2023届高考数学二轮复习强化训练12空间位置关系、空间角与空间距离作业含答案

强化训练12空间位置关系、空间角与空间距离——小题备考一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)1．[2022·广东湛江二模]已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且α∩β＝m，则“m⊥n”是“n⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．[2022·湖北仙桃模拟]已知平面α，β，γ，直线a，b，c，下列说法正确的是()A．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βB．若a⊥α，α⊥β，则a∥βC．若a⊥α，b∥β，α∥β，则a⊥bD．若α∩γ＝a，β∩γ＝b，a∥b，则α∥β3．在正方体ABCD­A1B1C1D1中O为平面AA1B1B的中心，O1为平面A1B1C1D1的中心．若E为CD中点，则异面直线AE与OO1所成角的余弦值为()A．eq\f(2\r(5),5)B．eq\f(\r(10),5)C．eq\f(\r(5),10)D．eq\f(\r(5),5)4．[2022·山东滨州二模]在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设直线BD1与直线AD所成的角为α，直线BD1与平面CDD1C1所成的角为β，则α＋β＝()A．eq\f(π,4)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,2)D．eq\f(2π,3)5．[2022·北京昌平二模]如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是BB1，DD1的中点，则下列结论正确的是()A.A1O∥EFB．A1O⊥EFC．A1O∥平面EFB1D．A1O⊥平面EFB16．已知长方体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是边长为8的正方形，长方体的高为AA1＝6，则BC1与对角面BB1D1D夹角的正弦值等于()A．eq\f(2\r(2),5)B．eq\f(3,5)C．eq\f(4,5)D．eq\f(3\r(2),5)7．[2022·山东威海三模]已知圆柱的高和底面半径均为4，AB为上底面圆周的直径，点P是上底面圆周上的一点，且AP＝BP，PC是圆柱的一条母线，则点P到平面ABC的距离为()A．4B．2eq\r(3)C．3D．2eq\r(2)8．[2022·辽宁大连二模]如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点F是棱AA1上的一个动点(不包括顶点)，平面BFD1交棱CC1于点E，则下列命题中正确的是()A．存在点F，使得∠D1FB为直角B．对于任意点F，都有直线A1C1∥平面BED1FC．对于任意点F，都有平面A1C1D⊥平面BED1FD．当点F由A1向A移动过程中，三棱锥F­BB1D1的体积逐渐变大二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或多选得0分)9．[2022·山东威海三模]已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β外两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n，②α∥β，③n∥β，④m⊥α，则正确的是()A．②③④⇒①B．①③④⇒②C．①②④⇒③D．①②③⇒④10．[2022·河北邯郸一模]如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2，则()A．BD∥平面EGHFB．FH∥平面ABCC．AC∥平面EGHFD．直线GE，HF，AC交于一点11．如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠DBC＝120°，则()A．直线AD与直线BC所成角的大小为90°B．直线AB与直线CD所成角的余弦值为eq\f(\r(3),4)C．直线AD与平面BCD所成角的大小为45°D．直线AD与平面BCD所成角的大小为60°12．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，下列四个结论中正确的是()A．直线BC1与直线AD1所成的角为90°B．B1D⊥平面ACD1C．点B1到平面ACD1的距离为eq\f(\r(3),2)D．直线B1C与平面ACD1所成角的余弦值为eq\f(\r(3),3)三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为________．14．[2022·福建福州三模]已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为eq\r(3)，以A1为球心，半径为2的球面与底面ABCD的交线的长度为________．15．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点，当eq\f(CF,CD)＝________时，D1E⊥平面AB1F.16．