初中数学专题《有理数》章末重难点题型含答案解析

专题03有理数章末重难点题型（16个题型）一、经典基础题题型1正负数意义及应用题型2有理数的相关概念题型3数集问题题型4利用数轴求两点间距离题型5有理数的大小比较题型6相反数的性质与求法题型7由绝对值求数题型8绝对值非负性的应用题型9有理数加减法乘除再认识题型10有理数加、减法运算的实际应用题型11有理数的乘除法在实际问题中的应用题型12新定义运算题型13有理数的简算题型14乘方的应用题型15新定义运算（乘方）题型16科学记数法与近似数二、优选提升题题型1正负数意义及应用【解题技巧】解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解.例1.（2022•滦州市期末）如图所示的是某用户微信支付情况，﹣100表示的意思是（）A．发出100元红包 B．收入100元 C．余额100元 D．抢到100元红包【分析】根据相反意义的量可以用正负数来表示，正数表示收到，则负数表示发出，据此解答即可．【解答】解：由题意可知，﹣100表示的意思是发出100元红包．故选：A．【点评】考查用负数表示相反意义的量，理解正负数的意义是解决问题的前提．变式1.（2022•綦江区期末）綦江区永辉超市出售的三种品牌大米袋上，分别标有质量为（10±0.2）kg，（10±0.3）kg，（10±0.25）kg的字样，从超市中任意拿出两袋大米，它们的质量最多相差（）A．0.4kg B．0.5kg C．0.55kg D．0.6kg【分析】根据正负数的意义，分别求出每种品牌的大米袋质量最多相差多少，再比较即可．【解答】解：根据题意可得：它们的质量相差最多的是标有（10±0.3）kg的；其质量最多相差（10+0.3）﹣（10﹣0.3）＝0.6（kg）．故选：D．【点评】利用正负数的意义，判别（10±0.2）kg，（10±0.3）kg，（10±0.25）kg的意义是关键．变式2.（2022·福建三明市·七年级期末）小明练习跳绳，以1分钟跳165个为目标，并把5次1分钟跳绳的数量记录如下（超过165个的部分记为“＋”，少于165个的部分记为“－”）：－11，－6，－2，＋4，＋10（1）小明在这5次跳绳练习中，1分钟最多跳多少个？（2）小明在这5次跳绳练习中，1分钟跳绳个数最多的一次比最少的一次多几个？（3）小明在这5次跳绳练习中，累计跳绳多少个？【答案】（1）175个；（2）21个；（3）820个．【分析】（1）用165加上超过的最大的数字+10，即可解题；（2）用超过的最大数字+10，减去少于165最多的数字-11即可；（3）先用，再将超过和不足165的所有数字相加计算即可．【详解】解：（1）（个）答：1分钟最多跳175个．（2）10－（－11）＝21（个）答：1分钟跳绳个数最多的一次比最少的一次多21个．（3）（个）答：累计跳绳820个．【点睛】本题考查正、负数的实际应用，涉及有理数的加减法等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．题型2有理数的相关概念【解题技巧】解决此类问题需理解并熟记有理数相关概念，如①整数和分数统称为有理数；②正有理数、0和负有理数亦可称为有理数；③只有符号不同的两个数叫做互为相反数；④在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；⑤数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；⑥一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.例1.（2022•东至县期末）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤-π2不仅是有理数，而且是分数；⑥⑦无限小数不都是有理数；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（）A．7个 B．6个 C．5个 D．4个【分析】有理数的分类：有理数整数正整数【解答】解：①没有最小的整数，故错误；②有理数包括正数、0和负数，故错误；③正整数、负整数、0、正分数、负分数统称为有理数，故错误；④非负数就是正数和0，故错误；⑤-π2是无理数，故错误；⑥⑦无限小数不都是有理数是正确的；⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数是正确的．故其中错误的说法的个数为6个．故选：B．【点评】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．变式1.（2022•日照七年级期末）下列说法正确的是（）①任何一个有理数的平方都是正数②任何一个有理数的绝对值都是非负数③如果一个有理数的倒数等于它本身，那么这个数是1④如果一个有理数的相反数等于它本身，那么这个数是0．A．①④ B．②③ C．③④ D．②④【分析】根据有理数的定义和特点，绝对值、相反数的定义及性质，对选项进行一一分析，排除错误答案．【答案】解：①任何一个有理数的平方都不是负数，错误；②任何一个有理数的绝对值都是非负数，正确；③如果一个有理数的倒数等于它本身，那么这个数是1或﹣1，错误④如果一个有理数的相反数等于它本身，那么这个数是0，正确；故选：D．【点睛】此题考查有理数问题，牢固掌握正数、负数、自然数、整数、倒数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．题型3数集问题性质：有理数的分类。注：数集关系中有包含关系时，数的分类不可重复解题技巧：此类题型是有理数分类题型的拓展，一般用框图表示数据分类的集合关系，多会出现有重合甚至包含逻辑的框图。此时，先填写有重合和被包含部分的框图，再填写单一框图部分的数据。例1．（2022·广西南宁市·七年级期中）将下列各数填入适当的括号内：，，，2020，0，，，66．（1）整数集合{______…}；（2）负分数集合{______…}；（3）非负整数集合{______…}．