江苏省苏州市中考数学试题（解析版）

2019年苏州市初中毕业暨升学考试试卷

数学本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共2小题，满分130分，考试时间120分钟，注意事项：.答题前，考生务必将自己的姓名、考点名、考场号、座位号、用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符；.答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答；.考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的。请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上。TOC\o"1-5"\h\z5的相反数是（ ）A.- B.-- C.5 D.-55 5.有一组数据：2,2,4,5,7这组数据的中位数为（ ）A.2 B.4 C.5 D.7.苏州是全国重点旅游城市，2018年实现旅游总收入约为26000000万元，数据26000000用科学记数法可表示为（ ）A.0.26x10s B.2.6x10s C.26xl06 D.2.6xlO7.如图，已知直线a//b,直线c与直线a,6分别交于点4B.若Nl=54°,则N2=

A.126°B.1A.126°B.134°C.136°D.144°.如图，Z8为OO的切线，切点为A,连接40、80,80与OO交于点C,延长8。与。。交于点O,连接ZD,若480=36°,则4OC的度数为（ ）A.54° B.36° C.32° D.27°.小明5元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本（两人的钱恰好用完），已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为（）15_2415_24xx+315_24xx-3TOC\o"1-5"\h\z —— U.=—x+3x x-3x.若一次函数y=Ax+6（〃、b为常数，且kwO）的图像经过点/（0,-1）,8（1,1）,则不等式去+6>1的解为（ ）A.x<0 B.jc>0 C.x<1 D.x>1.如图，小亮为了测量校园里教学楼48的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18Gm的地面上，若测角仪的高度为1.5m,测得教学楼的顶部工处的仰角为30°，则教学楼的高度是（ ）AA.如图，菱形的对角线ZC,BD交于点O,AC=4,8。=16,将V/8。沿点/到点C的方向平移，得到V/T8C',当点/'与点C重合时，点”与点8'之间的距离为C.1C.10D.12.如图，在VNBC中，点。为BC边上的一点，且"0=48=2,ADLAB,过点。作DELAD,DE交AC于熬E,若DE=1,则VZ8C的面积为（ ）A.A.4应 B.4 C.2a/5 D.8二、填空：本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相应位置上。.计算： .因式分解：x2-xy=.若存在实数范围内有意义，则x的取值范围为、.若a+26=8,3a+46=18,则a+b的值为.“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔

板”，图①是由边长10cm的正方形薄板分成7块制作成的“七巧板”图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形，该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为cm（结果保留根号）.如图，将一个棱长为3的正方体的表面涂上红色，再把它分割成棱长为1的小正方形,从中任取一个小正方体，则取得的小正方体恰有三个面涂有红色的概率为.如图，扇形048中，ZAOB=90°.尸为弧力8上的一点，过点尸作垂足为C,PC与4B交于点D,若PD=2,CD=l,则该扇形的半径长为.如图，一块含有45。角的直角三角板，外框的一条直角边长为IOctm,三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为岳川，则图中阴影部分的面积为cm（结果保留根号）三、解答题：本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要得计算过程，推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.

.（本题满分5分）计算：（后了+卜2|-（左-2）°.（本题满分5分）x+x+l<5解不等式组［2（x+4）＞3x+7.（本题满分6分）先化简，再求值:其中x=Vi-3.先化简，再求值:.（本题满分6分）在一个不透明的盒子中装有4张卡片.4张卡片的正面分别标有数字1,2,3,4,这些卡片除数字外都相同,将卡片搅匀.（1）从盒子任意抽取一张卡片,恰好抽到标有奇数卡片的概率是：:

