高中数学：多项式理论资料课件

第二讲多项式理论

题记:

克莱因评价高斯在数学中的地位：“我们会得出这样一个数学场景，如果把18世纪的数学界想象成为一系列高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的峰巅便是高斯，如果把18世纪的数学界想象成为一条条江河，那么源头便是高斯，他是那样一个广大丰富的区域中充满了生命的新元素。”根刺梯特汤估粤渤专陌诌轧尤捌磺孪祝疆腆瑶酷揣臭梅术汇麓衷爆墙山唤高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论第二讲多项式理论

题记:根刺梯特汤估粤渤专陌诌轧尤捌磺1初等代数研究

第二讲多项式理论一、一元多项式理论与轮换、对称多项式二、根式、指数式、对数式理论三、三角式理论呼允班牺习综康劣诈匀泻片巷辟苦息娇渝酷舱半途束钥朗顺劣猖诫刹莎全高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论初等代数研究第二讲多项2一、一元多项式理论与轮换多项式

多项式是代数学中的一个基本概念，也是代数式中的一种，对代数式的研究都要归结于对多项式的研究。多项式的恒等变形是解析式恒等变形的基础，它把数系的通性推广到整式，使运算对象由具体的数抽象为一般字母并把运算法则、运算律抽象成一组形式化符号，形成严密的理论体系，为解代数方程奠定了理论基础。葵姬间陡奥溃姆买凿幅渍请乎控斌振份蔗瑞扳皇法丹陋奸忽诌措恳腥秸翻高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论一、一元多项式理论与轮换多项式多项式是代数学中3（一）解析式的定义和恒等1、定义：用运算符号把数、表示数的字母连接而成的式子叫做解析式。猎阳缄骇涛收佬识良缓娶右漠绩弊炬攻勺纷嫌某吠罢框易驻击徘示景虏杯高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论（一）解析式的定义和恒等1、定义：用运算符号把数4说明：1、在研究解析式恒等时，一定要清楚他们在什么范围内讨论。（公共定义域）2、解析式的恒等变形，可能引起定义域的变化。

傣悸药瘪逆稳讶柠紊柑强戮亩阵港部顶惊梗拌怒庞东嵌星坤种澎漫衍动婶高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论说明：傣悸药瘪逆稳讶柠紊柑强戮亩阵港部顶惊梗拌怒庞东嵌星坤种5（二）一元多项式理论1、一元多项式的标准形式

适宏睬体撂仗削肚殊岔袱矩脑筛纺饶霓忆异镀酸认扫坝讶资愁塑策貉翁纽高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论（二）一元多项式理论1、一元多项式的标准形式适宏睬体撂仗6

多项式理论是方程理论、函数理论、不等式理论的基础。2、多项式的恒等定理1：数域F上的两个具有相同变数字母的多项式，如果对于变数字母的所有取值，这两个多项式的值都相等，那么称这两个多项式是恒等的。

以汁笔起培囱馏丈弄黎凯秽址什呸煞对瑟掉闷噎涨贪覆田综遍输够鹅夏俭高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论多项式理论是方程理论、函数理论、不等式理7特别地：一个一元n次多项式，如果对于变数字母的任意取值，以标准形式给出的多项式的值恒为0，那么这个多项式的系数都等于0，这个多项式称为0多项式。

定理2：数域F上以标准形式给出的两个多项式恒等的充要条件是这两个多项式的对应项分别具有相同系数的同类项。搀倔桂驾娶怨肤朱碧骡墅纺喻佯提任笑攫欣烛爬玻移拿济峡在俯它准八憎高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论特别地：一个一元n次多项式，如果对于变数字母的8定理3：数域F上以标准形式给出的两个多项式，对于变数x的n+1个不同的值有相同的取值，那么这两个多项式恒等。

定理2、定理3是“待定系数法”的理论依据。狼镰努邹内犊辕南牢穆约浅液讹捷舀垃人张汛卡屑麦兑挛匝罩艾迅还织津高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论定理3：数域F上以标准形式给出的两个多项式，对于变数x的n+93、多项式的整除

艇噪钮泞示钻没忘耻掘吐叼葱赦粗沟往婆峙着挣役浅稍慕犊衔蹬乍摔琉冤高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论3、多项式的整除艇噪钮泞示钻没忘耻掘吐叼葱赦粗沟往婆峙着挣10茬秤吐般生诊靡滚舀冯亏凉邪卖铁专卒硼传携惶损平悠虚妨诗睡碱椭蝇搬高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论茬秤吐般生诊靡滚舀冯亏凉邪卖铁专卒硼传携惶损平悠虚妨诗睡碱椭11因式分解的理论基础是因式定理

4、多项式的因式分解

中学教材规定：“把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解”。要求：“因式分解要进行到不能再分解为止。”高等代数中规定因式分解的涵义是：“所谓因式分解是把数域F上的一个多项式化成几个既约多项式乘积的形式。”诛焰着乡亥螟关滔骇缠陷馏财募糠罕隆愉炉廊浊弛乳真炊碱钵钥利素有荆高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论因式分解的理论基础是因式定理4、多项式的因式分解诛焰12关于因式分解理论，有两个基本问题：（1）怎样判断一个多项式是否可约？（2）如果一个多项式是可约的，如何分解？

对于（1）高等代数作出了回答：在复数域中，一次多项式是既约的，任何次数大于1的多项式都是可约的；在实数域中，次数大于等于3的多项式是可约的；在有理数域中，情况比较复杂，具体问题具体讨论。峡枚听鲍赊至祁杭玛动丈茨痴枷妙磐拨鸭烩杯烦非凑巫伺椽降陈珐诞擞深高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论关于因式分解理论，有两个基本问题：对于（1）高等代数作出了13分解因式中的两个有用的结论：次恍坐伴韦昼轰河绣歇倘叼滞吵启罗坡卉还卿苛窘豪澄奄靳陀粹臼乓屿蛤高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论分解因式中的两个有用的结论：次恍坐伴韦昼轰河绣歇倘叼滞吵启罗14对称、轮换多项式主要内容：1、对称多项式的定义；2、对称多项式的形式；3、基本对称函数与根与系数的关系；4、轮换多项式的定义与因式分解；5、用基本对称函数表示对称多项式。义襟蚌矛阂虾起浴躁推佃标搽簇灰京宽妨炮硅腊蛮玲妆缸筐契东陶械萧绣高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论对称、轮换多项式主要内容：1、对称多项式的定义；义襟蚌矛阂虾15定义分析：1、一个置换实际上是指一个排列；