【答案】（1），2020，0，66；（2）；（3）2020，0，66．【分析】根据整数、负分数、非负整数的意义，逐个进行判断即可．【详解】解：（1）整数有：，2020，0，66，故答案为：，2020，0，66；（2）负分数有：，故答案为：；（3）非负整数有：2020，0，66，故答案为：2020，0，66．【点睛】本题考查整数集合，负分数集合，非负整数集合，掌握有理数的分类是解题关键．变式1．（2021·江苏镇江市·七年级期末）下列各数：﹣1，，1.01001…（每两个1之间依次多一个0），0，，3.14，其中有理数有_____个．【答案】4．【分析】根据有理数的定义逐一判断即可．【详解】解：在所列实数中，有理数有﹣1、0、、3.14，故答案为：4．【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的概念是解题的关键．变式2．（2022•江阴市七年级期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合．（1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？（2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）．（3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合．【分析】（1）根据和谐集合的定义，只要判断两数相加是否等于10即可．（2）根据和谐集合的定义，即可写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）．（3）根据和谐集合的定义，确定元素个数最少的集合．【解答】解：（1）若a＝1，则﹣a+10＝9不在集合{1，2}内，∴{1，2}不是和谐集合．∵-2+12＝10，1+9＝10，5+5＝10，∴{﹣2，1，5，9，12}是和谐集合．（2）根据和谐集合的定义可知a+10﹣a＝10，只要集合中两个数之和为10即可，∵1+9＝2+8＝3+7＝4+6，∴{2，5，8}和{1，9，2，8，3，7}是和谐集合．（3）∵5+5＝10，∴要使素个数最少，则集合{5}，满足条件．【点评】本题主要考查新定义，利用和谐集合的定义，只要确定集合元素之和等于10即可．题型4利用数轴求两点间距离注：距离没有方向性，所以到某点的距离为a的点一般有两个解题技巧：根据题干要求，先找出参考点位置；某点到参考点的距离为a，意味着这个点可以在参考点左边距离为a的位置，也可在参考点右边距离为a的位置。因此，此类题型一般有多解情况，请注意。最后根据画出的数轴，读出两点之间的距离。例1.（2022·河南·七年级期末）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”、“8cm”的点分别对应数轴上的﹣2和x，那么x的值为_____．【答案】6【分析】根据直尺的长度知x为﹣2右边8个单位的点所表示的数，据此可得．【详解】解：由题意知，x的值为﹣2+（8﹣0）＝6，故答案为6．【点睛】本题主要考查了数轴，解题的关键是确定x与表示﹣2的点之间的距离．变式1.（2021.绵阳市七年级期中）已知点O，A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，O为原点，，，点B所对应的数为m，则下列结论错误的是（）A．点A所对应的数为 B．点C所对应的数为C．点D所对应的数为 D．点A与点D间的距离为【答案】D【分析】根据，点B所对应的数为m，先得到点A所表示的数，进而求出B，C，D表示的数，进而即可判断．【详解】∵，点B所对应的数为m，∴点A所对应的数为，∵，∴点C所对应的数为，∴点D所对应的数为，点A与点D间的距离为，∴D选项错误，故选D．【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数，两点间的距离，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．变式2.（2021·广东广州市·七年级期末）如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6（1）求线段AB的长；（2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由．【答案】（1）8；（2）见解析；MN的长度不会发生改变，线段MN＝4．【分析】（1）数轴上两点之间的距离等于较大数与较小数的差；（2）根据中点的意义，利用线段的和差可得出答案．【详解】解：（1）AB＝|﹣2﹣6|＝8，答：AB的长为8；（2）MN的长度不会发生改变，线段MN＝4，理由如下：如图，因为M为PA的中点，N为PB的中点，所以MA＝MP＝PA，NP＝NB＝PB，所以MN＝NP﹣MP＝PB﹣PA＝（PB﹣PA）＝AB＝×8＝4．【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上线段中点的意义，熟练掌握两点间距离计算方法，灵活运用中点的意义是解题的关键．题型5有理数的大小比较解题技巧：（1）正数与正数比较，易于比较；（2）正数与负数比较，正数＞0＞负数；（3）负数与负数比较，绝对值大的反而小；（4）如果要比较的数比较多，建议在数轴上将每个数表示出来，在数轴上，从左至右，数值一次增大。当有字母时，且暂时无法理清大小关系，可以用特值法进行比较。例1.（2022·湖南益阳·七年级期末）比较下列各数的大小，并用“＜”号连接起来：，，3，，，0．【答案】【分析】先把每个数进行化简，再根据有理数的大小排列起来即可．【详解】解：，，∵，∴．【点睛】本题考查比较数的大小，准确的把每个数进行化简是解题的关键．变式1.（2022·云南昆明·七年级期末）按要求解答(1)把下列各数填在相应的括号内：，，，（每两个1之间逐次增加1个0），，，，，正有理数集合：｛…｝；负数集合：｛…｝；整数集合：｛…｝．(2)画出数轴，并在数轴上表示下面5个原数，然后比较这5个原数的大小，用“<”号连接．，，，，【答案】(1)，，；，，，；，，…(2)【分析】（1）根据正有理数，负数，整数的定义即可判断；（2）先准确画出数轴，然后在数轴上找到各数对应的点即可．(1)正有理数集合：{，，}负数集合：{，，，}整数集合：{，，…