（2）先从盒子中任意抽取一张卡片，再从余下的3张卡片中任意抽取一张卡片，求抽取的2张卡片标有数字之和大于4的概率（请用画树状图或列表等方法求解）..（本题满分8分）某校计划组织学生参加“书法”、“摄影"、"航模”、"围棋”四个课外兴题小要求每人必须参加.并且只能选择其中一个小组，为了解学生对四个课外兴趣小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的扇形统计图和条形统计图（部分信息未给出）.请你根据给出的信息解答下列问题：（1）求参加这次问卷调查的学生人数.并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；（2）m=,n=;（3）若某校共有1200名学生，试估计该校选择“围棋”课外兴趣小组有多少人？.（本题满分8分）如图，△ABC中，点E在8c边上，AE=AB,将线段ZC绕点”旋转到4尸的位置，使得NC4尸=N84E,连接即，EF与4c交于点G（1）求证：EF=BC；（2）若NABC=65°,ZACB=28°,求NFGC的度数..（本题满分8分）如图，4为反比例函数y=§（其中x>0）图像上的一点，在x轴正半轴上有一点5,08=4.连接04,AB,且04=18=2厢.（1）求A的值；（2）过点3作8CLO8,交反比例函数y=&（其中x>0）的图像于点C,连接OC交于点D，求丝的值..（本题满分10分）如图，4E为。。的直径，。是弧BC的中点8c与A。，O。分别交于点E,F.（1）求证：DO//AC；（2）求证：DEDA=DC2-,（3）若tanNC4O=L求sinNCD4的值.2ABAB27.(本题满分10分)已知矩形48。中，AB=5cm,点尸为对角线4c上的一点，且4片2氐m.如图①，动点M从点力出发，在矩形边上沿着AtBtC的方向匀速运动(不包含点C).设动点M的运动时间为，(s), 的面积为S(s?),S与r的函数关系如图②所示：(1)直接写出动点M的运动速度为cm/s,8c的长度为cm;(2)如图③，动点M重新从点/出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时,另一个动点N从点O出发，在矩形边上沿着OfC—8的方向匀速运动，设动点N的运动速度为v(cm/s).已知两动点M、N经过时间x(s)在线段8c上相遇(不包含点C),动点A/、N相遇后立即停止运动，记此时A/IPM与ADPN的面积为耳卜病),其①求动点N运动速度v(cm/s)的取值范围；②试探究S,S2是否存在最大值.若存在，求出S,-'的最大值并确定运动速度时间x的值：若不存在，请说明理由.28.(本题满分10分)如图①，抛物线y=-x2+(a+l)x-a与x轴交于4、B两点、(点4位于点8的左侧)，与y轴交于点C,已知A/18C的面积为6.(1)求a的值；(2)求A48C外接圆圆心的坐标;

(3)如图②，P是抛物线上一点，点。为射线。上一点，且P、。两点均在第三象限内,。、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d,\QPB的面积为2d,fiZPAQ=ZAQB,求点。的坐标.2019年苏州市初中毕业暨升学考试试卷

数学（参考答案与解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题要求的。请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上。.【分析】考察相反数的定义，简单题型【解答】5的相反是为-5故选D.【分析】考察中位数的定义，简单题型【解答】该组数据共5个数，中位数为中间的数：4故选B【解答】26000000=【解答】26000000=2.6xlO74.【分析】考察平行线的性质，简单题型4.【分析】考察平行线的性质，简单题型【解答】根据对顶角相等得到N1=N3=54。根据两直线平行，同旁内角互补得到N3+N2=l80。所以N2=180°-54°=126°故选A.【分析】主要考察圆的切线性质、三角形的内角和等，中等偏易题型【解答】切线性质得到Z8NO=90°.•.ZJOB=90°-36°=54°QOD=OA：./LOAD=NODAQZAOB=ZOAD+ZODA：.ZADC=ZADO=27°故选D.【分析】考察分式方程的应用，简单题型【解答】找到等量关系为两人买的笔记本数量15_24.. - xx+3故选A中等偏易题型7.【分析】考察一次函数的图像与不等式的关系,中等偏易题型【解答】如下图图像，易得Ax+b>l时，x>\故选D【解答】过。作交48于E,DE=BC=18』在R/V4OE【解答】过。作交48于E,DE=BC=18』在R/V4OE中，tan30。="DE.•・J£=18>/3x—=18m3.・.48=18+1.5=19.5m故选C.【分析】考察菱形的性质，勾股定理，中等偏易题型【解答】由菱形的性质得力O=OC=CO'=2,BO=OD=B0=8乙408=40®=90°;V4OE为直角三角形AB'=1心+"。2=762+82=10故选C.【分析】考察相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的高，中等题型【解答】AB1ADfDELAD・•./BAD=/ADE=90°AB!IDE易证VCOE:YCBADCDE解得。C=2VIVN8C的高易得：V2S'ABC=_xBCX5/2=—X45/2Xy/2=4故选B二、填空：本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卡相应位置上11•【解答】/.【解答】x(x-y).【解答】X26.【解答】5.【解答】—2.【解答】—27.【解答】518【解答】14+16友【解析】如右图：过顶点A作AB，大直角三角形底边由题意：CD=e,4C=2：.CO=5&-(2+旬=4>/2-2•••匹解=（5垃）；（4及-2丫==14+16人三、解答题：本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写