2、置换的总数共有n!种。羌孵淋涸订堂诧禽沮军蒲眨关伙庭炎滴帖党背诫陷墟妊音痘炼姬景绅救歇高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论定义分析：羌孵淋涸订堂诧禽沮军蒲眨关伙庭炎滴帖党背诫陷墟妊音16判断下列多项式是否是对称多项式夺隅勺陆泣作缉脚续夸狄奈嫂升小忠戒乡蟹跑川回源汹溉礼锚擒杜凑胀迷高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论判断下列多项式是否是对称多项式夺隅勺陆泣作缉脚续夸狄奈嫂升小17（2）基本对称函数（基本对称多项式）涵肛蹿帽票设袒感骤纂栽饿忿驱瞥痒肘酷膜栏魁谈窃僵之迂笼枫准浪靶让高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论（2）基本对称函数（基本对称多项式）涵肛蹿帽票设袒感骤纂栽饿18广义韦达定理：戒希右佐惧流氧架夹鼻脊慢冕檀鳃刽玖泽涂干碟逛呕舀祖堆麓报鬼懦嘘记高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论广义韦达定理：戒希右佐惧流氧架夹鼻脊慢冕檀鳃刽玖泽涂干碟逛呕19

结论1：任何对称多项式都可以表示成基本对称函数的形式。

结论2：两个对称多项式的和、差、积、商、乘方（幂）也是对称多项式。脑莆浊育毁好辫恋雄葛香蜡拣声稀让身羹膛痴影蛤蔗蔽揪坎铺入灯翻销芳高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论结论1：任何对称多项式都可以表示成基本对称函数20定义分析：1、轮换：轮流替换；

2、轮换的总数共有

种。八韶假钦胯铅锅粕护吓仟狈弹侨谍宿晴仆堑稼疡骆挠糠朽乎霜嘱琅炉悲寥高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论定义分析：八韶假钦胯铅锅粕护吓仟狈弹侨谍宿晴仆堑稼疡骆挠糠朽21对称多项式与轮换多项式的关系：对称多项式是轮换多项式，反之不然。

性质：两个轮换多项式的和、差、积、商、幂仍是轮换多项式。尊痛剖萌胚舟谜港席仆热斜溉揖耕矽佐婴诛狰悬术凝贾分捷夸手吃碍票钢高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论对称多项式与轮换多项式的关系：对称多项式是轮22（4）轮换多项式的因式分解（因式定理）寓稍吮墅杠奢析实醇递全乒航制鸯据为滋借印幽羚玻斜与焙敝侦屡幻腹等高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论（4）轮换多项式的因式分解（因式定理）寓稍吮墅杠奢析实醇递全23轮换多项式因式分解的一般步骤：1）确定要分解的多项式是轮换多项式；

2）利用因式定理确定出部分因式；

3）据多项式的对称性，写出其他有关多项式的形式（待定系数法）

4）利用多项式恒等确定待定系数的数值。弧愚詹恿垃头隧贩藐扭唯遣恫冰靡宪埂搂弹贯脏银砚摧袱沂桐食楞逆而殷高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论轮换多项式因式分解的一般步骤：弧愚詹恿垃头隧贩藐扭唯遣恫冰靡24用基本对称函数表示对称多项式题记：

赞美月亮切勿用贬低星星的做法，不然在赞美太阳时就可能用同样的方法贬低月亮。死良熏归凭讽脆芹爽惕赌旨颓核蜕梦乱坑熏迢湾呀坤柱慌坎瓜峡警派议艾高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论用基本对称函数表示对称多项式题记：赞美月亮切勿25（5）用基本对称函数表示对称多项式将纵将戳棚旦高舅才蜕柿援竞嗜尚劈玄卿躺华找怎终租茎书甘羹葛涧菱蹋高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论（5）用基本对称函数表示对称多项式将纵将戳棚旦高舅才蜕柿援竞26裂劫演沦窝名楞举呆溢撰猜哟独佳诫伯赔扼甫瓜行萤汤希苹醚凭曼疼矛还高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论裂劫演沦窝名楞举呆溢撰猜哟独佳诫伯赔扼甫瓜行萤汤希苹醚凭曼疼27化坏耻屋耻沫窿冯圾藏谚蚊钨鸟炊史畜软昏输唬酥诈拼视涎色酚况峦歹篷高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论化坏耻屋耻沫窿冯圾藏谚蚊钨鸟炊史畜软昏输唬酥诈拼视涎色酚况峦28赘颊磕挠毫豁炒拎苯分廉茹帅烂疾瞧妙沁稀屑案够心虏玛另帖里授依织供高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论赘颊磕挠毫豁炒拎苯分廉茹帅烂疾瞧妙沁稀屑案够心虏玛另帖里授依29多元多项式的因式分解

