高中数学人教A版(浙江)选修2-2课件：132函数的极值与导数

1.3.2函数的极值与导数目标定位

1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.1.3.2函数的极值与导数目标定位1.了解函数极值的概念f′(x)＜01.极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值

如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_______，右侧_________，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.自

主

预

习f′(x)＞0f′(x)＜01.极值点与极值的概念自主预习f′(x)(2)极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧________，右侧_________，则把点b叫做函数_______的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值._________、_________统称为极值点，________和________统称为极值.f′(x)＞0f′(x)＜0y＝f(x)极大值点极小值点极大值极小值(2)极大值点与极大值f′(x)＞0f′(x)＜0y＝f(2.求函数y＝f(x)的极值的方法

解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是_______. (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是________.极大值极小值2.求函数y＝f(x)的极值的方法极大值极小值即

时

自

测1.思考题 (1)极大值一定比极小值大吗？

提示不一定.由函数的图象容易得出函数的极大值也可能比极小值还小. (2)导数值为0的点一定是函数的极值点吗？

提示导数值为0的点不一定是函数的极值点，还要看在这一点附近导数的正负情况.即时自测2.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图，则(

)A.函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B.函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C.函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D.函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点2.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图，则解析f(x2)＝0，x＜x2时，f′(x)＞0，x＞x2时，f′(x)＜0；f(x3)＝0，x＜x3时，f′(x)＜0，x＞x3时，f′(x)＞0，所以x2为极大值点，x3为极小值点.答案

A解析f(x2)＝0，x＜x2时，f′(x)＞0，x＞x2时3.函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有(

) A.极大值5，极小值－27 B.极大值5，极小值－11 C.极大值5，无极小值 D.极小值－27，无极大值

解析y′＝3x2－6x－9，令y′＝0得x1＝－1，x2＝3，

又－2＜x＜2，∴x＝－1，当x＜－1时，y′＞0， x＞－1时，y′＜0，∴x＝－1时，y极大值＝5.

答案

C3.函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有()4.函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________.

解析f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2，当x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，所以x＝2时，f(x)取得极小值.

答案

24.函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为_______高中数学人教A版(浙江)选修2-2课件：132函数的极值与导数解

f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.由f′(x)＞0得x＜－2或x＞2；由f′(x)＜0得－2＜x＜2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：解f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，规律方法求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.规律方法求可导函数f(x)的极值的步骤：【训练1】判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由. (1)y＝8x3－12x2＋6x＋1； (2)y＝x|x|；【训练1】判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值高中数学人教A版(浙江)选修2-2课件：132函数的极值与导数高中数学人教A版(浙江)选修2-2课件：132函数的极值与导数类型二利用函数极值确定参数的值【例2】已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1. (1)求常数a，b，c的值；(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.类型二利用函数极值确定参数的值高中数学人教A版(浙江)选修2-2课件：132函数的极值与导数高中数学人教A版(浙江)选修2-2课件：132函数的极值与导数规律方法(1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.规律方法(1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导【训练2】已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值.【训练2】已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－类型三函数极值的综合应用(互动探究)【例3】已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R). (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)若对任意a∈[3，4]，函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围.类型三函数极值的综合应用(互动探究)[思路探究]探究点一利用导数求函数的单调区间，其实质是什么？提示其实质是解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为增区间，解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为减区间.探究点二当函数的解析式中含有参数时，一般的处理思路是什么？提示解决含参数的函数问题时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域，通过分类讨论把问题划分为若干个局部问题解决.探究点三函数f(x)在R上有三个零点的实质是什么？提示其实质是f(x)极大值＞0且f(x)极小值＜0.[思路探究]高中数学人教A版(浙江)选修2-2课件：132函数的极值与导数高中数学人教A版(浙江)选修2-2课件：132函数的极值与导数规律方法用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数.规律方法用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.【训练3】设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围.【训练3】设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.高中数学人教A版(浙江)选修2-2课件：132函数的极值与导数高中数学人教A版(浙江)选修2-2课件：132函数的极值与导数[课堂小结]1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题.[课堂小结]1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(

)1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示A.无极大值点，有四个极小值点B.有三个极大值点，两个极小值点C.有两个极大值点，两个极小值点D.有四个极大值点，无极小值点解析在x＝x0的两侧，f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点.答案

CA.无极大值点，有四个极小值点2.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(

) A.－1＜a＜2 B.－3＜a＜6 C.a＜－1或a＞2 D.a＜－3或a＞6

解析f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.