出必要得计算过程，推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔..【解答】解：原式=3+2-1二4.【解答】解：由①得x+l<5x<4由②得2(x+4)>3x+72,x+8>3x+7-x>-1x<1所如<1.【解答】解：原式=上当.+土土(x+3) x+3x—3x—3(x+3)x+3x+3x—3x+3代入x=6-3原式=]&-3+322代入x=6-3原式=]&-3+322.【解答】解:(2)12341345235634574567答：从盒子任意抽取一张卡片，恰好抽到标有奇数卡片的概率是L,抽取的2张卡片标有数22字之和大于4的概率为;..【解答】解:(1)参加问卷调查的学生人数为30+(20%)=150(人)；(3)选择“围棋”课外兴趣小组的人数为1200、生=192(人)150 ''答：参加问卷调查的学生人数为150人，加=36,〃=16,选择“围棋”课外兴趣小组的人数为192人..【解答】解：•;NCAF=NB4ENBAC=Z.EAF又;；AE=ABAC=AF二△后位EAF(SAS)EF=BCvAB=AE.^ABC=65°/BAE=180。—65。x2=50°ZFAG=50°又血。EAF/尸=NC=28。ZFGC=50°+28o=78°.【解答】解：(l)过点力作加/_L08交汇轴于点“，交OC于点-OA=AB=2y[w,OB=4:.OH=2・,.AH=6.・2(2,6)，攵=12ioTOC\o"1-5"\h\z(2)将孑孰 y=—x得。(4,3):.BC=31 3-MH=-BC=-2 2AM=-2轴，fitlx・tAH//BCBDCADAM3 ==—BDBC226.【解析】(1)证明：为弧8c的中点，0。为O。的半径:.ODLBC又,.・48为OO的直径:.ZACB=90°jAC//OD(2)证明：为弧5c的中点・，・CD=BD：.4DCB=ZDAC：.\DCEs\DAC.DCDE**DEDA=DC2(3)解：•：l^DCEs\DAC,tanZCAD=-2.CDDECE1