}(2)在数轴上表示如图所示：【点睛】本题考查了有理数的大小比较，相反数，绝对值，数轴，准确地在数轴上找到各数对应的点是解题的关键．题型6相反数的性质与求法性质：a.除0外，一组相反数一定是一正一负。b.一个数的相反数就是在这个数前面加一个负号（负号的意义就是表示相反量）。c.一组相反数的和为0。解题技巧：（1）此类题型多为利用相反数的性质求解含字母数的相反数。利用性质b，直接在这个数前面添加“﹣”号，在利用多重符号化简的方法化简即可。（2）已知两个含有字母的数为相反数，利用性质c，将两个数相加和为0，表示成方程的形式，直接解方程即可。例1．（2022·江苏盐城·七年级期末）2022的相反数是（

）A． B． C．−2022 D．2022【答案】C【分析】根据相反数的定义求解即可，只有符号不同的两个数互为相反数．【详解】解：2022的相反数是−2022．故选：C．【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．变式1．（2022·广东湛江·七年级期末）下列各组数中，互为相反数的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和4【答案】C【分析】根据相反数（只有符号不同的两个数互为相反数）的定义求解即可．【详解】解：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得：只有选项C的两个数符合题意，故选：C．【点睛】题目主要考查相反数的定义，深刻理解相反数的定义是解题关键．变式2．（2022·广东惠州市·七年级月考）若与互为相反数，则__________．【答案】2019【分析】与互为相反数，则相加为0，代入代数式计算.【详解】∵与互为相反数，∴，∴.【点睛】相反数的性质是本题的突破口，牢记互为相反数和为0.【点睛】本题主要考查了多重负号的化简，灵活运用相反数的定义成为解答本题的关键．题型7由绝对值求数1)由数求绝对值：一定为非负数，即2)由绝对值求数a.绝对值为0的数仅有1个，即0；绝对值为正数的数有2个，其互为相反数；绝对值为负的数不存在。b.绝对值相等的两个数，可能相等，也可能互为相反数。（建议用数轴区分，可能会有多解）例1．（2022·辽宁朝阳·七年级期末）如果，那么的值是__．【答案】3或##-1或3【分析】根据绝对值的意义求解即可．【详解】解：，，或．故答案为：3或．【点睛】本题考查绝对值的意义，熟练掌握该知识点是解题关键．变式2．（2022·广东潮州·七年级期末）如果｜x－2｜＝1，那么x＝_________【答案】1或3##3或1【分析】根据绝对值的意义，即可求解．【详解】解：∵｜x－2｜＝1，∴x－2=±1，∴x＝1或3，故答案是：1或3．【点睛】本题主要考查绝对值方程，掌握绝对值的意义，是解题的关键．题型8绝对值非负性的应用性质：，即非负性，注：a为任意实数解题技巧：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若a+b=0，则a=0且例1．（2022·河北唐山·七年级期末）已知，则的值为（）A．2019 B． C． D．1【答案】C【分析】根据非负数的性质得出关于a，b的方程，然后求出a，b的值，最后代入数据计算即可．【详解】解：∵∴a+3=0，b-2=0，∴，b=2，∴．故选：C．【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．正确掌握非负数的性质是解题的关键．变式1．（2022·北京房山·七年级期中）若，则_________，_________．【答案】

3【分析】根据偶次方和绝对值的非负性求解即可．【详解】解：∵(a+1)2+|a−b+4|=0，∴a+1=0，a-b+4=0，解得a=-1，b=3，故答案为：-1，3．【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．变式2．（2022·陕西宝鸡·七年级期末）已知与互为相反数，则的值为__________．【答案】【分析】根据非负数的性质得出关于a，b的方程，然后求出a，b的值，最后代入数据计算即可．【详解】解：根据题意，得，，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．正确掌握非负数的性质是解题的关键．题型9有理数加减法乘除再认识解题技巧：该类题型的实质是有理数加减乘除法的计算，通过理解题干条件，利用有理数加减乘除法运算规律逐一判别即可。例1．（2022·吉林白城市·七年级期末）已知数在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据数轴得出a＜0＜b，|a|＞|b|，再根据有理数的加法、减法、乘法法则进行判断即可．【详解】解：从数轴可知：a＜0＜b，|a|＞|b|，A、，故此选项不符合；B、，故此选项不符合；C、不能确定的大小关系，故此选项不符合；D、，故此选项符合；故选：D．【点睛】本题考查了数轴，有理数的大小比较，有理数的加法、减法、乘法法则的应用，主要考查学生对法则的理解能力，难度不是很大．变式1．（2022·广东省初一月考）如果是有理数，则下列各式子成立的是（）A．如果，那么 B．如果，那么C．若，则 D．若，且，则【答案】D【分析】利用有理数的加法法则判断即可得到结果．【解析】A、如果那么，故A错误；B、如果，那么不能判断的符号，故B错误；C、若不能判断的符号，故C错误；D、若a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，那么a＋b＜0，正确；故选：D．【点睛】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．