人教B版高中数学选修2-1创新设计练习25直线与圆锥曲线(含答案详析)

2.5直线与圆锥曲线双基达标限时20分钟1．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)则( )．．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线可能没有公共点剖析：直线过定点(1，0)，而抛物线y2＝2px(p＞0)张口向右，故直线与抛物线最少有一个交点．答案：C2x2y22.直线y＝2x与椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e等于()．32A.2B.231C.3D.2答案：B3．过点(0，－2)的直线与抛物线y2＝8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|等于( )．A．217B.17C．215D.15答案：C4．抛物线y2＝8x，直线AB的斜率为2，且过抛物线的焦点，则|AB|＝________.剖析：抛物线y2＝8x的焦点(2，0)，则直线AB为y＝2(x－2)．y2＝8x由212y＝2（x－2）答案：1022xy5．已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)与方向向量为k＝(6，6)的直线交于A，B两点，线段AB的中点为(4，1)，则该双曲线的渐近线方程是__________．剖析：设A(x1，1，B(x2，x12y12＝1x22y221得：y2－y1y)y)ababx2－x1b2（x2＋x1）4b24b2b12＝2，又k＝1，∴2＝1即：＝±.即双曲线的渐近线方程为：＋y）aaa2211y＝±x.21答案：y＝±x26．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，当直线和椭圆有公共点时：(1)求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在直线的方程．4x2＋y2＝1解：联立得方程组，y＝x＋m消去y，整理得5x2＋2mx＋m2－1＝0，＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2.(1)由Δ≥0，得20－16m2≥0，55解得－2≤m≤2.2mx1＋x2＝－5(2)由根与系数的关系得，2＝m2－11xx5所以弦长L＝（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2]4m24（m2－1）22＝2[25－5]＝510－8m.当m＝0时，L获取最大值2105.此时直线的方程为y＝x.综合提高（限时25分钟）22y7．已知双曲线x－3＝1过P(2，1)点作素来线交双曲线于A、B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为()．A．3B．4C．5D．62212剖析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由x12－y1＝1与x22－y2＝1得：y－y＝33x1－x23（x1＋x2）＝6.y1＋y2答案：D8．直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为()．A．48B．56C．64D．72y＝x－3，剖析由得x2－10x＋9＝0，y2＝4xx＝1，x＝9，解得y＝－2或y＝6.∴|AP|＝10，|BQ|＝2，|PQ|＝8，11∴梯形APQB的面积为S＝2(|AP|＋|BQ|)×|PQ|＝2(10＋2)×8＝48.答案A．抛物线2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝43，则焦点F到直线AB的距离为9y________．剖析由抛物线的方程可知F(1，0)，由|AB|＝43且AB⊥x轴，得yA2＝(23)2＝12，2yA∴xA＝4＝3，∴点F到直线x＝3的距离为2.答案210．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点m所在直线的斜率为2，则n等于________．剖析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，22221122两式相减得y1－y2mx1＋x2＝·.x1－x2－ny1＋y2y1－y2x1＋x22，∵＝－1，＝x1－x2y1＋y22＝.n2答案22x2y211．已知直线l交椭圆20＋16＝1于M，N两点，B(0，4)是椭圆的一个极点，若△BMN的重心正是椭圆的右焦点，求直线l的方程．解椭圆的右焦点为F(2，0)，设M(x1，y1，N(x2，y2)，)22x1＋y1＝1，201622y1－y216x1＋x2x2y220＋16＝1，＝－·，则?x1－x220y1＋y2x1＋x2＋0x1＋x2＝6，＝2，3y1＋y2＝－4，y1＋y2＋4＝03y1－y26kMN＝x1－x2＝5.又l过MN的中点(3，－2)，6∴l的方程为y＝5(x－3)－2.即6x－5y－28＝0.12．(创新拓展)已知△AOB的一个极点为抛物线y2＝2x的极点O，A，B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.(1)求证：直线AB必过必然点；(2)求△AOB面积的最小值．1解(1)设OA所在直线的方程为y＝kx，则直线OB的方程为y＝－kx.由y＝kx，222得A(2，)，y＝2xkk1由y＝－kx，得B(2k2，－2k)．y2＝2x2222∴直线AB所在直线方程为(y＋2k)(k2－2k)＝(k＋2k)(x－2k)，化简得1x－(k－k)y－2＝0，∴直线过定点P(2，0)．(2)由于直线AB所在直线方程过定点(2，0)，所以可设直线AB的方程为x＝my＋2.x＝my＋2，由2得y2－2my