^~DA~^DC~^4C~2设CZ>2a,则OE=*DA=4a又。:AC//OD：.MEC^DEF.CE_AEEFDEQ所以8C=2CE3又4c=2C£即sin/CDA=sinZ.CBA= =—AB527.【解析】(1)2cm/s；10cm(2)①解：,・・在边8c上相遇，且不包含。点。在点C.V・・<”22.5在座1V・2—cm/sVv<6cm/s3②如右图S]+S?=S矩形械:£>一&E4D-SacdmN)—SMBA,g5x(15-2x)5x(2x-5)=75-10 2 2=15过M点做MHA.AC,则MH=-CM="津2 V5S,=-MH-AP=-2x+15'2S2=2xS]§=(-2x+15)-2x=-+30xJ15?225=-4x + I 4J 4因为2.5<义7.5,所以当x=身时，取最大值乌4 4 428.【解析】(1)解：由题意得y=-(x-l)(x-a)D 5 CJ///// 15-2110 /佚、P/ 、、/ 、M(7V)//// 2x-5//了A ► B由图知：a<0所以/（a,0）,B（l,O）,C（O,-a）S/usc=g(l-a)，(-a)=6a=-3或舍=4()•*.a=—3(2)由(1)得4-3,0),5(l,0),C(0,3)直线4c得解析式为：y=x+3AC中点坐标为1-H).'.XC的垂直平分线为：y=-x又的垂直平分线为：x=-lA/48c外接圆圆心的坐标(-1,1).(3)解：过点P做尸。_Lx轴由题意得：PAd,=2d"：△。尸8的面积为2d:•S^bp=S^pq，即“、。两点到。8得距离相等/.AQ//PB设PB直线解析式为;y=x+b过点5(1,0)(舍)易得[x=：(舍)[y=-x-2x+3 [y=5所以尸(-4,-5),由题意及々40=408易得：\ABQ^\QPA：.BQ^AP^y[26设。(加，-1)(m<0)/.(1-/m)2+12=26m=-4初中数学重要公式1、几何计数：(1)当一条直线上有〃个点时，在这条直线上存在条线段.(2)平面内有〃个点，过两点确定一条直线，在这个平面内最多存在条直线.(3)如果平面内有〃条直线，最多存在个交点.(4)如果平面内有〃条直线，最多可以将平面分成部分.

（5）、有公共端点的〃条射线（两条射线的最大夹角小于平角），则存在个角.2、AB//CD,2、AB//CD,分别探讨下面四个图形中N4个与/序氏的关系。3、全等三角形的判定方法：a.三条边对应相等的两个三角形全等（简记为）.b.两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为）.c.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为）.d.两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为）.e.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为）.4、坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心,位似比为上那么位似图形对应点的坐标的比等于.5、〃边形的内角和等于；多边形的外角和都等于.6、在四边形的四个内角中，最多能有—3一个钝角，最多能有—3_个锐角.如果一个多边形的边数增加1,那么这个多边形的内角和增加180—度.4.“边形有条对角线.5,用、完全相同的一种或几种进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠的铺成一片，就是平面图形的.［注意］要实现平面图形的镶嵌，必须保证每个拼接点处的角恰好能拼成°.［总结］平面图形的镶嵌的常见形式(1)用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况：个正三角形或个正四边形或个正六边形.(2)用两种正多边形镶嵌①用正三角形和正四边形镶嵌：个正三角形和个正四边形；②用正三角形和正六边形镶嵌：用个正三角形和个正六边形或者用个正三角形和个正六边形；③用正四边形和正八边形镶嵌：用个正四边形和个正八边形可以镶嵌.(3)用三种不同的正多边形镶嵌用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌，设用加块正三角形、〃块正方形、左块正六边形，则有60朋+90附+12。k=360,整理得,因为加、n、k为整数，所以加=,"=,k=,即用块正方形，块正三角形和块正六边形可以镶嵌.6、梯形常用辅助线做法:4C8=90。，CDL4B于D,/DCB=/A由RtA/ICZ)s4C8=90。，CDL4B于D,/DCB=/A由RtA/ICZ)sRtAC5D得到Cb=ADBD(3),由等积法得到ABxCD=ACxBC8、若将半圆换成正三角形、正方形或任意的相似形，S1+S2=S3都成B屋\A7、如图：RtZ"5C中则有：⑴、/ACD=/B(2)由Rta/IBCsR4CD得至!/AC?=AD•ABRt/\CBD得到BC°=BDAB9、在解直角三角形时常用词语：1.仰角和俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做,视线在水平线下方的叫做.2.坡度和坡角9、在解直角三角形时常用词语：1.仰角和俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做,视线在水平线下方的叫做.2.坡度和坡角通常把坡面的铅直高度h和水平宽度1之比叫,用字母i表示，即1=,把坡面与水平面的夹角叫做,记作a,于是i==tana,显然，坡度越大，a角越大，坡面就越陡.10.正多边形的有关计算、j, 180°边长：an=2Rn,sin n周长：Pn=n•an边心距:180°rn=Rn•cos n面积：Sn=-an•rn'n口〃一2口X180°内角： 外角:360°中心角:360°n11、特殊锐角三角函数值Sina2V22V3TCosa旦2V22j_2tana石~T1百Cota1V3V12、某些数列前n项之和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+l)/21+3+5+7+9+11+13+15+...+(2n-l)=n22+4+6+8+10+12+14+...+(2n)=n(n+1)13、平行线段成比例定理(1)平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