变式2．（2022·浙江杭州市·七年级期末）在数轴上，四个不同的点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c，d，且，则这四个点在数轴上的大致位置表示不正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】从选项数轴上找出a、b、c、d的关系，再根据a+b=c+d，逐项判断．【详解】解：∵数轴上A、B、C、D四点所代表的数分别是a、b、c、d，且，A、a＜c＜d＜b，可以满足a+b=c+d，故不符合；B、c＜a＜b＜d，可以满足a+b=c+d，故不符合；C、b＜d＜a＜c，满足a+b＜c+d，故符合；D、d＜b＜a＜c，可以满足a+b=c+d，故不符合；故选C．【点睛】本题主要考查数轴，有理数的加法运算，解题的关键是根据数轴上的位置得到a、b、c、d的关系．题型10有理数加、减法运算的实际应用解题技巧：与利用正负数求平均数方法类似。（1）选择合适的标准数，超过标准数的记为正数，不足的记为负数；（2）对处理后的正负数进行加法运算；（3）最后还需要将处理后的正负数还原为实际数。（4）根据题意列出算式；（5）进行有理数加减法运算，可利用运算律进行简算；（6）比较结果，得出结论。例1．（2021·浙江杭州市·七年级期末）如图是一个二阶幻圆模型，现将-1，2，-3，4，-5，6，-7，8分别填入圆圈内，使横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等，则的值是____________．【答案】7或-6【分析】由八个数的和为4及横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等可得，两个圈的和为2，横、竖的和也是2，从而可设出两空白圈的数，列等式求解即可【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d∵-1+2-3+4-5+6-7+8=4且横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等∴两个圈的和为2；横、竖的和也为2∴-7+4+b+6=2，2+4+c+b=2，a+c+2+d=2∴b=-1，c=-3，当a=8时，d=-5，则当a=-5时，d=8，则故答案为：7或-6【点睛】本题考查了有理数的加法，解决本题的关键是依据八个数的和与横、纵向以及内外圆圈上的4个数字之和都相等得到：两个圈的和为2；横、竖的和也为2变式1．（2021·内蒙古鄂尔多斯市·七年级期末）10袋小麦称重后记录如图所示（单位：千克）．10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以90千克为标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？【答案】10袋小麦一共905.4千克；10袋小麦总计超过5.4千克．【分析】先求出10袋小麦90千克的增减量，然后相加即可得解．【详解】解：91+91+91.5+89+91.5+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1=905.4（千克）以90千克为标准，10袋小麦的记录如下：+1、+1、+1.5、-1、+1.2、+1.3、-1.3、-1.2、+1.8、+1.1，（+1）+（+1）+（+1.5）+（-1）+（+1.2）+（+1.3）+（-1.3）+（-1.2）+（+1.8）+（+1.1）=（+1）+（-1）+（+1.2）+（-1.2）+（+1.3）+（-1.3）+（+1）+（+1.5）+（+1.8）+（+1.1）=5.4千克．答：10袋小麦一共905.4千克；10袋小麦总计超过5.4千克．【点睛】本题考查了正负数的意义，读懂题目信息，写出90千克的增减量是解题的关键．题型11.有理数的乘除法在实际问题中的应用解题技巧：（1）根据题意列出算式；（2）进行有理数乘除法运算，可利用运算律进行简算；（3）比较结果，得出结论。对原本无数量关系的问题巧妙的赋某些特定值，将其转化成数量问题，然后通过对整数的正负号进行讨论，使问题得到解决。用赋值法解决此类问题时，关键是对操作过程中的某一个量进行赋值（通常为±1），通过对操作过程的量化，讨论理数正负号变化规律，最终求解出具体问题。例1.（2022·四川成都·七年级期末）元旦节期间，某商场对顾客实行这样的优惠政策：若一次购物不超过200元，则不予折扣；若一次购物超过200元不超过500元，则按标价给予八折优惠：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠外，超过500元的部分给予七折优惠．小明的妈妈两次购物分别付款192元和384元，如果她合起来一次性购买同样多的商品，那么她可以节约______元．【答案】55.6或22##22或55.6【分析】根据题意分类讨论，分别求得两次购物标价，进而根据优惠方案求解即可．【详解】解：付款192的商品如果按规定：每一次购物不超过200元，则不予折扣付款，则商品的标价为192元；付款192的商品如果按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予八折优惠付款，则标价为192÷0.8=240元；由500×0.8=400，所以付款384的商品没有超过元，则按规定：若一次购物超过200元，不超过500元，按标价给予八折优惠付款，则商品的标价为384÷0.8=480元，所以某人两次购物分别付款192元和384元的商品的总标价为192+480=672（元）或240+480=720（元），当他合起来一次购买同样的商品时，可按规定：若一次购物超过500元，其中500元按上述八折优惠之外，超过500元部分给予七折优惠进行付款．总标价为672元应实际付款数=500×0.8+（672-500）×0.7=520.4（元），则他可节约（192+384）-520.4=55.6（元）；总标价为720元应实际付款数=500×0.8+（720-500）×0.7=554（元），则他可节约（192+384）-554=22（元）．