如图，在棱长为4的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱A1A上的动点，N是棱BC的中点．当平面D1MN与底面ABCD所成的锐二面角最小时，A1M＝________．强化训练12空间位置关系、空间角与空间距离1．解析：α∩β＝m，m⊥n，只有一条垂直直线，不能得出n⊥β，不充分，当n⊥β时，由于m⊂β，则有n⊥m，是必要的，因此是必要不充分条件．答案：B2．解析：若a∥α，b∥β，a∥b，则α与β平行或相交，故A错误；若a⊥α，α⊥β，则a∥β或a⊂β，故B错误；若a⊥α，b∥β，α∥β，由面面平行与线面垂直的性质定理可得，a⊥b，故C正确；若α∩γ＝a，β∩γ＝b，a∥b，则α与β平行或相交，故D错误．答案：C3．解析：设正方体的边长为2，建立如图所示空间直角坐标系，A（2，0，0），E（0，1，0），O（2，1，1），O1（1，1，2），eq\o(AE,\s\up6(→))＝（－2，1，0），OO1＝（－1，0，1），设异面直线AE与OO1所成角为θ，则cosθ＝AE·OO1AE·OO1＝eq\f(2,\r(5)×\r(2))＝eq\f(\r(10)答案：B4．解析：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，因为AD∥BC，所以直线BD1与直线AD所成的角α＝∠D1BC，因为BC⊥平面CDD1C1，所以D1C为D1B在平面CDD1C1上的射影，所以直线BD1与平面CDD1C1所成的角β＝∠BD1C，又BC⊥平面CDD1C1，所以BC⊥D1C，所以∠D1BC＋∠BD1C＝eq\f(π,2)，即α＋β＝eq\f(π,2).答案：C5．解析：在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令AB＝2a，DD1＝2b（a>0，b>0），O是底面ABCD的中心，E，F分别是BB1，DD1的中点，则O（a，a，0），A1（2a，0，2b），E（2a，2a，b），B1（2a，2a，2b），F（0，0，b），OA1＝（a，－a，2b），eq\o(FE,\s\up6(→))＝（2a，2a，0），EB1＝（0，0，b），对于A，显然OA1与eq\o(FE,\s\up6(→))不共线，即A1O与EF不平行，A不正确；对于B，因OA1·eq\o(FE,\s\up6(→))＝a·2a＋（－a）·2a＋0·2b＝0，则OA1⊥eq\o(FE,\s\up6(→))，即A1O⊥EF，B正确；对于C，设平面EFB1的法向量为n＝（x，y，z），则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(EF,\s\up6(→))＝2ax＋2ay＝0,n·EB1＝bz＝0))，令x＝1，得n＝（1，－1，0），OA1·n＝2a>0，因此OA1与n不垂直，即A1O不平行于平面EFB1，C不正确；对于D，由选项C知，OA1与n不共线，即A1O不垂直于平面EFB1，D不正确．答案：B6．解析：连接A1C1，建立如图所示的空间直角坐标系．∵底面是边长为8的正方形，AA1＝6，∴A1（8，0，0），B（8，8，6），C1（0，8，0），因为A1C1⊥B1D1，A1C1⊥B1B且B1B∩B1D1＝B1，所以A1C1⊥平面BB1D1D，∴BC1＝（－8，0，－6），平面BB1D1D的法向量A1C1＝（－8，8，0），∴BC1与对角面BB1D1D所成角的正弦值为cosBC1，A1C1＝eq\f(|（－8，0，－6）·（－8，8，0）|,\r(64＋36)×\r(64＋64))＝eq\f(64,80\r(2))＝eq\f(2\r(2),5).答案：A7．解析：由题可得AB＝8，因为AP＝BP，所以S△ABP＝eq\f(1,2)×8×4＝16，因为PC⊥平面ABP，且PC＝4，所以VC－ABP＝eq\f(1,3)×16×4＝eq\f(64,3)，因为AP＝BP＝4eq\r(2)，所以AC＝BC＝4eq\r(3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×8×eq\r(48－16)＝16eq\r(2)，设点P到平面ABC的距离为d，则VP－ABC＝eq\f(1,3)×16eq\r(2)d＝eq\f(64,3)，解得d＝2eq\r(2).答案：D8．解析：对于A，易知eq\o(D1F,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝（eq\o(D1A1,\s\up6(→))＋eq\o(A1F,\s\up6(→))）·（eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))）＝eq\o(A1F,\s\up6(→))·eq\o(FA,\s\up6(→))＝|eq\o(A1F,\s\up6(→))|·|eq\o(FA,\s\up6(→))|≠0，故eq\o(D1F,\s\up6(→))与eq\o(FB,\s\up6(→))不垂直，故A错误；对于B，连接A1C1、AC、EF，则平面ACC1A1∩平面BED1F＝EF，若A1C1∥平面BED1F，则A1C1∥EF，显然仅当F和E为所在棱中点时A1C1与EF才平行，故B错误；对于C，连接A1D、A1C1、C1D、BD1、AD1、BC1，由AB⊥平面ADD1A1得AB⊥A1D，易知AD1⊥A1D，∵AB∩AD1＝A，AB、AD1⊂平面ABC1D1，∴A1D⊥平面ABC1D1，∴A1D⊥BD1，同理可证A1C1⊥BD1，∵A1D∩A1C1＝A1，A1D、A1C1⊂平面A1C1D，∴BD1⊥平面A1C1D，∵BD1⊂平面BED1F，∴平面A1C1D⊥平面BED1F，故C正确；对于D，连接BD1、FB1、B1D1，∵AA1∥BB1，AA1⊄平面BB1D1，BB1⊂平面BB1D1，∴AA1∥平面BB1D1，则F到平面BB1D1的距离为定值，又△BB1D1面积为定值，故三棱锥F－BB1D1体积为定值，故D错误．