江苏省泰州市2022-2023学年高三上学期9月期初调研考试数学试题（含答案）

2022-2023学年秋学期高三年级期初调研考试

数学学科试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小即给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。.设全集£/={-3,-2,-1,I.2.3},集合4={-1,I},8={1,2.3},则=（）A.⑴ B.{1,2} C.{2.3} D.{1.2.3}.已知复数z=乂（其中i为虚数单位），则z的共扰复数为（ ）A.-g+giB.-g—C.y+yi D./一.已知向搔石清足网=2,倒=1,aii，若+应，则实数％的值为（）A.2 B.2>/3 C.4 D.J.《算数书》是已知最早的中国数学著作，于上世纪八十年代出土，大约比现有传本的《九章算术》还要早近二百年.《算数书》内容丰富，有学者称之为“中国数学史上的重大发现”.在《算数书》成书的时代，人们对圆周率的认识不多，用于计算的近似数与真实值相比误差较大.如书中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.此术相当于给出了圆锥的体积，的计算公式为上。％,其中A和力分别为圆锥的底面周长和高.这说明，该书的作者是将圆周率近似地取为（）A.3.00 B,3.14 C,3.16 D,3.20.+的展开式中，一次项的系数与常数项之和为（）A.33 B.34 C.35 D.36.已知函数/（“）=$加（0工+?）（。>0,0<^<1）的部分图象如图所示，则/（冗）的值为（ ）.若。=§诂1+所1,6=2,c=In4+,则跖b,c的大小关系为（ ）A.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D,b<c<a.某旅游景区有如图所示1至H共8个停车位,现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车,要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（ ）A.288 B.336 C.576 D.1680二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得2分。.已知a,〃是两个不重合的平面，m,"是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A.若<n1a,"〃/，则a_L4B.若杨1a,nIla,则”1.”C.若a〃伉mua,则m〃/D.若alip.则成与a所成的角和“与尸所成的角相等10.在AiSC中，己知tang=sin（/l+8）,则以下四个结论正确的是（ ）.A.cos/cos8最大值: B.sin4+sin8圾小值IC.tan力+tan8的取值范围是［2,+8） D.sin'月+si/3+sin2c为定值.在数列｛%｝中，对于任意的〃wN'都有。“>0,且4「凡“=4，则下列结论正确的是A.对于任意的"Z2,都有%>t B.对于任意的4>0,数列｛%｝不可能为常数列C.若0<a,<2,则数列｛叫｝为递增数列D.若q>2,则当q2时，2<a”<q.己知0vx<y<T,e-,sinx=eIsin>,则（ ）A.sinx<sinyB.cosx>-cosyc.sinx>cosj^D.co&r>siny三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。.已知八钻。内角4B,C的对边分别为a,b,c,那么当a=时，满足条件“b=2,/=30'”的△A3C有两个.（仅写出一个a的具体数值即可）.老师要从6篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某位同学只能背出其中的4篇，则该同学能及格的概率是..在圆N+/-2x-6y=0内，过点E（0,I）的最长弦和最短弦分别为/C和BD,则四边形ABCD的面积为.已知/")为/(x)的导函数，且满足"0)=1,对任意的“总有2/'(x)-/(x)>2,则不等式f(x)+223e2的解集为1四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。.