故答案为：55.6或22．【点睛】本题考查了有理数运算的应用，分别求得两次购物标价是解题的关键．变式1．（2021·浙江台州市·中考真题）小华输液前发现瓶中药液共250毫升，输液器包装袋上标有“15滴/毫升”．输液开始时，药液流速为75滴/分钟．小华感觉身体不适，输液10分钟时调整了药液流速，输液20分钟时，瓶中的药液余量为160毫升．（1）求输液10分钟时瓶中的药液余量；（2）求小华从输液开始到结束所需的时间．【答案】（1）输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；（2）小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．【分析】（1）先求出每分钟输液多少毫升，进而即可求解；（2）先求出输液10分钟时调整后的药液流速，进而即可求解．【详解】（1）解：75÷15=5（毫升/分钟），250-5×10=200（毫升），答：输液10分钟时瓶中的药液余量为200毫升；（2）（200-160）÷10=4（毫升/分钟），160÷4+20=60（分钟），答：小华从输液开始到结束所需的时间为60分钟．【点睛】本题主要考查有理数运算的实际应用，明确时间，流速，输液量三者之间的数量关系，是解题的关键．题型12新定义运算解题技巧：该类题型会定义一种我们未学习过的运算规则，我们只需要照定义的运算规则，将题干写成有理数之间的运算即可。然后在直接按照有理数的运算法则求解最终答案。例1．（2021·湖南永州市·七年级期末）若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，则的值等于（）A．2021 B．2020 C．2021！ D．2020！【答案】A【分析】根据题意列出有理数混合运算的式子，进而可得出结论．【详解】解：1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，…，故选A．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．变式1．（2021·湖南张家界市·七年级期末）规定一种新运算“※”，两数a，b通过“※”运算得(a－2)×2＋b，即a※b＝(a－2)×2＋b，例如：3※5＝(3－2)×2＋5＝2＋5＝7．根据上面规定解答下题：（1）求6※(－4)的值；（2）6※(－4)与(－4)※6的值相等吗？请说明理由．【答案】（1）4；（2）不相等，理由见解析【分析】（1）原式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）分别求出各自的值，比较即可．【详解】解：（1）6※(－4)＝(6－2)×2+(－4)＝8－4＝4．（2）不相等．理由：∵6※(－4)＝4，(－4)※6＝(－4-2)×2+6＝－6，∴6※(－4)与(－4)※6的值不相等．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解所给运算的意义，注意运算顺序．题型13有理数的简算解题技巧：（1）有理数的简便运算一般运用加法（乘法）的运算律或减法（除法）的性质，达到简便运算的目的。（2）利用乘方的运算性质，将可以凑整的部分先放在一起简化运算，再求凑整后部分的乘方运算。例1．（2022·广东中山市·七年级期中）运用简便方法计算。（1）（2）【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先利用有理数加法的交换律与结合律，再利用有理数乘法的分配律，然后计算有理数的乘法与减法即可得；（2）先利用有理数乘法法则去掉负号，再将改写成，然后利用有理数乘法的分配律进行计算即可得．【详解】（1）原式，，，，；（2）原式，，，，．【点睛】本题考查了有理数加法的交换律与结合律、有理数乘法的分配律等知识点，熟练掌握各运算法则和运算律是解题关键．变式1．（2022·大庆市初一开学考试）计算()2022×0.62022的结果是()A． B．－ C．1 D．－【答案】C【解析】()2022×0.62022=()2022×()2022=（）2022=1.故选：C.【点睛】本题主要考查的是有理数的乘方，逆用积的乘方法则是解题的关键．变式2．（2022·郑州市中原区第一中学七年级月考）阅读下面文字：对于(﹣5)+(﹣9)+17+(﹣3)可以如下计算：原式＝[(﹣5)+(﹣)]+[(﹣9)+(﹣)]+(17+)+[(﹣3)+(﹣)]＝[(﹣5)+(﹣9)+17+(﹣3)]+[(﹣)+(﹣)++(﹣)]＝0+(﹣1)＝﹣1上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？仿照上面的方法，计算：【答案】【分析】先仿照题目给出的方法把每一项拆成两项，再根据有理数的加法法则和加法运算律解答即可．【详解】解：====．【点睛】本题考查了有理数的加法，正确理解题意、熟练掌握加法法则和加法运算律是解题的关键．变式3．（2022·四川内江七年级期中）观察下面算式的演算过程：……（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：______________．____________．_________________．（为正整数）（2）根据规律计算：．【答案】（1），，；（2）．【分析】（1）根据已知算式的演算过程即可得；（2）根据（1）的结论，先将各括号进行转化，再计算有理数的乘法即可得．【详解】（1），，，故答案为：，，；（2）原式，，．【点睛】本题考查了有理数乘方、乘法、加法的规律型问题，根据演算过程，正确发现规律是解题关键．题型14乘方的应用解题技巧：（1）末尾数字问题：此类题型通常乘方运算种的幂比较大，且无简单计算方法，直接计算几乎无法进行。但此类题型也并非需要求解出最终的结果，往往只需要求解这组数的末尾数字。因此，在解这类时，我们只需要关注末位数字，通过多计算几组末尾数字，找出末尾数字的变化规律。