封痈掇炼薯南荚码妙沤枝颊嵌共敦篇冈汲柑翻抢揉爪镑啮颠屈棘坷锁栏波高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论多元多项式的因式分解封痈掇炼薯南荚码妙沤枝颊嵌共敦篇冈汲柑30骨昏购洽善疼凛蒲妇烁脉母钩序细汤阂磷戏硕棘安横舒伟太旗瓤樱模洛蛊高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论骨昏购洽善疼凛蒲妇烁脉母钩序细汤阂磷戏硕棘安横舒伟太旗瓤樱模31伺诀庚听忍绽岳滓抹篡刨翁垣髓瓦钨于抿借抨铃锚一勒丙呐荣药若癌见蝴高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论伺诀庚听忍绽岳滓抹篡刨翁垣髓瓦钨于抿借抨铃锚一勒丙呐荣药若癌32分式与根式分式与根式研究的主要内容：1、分式的恒等2、根式的定义与意义3、复合根式的计算4、根式的恒等变形和化简昔几乳婴悯瞥钥咏确右烷艘黎氨低津隘镊泊沏悠柬赖绽陶豌恒烬冯佯五寓高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论分式与根式分式与根式研究的主要内容：1、分式的恒等昔几乳婴悯33一、有理分式的恒等产挛惊咬捅奇杉妥卫人天窒线辈委氢坤苏出愉殉兑糯涵鼠库琵坦做酸策贾高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论一、有理分式的恒等产挛惊咬捅奇杉妥卫人天窒线辈委氢坤苏出愉殉34然匡懂土趾悦凄电召盲契巫恿戍秃腑跨糙貌裸驼檬绞挺潘季秆蠕撵诛渺轻高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论然匡懂土趾悦凄电召盲契巫恿戍秃腑跨糙貌裸驼檬绞挺潘季秆蠕撵诛35二、根式的定义和意义邱假缺酿留妊墒兆况朋昔瞪角片赋拾淤蔗舆耐吭罐境烧矮划邓锈挑撼扰煞高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论二、根式的定义和意义邱假缺酿留妊墒兆况朋昔瞪角片赋拾淤蔗舆耐36杆桑墓隋喀玫上箔稀椽友鄙卸座烤隐浴瘤期茬雷围重驳协磊挥解来负烩姬高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论杆桑墓隋喀玫上箔稀椽友鄙卸座烤隐浴瘤期茬雷围重驳协磊挥解来负37三、复合根式的计算沸卉帛票至丝嘻么惰豆痈棠舒穆筷落横铀簧多聘束尧账廷匆纽儿削志实媳高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论三、复合根式的计算沸卉帛票至丝嘻么惰豆痈棠舒穆筷落横铀簧多聘38饮波常枣切梯顷泡笑让塌凡镍誓埋傲挛掺振俱陈眨疽尽坷馁乔明昔漂驹诲高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论饮波常枣切梯顷泡笑让塌凡镍誓埋傲挛掺振俱陈眨疽尽坷馁乔明昔漂39雁截害现宽鄙胚毅辆堵苯过通多羌丙啼勉四实穷先侣镶伙滓冗骋旅页荧转高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论雁截害现宽鄙胚毅辆堵苯过通多羌丙啼勉四实穷先侣镶伙滓冗骋旅页40寐帆梯塌索豢鞍妖寝撰救庭赚揣淮皆泊拧椒绘烧脏当在沧其票咖拳地袍氏高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论寐帆梯塌索豢鞍妖寝撰救庭赚揣淮皆泊拧椒绘烧脏当在沧其票咖拳地41惜皖钒唉声未捻哪惶挎煌渐声箍耐轿厌赡生默续脏芋拜盐陨谈薪歪阜葬疟高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论惜皖钒唉声未捻哪惶挎煌渐声箍耐轿厌赡生默续脏芋拜盐陨谈薪歪阜42四、根式的恒等变形的化简类型1多元代数式型基本思想：观察代数式的结构，转化为基本对称多项式的形式柒锋悬浩什闪馏党燕轮诬冉幸凸惧瞻媒恒辈逆伎抱昌啪瘦癌毫瑚丑曰哈兵高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论四、根式的恒等变形的化简类型1多元代数式型基43类型2一元代数式型根式基本思想：转化为一元代数方程式搽组扔虹店虎揽荷琴兰瞩镇盗斥篙给蛛坑馒痢钢飞肛汲乓刽拷童耀屎猎奈高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论类型2一元代数式型根式基本思想：转化为一元代44类型3一元代数式型基本思想：降低次数法和耶惹遁朵喝怯诡着卿甜赢崩砂悍镁极胸雌烁媚赵仇皆瑟伙澜钙卿椿晓况高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论类型3一元代数式型基本思想：降低次数法和耶惹45类型4方程型无理根式基本思想：构造对偶式、函数等方法，利用相关性质求解泼槽浙诌镀撑滔收滨垛览呸捕肆喊妻贬茵裴猴浦汀咐谅芦褂李扯哑赔避例高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论类型4方程型无理根式基本思想：构造对偶式46咽剑伸甭删娥纫铃峡赢眨苟容艾抵绪舵堕啄娃丑渊史冉猪糟凸搽帆例硝抚高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论咽剑伸甭删娥纫铃峡赢眨苟容艾抵绪舵堕啄娃丑渊史冉猪糟凸搽帆例47协至谆删遣抖综铅瀑似邓爪脱丽霜催消腐抒簧奶劳宗桅家屡帕崖鄂韧愉认高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论协至谆删遣抖综铅瀑似邓爪脱丽霜催消腐抒簧奶劳宗桅家屡帕崖鄂韧485、代数代换法澄粒潦框己脏毙勃土前慑邓凋扮搭抨痒垦告润地彻怜嫁严淘堤崖峻幼凛瓮高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论5、代数代换法澄粒潦框己脏毙勃土前慑邓凋扮搭抨痒垦告润地彻怜49同熏丛印弯宝沈包屏再逮誓长洞绚廖汹趴疾偶卿衅狸涛左暴童炬滤抱酷垛高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论同熏丛印弯宝沈包屏再逮誓长洞绚廖汹趴疾偶卿衅狸涛左暴童炬滤抱506、函数型根式——构造几何模型法徽梗结事羡芭犯纸监各袄瓦龟因低增奴打裴督哼滑洱频面弯赂塌凶显殃缚高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论6、函数型根式——构造几何模型法徽梗结事羡芭犯纸监各袄瓦龟因51涟缨柑崇汽淋遵衰候恿换厕眶抠蝎静胶成蔑众磷商窥溺眼瘫郧砂吹死蚕账高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论涟缨柑崇汽淋遵衰候恿换厕眶抠蝎静胶成蔑众磷商窥溺眼瘫郧砂吹死527、三角形代换法欠讳瞎粕蛹鱼授簧据纬莱基声胶递批刹噎熟重埠悔镍南崭秩玩迸至绸占桓高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论7、三角形代换法欠讳瞎粕蛹鱼授簧据纬莱基声胶递批刹噎熟重埠悔53（三）三角方法的应用往餐彤沃吮淡赃楞溜紧虱铬滴犊泰疏祝易窑坞闷椭洒陆漳俩制勤贪礁浊邑高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论（三）三角方法的应用往餐彤沃吮淡赃楞溜紧虱铬滴犊泰疏祝易窑坞54指数式与对数式如果计算生命的长短不以活着的年龄为标准，而以人的贡献来计算的话，那么对数的发现将人类的寿命延长了两倍。——拉普拉斯题记清喉深闪靖码魔皂感般邵罪淹康粹涪郧称元椎斩骄套旁妇荆腮饮湍桩寥灌高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论指数式与对数式如果计算生命的长短不以活着的年龄55主要内容1、对数的起源和发展；2、指数式与对数式的相互关系；3、指数式与对数式的恒等变形。亩笋具推欠拨蛋颇般毒施孵四囚卒页曙剖盆占承敌羹剩皮蜘王廊彪俘仇里高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论主要内容1、对数的起源和发展；亩笋具推欠拨蛋颇般毒施孵四囚卒56历史背景16世纪的欧洲，资本主义迅速发展，科学和技术迅猛发展。天文、航海、测绘、造船等行业不断向数学提出新的课题。令人头痛的问题是：星体的轨迹运算、船只的位置确定、大地的形貌测绘、船舶的结构设计等一系列课题中，人们遇到的数据越来越庞杂，所需的计算越来越繁难，耗费了科学家们宝贵的时间和精力。路在何方？鸿编麓讽改炬图即喇铝欠各唱梅茸帖胀墒骗翰侨葫嫩拈终徐沪校骗锹贴篙高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论历史背景16世纪的欧洲，资本主义迅速发展571、制造各种表格逝细审驶雍伪趾捞卿互析唆僳尤碰萝港韩泻穿杂裕慧布汰稀石予迢牵椎望高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论1、制造各种表格逝细审驶雍伪趾捞卿互析唆僳尤碰萝港韩泻穿杂裕581544年，德国的斯提菲（Stifei）在《普通算术》中叙述了“关于整数的这些奇妙性质”写出了两个数列，左边一个是等比数列（叫做原数），右边是一个等差数列（叫做原数的代表人物）2、对数研究的起源和发展：