在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosfl(V3o-6sinC)=isinBcosC⑴求B；(2)若c=2a,A4BC的面积为空，求“Be的周长., 3.已知等差数列｛。*｝的前n项和为2，a,=2,S,=26.正项等比数列｛4｝中，4=2,4+4=12.(1)求｛。.｝与｛4｝的通项公式；⑵求数列｛a/,｝的前"项和7；..某学校对男女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男女生人数均为统计得到以下2x2列联表，经过计算可得K2a4.040.男生女生合计喜欢6/1不喜欢5n合计IQn10〃(1)完成表格求出n值，并判断有多大的把握认为该校学生对长跑的喜欢情况与性别有关；(2)①为弄清学生不喜欢长跑的原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名女生”的概率；②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对长跑喜欢的人数为％求X的数学期望.附表：pg%)0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)..如图，已知正方形/8CD和矩形HCEF所在的平面互相垂直，AB=41'AF=t,M是线段所的中点.⑴求证：，河//平面8。£;⑵若线段上总存在一点P，使得户尸1BE,求r的最大值.21.已知椭圆E:=1(£3＞占＞0)的右焦点为居,上顶点为比0为坐标原点，/。吹=21.已知椭圆E:点卜9)在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程；⑵设经过点月且斜率不为0的直线I与椭圆E相交于A,B两点，点9(-2,0),2(2,0).若M,N分别为直线AP,BQ与y轴的交点，记/MPQ，4NPQ的面积分别为$4即(?，求产•的值、4NPQ22.已知函数/(*)=与和g(x)=也有相同的最大值.e ax(I)求a；(2)证明：存在直线尸b,其与两条曲线y=/a)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.2022-2023学年秋学期高三年级期初调研考试

数学学科试卷参考答案cD【分析】先利用复数的除法运算化简，再利用复数的共腕复数的定义求解.ii(l-i)1]【详解】解：因为2=币=不品言所以2=g-gi,故选：DC【分析】根据平面向量数量积的运算即可求出结果.【详解】因为£上击所以＞5=0,依题意+ =卜彳一2恸一(A—l)a•石=4—4=0,则2=4,故选：C.A【分析】由圆的周长公式可得半径，再由圆锥体积公式结合己知可得.【详解】因为£=2门，所以"二，"3.故选：A.D【分析】先求出一次项的系数与常数项，再求和即可【详解】因为(x+以的通项公式为=C；/T=C；x»,所以(x+l)(j+l)的展开式中，一次项的系数为2C；+C：=25,常数项为C；+2C：=11,所以一次项的系数与常数项之和为25+11=36,故选：DC【分析】利用给定图象求出P,进而求出。即得函数/(x)解析式，再代入求解作答.【详解】由/(0)=sin9=,0<”曰，得9=g，由。,如+E=®,*eZ,又q>0,得0=153 4 4观察图象知，，<>

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1-41^2竺15竺15解得则左=1,3=3,因此，/(x)=sin(-x+y),所以f(;t)=sinf|"+1)=si呜■+?=；.故选：CA解析：令/(x)=21nx+』-*,则/，(幻=2+=一1二+”!=二(丁)、0,则〃x)在定义域(0,+8)上单调递减，所以/(2)</⑴=0,即2in2+；-2<0,所以g4+；<2,即b>c,^g(x)=sinx+tanx-2x,x ,则g[X)=8SX+-\——2=9厂2缪N因为人^。，5),所以cosxw(0,l),令力(x)=--2/+l,Xe(0,1),则/f,(x)=3x2-4x=x(3x-4)<0,即力(x)在(0,1)上单调递减，所以A(x)>，1)=0,所以g'3>0,即g(x)在(0微)上单调递增，所以g⑴Ag(0)=0,即sinl+tanl-2>0,即sin1+tan1>2.