最后依旧变化规律，分析出最终结果。（2）此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。例1．（2022·贵州）观察下列算式:用你所发现规律写出的末位数字是()A．3 B．9 C．7 D．1【答案】C【分析】先由已知算式可发现，每四个式子为一个循环，再计算的余数即可得出答案．【解析】由已知算式可知，每四个式子为一个循环，末位数字依次为则与每四个式子中的第三个式子的末位数字相同，即末位数字为7故选：C．【点睛】本题考查了有理数乘方的规律题，依据已知算式，正确发现规律是解题关键．变式1．（2022·浙江杭州市·七年级期末）我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以互相换算，例如将，换算成十进制数应为：；．按此方式，将二进制换算成十进制数和将十进制数13转化为二进制的结果分别为（）A．17， B．9， C．9， D．17，【答案】C【分析】首先理解十进制的含义，然后结合有理数运算法则计算出结果，然后根据题意把13化成按2的整数次幂降幂排列，即可求得二进制数．【详解】解：（1001）2=1×23+0×22+0×21+1×20=9．13=8+4+1=1×23+1×22+0×21+1×20=（1101）2故选：C．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，理解十进制的含义，培养学生的理解能力．题型15新定义运算（乘方）【解题技巧】正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的有理数混合运算算式进行计算.例1．（2022·江苏初一期中）已知m≥2，n≥2，且m、n均为正整数，如果将mn进行如图所示的“分解”，那么下列四个叙述中正确的有（）①在25的“分解”结果是15和17两个数．②在42的“分解”结果中最大的数是9．③若m3的“分解”结果中最小的数是23，则m＝5．④若3n的“分解”结果中最小的数是79，则n＝5．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据所给的例子的分解方法中找出分解的规律,其中最小的数是,从而可判断出②④正确.【解析】①在25的“分解”中最大的数是+1=17，所以这个叙述正确；②在43的“分解”中最小的数是；所以这个正确；③若53的“分解”中最小的数是21，所以这个叙述是错误的；④若3n的“分解”中最小的数是-2=79,解得n=5，故这个是正确的.综上所述，共有两个正确的结论.故选C【点睛】本题考查了有理数的乘方运算和规律总结，仔细观察发现其中的规律是解题的关键.变式1．（2022·涟水初一期中）规定两数之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．（1）根据上述规定，填空：__________，__________，=__________；（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的证明：设，则，即，所以，即，所以，请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：【答案】（1）3；2；3；（2）见解析【分析】（1）分别计算左边与右边式子，即可做出判断；（2）设（3，4）=x，（3，5）=y，根据同底数幂的乘法法则即可求解．【解析】解：（1）53=125，（5，125）=3，（-2）2=4，（-2，4）=2，（-2）3=-8，（-2，-8）=3，故答案为：3；2；3；（2）设（3，4）=x，（3，5）=y，则3x=4，3y=5，∴3x+y=3x•3y=20，∴（3，20）=x+y，∴（3，4）+（3，5）=（3，20）．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．题型16科学记数法与近似数【解题技巧】（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．（2）近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．例1．（2021·江苏南京·九年级二模）2021年5月15日，中国首次火星探测任务天问一号探测器成功在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆．为了探测数据安全有效传回地球，我国台测控站联网组阵，测控能力更强，能够实现火星距地球最远公里时的测控通信．用科学记数法表示是_________．【答案】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【详解】解：用科学记数法表示为．故答案为：．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．变式1．（2021·广东广州市·九年级二模）2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，全国人口共1411778724人．用科学记数法表示1411778724精确到亿位的近似值为（）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据“四舍五入”法和科学记数法的定义，即可得到答案．【详解】解：1411778724≈，故选B．【点睛】本题主要考查近似数和科学记数法，掌握科学记数法的行形式：a×10n（1≤|a|＜10），是解题的关键．变式2．（2022·四川广安·二模）2022年北京冬奥会取得圆满成功，中国代表团以9金4银2铜的骄人成绩位居世界第三！它不仅为各国体育健儿提供了展示自我的竞技场所，而且也为促进世界和平、增进相互了解、实现文化交融、传递文明友谊搭建了最好的学习交流平台．它将“带动3亿人参与冰雪运动”成为北京冬奥会最大遗产成果．数字3亿用科学记数法表示正确的是（）A．