答案

D2.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极3.设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________.答案

93.设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(4.已知函数f(x)＝x2ex，求f(x)的极小值和极大值.解f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝x(x＋2)ex，f(x)与f′(x)的变化情况如表：x(－∞，－2)－2(－2，0)0(0，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大↘极小↗故当x＝－2时，f(x)取得极大值为f(－2)＝4e－2，当x＝0时，f(x)取得极小值为f(0)＝0.4.已知函数f(x)＝x2ex，求f(x)的极小值和极大值.1.3.2函数的极值与导数目标定位

1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件.1.3.2函数的极值与导数目标定位1.了解函数极值的概念f′(x)＜01.极值点与极值的概念 (1)极小值点与极小值

如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧_______，右侧_________，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值.自

主

预

习f′(x)＞0f′(x)＜01.极值点与极值的概念自主预习f′(x)(2)极大值点与极大值如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧________，右侧_________，则把点b叫做函数_______的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值._________、_________统称为极值点，________和________统称为极值.f′(x)＞0f′(x)＜0y＝f(x)极大值点极小值点极大值极小值(2)极大值点与极大值f′(x)＞0f′(x)＜0y＝f(2.求函数y＝f(x)的极值的方法

解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是_______. (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是________.极大值极小值2.求函数y＝f(x)的极值的方法极大值极小值即

时

自

测1.思考题 (1)极大值一定比极小值大吗？

提示不一定.由函数的图象容易得出函数的极大值也可能比极小值还小. (2)导数值为0的点一定是函数的极值点吗？

提示导数值为0的点不一定是函数的极值点，还要看在这一点附近导数的正负情况.即时自测2.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图，则(

)A.函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B.函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C.函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D.函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点2.已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图，则解析f(x2)＝0，x＜x2时，f′(x)＞0，x＞x2时，f′(x)＜0；f(x3)＝0，x＜x3时，f′(x)＜0，x＞x3时，f′(x)＞0，所以x2为极大值点，x3为极小值点.答案

A解析f(x2)＝0，x＜x2时，f′(x)＞0，x＞x2时3.函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有(

) A.极大值5，极小值－27 B.极大值5，极小值－11 C.极大值5，无极小值 D.极小值－27，无极大值

解析y′＝3x2－6x－9，令y′＝0得x1＝－1，x2＝3，

又－2＜x＜2，∴x＝－1，当x＜－1时，y′＞0， x＞－1时，y′＜0，∴x＝－1时，y极大值＝5.

答案

C3.函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有()4.函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为________.

解析f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2，当x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，所以x＝2时，f(x)取得极小值.

答案

24.函数f(x)＝x3－3x2＋1的极小值点为_______高中数学人教A版(浙江)选修2-2课件：132函数的极值与导数解

f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.由f′(x)＞0得x＜－2或x＞2；由f′(x)＜0得－2＜x＜2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：解f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，规律方法求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)确定函数的定义域，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.规律方法求可导函数f(x)的极值的步骤：【训练1】判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值；若无极值，请说明理由. (1)y＝8x3－12x2＋6x＋1； (2)y＝x|x|；【训练1】判断下列函数是否有极值，如果有极值，请求出其极值高中数学人教A版(浙江)选修2-2课件：132函数的极值与导数高中数学人教A版(浙江)选修2-2课件：132函数的极值与导数类型二利用函数极值确定参数的值【例2】已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1. (1)求常数a，b，c的值；(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值.类型二利用函数极值确定参数的值高中数学人教A版(浙江)选修2-2课件：132函数的极值与导数高中数学人教A版(浙江)选修2-2课件：132函数的极值与导数规律方法(1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.规律方法(1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导【训练2】已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值.【训练2】已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－类型三函数极值的综合应用(互动探究)【例3】已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R). (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)若对任意a∈[3，4]，函数f(x)在R上都有三个零点，求实数b的取值范围.类型三函数极值的综合应用(互动探究)[思路探究]探究点一利用导数求函数的单调区间，其实质是什么？提示其实质是解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为增区间，解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为减区间.探究点二当函数的解析式中含有参数时，一般的处理思路是什么？提示解决含参数的函数问题时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域，通过分类讨论把问题划分为若干个局部问题解决.探究点三函数f(x)在R上有三个零点的实质是什么？提示其实质是f(x)极大值＞0且f(x)极小值＜0.[思路探究]高中数学人教A版(浙江)选修2-2课件：132函数的极值与导数高中数学人教A版(浙江)选修2-2课件：132函数的极值与导数规律方法用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数.规律方法用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法.【训练3】设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围.【训练3】设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.高中数学人教A版(浙江)选修2-2课件：132函数的极值与导数高中数学人教A版(浙江)选修2-2课件：132函数的极值与导数[课堂小结]1.在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反.3.利用函数的极值可以确定参数的值，解决