即a>6,综上可得a>b>c；故选：A.BBCD【分析】根据线面、面面关系的性质定理与判定定理判断即可；【详解】解：对于A.若mL",mJ.a,«///?,则a，？或a与6平行或，a与尸相交不垂直，故A错误；对于B::"〃a,设过n的平面广与a交于。，则"//a,又mJ.a,m1a,mJ.n,.'.B正确；对于C：〃乃，「.a内的所有直线都与月平行，且mua,〃夕，正确；对于D：根据线面角的定义，可得若m〃“，allp,则m与a所成的角和“与力所成的角相等，故D正确.故选：BCD.ACDACDABC【分析】将e，sinx=e"si取变为曰=三吆结合指数函数的性质，判断A;构造函数esmx/(x)=—,xe(o,n-),求导，利用其单调性结合图象判断x,y的范围，利用余弦函数单调性,sinx判断B;利用正弦函数的单调性判断C,结合余弦函数的单调性，判断D.【详解】由题意，0<xvy<科e,vsinx=ersiny,得y-x>0,e^_suvt/*>1，・,.siny>sinx,A对；exsinx smx二—=-r->令/(x)=』一,xw(0,7r),即有/(x)=/3),smysinx/sinx令八处=37吧—,sinx 4/⑴在(o,9上递减，在停,，上递增，因为/(x)=/(>),：.Q<x<^-<y<TC,：.cos（7t-y）<co3x,：.cosx>-cosy,b对;结合以上分析以及图象可得X+y>],二*〉]->,an nnnM—<y-y<-,/.sinx>sin|=cos.y,C对；由C的分析可知，2 2 4一在区间【-三刍上，函数产COSX不是单调函数，即cos（［r）<cosx不成立，即24 2sin〉vcosx不成立，故D错误；故选：ABC.【点睛】本题综合考查了有条件等式下三角函数值比较大小问题，设计指数函数性质，导数的应用以及三角函数的性质等，难度较大，解答时要注意构造函数，数形结合，综合分析，进行解答.1.5（答案不唯一〉l<a<2.解：由正弦定理得一—=一"，所以sin8=L,由a/8C有两个得8有两个，可能为锐sin>4smB a角，也可能为钝角，所以8>/，sin5<l,所以b>a,-<1,即l<a<2.故答案为：1.5（答案不唯一）4-##0.85【分析】考虑对立面，用】减去只能背出1篇的概率即可.【详解】P=1-警4故答案为：P10及【分析】先求出最长弦和最短弦，再计算面积即可.V圆的标准方程为（X-I）2+（y-3）2=10,则圆心“，3）半径/=5/元，由题意知最长弦为过E点的直径，最短弦为过E点和这条直径垂直的弦，§PACLBD,且N。=2布，圆心和E点之间的距离为小("0)2+(3-1)2=&故|阴=2,(而丫-(国=2等,所以四边形48CD的面积为S=|pC||BD|=|x2而x2指=10及.故答案为：10拉.［0,-h»)##{x|jtS0)【分析】构造新函数g(M=T~,利用已知条件2/'(x)-/(x)>2,可以判断g(x)单「调递增，利用g(x)的单调性即可求出不等式的解集I详解】设函数g(加组士则g,(「吁廿［外)+2］2处呼又•••2/'(x)-/(x)>2.•.g'(x)>0所以g(x)在R上单调递增，又g(0)=/(0)+2=3故不等式/(x)+223e：可化为g(x)Ng(。)由g(x)的单调性可得该不等式的解集为［0,2).故答案为：［。,+°0)⑴？⑵26+2【分析】(1)利用三角函数恒等变换公式和正弦定理对已知式子化简变形，可求出角&(2)由三角形的面积和c=2a,3=(,可求出a,c的值，再利用余弦定理求出6,从而可求出三角形的周长,/cosB(4^a-Z?sin =/>sin5cosC,V3acos5-bcos5sinC=5sin5cosCSacos5=bsin8cosc+6cos8sinC，，当acosB=bsin(8+C)=bsiM由正弦定理可得：氐igcosB=sin5sin4,Vsin^#O,V3cos5=sin^»-**tan=V3»V5e(O,^r)/.5=y："BC的面积为^；Lesin8 ，得ac=5，二，c=2q,，2a?=»,TOC\o"1-5"\h\z3 2 4 3 3 3a>0»:.a=24一,•**c=2a= »由余弦定理可得3 3b2=a2+c2-2accos8=±+3-2x^^x^^x1=4,二"〉。，.•・6=2,；・三角形的周长33 3 3 2为a+b+c= +2+ =2力+23 318.