答案：C9．解析：对于A，若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又∵n∥β，∴m⊥n，故A正确；对于B，若m⊥α，m⊥n，则n∥α，又∵n∥β，∴α与β平行或相交，故B错误；对于C，若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又∵m⊥n，n⊄β，∴n∥β，故C正确；对于D，若n∥β，α∥β，则n∥α，又∵m⊥n，则m与α平行或相交，故D错误．答案：AC10．解析：因为BG∶GC＝DH∶HC，所以GH∥BD.又E，F分别为AB，AD的中点，所以EF∥BD，且EF＝eq\f(1,2)BD，则EF∥GH.易知BD∥平面EGHF，FH与AC为相交直线，即A正确，B，C错误．因为EFHG为梯形，所以EG与FH必相交，设交点为M，所以EG⊂平面ABC，FH⊂平面ACD，则M是平面ABC与平面ACD的一个交点，所以M∈AC，即直线GE，HF，AC交于一点，即D正确．答案：AD11．解析：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz，设AB＝2，则A（0，－1，eq\r(3)），C（0，2，0），D（eq\r(3)，－1，0），所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝（eq\r(3)，0，－eq\r(3)），eq\o(BC,\s\up6(→))＝（0，2，0），eq\o(AB,\s\up6(→))＝（0，1，－eq\r(3)），eq\o(CD,\s\up6(→))＝（eq\r(3)，－3，0）.因为eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，所以AD⊥BC，即直线AD与直线BC所成角的大小为90°，A正确；因为cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))\o(|,\s\up6()))＝eq\f(\r(3),4)，所以直线AB与直线CD所成角的余弦值为eq\f(\r(3),4)，B正确；设AD与平面BCD所成的角为θ，因为n＝（0，0，1）是平面BCD的一个法向量，所以sinθ＝|cos〈eq\o(AD,\s\up6(→))，n〉|＝eq\f(|\o(AD,\s\up6(→))·n|,|\o(AD,\s\up6(→))||n\o(|,\s\up6()))＝eq\f(\r(2),2)，所以θ＝45°，即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°，C正确；D错．答案：ABC12．解析：建立如图所示的空间直角坐标系：A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1）.A：BC1＝（－1，0，1），AD1＝（－1，0，1），因为BC1＝AD1，所以BC1∥AD1，因此本选项不正确；B：B1D＝（－1，－1，－1），AD1＝（－1，0，1），eq\o(AC,\s\up6(→))＝（－1，1，0），因为B1D·AD1＝（－1，－1，－1）·（－1，0，1）＝0，B1D·eq\o(AC,\s\up6(→))＝（－1，－1，－1）（－1，1，0）＝0，所以B1D⊥AD1，B1D⊥AC，而AC∩AD1＝A，AC，AD1⊂平面ACD1，因此B1D⊥平面ACD1，所以本选项正确；C：因为B1D⊥平面ACD1，所以B1D是平面ACD1的法向量，CB1＝（1，0，1），所以点B1到平面ACD1的距离为CB1·B1DB1D＝|eq\f(－1×1－1×1,\r(（－1）2＋（－1）2＋（－1）2))|＝eq\f(2\r(3)D：由上可知：cos〈CB1·B1D〉＝CB1·B1DCB1·B1D＝eq\f(－1×1－1×1,\r(（－1）2＋（－1）2＋（－1）2)×\r(12＋12))＝－eq\f(\r(6),3)，所以直线B1C与平面ACD1所成角的余弦值为1-cos2CB1·B1D＝eq\r(1－（－\f(\r答案：BD13．解析：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，圆锥的母线与其底面所成的角为θ，则eq\f(1,2)×2πrl＝2·π·r2⇒eq\f(r,l)＝eq\f(1,2)，∴cosθ＝eq\f(1,2)⇒θ＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)14．解析：正方体中，AA1⊥平面ABCD，所以平面ABCD与球的截面是以A为圆心的圆，且半径为eq\r(22－（\r(3)）2)＝1，所以球面与底面ABCD的交线为以A为圆心，1为半径的弧，该交线为eq\f(1,4)×2π＝eq\f(π,2).答案：eq\f(π,2)15．解析：如图，建立空间直角坐标系，设棱长为2，A（2，0，