如图：a//b//c,直线A与，2分别与直线人b、c相交与点力、B、C和。、E、n.^ABDEABDEBCEF贝’1有=,=,=0BCEFACDFACDF(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。如图：△ABC中，DE//BC,DE与AB、ZC相交与点。、E,m七ADAEADAEDEDBEC处」r\* = = = = 'DBEC'ABACBC'ABAC14、极差、方差与标准差计算公式:①极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值；②方差：数据再、X2,的方差为$2,③标准差:数据X］、x2 ,X”的标准差S,一组数据的方差越大，这组数据的波动越大。15、求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：y=ax2++c=afx+—~.,.顶点是TOC\o"1-5"\h\zv 2aJ 4a/b4ac—b2x.,,,,口上加b( , ),对称轴是直线X= o2a4a 2a②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a(x-//y+A•的形式,得到顶点为(//,%),对称轴是直线x=〃。③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。若已知抛物线上两点(x”y)、(x2，y)(及y值相同)，则对称轴方程可以表示为：x=±也216、直线与抛物线的交点①y轴与抛物线y=ax2+bx+c得交点为(0,c)。②抛物线与x轴的交点。二次函数歹=ax?+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标X］、x2,是对应一元二次方程ax2+hx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：a有两个交点<=>(△>())<=>抛物线与x轴相交；b有一个交点(顶点在x轴上)<=>(△=())<=>抛物线与x轴相切；C没有交点<=>(△<())<=>抛物线与X轴相离。③平行于X轴的直线与抛物线的交点同②一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为左，则横坐标是a?+bx+c=斤的两个实数根。④一次函数y=kx+n(kw0)的图像/与二次函数y=ax'+bx+c(a#0)的图y— +〃像G的交件，由方程组",的解的数目来确定：< y=ax+bx+ca方程组有两组不同的解时。/与G有两个交点；b方程组只有一组解时<=>/与G只有一个交点；c方程组无解时。/与G没有交点。⑤抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交.点为/(xjO)5(x2,0),则/5=k[一42]图形的定义、性质、判定一、角平分线性质：角的平分线上的点到角两边的相等.判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在上.二、线段垂直平分线.性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离..判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上.［点拨］线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点距离相等的所有点的集合.三、等腰三角形定义、性质：.定义：有两相等的三角形是等腰三角形..性质：(1)等腰三角形两个腰.(2)等腰三角形的两个底角(简写成等边对等角).(3)等腰三角形的顶角,底边上的,底边上的互相重合.(4)等腰三角形是轴对称图形，有条对称轴.［注意］(1)等腰三角形两腰上的高相等.(2)等腰三角形两腰上的中线相等.(3)等腰三角形两底角的平分线相等.(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行.(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高.判定：1.定义法.2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写为“等角对等边”).［注意］(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形.(2)一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.(3)一边上的中线与三角形中这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.四、等边三角形.等边三角形的性质(1)等边三角形的三条边都相等.(2)等边三角形的三个内角都相等并且每一个角都等于60°.(3)等边三角形是轴对称图形，并且有条对称轴.［注意］等边三角形具有等腰三角形的所有性质..等边三角形的判定(1)三条边相等的三角形叫做等边三角形.(2)三个角相等的三角形是等边三角形.(3)有一个角等于60°的三角形是等边三角形五、直角三角形.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形..直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角.(2)直角三角形的斜边上的中线等于斜边的.(3)在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的.(4)在直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30度。(5)、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么出+"=..直角三角形的判定(1)、判定：如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是三角形.(2)、如果三角形的三边长分别为a、b、c,满足/+62=。2,那么这个三角形是 三角形.(3)、如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。(4)、直径所对的圆周角是90度。(5)、如果一个三角形的外心在三角形的一条边上，那么这个三角形是直角三角形。(6)、圆的切线垂直于过切点的半径。六、相似三角形.相似三角形的对应角,对应边的比.相似多边形对应角相等，对应边的比.相似多边形周长的比等于.相似多边形面积的比等于的平方..相似三角形的周长比等于..相似三角形的面积比等于相似比的.［注意］相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比.判定定理：.如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似..如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似..如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.［注意］直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形都相似.七、位似图形.定义：两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做.［注意］位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形..位似图形的性质(1)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于.(2)对应线段互相..坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于.八、平行四边形.定义：两组对边分别的四边形是平行四边形；.平行四边形的性质(1)平行四边形的两组对边分别；(2)平行四边形的两组对边分别；(3)平行四边形的两组对角分别；(4)平行四边形的对角线互相.［总结］平行四边形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点.判定：1.定义法.2,两组对角分别的四边形是平行四边形.3,两组对边分别的四边形是平行四边形.4,对角线的四边形是平行四边形・一组对边平行且的四边形是平行四边形.九、矩形.矩形的定义有一个角是直角的是矩形•.矩形的性质(1)矩形对边；(2)矩形四个角都是角(或矩形四个角都相等)；(3)矩形对角线、 --［总结］(1)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形;.矩形的判定(1)定义法；(2)有三个角是直角的是矩形；(3)对角线相等的一是矩形.十、菱形1.菱形的定义一组邻边相等的是菱形..菱形的性质(1)菱形的四条边都;(2)菱形的对角线互相,互相,并且每一条对角线平分一组对角：(3)菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点;菱形也是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴，［注意］菱形的面积：(1)由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积=底乂高；(2)因为菱形的对角线互相垂直平分，所以其对角线将菱形分成4个全等三角形，故菱形的面积等于两对角线乘积的..菱形的判定(1)定义法；(2)对角线互相垂直的是菱形；(3)四条边都相等的是菱形.十一、正方形.正方形的定义有一组邻边相等的是正方形..正方形的性质(1)正方形对边平行；(2)正方形四边相等；(3)正方形四个角都是直角;(4)正方形对角线相等，互相,每条对角线平分一组对角；(5)正方形既是轴对称图形也是中心对称图形，对称轴有四条，对称中心是对角线的交点..正方形的判定(1)定义法；(2)有一个角是直角的是正方形.［注意］矩形、菱形、正方形都是平行四边形，且是特殊的平行四边形.矩形是有一内角为直角的平行四边形；菱形是有一组邻边相等的平行四边形；正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一内角为直角的菱形.十二、中点四边形.定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形..常用结论：(1)任意四边形的中点四边形是平行四边形；(2)对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；(4)对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形.十三、等腰梯形.等腰梯形在同一底上的两个角..等腰梯形的两条对角线.［总结］(D等腰梯形两腰相等、两底平行；(2)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴.判定:.定义法;.同一底上的两个角的梯形是等腰梯形.［注意］等腰梯形的判定方法：(1)先判定它是梯形；(2)再用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形.十四、三角形外心和内心(1)三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.三角形的内心就是三内角角平分线的交点。(2)三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形的外心就是三边中垂线的交点.常见结论：①RtZ\ABC的三条边分别为：a、b、c(c为斜边)，则它的内切圆S=—lr②AABC的周长为，，面积为S,其内切圆的半径为r,则2(3)、内心到三角形三边距离相等。(4)、外心到三角形三个定点的距离相等。(5)、锐角三角形的外心在三角形内部；钝角三角形的外心在三角形的外部,直角三角形的外心在斜边的中点处。初中数学重要公式1、几何计数：(1)当一条直线上有〃个点时，在这条直线上存在条线段.