⑴4=3〃-1,4二2"⑵7；=(3〃-4)2叫8【分析】(1)由等差数列的通项公式与求和公式，等比数列的通项公式求解即可;(2)由错位相减法求解即可(I)设等差数列的公差为d,4x3由已知得，4x2+、±d=26,解得d=3,所以a,,=q+(“_|)d=2+3(nT)=3”-l,即｛4｝的通项公式为%=3“-1：设正项等比数列上｝的公比为g,(g>0),因为4=2,4+4=12,所以21+/)=12,所以/+g-6=0,解得g=2或g=-3(负值舍去)，所以4=2".(2)3(3〃-1)2”,所以。=2x2'+5x22+8*2'+・“+(3”4)2"+伽-1p”,所以27；=2x2Z+5x2'+8x2'+…+(3n-4)2"+(3n-l)2"”,相减得，-7；=2x2'+3x22+3x2'+3x2'+-+3-2"-(3〃-l)2"“,3x22x(1-2"-'), 、,=2x2'+ ^-(3"-1)2””，1—2所以看=(3"-4)2""+8.(1)列联表答案见解析，«=20,有95%的把握认为该校学生对长跑喜欢情况与性别有关；(2冠条吟【分析】(1)利用给定数据完善2x2列联表，计算K?的观测值即可求出大再与临界值表比对作答.(2)①利用分层抽样求出抽取的9人中男女生人数，再利用古典概型结合对立事件概率求解作答；②利用二项分布的期望公式计算作答.(1)2/2列联表如下表所示:男生女生合计喜欢6n5n\\n不喜欢4n5n9n合计10nlOn20〃八爷粽^^翁'CM。，而”—。，又K-L所以有95%的把握认为该校学生对长跑喜欢情况与性别有关.(2)①采用分层抽样的方法从调查的不喜欢长跑的学生中随机抽取9人，这9人中男生的人数为4,女生的人数为5,再从这9人中抽取3人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”C34 20 11的概率为P=1-旨=1-^=条②由⑴知，任抽1人喜欢长跑的概率p=/,依题意,5(10,21),所以X的数学期望是E(X)=10x[=:(1)证明见解析⑵戏【分析】(1)设HCnBO=。，连接。Ag通过证明HM//OE即可得出：(2)设于"B，求出所丽，利用万.施=0求出-2(1-为+尸=0,即可得出，的最大值.(1)设力cnBO=。，连接。“，因为R88是正方形，所以。是4c中点，又因为4CEF是矩形，A/是线段E尸的中点，所以4。//反“，4。=瓦蟆,所以四边形4。£：“为平行四边形，所以4W〃OE,又如W0平面8QE,OEu平面B0E,所以4"〃平面8DE;(2)正方形48cB和矩形HCEF所在的平面互相垂直，则可得CD,CB,C£两两垂直，则可以C为原点建立如图所示空间直角坐标系，应，友,0),C{0,0,0),E(0,0j),贝IJC/t=(V2,V2,0),因为点户在线段4c上，设岳=20，其中Aw[0,1],则而=(五1,应4,0),从而尸点坐标为(总,右人0),于是麻=(友-衣1,尤-应/)，而酝=(0,-&,，)，贝！)由尸尸可知而•诙=0,SP-2(1-A)+?=O,所以『=2(1-勾42,解得”④，故/的(1)—+^-=143【分析】⑴由NOH居=30。，得占=底，再将点回代入椭圆方程中，结合a-2可

求出a,b,从而可求出椭圆方程,（2）设直线/次=叩+1,A（x„y,）,8（xqJ,将直线方程代入椭圆方程消去x,整理后利用根与系数的关系，可得m），,”=告（必+%），表示出直线人「的斜率4=一三，直线3。的2 士十/y2 SAUPQ \0M\Ik,I斜率与=斜率与=x22 S&npq ljpg|.|OAr||ON|\k2\(1)由/吵=30。，得6=辰（c为半焦距）,'•,点在椭圆E上，则4_+_^t=LI2/ a24b又02=从+《2，解得。=2,6=6，c=l.・•・椭圆E的方程为=+^=1.43（2）由⑴知6（1,0）.设直线/：入=啊+1,4（xq38（々,必）.x=my+\由/y2，消去x,得(3川+4)/+6用.”9=0.4 3显然加2+1)>0.mi ~6m -9则，+%=E'必必=嬴才*'•四必=,（必+必）.由尸（-2,0）,0（2,0）,得直线AP的斜率*,=±,直线3。的斜率自=-^、.玉+Z X?-2又同=耨，比卜需,1。用1。。1=2'.M=M.s-扔加°"1」。”|_%||。乂|卜?1 5△，旧；|尸如。川同.工乂（演-2）/（*1）=见匕％-乂=孤+/）-必 =i飞（演+2）%（町+3）乃-孙力+3厂|（,+%）+3%-11+"-3SbNPQ3SbNPQ322.(1)a=l；(2