC(3,3),••CM=V(l-3)2+(2-3) >.♦.△CMN的面积为：工CA/2=互；2 2②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3,过点(7作。。〃丫轴，过点N作NE〃y轴，过点M作。E〃x轴交CO于点。，交NE于E,■:NCMN=NCDM=NMEN=9Q°,CM=MN,:.NCMD+NNME=NNME+NMNE=90°,NCMD=NMNE：.4NEM^4MDC(A4S),：.NE=MD=BC=2,EM=CD=5,"：ZENH=ZNEM=ZNHM=9Q°,四边形是矩形，：.HM=NE=2,VC(3,3),CM=｛（卜3）2十（一2-3）2=V29>.♦.△CMN的面积为：1cm2=29：2 2综上所述，当△CMN是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，ACMN的面积为5或2292图2

15.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-返，-2渔广企与X轴交于A、B两点

3 3（点4在点8的左侧），与），轴交于点C.图2图2（1）求A、C两点的坐标；（2）连接AC,点P为直线AC上方抛物线上（不与A、C重合）的一动点，过点尸作交AC于点O,PELx轴交AC于点E,求PO+OE的最大值及此时点P的坐标：（3）如图2,将原抛物线沿射线CB方向平移3百个单位得到新抛物线y',点M为新抛物线y'对称轴上一点，在新抛物线>'上是否存在一点N,使以点C、A、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点用的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由.【分析】（1）令x=0，求出y的值，可求出点C的坐标；令y=0,可求出x的值，由此可求出点A的坐标；（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，根据相似三角形的性质可表达PC+OE的值，再利用二次函数的性质求出最值；（3）分三种情况：当四边形ACNM是平行四边形时，当ACMN时平行四边形时，当ANCM时平行四边形时，分别利用点的平移和中点坐标公式进行求解即可.【解答】解：(1)在丫=八应乂2上叵中，3 3令x=0,y=V2..，.C(0,&),令y=0,xi=-3,X2=l>,."aVxb,・・・A(-3,0),8(1,0)・VPEXxtt,y_Lr轴，，PE〃y轴，；・NPED=NACO,：ZPDE=ZAOC=90°,:•丛PEDsRACO,：.DE：PD：PE=OC：OA：AC,在RtZ\A。。中，ZAOC=90°,AAcWoA^C^VH,二.DE：PD：PE=OC：0A：AC^/2：3：V11>DE=^-PE>PD=31PPE，••PD+DE=(3督4^~)PE,当尸E最大时，PD+DE最大,设直线AC的解析式为：y=kx+b,,：A(-3,0),C(0,V2),.r_3k+b=0,|b=V2,宜线AC：y=^-x+V2-o-3</n<0,设P(m,平"m?骂oo-3</n<0,#,E(ni, )»o•PE=yp-yE=^^m2-V2in»V^-<0，-3<m<0,

，m=/•时，PE/"2-，1112Umax4•・，（PD+DE）W（呼，智）PE"3瞑*'，P（V，平）.（3）存在,此时（3）存在,此时H（2,或（2，19&）或（2,-yV2)■在射线CB上取一点Q,使CQ=3F，过点。作QGJ_y轴于点G,则NQGC=90°,VZBOC=90°,:.bc=M，；NQGC=NBOC=90°，NQCG=NBCO,:AQGCsABOC,；.QG：BO=CG：CO=C。：CB,即。G：1=CG：&=3百：百，；.QG=3,CG=3近,...沿射线CB方向平移3百个单位相当于向右平移3个单位，再向下平移3加个单位，Vy=-^-x2--^x+V2=_—（X+1）2+-^^-,y3 3 3 3将抛物线y=1x2且之乂屈向右平移3个单位，再向下平移3&个单位得到新抛3 3•3=-返(x+l-3)2+^H--3近=-返(x-2)2-笆但,3 3 3 3，新抛物线的对称轴为直线x=2,；点M为新抛物线y'对称轴上一点，.•.点M的横坐标为2,当四边形4cMN为平行四边形时，如图,根据平行四边形的性质可知：AC//NM,AC=NM,由图可知，将点C先向右平移2个单位，再向下平移若干个单位得到点M,将点4(-3,0)先向右平移2个单位，再向下平移若干个单位得到点N,二点N的横坐标为：-3+2=-1,当x=-1时，V=-返(-1-2)2-^2_=3 3 3二此时点N的坐标为(-1,_1蚣.)；3二将点4(-3,0)先向右平移2个单位，再向下平移与亚个单位得到点N(-1,-314&)；3...将点C(0,a)先向右平移2个单位，再向下平移屿巨个单位得到点M(2,-3谑)；3当四边形4CNM为平行四边形时，如图,根据平行四边形的性质可知：AC//MN,AC=NM,由图可知，将点A(-3,0)先向右平移5个单位，再向下平移若干个单位得到点二将点C(O,a/2)先向右平移5个单位，再向下平移若干个单位得到点N,.•.点N的横坐标为：0+5=5,当x=5时，y'=--(5-2)2--5^-=-.14"^,3 3 3此时点N的坐标为(5,-凶巨)；3...点C(0,V2)先向右平移5个单位，再向下平移工返个单位得到点N(5,-314点、 >;3将点4(-3,0)先向右平移5个单位，再向下平移工退个单位得到点M(2,-317近).3 '当4VCM为对角线时，A(-3,0),C(0,V2)的中点为：(一旦，返)，2 2•.•点M在对称轴x=2上，.•.点M的横坐标为x=2,点N的横坐标为x=-5,当x=-5时，y，=- (-5-2)2-殳反=-14V^_=-3 3 3：.N(-5,-1872)，...点用的纵坐标为19d5，：.M(2,1972).综上所述，符合题意的点M的坐标为：m(2,殁亚)或(2,19我)或(2,-yV2).16.已知抛物线y=-3/+以+，与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点，且点A的坐标4为(-1,0),点C的坐标为(0,3).(1)求该抛物线的函数表达式，及顶点坐标；(2)如图1,有两动点。、E在△COB的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线COB按C-OfB方向向终点B运动，点E沿线段BC按BfC方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设运动时间为f秒，请解答下列问题：①当.=」亘或北返时，△BCE的面积等于33；~2-2~ 10②在点。、E运动过程中，该抛物线上存在点F,使得依次连接A。、OF、FE、EA得到的四边形ADFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标.(2)分两种情况：①当时，。点在OC上，过点。作。G_LBC交于点G,S&BDE求出r=Y亘；当3WW5时，。点在OB上，过点E作EHJLx轴2 5 10 2交于点H,Sabde=—X(7-t)X^-t=—,求出尸立应；2 5 10 2