3×1010 B．3×109 C．3×108 D．30×107【答案】C【分析】用科学记数法表示一个数时，表示形式为，其中a的范围是，n是整数，根据概念确定a，n的值即可．【详解】，故选：C．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，其中a的范围是，n是整数，正确确定a，n的值是解答本题的关键．1．（2022·湖南七年级期中）据《人民日报》“9组数据看懂新中国成立70周年的沧桑巨变”一文报道，我国国民生产总值从1952年679亿元到2018年900309亿元，从一穷二白到世界第二大经济体．用科学记数法表示数字900309（精确到万位）是（）A．9×105 B．9.0×105 C．9.00×105 D．9.003×104【答案】B【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数，最后根据题意精确到万位即可．【解析】900309＝9.00309×105≈9.0×105．故选：B．【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.（2022•渝中区校级月考）纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京9月12日8时，纽约的时间是（）A．9月11日5时B．9月11日19时 C．9月12日19时D．9月12日21时【分析】根据题意，得纽约比北京时间要晚13个小时，也就是9月11日19时．【解答】解：纽约时间是：9月12日8时﹣13小时＝9月11日19时．故选：B．【点评】本题考查了正数和负数．解决本题的关键是理解纽约与北京的时差为﹣13小时，即纽约比北京时间要晚13个小时．3.（2022·广东·七年级期中）下列说法中不正确的是（）A．0既不是正数也不是负数B．整数包括正整数和负整数C．非负数包括正数和0D．整数和分数统称为有理数【答案】B【分析】根据有理数、整数的含义和分类，逐项判断即可．【详解】解：A、0既不是正数也不是负数，说法正确；B、整数包括正整数、0和负整数，原来的说法不正确；C、非负数包括正数和0，说法正确；D、整数和分数统称为有理数，说法正确．故选：B．【点睛】本题主要考查有理数和整数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键.4．（2021·四川达州市·中考真题）生活中常用的十进制是用0~9这十个数字来表示数，满十进一，例：，；计算机也常用十六进制来表示字符代码，它是用0~来表示0~15，满十六进一，它与十进制对应的数如下表：十进制012…891011121314151617…十六进制012…891011…例：十六进制对应十进制的数为，对应十进制的数为，那么十六进制中对应十进制的数为（）A．28 B．62 C．238 D．334【答案】D【分析】在表格中找到字母E对应的十进制数，根据满十六进一计算可得．【详解】由题意得，十六进制中对应十进制的数为：1×16×16+4×16+14=334，故选D．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握十进制与十六进制间的转换及有理数的混合运算顺序和运算法则．5．（2021·四川广元市·九年级一模）在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数，2，将点向右平移3个单位长度得到点．若，则的值为（）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】根据CO=BO可得点C表示的数为±2，据此可得求得a的数值．【详解】解：∵CO=BO，B点表示2，∴点C表示的数为±2，∴a=-2-3=-5或a=2-3=-1，故选：C．【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．6．（2021·广东汕头市·九年级一模）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（）A．|a|＜1 B．ab＞0 C．a-b＞0 D．1﹣a＞1【答案】D【分析】根据数轴上a、b的位置，可得出a，b的符号，进而判断各选项得出答案．【详解】由数轴上a与1的位置可知：|a|>1，故选项A错误，不符合题意；因为a＜0，b＞0，所以ab<0，故选项B错误，不符合题意；因为a＜0，b＞0，所以a-b<0，故选项C错误，不符合题意；因为a＜0，所以1−a>1，故选项D正确，符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了实数与数轴，结合数轴上a、b的位置判断出a，b的符号是解题关键．7．（2021·陕西西安市·九年级一模）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是___（任填一个即可）．【答案】0（答案不唯一）【分析】根据a的范围确定出﹣a的范围，进而确定出b的范围，判断即可．【详解】解：由数轴可知，1＜a＜2，﹣2＜﹣a＜﹣1，∵﹣a＜b＜a，∴b可以在﹣1和1之间任意取值，如﹣1，0，1等，故答案为：0（答案不唯一）．【点睛】此题主要考查数轴的性质，解题的关键是熟知有理数的大小关系．8.（2022•合江县月考）﹣m的相反数是，﹣m+1的相反数是，a-b+c的相反数是．【分析】根据相反数的定义，即可解答．【解答】解：﹣m的相反数是m，﹣m+1的相反数是m﹣1，a-b+c的相反数是-a+b-c，故答案为：m，m﹣1，-a+b-c．【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．9.（2022•达孜区期末）已知|x﹣4|+|5﹣y|＝0，则12（x+y）的值为【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣4＝0，5﹣y＝0，解得x＝4，y＝5，所以，12（x+y）=12×（4+5）【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．