(2)平面内有〃个点，过两点确定一条直线，在这个平面内最多存在条直线.(3)如果平面内有〃条直线，最多存在个交点.(4)如果平面内有”条直线，最多可以将平面分成部分.(5)、有公共端点的〃条射线(两条射线的最大夹角小于平角)，则存在个角.2、AB//CD,分别探讨下面四个图形中与/用8、NP龙的关系。3、全等三角形的判定方法：a.三条边对应相等的两个三角形全等(简记为).b.两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简记为）.c.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简记为）.d.两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简记为）.e.斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简记为）.4、坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，位似比为上那么位似图形对应点的坐标的比等于.5、〃边形的内角和等于；多边形的外角和都等于.6、在四边形的四个内角中，最多能有_3一个钝角，最多能有_3一个锐角.如果一个多边形的边数增加1,那么这个多边形的内角和增加180_度.4.〃边形有条对角线.5、用、完全相同的一种或几种进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠的铺成一片，就是平面图形的.［注意］要实现平面图形的镶嵌，必须保证每个拼接点处的角恰好能拼成°.［总结］平面图形的镶嵌的常见形式（1）用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况：个正三角形或个正四边形或个正六边形.（2）用两种正多边形镶嵌①用正三角形和正四边形镶嵌：个正三角形和个正四边形；②用正三角形和正六边形镶嵌：用个正三角形和个正六边形或者用个正三角形和个正六边形；③用正四边形和正八边形镶嵌：用个正四边形和个正八边形可以镶嵌.（3）用三种不同的正多边形镶嵌

