极限与连续-ch1-4运算法则

2022/12/23

复习时当统一：2022/12/23左极限右极限函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.2022/12/23第四节

极限的运算法则一、无穷小与无穷大二、极限的运算法则

新课

第一章

2022/12/23一、无穷小与无穷大

(一)

无穷小(infinitesimal).若,则称为xx0时的无穷小.

若,则称为x

时的无穷小.

2022/12/23注意：2022/12/232.无穷小与函数极限的关系:引理意义1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);2022/12/23注意

无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.都是无穷小2022/12/23问：若为无限个成立吗?不一定.例如:

1442443n个2022/12/23(二)无穷大定义:绝对值无限增大的变量称为无穷大.当时当时2022/12/23定义中|f(x)

|>M

换成

f(x)

>M(或

f(x)<-M)即有特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意当时当时注：与不存在的关系即为不存在，但不存在并不都是,也有左右极限不相等情况.2022/12/23证当时2022/12/23注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.在自变量的同一变化过程中，两个无穷大的和、差与商是没有确定的结果的，此类问题是未定式的问题4.无穷大是一种特殊的无界变量

,但是无界变量未必是无穷大.无穷大无界(如：作业本P6

四)2022/12/23思考：函数在(-∞,+∞)内是否有界？又当x+∞时这个函数是否为无穷大？(作业P6

四)2022/12/23无穷大几何意义：铅直渐近线

(verticalasympotote)(斜渐近线书P77题14)2022/12/23即,在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.注：零是无穷小量中唯一的数，故不能直接说“无穷小的倒数是无穷大”问：同一过程中无穷小的倒数是无穷大，对吗？意义:关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.2022/12/23注意：无限个就不一定成立.不对!

2022/12/23(其中A,B为常数)注意：1.

极限四则运算的条件！？2022/12/23(其中A,B为常数)注意:2.只适用于有限项,如:2022/12/23例如解先变形再求极限.2022/12/23思考题

在某个过程中，若有极限，无极限，那么是否有极限？为什么？解:没有极限．假设有极限，有极限，由极限运算法则可知：必有极限，与已知矛盾，故假设错误．2022/12/232022/12/232.求极限方法举例

“代入法”另解例：2022/12/23解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得例22022/12/23解例3(消去零因子法)消去无穷2022/12/23例4(1)(1)解:原式(分母有理化)(2)解(2)(分子有理化)2022/12/23解(3)例42022/12/23解

通分2022/12/23

分子,分母同除以自变量的最高次幂,以分出无穷小,然后再求极限.例6解无穷小因子分出法:2022/12/23例6解2022/12/23例6解2022/12/23小结:不存在2022/12/23拆项相消例72022/12/23例8解(利用无穷小的性质)2022/12/23例9

通分2022/12/233.复合函数的极限运算法则定理（复合函数的极限运算法则）意义:2022/12/23幂指函数形如的函数(是初等函数)，其中，称之为幂指函数.指数函数:幂函数:问:幂指函数是初等函数吗?是故也满足“代入法”如:102022/12/23幂指函数形如的函数(是初等函数)，其中，称之为幂指函数.对幂指函数有如下结论：若指数函数:幂函数:=1但如？2022/12/23三、小结1、主要内容:两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.2022/12/231.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;1)多项式与分式函数代入法求极限;2)消去零因子法求极限;3)无穷小因子分出法求极限;5)利用无穷小运算性质求极限;6)利用左右极限求分段函数在分段点处的极限;4)分母或分子有理化.2022/12/23解课后练习:2022/12/23另解练习:2022/12/23一、填空题:练习题2022/12/232022/12/23练习题答案2022/12/23一、填空题:练习题2022/12/23二、求下列各极限:2022/12/232022/12/23练习题答案2022/12/23思考：函数在(-∞,+∞)内是否有界？又当x+∞时这个函数是否为无穷大？解：①M>0,x0=2[M]∏y(x)在R上无界：M>0,

x0R,有|y(x0)|>M有|y(x0)|=(2[M]∏)cos(2[M]∏)>M∴