高等数学aii2016春季-第10章无穷10.4幂级数

24十二月202211.一般项级数绝对收敛法满足收敛不满足1.收敛的必要条件2.定义法：部分和极限3.收敛的性质24十二月202222.交错级数1.绝对收敛法满足收敛不满足2.收敛的必要条件3.定义法：部分和极限4.收敛的性质莱布尼兹判别法24十二月202233.正项级数审敛法必要条件不满足发散满足比值审敛法根值审敛法收敛发散不定比较审敛法用它法判别部分和极限24十二月20224第四节幂级数

第十章（PowerSeries）一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算四、小结与思考练习24十二月20225一、函数项级数的概念设为定义在区间I上的函数项级数

.对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域

;若常数项级数为定义在区间

I

上的函数,称收敛,发散,所有为其收为其发散点,发散点的全体称为其发散域

.24十二月20226为级数的和函数,

并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前n

项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是

x

的函数称它24十二月20227它的收敛域是它的发散域是或写作有和函数例如,等比级数24十二月20228二、幂级数及其收敛性形如的函数项级数称为幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数为幂级数的系数

.即是此种情形.的情形,即称24十二月20229发散发散收敛收敛发散若幂级数则对满足不等式的一切x

幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式证:设收敛,则必有于是存在常数M>0,使定理1(Abel定理)24十二月202210当时,收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,反之,若当时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的x,原幂级数也发散

.

时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,证毕24十二月202211由Abel定理可以看出,中心的区间.的收敛域是以原点为用±R

表示幂级数收敛与发散的分界点,则R=0时,幂级数仅在x=0收敛;幂级数在(－∞,+∞)收敛;R=

时,(－R,R)加上收敛的端点称为收敛域.幂级数在(－R,R)收敛;在[－R,R]可能收敛也可能发散.外发散;在R称为收敛半径，(－R,R)称为收敛区间.收敛区域发散区域发散区域24十二月202212的系数满足证:1)若≠0,则根据比值审敛法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时,即时,则定理2若因此级数的收敛半径24十二月2022132)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除x=0以外的一切x原级发散,对任意

x原级数因此因此的收敛半径为说明:据此定理这页略例1

求下列幂级数的收敛域:解该级数收敛;该级数发散;24十二月202216的收敛半径.解:

级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散故收敛半径为故直接由例2解缺少偶次幂的项级数收敛,收敛半径.故直接由比式判别法求不能直接应用定理2,级数发散,级数发散,级数发散,原级数的收敛域为24十二月202219的收敛域.解:

令级数变为当t=2

时,级数为此级数发散;当t=–2

时,级数为此级数收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即例3发散收敛故收敛域为(0,1].解24十二月202221三、幂级数的运算定理

设幂级数及的收敛半径分别为令则有:其中以上结论可用部分和的极限证明.24十二月202222的收敛半径(证明略)则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:定理3若幂级数例它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是24十二月202224例4.

的和函数解:

易求出幂级数的收敛半径为

1,x＝±1时级数发散,24十二月202225的和函数解:

易求出幂级数的收敛半径为1,及收敛,例5求级数24十二月202226而及所以24十二月202227而解解收敛区间(-1,1),解两边积分得显然，级数的收敛域为（–1，1]24十二月202232内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,也可通过换元化为标准型再求.24十二月2022332.幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与乘法运算.2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.作业习题

10-41(3)(6)(8)(9);2(3)(5)24十二月202235不一定.例它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是思考题

1.

幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？24十二月2022362.

已知处条件收敛,问该级数收敛半径是多少?答:根据Abel定理可知,级数在绝对收敛；时发散，否则：故收敛半径为收敛，发散（条件收敛）。假设有一点满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点则由前也应绝对收敛,与所设矛盾。24十二月2022373.

求幂级数的收敛半径.n

为奇数n

为偶数能否确定它的收敛半径不存在?答:不能.因为当时级数收敛,时级数发散,24十二月2022384.求极限其中解:

令作幂级数设其和为易知其收敛半径为1,则24十二月202239阿贝尔(1802–1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5次方程的不可能性问