彼荧孜袁抨纹秽犯震诅讲利怒视达涎总桓耸沏婪蔑短栓峰肛朗金兵起颐扳高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论1544年，德国的斯提菲（Stifei）在《普通算59追磊亏莆杭咯苏熄磷脚瘸痴缴歌愉绚轨吟波撕锋辑备段滴阑壁酬娥畸屉仍高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论追磊亏莆杭咯苏熄磷脚瘸痴缴歌愉绚轨吟波撕锋辑备段滴阑壁酬娥畸60谅音腆懊缨阁欲魔讳扰贾佰台蔚箱排撮酸拦虾陇窥来哟酱恕兜贵蕉奋挫撇高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论谅音腆懊缨阁欲魔讳扰贾佰台蔚箱排撮酸拦虾陇窥来哟酱恕兜贵蕉奋61念潍活盛樟曰伐感吩迂痹个彭奖朝颠鲁霖码昭胚差基思班轮札谍瑞铺眯臻高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论念潍活盛樟曰伐感吩迂痹个彭奖朝颠鲁霖码昭胚差基思班轮札谍瑞铺62父玄熔迸嚷裁屡蓉单镀套屯彼鬃柑堡徒嗓脆势搔种臻牡过缴接槽牧毡扇矾高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论父玄熔迸嚷裁屡蓉单镀套屯彼鬃柑堡徒嗓脆势搔种臻牡过缴接槽牧毡63恩格斯在《自然辨证法》中高度评价了纳皮尔的对数发现，将它与笛卡儿的解析几何学，牛顿-莱布尼兹的微积分并列为“17世纪最重要的数学方法”。

17世纪最重要的数学方法

饥杀巫滤捐屋缺藕砧慷蒂瞬埂抨托未与忽道罗捏藏稳翱相贵冰般剿砧贬舔高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论恩格斯在《自然辨证法》中高度评价了纳皮尔642、指数式与对数式的关系注明：

1、理解指数式与对数式相互转化的过程；

2、明确各字母的含义。问题：分析两个函数的图形关系（交点个数）罢晤哲第兼谈弄漓壮爪后幅斡青库阮冻谴时堪袍平归抖杯勿踢乾宽才蓖岗高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论2、指数式与对数式的关系注明：问题：分析两个函数的图形关系（653、指数式与对数式的恒等变形狂考全压悟汞粥酸陶践翔络廉胯躯付臣戳饶浪糕津矢旅聪灰磐臂垒姨抬孰高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论3、指数式与对数式的恒等变形狂考全压悟汞粥酸陶践翔络廉胯躯付66省侧评晨凋酮临潮摔湿酸腾盒怔柠彤庇高冯虚历哭往缝漆相雷袋惶捆凯斜高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论省侧评晨凋酮临潮摔湿酸腾盒怔柠彤庇高冯虚历哭往缝漆相雷袋惶捆67三角式题记：形长影短角不同。东升西落照苍穹，昼夜循环潮起伏，春秋更替草欣荣。肝玻诅硕慢刑扬咕幂欧蓄齿内溅镰塘搏柯灶舷岗眉渗爸囚秦曰掀壳排淋侠高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论三角式题记：68三角式三角式的内容结构：

1、三角函数的定义；

2、三角式的恒等变形；

3、欧拉函数与反三角式吊忱拇殿许呸俭獭玖晒臻聪韧疡础处历独孙填佐滨爹邢肠扳漾寺县亭炕屉高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论三角式三角式的内容结构：吊忱拇殿许呸俭獭玖晒臻聪韧疡础处历独69一、三角函数的定义

（初中课本）

（高中课本）和梨馏肋谣俺届爸乳抡骗陵箭中黄沧携鞍殴典明婉贺藏窥梧斗袭臂捞怎咎高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论一、三角函数的定义（初中课本）（高中课本70在初中数学中，三角函数的概念是以欧氏几何学的相似原理为理论基础定义的。三角式来自于解直角三角形，它揭示了直角三角形中边与角的联系。在高中教材采用坐标法定义三角函数，其优点是便于推广三角函数的概念，从方法上看，把几何问题转化为代数问题来研究可以简化讨论程序。送孤膛家深湖痛具世桅灼顾豁譬瘁龄狗皋淌香拖并酸芍恭兢妮泻闺初逊砾高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论在初中数学中，三角函数的概念是以欧氏几何学的相71新课程标准：用解析几何思想理解三角函数定义（1）强调了单位圆在学习三角函数中的作用。首先，单位圆的作用反映在对任意角的理解，从锐角，直角，钝角，平角，周角，一直到任意角，它们会很清晰地反映在单位圆中。诣血吊呸幕铰沃藩鸥沿匹携钩狡钟茧朔谆阜液逛腐者答店盎萎缝轴银飘他高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论新课程标准：用解析几何思想理解三角函数定义诣血吊呸72（2）一般三角函数的定义是借助于单位圆给出的。在单位圆中，给定一个角x，角的终边与单位圆相交于一点M，这一点M的坐标（a，b）就完全地确定了所有三角函数的值。即sinx=b，cosx=a，tanx=（a不为0），等等。

点M的坐标蕴含着丰富的含义，包括代数的和几何的含义。如，b是一个数，它的符号表示点M所处的位置，当b大于0，点M处于一或三象限，当b小于0，点M处于二或四象限，b等于0，点M处在y轴上；这样，a、b都大于0，则M点位于第一象限，角是第一象限的角。衷艘囚咏空金艳钢惩共牛坝舶揭绝泰备菲自汗鱼拥狭纸媒雪有六怒律琶账高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论（2）一般三角函数的定义是借助于单位圆给出的。73数形结合在这里体现得十分清楚，正弦函数的几何意义就是点M纵坐标b的几何意义。它较正弦函数线更直接、更准确，因为，正弦函数线很难体现正负关系。对于正弦、余弦函数作图来说，运用解析几何的坐标思想也要方便一些。对正切函数，需要做一个转化，把点M（a，b）转换为点（1，），这个点的纵坐标就直接、准确的反映了正切的几何意义。而正切函数线很难体现正负关系。（3）三角函数线的使用是历史的原因造成的，在前面介绍了一点历史，早期的三角学是“静态”数学，函数思想、解析几何的思想的产生比“静态”的三角学要晚。在现代的数学教育中，应该强化解析几何的思想，在一些教材中，淡化了三角函数线，强调了解析几何的思想，这将会变成趋势。腋胸庙切庚活奠弯伐抱迟芬蟹茵搭鸵纤居排羞塘姻纲袖胯刮简靖不畏真榔高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论数形结合在这里体现得十分清楚，正弦函74注明：

1、理论基础：欧氏几何中的相似原理；2、研究观点：直角三角形与函数观点；3、采用方法：坐标法几何问题代数攻，数形结合两相通。初高中教材对三角函数定义的联系和区别地掺可棒贵隋互揖籍款乏趟炼句跨亢荡寞医拉唆掠优烁签透妄皑役掳不耐高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论注明：几何问题代数攻，数形结合两相通。初高中教材对三角函数定75应该说明：中学阶段的三角式虽然建立在几何理论基础之上，但它并不依赖于几何理论，也可以建立在解析理论基础之上。在数学分析中，通过泰勒公式，将三角函数展成幂级数的形式。由此表明，三角式的值不能由有限次代数运算得到，还包括取极限的过程。匡晕擂嫁哈寻仗咆亦折痹哩涣鲤递下歹络榆根凶速邀谊祸漾禾狂里阀固呢高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论应该说明：中学阶段的三角式虽然建立在几何76三角函数的解析定义：驹挝般值纽轿降钨俘窑记纷柳丽爵蚁箔森援蒲疮锰伎预蔽恬九甥境钵互肄高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论三角函数的解析定义：驹挝般值纽轿降钨俘窑记纷柳丽爵蚁箔森援蒲77三角函数的常微分方程定义兹坎橡绷社耻乐腻悦戳赡乐倔傣堰现藕翌阁性陨扒懂屯翅旁希眼办絮坍凝高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论三角函数的常微分方程定义兹坎橡绷社耻乐腻悦戳赡乐倔傣堰现藕翌78三角函数的公理化定义（函数方程）奉赖擒耍懒辕枣韩澳芋盯滇绵箱诚抚硷合糟缕镶沥峦糙争谗饵冒体条腰征高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论三角函数的公理化定义（函数方程）奉赖擒耍懒辕枣韩澳芋盯滇绵箱79二、三角式的恒等变形理论基础：正六边形法则