用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌，设用〃?块正三角形、〃块正方形、左块正六边形，则有60加+90〃+120%=360,整理得,因为根、〃、k为整数，所以m=,〃=,k=,即用块正方形，块正三角形和块正六边形可以镶嵌.6、梯形常用辅助线做法：7、如图：中,则有：7、如图：中,则有：⑴、/ACD=/BZACB=90°,CD上4B于D,AZDCB=ZA(2)由RtAABCs(2)由RtAABCsRtA^CD得至!/AO=AD-AB由RtA^BCsRtACBD得至=BDAB由Rt/^ACDsRtAC5Z)得到CN=ADBD8、(3),由等积法得到ABxCD=ACx8、若将半圆换成正三角形、正方形或任意的相似形，S1+52=S3都修B9、在解直角三角形时常用词语：.仰角和俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做,视线在水平线下方的叫做..坡度和坡角通常把坡面的铅直高度h和水平宽度1之比叫,用字母i表示，BPi=,把坡面与水平面的夹角叫做.记作a,于是i==tana,显然，坡度越大，a角越大，坡面就越陡.10.正多边形的有关计算

180°边长：an—2Rn•sin周长：Pn=n•ann- 180°工 1边心距：rn—Rn•cos面积：Sn^~an•rn'nn2Dn-2QX180°360°360°内角： n外角： 中心角:nnX30,X30,45"60°Sina2y/22V32CosaV3VV22j_2tanaV3~T1V3Cota1V3T11、特殊锐角三角函数值12、某些数列前n项之和1+2+3+4+5+6+7+8+94-...+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+...+(2n-l)=n22+4+6+8+10+12+14+...+(2n)=n(n+1)13、平行线段成比例定理(1)平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如图：a//b//c,直线A与A分别与直线口、b、c相交与点4、B、C和D、E、F,e七ABDEABDEBCEF则有——=,=,=OBCEFACDFACDF(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的

对应线段成比例。如图：△/8C中，DE//BC,DE与AB、4c相交与点0、E,ADAEADAEDEDBEC贝ij有-= = ==''DBEC'ABACBC'ABAC14、极差、方差与标准差计算公式:①极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得