②过点E作EMJ_x轴交于点M,可求E（4-2r, ,设尸（机，-2w2+2w+3）,TOC\o"1-5"\h\z5 5 4 4,,4m-l=4-z-t当。点在0C上时，0《忘3,则有，当。点在0C上时，0《忘3,则有，当。点在。8上时，3</<5,则有，329 o„ 3 3 6二m-+^1+3=3-t^7~t4 4 54m-l=t-3+4-v-t,可求尸(3,3).-^ym2-+^1+3=3-1+7-14 4 5【解答】解：(1)将4(-1,0),C(0,3)代入y=-3，+次+c,4c=3•<3 ,--r-b+c=04b4,c=3y="—^+―x+3,4 4顶点为(1,Z|),(2)①令y=0,贝lj-3/+9x+3=0,4 4解得x=-1或x=4,：.B(4,0),:.08=4,VC(0,3),・・・OC=3,:・BC=5,如图1,当0Wf&3时，。点在OC上,过点。作DGLBC交于点G,.,.sinZOCB=-i=l!2.5CD：.DG=—t,5・ 1 4••SaBDE=—XfX—t,2 5•••△8DE的面积等于23,10.,.Ax/xAr=33Io"，t_V33..r ；2如图2,当3<fW5时，。点在。8上,过点E作EH±x轴交于点H,5BE•."sinZCBO=—=—5BE：,EH=—t,5.*.Sabde=Lx<7-r)X—t,•.•△8DE的面积等于23,10.”也2综上所述：f的值为运或卫区TOC\o"1-5"\h\z2 2故答案为:②如图3,过点E作EMLx轴交于点M,当，5 5：.E(4-生，旦f),5 5设尸(rm--m2+—m+3),4 4•；四边形ADFE是平行四边形，：.AF与DE是平行四边形的对角线，当。点在OC上时，0WfW3,5329c3■ym-*^01+3=3-t+7-t5329c3■ym-*^01+3=3-t+7-t则有，.".m--1或3当m=-1时,z=—（舍）：

2•io*Hl 3当。点在08上时，3W/W5,则有，m-l=t_3+4则有，-^7-m2-»-77n+3=3-t+7-t

4 4 5*.m=-4或m=39当m=-4时，.=-30（舍）；当机=3时，，=5；•m~~3>：.F(3,3)；17.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丫=0?+法+3(“K0)与x轴交于点4(-百，0),点B(3加，0),与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式；(2)点尸为直线8c上方抛物线上的一点，过点尸作尸O〃y轴，交BC于点。，点E在直线BC上，且四边形PEDF为矩形，求矩形PEC尸周长的最大值以及此时点P的坐标：(3)在(2)问的条件下，将抛物线沿射线EP方向平移2y个单位长度得到新抛物线，。为平面内一点，将△AOC绕点。顺时针方向旋转90°后得到△AY7C,若△4OC的两个顶点恰好落在新抛物线上时，直接写出此时点。的坐标，并把求其中一个点。的坐标过程写出来.（2）延长尸。交x轴于点，，可得NEPO=30°,则矩形PEDf周长