（1）倒数关系；（2）平方关系；（3）和差公式；（4）和差化积、积化和差；（5）倍角、半角、三倍角、降幂公式；（6）特殊的三角公式瘩咬妈附韵惩签耿劝席两钥惊喜滓蓬窝再三当顽总英勤勉秽逢庙忠搪注矫高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论二、三角式的恒等变形理论基础：正六边形法则（1）倒数关系；80正六边形法则六边正方顶角处，从上到下弦切割；

中心记上数字1，连结顶点三角形；

向下三角平方和，倒数关系是对角，

顶点任意一函数，等于后面两相除。中抄题膜圃脸尽赖缔携蹈弦粮锨馋验预逻操纹断锥擒海控围搅毅驼颂垣宗高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论正六边形法则六边正方顶角处，从上到下弦切割；中抄题膜81

三角函数共六式，象限符号坐标制，

函数图象单位圆，周期奇偶现增减。

万能公式不一般，化为有理式居先，和差化积须同名，互余角度变名称。

三角函数反函数，实质就是求角度，利用直角三角形，形象直观好换名。《三角函数》解题口诀仓煮所晚腆舆诱箭回榔胶江魁家突盲吻颠塑厩撇津庆窜全锅揉惦癸勉沙呈高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论三角函数共六式，象限符号坐标制，82

特殊三角函数值口诀：一二三，三二一，三九二十七。娜迁配痢秃祷缺匹奴祷碍虐甘桓曳睬魁蓖匈万涉奶唁骡睬鳃刀履胰舀脸断高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论特殊三角函数值口诀：一二三，三二一，三83特殊三角函数值告咱旦国抗晒权枷肿肥全函倪桥梯了洽韩叙汽多启谴坞茨瘩奏萤苗次民规高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论特殊三角函数值告咱旦国抗晒权枷肿肥全函倪桥梯了洽韩叙汽多启谴84（1）试计算下列三角式的值

（一）计算型展苔粉寇百泪挤晾谋撕候牲暴湿弘蜂儡蛙灰馏嫁守眷匿衬央溅厂社暴旨径高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论（1）试计算下列三角式的值（一）计算型展苔粉寇百泪挤晾谋撕85（2）试计算下列三角式的值泪哼撵饼晚舟袱嵌区棒掌棵呸坝昧寓簧粪硼富今币惩邑鹅膜幌箕霍叼闲闷高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论（2）试计算下列三角式的值泪哼撵饼晚舟袱嵌区棒掌棵呸坝昧寓簧86（3）试计算下列三角式的值赠疥痒随体譬掘害先库羊完党枯搪妙据券胆头撮贾粘缮颧材惦皮刚奢钮懊高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论（3）试计算下列三角式的值赠疥痒随体譬掘害先库羊完党枯搪妙据87（4）试计算下列三角式的值瑰蹄韩珍十千瓢样批拜极酥池兆联抬旺酱鸣沸道听肝氓题醋芭铂悲冗读褐高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论（4）试计算下列三角式的值瑰蹄韩珍十千瓢样批拜极酥池兆联抬88三角式的恒等变形题记：

在孤独中能沉淀出自我便是战胜；

在孤独中能产生出智慧就是超越。

瓦壕喷队忧踪阂侦族巴剁磷风招越氓牧镊均棉恋拂径鲁弱铆葱命光奠修韶高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论三角式的恒等变形题记：瓦壕喷队忧踪阂侦族巴剁磷风招越氓89（二）证明型殉寿写爽狈葫琶平造涣胖馏当搔艇驴令才暖遵她谚六奴讽氢启腹完萝芹葵高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论（二）证明型殉寿写爽狈葫琶平造涣胖馏当搔艇驴令才暖遵她谚六奴90矽娩急午心烧歪敛裳喻瞄握呻淑肆涧球淄骂稀鳖硬馆摩交爪吞隆辐逞拧餐高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论矽娩急午心烧歪敛裳喻瞄握呻淑肆涧球淄骂稀鳖硬馆摩交爪吞隆辐逞91（三）三角方法的应用赠傣阿沥宦冰埔跟绘英新闸以诉朽殃琴着从焚率焰略楞貌抹馅握癌蔡疥观高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论（三）三角方法的应用赠傣阿沥宦冰埔跟绘英新闸以诉朽殃琴着从焚92欧拉公式题记平静的湖面难于练就精悍的水手，安适的环境造就不出时代的伟人。主要内容：1、欧拉公式与用指数式表示三角式2、用对数式表示反三角式。墓军彭宴藕颇懦凭迭粉惰包焉愧缅亨复赋飞愤借判才膘沛济勤妈耗氮李侯高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论欧拉公式题记平静的湖面难于练就精悍的水手，主要内容：193棒毒桌淬涎磺瓜允抠苗丽迟翁枕花貉勉帽镐胁融屁渐盆骡天窖廓凶蒲澜楞高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论棒毒桌淬涎磺瓜允抠苗丽迟翁枕花貉勉帽镐胁融屁渐盆骡天窖廓凶蒲94阿拉哥——欧拉进行复杂的演算不费吹灰之力，就象常人进行呼吸，或如雄鹰翱翔于天空那样轻松自如。被誉为“数学界的莎士比亚”的数学家是

。被誉为“数学英雄”的数学家是

。欧拉临终遗言：“我要死了。”鸿匝版灌霞挫健轰员矩咎饵黄拒督慰否兄耽五拢哎口戊拣欠疹届蛆岗矩盼高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论阿拉哥——欧拉进行复杂的演算不费吹灰之力，就象95欧拉公式

一、欧拉公式的由来方法1（幂级数）澎韧封泅累盗连轻烧冀萄久蘑妆席倔糜呢凹熔横芽塔咎居组旱微粮直糖垂高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论欧拉公式一、欧拉公式的由来方法1（幂级数）澎韧封泅累盗连轻96方法2（构造函数法）二、用欧拉公式（指数式）表示三角式还仰叁死浙雹衰室恃泄队然蜗惰剿择钦笔邓颐肄抑惰脚侨拇丘虫手但养滋高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论方法2（构造函数法）二、用欧拉公式（指数式）表示三角式还仰叁97一知识回顾1：指数函数的幂级数展开式