10．（2022成都市·七年级月考）在学习了有理数的混合运算后，小明和小刚玩算“24点”游戏游戏规则：从一副扑克牌（去掉大，小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或－24．其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克代表正数，J，Q，K分别代表11，12，13．小明抽到的四张牌分别是黑桃1，黑桃3，梅花4，梅花6（都是黑色扑克牌），小明凑成的等式为，小亮抽到的四张牌分别是红桃5、黑桃5、方块5、梅花1，请写出小亮凑成的“24点”等式_______．【答案】或任选一个【分析】利用“24点”游戏规则列出等式即可．【详解】根据题意，红桃5表示－5黑桃5表示5方块5表示－5，梅花1表示1，则可列式为，．故答案为或任选一个．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解本题的关键．11．（2021·北京平谷区·九年级二模）母亲节来临之际，小凡同学打算用自己平时节省出来的50元钱给母亲买束鲜花，已知花店里鲜花价格如表：百合薰衣草玫瑰蔷薇向日葵康乃馨12元/支2元/支5元/支4元/支15元/支3元/支母亲节期间包装免费小凡想用妈妈喜欢的百合、玫瑰、康乃馨这三种花组成一个花束，若三种花都要购买且50元全部花净，请给出一种你喜欢的组成方式，百合、玫瑰、康乃馨的支数分别为_______．【答案】1，4，6（答案不唯一）【分析】根据题意，首先买最贵的花，数量由大到小，依此类推，凑成总钱数是50元，直到1枝为止，必须买三种花配成花束，每种花至少买一支，计算出设计的方案买的花的总价刚好是50元即可．【详解】∵12×1+5×4+3×6=50，∴可买百合1支、玫瑰4支、康乃馨6支，故答案为：1，4，6．（本题答案不唯一，符合要求即可）【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，解决本题时要注意本题答案不唯一，符合要求即可．12．（2022·河南南阳市·七年级期中）幻方是一种将数字填在正方形格子中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等的方法．幻方历史悠久，是中国传统游戏．如图是一个3×3的幻方的一部分，则a+b＝_____．﹣6a﹣8﹣5b﹣9【答案】-3．【分析】首先根据图示，判断出它是一个三阶幻方，然后根据：三阶幻方的中心对称两数之和＝2×中间格的数，分别求出a、b的值各是多少，再把求出的a、b的值相加即可．【详解】解：根据图示，判断出它是一个三阶幻方，由a+（﹣9）＝﹣5×2，可得：a＝﹣1，由b+（﹣8）＝﹣5×2，可得：b＝﹣2，∴a+b＝（﹣1）+（﹣2）＝﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】此题主要考查了有理数加法的运算方法，以及幻方的特征和应用，要熟练掌握．13.（2022绵阳市七年级期中）把下列各数填在相应的集合内：100，﹣99%，π，0，﹣2008，﹣2，5.2，，6，，﹣0.3，1.020020002…【答案】见解析．【分析】根据有理数的分类，可得答案．【详解】如图．【点睛】本题考查了有理数，熟记有理数的分类是解题关键．14．（2022·四川·石室中学七年级期中）居民生活中使用天然气实行阶梯式计价，用户每月用气量在20立方米及以内的为第一级基数，按一级用气价格收取；超过20立方米且不超过30立方米的部分为第二级气量基数，按一级用气价格的1.5倍收取：超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8倍收取．为节约用气量，小明记录了1－7月份他家每月1号的气表读数．1月2月3月4月5月6月7月气表读数（立方米）433450468485500514535（1）直接写出小明家1月份的用气量____________立方米及1－6月平均每月用气量为_______立方米．（2）已知小明家2月份的气费为36元，试求他家6月份需交气费多少元？（3）7月份放暑假后，小明的爷爷、奶奶及表哥来到家里和小明一起生活，并多次请客，用气量明显增加，比6月份多用气12立方米，试求小明家7月份需交纳气费多少元？【答案】（1）；；（2）元；（3）元【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得出小明家月份的用气量和月份平均每月的用气量（2）根据小明家月份的气费为元，可以计算出一级用气价格，再根据小明家月份的用气量超过立方米且不超过立方米，超过立方米的部分按第二级气量基数，结合题意，从而即可计算（3）根据题意，可计算出小明家月的用气量，再结合题意，即可计算【详解】（1）由表格数据可得：小明家月份的用气量为立方米；月份平均每月的用气量为：立方米故答案为：；（2）小明家月份的气费为元，月份的气费量为：一级用气价格为：（元/立方米）月份的用气量为立方米，气量超过立方米且不超过立方米的部分按第二级气量基数，超出部分按一级用气价格的倍收取月份小明家需交气费为：元（3）小明家月份的用气量为：立方米，月份的用气量比月份的多立方米月份的用气量为：立方米气量超过立方米且不超过立方米的部分为第二级气量基数，超出部分按一级用气价格的倍收取，用气量超过立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的倍收取费用月份小明家需交气费为：元【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是明确题意，求出相应的收费标准．15.（2022·贵州黔东南·七年级期末）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．解方程：．解：当时，原方程可化为，解得；当时，原方程可化为，解得．所以原方程的解是或．(1)利用上述方法解