到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值;②方差:数据X］、x2 , 的方差为③标准差:数据X］数据X］、x2 ,X“的标准差S,一组数据的方差越大，这组数据的波动越大。15、求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法:y=ax①公式法:y=ax^bx+c=ax+^I2a24ac-b2+ 4a，，顶点是b2a4M二”),对称轴是直线x=-2b2a4(7 2a②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a(x-〃)2+左的形式,得到顶点为(/»,女),对称轴是直线x=〃。③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。若已知抛物线上两点(芭,歹)、&2))(及y值相同)，则对称轴方程可以表示为：x=216、直线与抛物线的交点①y轴与抛物线y=ax2+bx+c得交点为(0,c)。②抛物线与X轴的交点。二次函数y=ax'+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标X］、x2,是对应一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：a有两个交点=(△>0)<=>抛物线与x轴相交；b有一个交点(顶点在x轴上)o(△=0)。抛物线与x轴相切；c没有交点o(A<0)<=>抛物线与x轴相离。③平行于X轴的直线与抛物线的交点同②一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为％,则横坐标是ox?+瓜+。=后的两个实数根。④一次函数y=kx+n(kH0)的图像/与二次函数y=ax1+bx+c(aw0)的图y=Ax+〃像G的交传，由方程组. ， 的解的数目来确定：《 y-ax+bx+ca方程组有两组不同的解时o/与G有两个交点；b方程组只有一组解时o/与G只有一个交.点；c方程组无解时o/与G没有交点。⑤抛物线与X轴两交点之间的距离：若抛物线^=QX?+bx+c与X轴两交点为4(再,0)fi(x2,0),则45=|石-引图形的定义、性质、判定图形的定义、性质、判定一、角平分线性质：角的平分线上的点到角两边的相等.判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在上.二、线段垂直平分线.性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离..判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上.［点拨］线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点距离相等的所有点的集合.三、等腰三角形定义、性质：.定义：有两相等的三角形是等腰三角形..性质：(1)等腰三角形两个腰.(2)等腰三角形的两个底角(简写成等边对等角).(3)等腰三角形的顶角,底边上的,底边上的互相重合.(4)等腰三角形是轴对称图形，有条对称轴.［注意］(1)等腰三角形两腰上的高相等.(2)等腰三角形两腰上的中线相等.(3)等腰三角形两底角的平分线相等.(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行.(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰的距离之差等于一腰上的高.判定：.定义法..如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写为“等角对等边”).［注意］(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形.(2)一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.(3)一边上的中线与三角形中这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.四、等边三角形.等边三角形的性质(1)等边三角形的三条边都相等.(2)等边三角形的三个内角都相等并且每一个角都等于60°.(3)等边三角形是轴对称图形，并且有条对称轴.［注意］等边三角形具有等腰三角形的所有性质..等边三角形的判定(1)三条边相等的三角形叫做等边三角形.(2)三个角相等的三角形是等边三角形.(3)有一个角等于60°的三角形是等边三角形五、直角三角形.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形..直角三角形的性质(1)直角三角形的两个锐角.(2)直角三角形的斜边上的中线等于斜边的.(3)在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的.(4)在直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30度。(5)、勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么+b2=..直角三角形的判定(1)、判定：如果一个三角形中有两个角互余，那么这个三角形是三角形.(2)、如果三角形的三边长分别为a、b、C,满足/+62=。2,那么这个三角形是 三角形.(3)、如果一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。(4)、直径所对的圆周角是90度。(5)、如果一个三角形的外心在三角形的一条边上，那么这个三角形是直角三角形。(6)、圆的切线垂直于过切点的半径。六、相似三角形.相似三角形的对应角,对应边的比.相似多边形对应角相等，对应边的比.相似多边形周长的比等于.相似多边形面积的比等于的平方..相似三角形的周长比等于..相似三角形的面积比等于相似比的.［注意］相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线