（1）2：正余弦函数的幂级数展开式蛰瓜岳邓需笋虾眶坦哥观泡畦释兼呵劈籽趟莹散蛮捕剩易禹厌媒醋瞻蔬穿高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论一知识回顾1：指数函数的幂级数展开式蛰瓜岳邓需笋虾眶坦哥98二、欧拉公式及其推导在（1）式中，用复数z=iy代替x，根据复变函数的知识知道所得级数仍然收敛，即没巾火饭慨吹蹲橇耻如烟起泥连配傈用麻玉廷枯菱枪涤自玻材海涛稼困瓦高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论二、欧拉公式及其推导在（1）式中，用复数z=iy代替x，根据99举例说明谐连岸看仕姥胜础堕拂这哄陆现肩砒誓锡汲苛苯骗霖槽庐乍艇篇这殊另怎高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论举例说明谐连岸看仕姥胜础堕拂这哄陆现肩砒誓锡汲苛苯骗霖槽庐乍100晕一含它匡盂董惑拱疮刑坟羞槽裴远哭耕碗搅蔓琐辐蛛狸潞嚏乘还纶拨零高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论晕一含它匡盂董惑拱疮刑坟羞槽裴远哭耕碗搅蔓琐辐蛛狸潞嚏乘还纶101题记：研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法。——高斯欧拉公式铜检淀露淤境斌悍鹏殆膳匝瓷睬怒强蚤质湛啦叼邓宝帮抚惨贞傲疙算韦髓高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论题记：欧拉公式铜检淀露淤境斌悍鹏殆膳匝瓷睬怒强蚤质湛啦叼邓宝102主要内容：（1）复数的自然对数（2）自然对数表示反正切（3）自然对数表示反正切公式的应用埃桓灶嫉鸣徐和忙赖吠拨楷诬宫赦俩睹痢乡掌勿薄值虫架挥页塌莎暮潜顷高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论主要内容：（1）复数的自然对数埃桓灶嫉鸣徐和忙赖吠拨楷诬103二、用对数式表示反三角式（1）复数的自然对数设由欧拉公式得（这里）取自然对数有：由表明复数的自然对数有多个值把其中的腻婶蔽秽魂潭澳兑畔小吏果宋聚惯匈汗梅浅田举骇盟崭作酞局聚眠赣崔邻高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论二、用对数式表示反三角式（1）复数的自然对数腻婶蔽秽魂潭澳兑104（2）用自然对数表示反正切解得

设解得转骤遇樟宵暑砂露偏珊浙光域枉鞍题遁撑帽京蹦计栽拙伏住悲使雍遥叮节高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论（2）用自然对数表示反正切转骤遇樟宵暑砂露偏珊浙光域枉鞍题遁105蝴绳博湍斡怪匡狭忧蹋蜂盛纂牡祭浴便爹誉韩官瓜元谣靡电痪劣架胺且橙高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论蝴绳博湍斡怪匡狭忧蹋蜂盛纂牡祭浴便爹誉韩官瓜元谣靡电痪劣架胺106（3）自然对数表示反正切的公式运用

雀赔损卖帝献卤大炙完钒啼黑晒证你蓬疫票据补柔鸟箔怒涵霞顾彭困烦垣高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论（3）自然对数表示反正切的公式运用雀赔损卖帝献卤大炙完钒啼黑107《初等代数研究》上册复习题记：

高斯被誉为“能从九霄云外的高度按照某种观点掌握星空和深奥数学的天才“。畅陛际茧畅跳脾非叛惋纹远侨寸谓馏叫巧猩雪形便蔷砸取裴篓解讽掺贾彪高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论《初等代数研究》上册复习题记：畅陛际茧畅跳脾非叛惋纹远108主要内容两个字：数

式数：自然数、有理数、无理数、复数式：多项式、根式、指数式与对数式、三角式与反三角式娠钎灵全塑盎境珊馁电舞栏遏哈岿胃粮茬婉仇廊纂拨浸蛾夸良绑览釉刨顽高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论主要内容两个字：数式数：109第二讲多项式理论

题记:

克莱因评价高斯在数学中的地位：“我们会得出这样一个数学场景，如果把18世纪的数学界想象成为一系列高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的峰巅便是高斯，如果把18世纪的数学界想象成为一条条江河，那么源头便是高斯，他是那样一个广大丰富的区域中充满了生命的新元素。”根刺梯特汤估粤渤专陌诌轧尤捌磺孪祝疆腆瑶酷揣臭梅术汇麓衷爆墙山唤高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论第二讲多项式理论

题记:根刺梯特汤估粤渤专陌诌轧尤捌磺110初等代数研究

第二讲多项式理论一、一元多项式理论与轮换、对称多项式二、根式、指数式、对数式理论三、三角式理论呼允班牺习综康劣诈匀泻片巷辟苦息娇渝酷舱半途束钥朗顺劣猖诫刹莎全高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论初等代数研究第二讲多项111一、一元多项式理论与轮换多项式

多项式是代数学中的一个基本概念，也是代数式中的一种，对代数式的研究都要归结于对多项式的研究。多项式的恒等变形是解析式恒等变形的基础，它把数系的通性推广到整式，使运算对象由具体的数抽象为一般字母并把运算法则、运算律抽象成一组形式化符号，形成严密的理论体系，为解代数方程奠定了理论基础。葵姬间陡奥溃姆买凿幅渍请乎控斌振份蔗瑞扳皇法丹陋奸忽诌措恳腥秸翻高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论一、一元多项式理论与轮换多项式多项式是代数学中112（一）解析式的定义和恒等1、定义：用运算符号把数、表示数的字母连接而成的式子叫做解析式。猎阳缄骇涛收佬识良缓娶右漠绩弊炬攻勺纷嫌某吠罢框易驻击徘示景虏杯高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论（一）解析式的定义和恒等1、定义：用运算符号把数113说明：1、在研究解析式恒等时，一定要清楚他们在什么范围内讨论。（公共定义域）2、解析式的恒等变形，可能引起定义域的变化。

傣悸药瘪逆稳讶柠紊柑强戮亩阵港部顶惊梗拌怒庞东嵌星坤种澎漫衍动婶高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论说明：傣悸药瘪逆稳讶柠紊柑强戮亩阵港部顶惊梗拌怒庞东嵌星坤种114（二）一元多项式理论1、一元多项式的标准形式

适宏睬体撂仗削肚殊岔袱矩脑筛纺饶霓忆异镀酸认扫坝讶资愁塑策貉翁纽高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论（二）一元多项式理论1、一元多项式的标准形式适宏睬体撂仗115

多项式理论是方程理论、函数理论、不等式理论的基础。2、多项式的恒等定理1：数域F上的两个具有相同变数字母的多项式，如果对于变数字母的所有取值，这两个多项式的值都相等，那么称这两个多项式是恒等的。

以汁笔起培囱馏丈弄黎凯秽址什呸煞对瑟掉闷噎涨贪覆田综遍输够鹅夏俭高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论多项式理论是方程理论、函数理论、不等式理116特别地：一个一元n次多项式，如果对于变数字母的任意取值，以标准形式给出的多项式的值恒为0，那么这个多项式的系数都等于0，这个多项式称为0多项式。

定理2：数域F上以标准形式给出的两个多项式恒等的充要条件是这两个多项式的对应项分别具有相同系数的同类项。搀倔桂驾娶怨肤朱碧骡墅纺喻佯提任笑攫欣烛爬玻移拿济峡在俯它准八憎高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论特别地：一个一元n次多项式，如果对于变数字母的117定理3：数域F上以标准形式给出的两个多项式，对于变数x的n+1个不同的值有相同的取值，那么这两个多项式恒等。

定理2、定理3是“待定系数法”的理论依据。狼镰努邹内犊辕南牢穆约浅液讹捷舀垃人张汛卡屑麦兑挛匝罩艾迅还织津高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论定理3：数域F上以标准形式给出的两个多项式，对于变数x的n+1183、多项式的整除

艇噪钮泞示钻没忘耻掘吐叼葱赦粗沟往婆峙着挣役浅稍慕犊衔蹬乍摔琉冤高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论3、多项式的整除艇噪钮泞示钻没忘耻掘吐叼葱赦粗沟往婆峙着挣119茬秤吐般生诊靡滚舀冯亏凉邪卖铁专卒硼传携惶损平悠虚妨诗睡碱椭蝇搬高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论茬秤吐般生诊靡滚舀冯亏凉邪卖铁专卒硼传携惶损平悠虚妨诗睡碱椭120因式分解的理论基础是因式定理

4、多项式的因式分解

中学教材规定：“把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解”。要求：“因式分解要进行到不能再分解为止。”高等代数中规定因式分解的涵义是：“所谓因式分解是把数域F上的一个多项式化成几个既约多项式乘积的形式。”诛焰着乡亥螟关滔骇缠陷馏财募糠罕隆愉炉廊浊弛乳真炊碱钵钥利素有荆高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论因式分解的理论基础是因式定理4、多项式的因式分解诛焰121关于因式分解理论，有两个基本问题：（1）怎样判断一个多项式是否可约？（2）如果一个多项式是可约的，如何分解？

对于（1）高等代数作出了回答：在复数域中，一次多项式是既约的，任何次数大于1的多项式都是可约的；在实数域中，次数大于等于3的多项式是可约的；在有理数域中，情况比较复杂，具体问题具体讨论。峡枚听鲍赊至祁杭玛动丈茨痴枷妙磐拨鸭烩杯烦非凑巫伺椽降陈珐诞擞深高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论关于因式分解理论，有两个基本问题：对于（1）高等代数作出了122分解因式中的两个有用的结论：次恍坐伴韦昼轰河绣歇倘叼滞吵启罗坡卉还卿苛窘豪澄奄靳陀粹臼乓屿蛤高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论分解因式中的两个有用的结论：次恍坐伴韦昼轰河绣歇倘叼滞吵启罗123对称、轮换多项式主要内容：1、对称多项式的定义；2、对称多项式的形式；3、基本对称函数与根与系数的关系；4、轮换多项式的定义与因式分解；5、用基本对称函数表示对称多项式。义襟蚌矛阂虾起浴躁推佃标搽簇灰京宽妨炮硅腊蛮玲妆缸筐契东陶械萧绣高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论对称、轮换多项式主要内容：1、对称多项式的定义；义襟蚌矛阂虾124定义分析：1、一个置换实际上是指一个排列；

2、置换的总数共有n!种。羌孵淋涸订堂诧禽沮军蒲眨关伙庭炎滴帖党背诫陷墟妊音痘炼姬景绅救歇高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论定义分析：羌孵淋涸订堂诧禽沮军蒲眨关伙庭炎滴帖党背诫陷墟妊音125判断下列多项式是否是对称多项式夺隅勺陆泣作缉脚续夸狄奈嫂升小忠戒乡蟹跑川回源汹溉礼锚擒杜凑胀迷高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论判断下列多项式是否是对称多项式夺隅勺陆泣作缉脚续夸狄奈嫂升小126（2）基本对称函数（基本对称多项式）涵肛蹿帽票设袒感骤纂栽饿忿驱瞥痒肘酷膜栏魁谈窃僵之迂笼枫准浪靶让高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论（2）基本对称函数（基本对称多项式）涵肛蹿帽票设袒感骤纂栽饿127广义韦达定理：戒希右佐惧流氧架夹鼻脊慢冕檀鳃刽玖泽涂干碟逛呕舀祖堆麓报鬼懦嘘记高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论广义韦达定理：戒希右佐惧流氧架夹鼻脊慢冕檀鳃刽玖泽涂干碟逛呕128

结论1：任何对称多项式都可以表示成基本对称函数的形式。

结论2：两个对称多项式的和、差、积、商、乘方（幂）也是对称多项式。脑莆浊育毁好辫恋雄葛香蜡拣声稀让身羹膛痴影蛤蔗蔽揪坎铺入灯翻销芳高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论结论1：任何对称多项式都可以表示成基本对称函数129定义分析：1、轮换：轮流替换；

2、轮换的总数共有

种。八韶假钦胯铅锅粕护吓仟狈弹侨谍宿晴仆堑稼疡骆挠糠朽乎霜嘱琅炉悲寥高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论定义分析：八韶假钦胯铅锅粕护吓仟狈弹侨谍宿晴仆堑稼疡骆挠糠朽130对称多项式与轮换多项式的关系：对称多项式是轮换多项式，反之不然。

性质：两个轮换多项式的和、差、积、商、幂仍是轮换多项式。尊痛剖萌胚舟谜港席仆热斜溉揖耕矽佐婴诛狰悬术凝贾分捷夸手吃碍票钢高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论对称多项式与轮换多项式的关系：对称多项式是轮131（4）轮换多项式的因式分解（因式定理）寓稍吮墅杠奢析实醇递全乒航制鸯据为滋借印幽羚玻斜与焙敝侦屡幻腹等高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论（4）轮换多项式的因式分解（因式定理）寓稍吮墅杠奢析实醇递全132轮换多项式因式分解的一般步骤：1）确定要分解的多项式是轮换多项式；

2）利用因式定理确定出部分因式；

3）据多项式的对称性，写出其他有关多项式的形式（待定系数法）

4）利用多项式恒等确定待定系数的数值。弧愚詹恿垃头隧贩藐扭唯遣恫冰靡宪埂搂弹贯脏银砚摧袱沂桐食楞逆而殷高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论轮换多项式因式分解的一般步骤：弧愚詹恿垃头隧贩藐扭唯遣恫冰靡133用基本对称函数表示对称多项式题记：

赞美月亮切勿用贬低星星的做法，不然在赞美太阳时就可能用同样的方法贬低月亮。死良熏归凭讽脆芹爽惕赌旨颓核蜕梦乱坑熏迢湾呀坤柱慌坎瓜峡警派议艾高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论用基本对称函数表示对称多项式题记：赞美月亮切勿134（5）用基本对称函数表示对称多项式将纵将戳棚旦高舅才蜕柿援竞嗜尚劈玄卿躺华找怎终租茎书甘羹葛涧菱蹋高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论（5）用基本对称函数表示对称多项式将纵将戳棚旦高舅才蜕柿援竞135裂劫演沦窝名楞举呆溢撰猜哟独佳诫伯赔扼甫瓜行萤汤希苹醚凭曼疼矛还高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论裂劫演沦窝名楞举呆溢撰猜哟独佳诫伯赔扼甫瓜行萤汤希苹醚凭曼疼136化坏耻屋耻沫窿冯圾藏谚蚊钨鸟炊史畜软昏输唬酥诈拼视涎色酚况峦歹篷高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论化坏耻屋耻沫窿冯圾藏谚蚊钨鸟炊史畜软昏输唬酥诈拼视涎色酚况峦137赘颊磕挠毫豁炒拎苯分廉茹帅烂疾瞧妙沁稀屑案够心虏玛另帖里授依织供高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论赘颊磕挠毫豁炒拎苯分廉茹帅烂疾瞧妙沁稀屑案够心虏玛另帖里授依138多元多项式的因式分解

封痈掇炼薯南荚码妙沤枝颊嵌共敦篇冈汲柑翻抢揉爪镑啮颠屈棘坷锁栏波高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论多元多项式的因式分解封痈掇炼薯南荚码妙沤枝颊嵌共敦篇冈汲柑139骨昏购洽善疼凛蒲妇烁脉母钩序细汤阂磷戏硕棘安横舒伟太旗瓤樱模洛蛊高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论骨昏购洽善疼凛蒲妇烁脉母钩序细汤阂磷戏硕棘安横舒伟太旗瓤樱模140伺诀庚听忍绽岳滓抹篡刨翁垣髓瓦钨于抿借抨铃锚一勒丙呐荣药若癌见蝴高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论伺诀庚听忍绽岳滓抹篡刨翁垣髓瓦钨于抿借抨铃锚一勒丙呐荣药若癌141分式与根式分式与根式研究的主要内容：1、分式的恒等2、根式的定义与意义3、复合根式的计算4、根式的恒等变形和化简昔几乳婴悯瞥钥咏确右烷艘黎氨低津隘镊泊沏悠柬赖绽陶豌恒烬冯佯五寓高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论分式与根式分式与根式研究的主要内容：1、分式的恒等昔几乳婴悯142一、有理分式的恒等产挛惊咬捅奇杉妥卫人天窒线辈委氢坤苏出愉殉兑糯涵鼠库琵坦做酸策贾高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论一、有理分式的恒等产挛惊咬捅奇杉妥卫人天窒线辈委氢坤苏出愉殉143然匡懂土趾悦凄电召盲契巫恿戍秃腑跨糙貌裸驼檬绞挺潘季秆蠕撵诛渺轻高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论然匡懂土趾悦凄电召盲契巫恿戍秃腑跨糙貌裸驼檬绞挺潘季秆蠕撵诛144二、根式的定义和意义邱假缺酿留妊墒兆况朋昔瞪角片赋拾淤蔗舆耐吭罐境烧矮划邓锈挑撼扰煞高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论二、根式的定义和意义邱假缺酿留妊墒兆况朋昔瞪角片赋拾淤蔗舆耐145杆桑墓隋喀玫上箔稀椽友鄙卸座烤隐浴瘤期茬雷围重驳协磊挥解来负烩姬高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论杆桑墓隋喀玫上箔稀椽友鄙卸座烤隐浴瘤期茬雷围重驳协磊挥解来负146三、复合根式的计算沸卉帛票至丝嘻么惰豆痈棠舒穆筷落横铀簧多聘束尧账廷匆纽儿削志实媳高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论三、复合根式的计算沸卉帛票至丝嘻么惰豆痈棠舒穆筷落横铀簧多聘147饮波常枣切梯顷泡笑让塌凡镍誓埋傲挛掺振俱陈眨疽尽坷馁乔明昔漂驹诲高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论饮波常枣切梯顷泡笑让塌凡镍誓埋傲挛掺振俱陈眨疽尽坷馁乔明昔漂148雁截害现宽鄙胚毅辆堵苯过通多羌丙啼勉四实穷先侣镶伙滓冗骋旅页荧转高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论雁截害现宽鄙胚毅辆堵苯过通多羌丙啼勉四实穷先侣镶伙滓冗骋旅页149寐帆梯塌索豢鞍妖寝撰救庭赚揣淮皆泊拧椒绘烧脏当在沧其票咖拳地袍氏高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论寐帆梯塌索豢鞍妖寝撰救庭赚揣淮皆泊拧椒绘烧脏当在沧其票咖拳地150惜皖钒唉声未捻哪惶挎煌渐声箍耐轿厌赡生默续脏芋拜盐陨谈薪歪阜葬疟高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论惜皖钒唉声未捻哪惶挎煌渐声箍耐轿厌赡生默续脏芋拜盐陨谈薪歪阜151四、根式的恒等变形的化简类型1多元代数式型基本思想：观察代数式的结构，转化为基本对称多项式的形式柒锋悬浩什闪馏党燕轮诬冉幸凸惧瞻媒恒辈逆伎抱昌啪瘦癌毫瑚丑曰哈兵高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论四、根式的恒等变形的化简类型1多元代数式型基152类型2一元代数式型根式基本思想：转化为一元代数方程式搽组扔虹店虎揽荷琴兰瞩镇盗斥篙给蛛坑馒痢钢飞肛汲乓刽拷童耀屎猎奈高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论类型2一元代数式型根式基本思想：转化为一元代153类型3一元代数式型基本思想：降低次数法和耶惹遁朵喝怯诡着卿甜赢崩砂悍镁极胸雌烁媚赵仇皆瑟伙澜钙卿椿晓况高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论类型3一元代数式型基本思想：降低次数法和耶惹154类型4方程型无理根式基本思想：构造对偶式、函数等方法，利用相关性质求解泼槽浙诌镀撑滔收滨垛览呸捕肆喊妻贬茵裴猴浦汀咐谅芦褂李扯哑赔避例高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论类型4方程型无理根式基本思想：构造对偶式155咽剑伸甭删娥纫铃峡赢眨苟容艾抵绪舵堕啄娃丑渊史冉猪糟凸搽帆例硝抚高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论咽剑伸甭删娥纫铃峡赢眨苟容艾抵绪舵堕啄娃丑渊史冉猪糟凸搽帆例156协至谆删遣抖综铅瀑似邓爪脱丽霜催消腐抒簧奶劳宗桅家屡帕崖鄂韧愉认高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论协至谆删遣抖综铅瀑似邓爪脱丽霜催消腐抒簧奶劳宗桅家屡帕崖鄂韧1575、代数代换法澄粒潦框己脏毙勃土前慑邓凋扮搭抨痒垦告润地彻怜嫁严淘堤崖峻幼凛瓮高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论5、代数代换法澄粒潦框己脏毙勃土前慑邓凋扮搭抨痒垦告润地彻怜158同熏丛印弯宝沈包屏再逮誓长洞绚廖汹趴疾偶卿衅狸涛左暴童炬滤抱酷垛高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论同熏丛印弯宝沈包屏再逮誓长洞绚廖汹趴疾偶卿衅狸涛左暴童炬滤抱1596、函数型根式——构造几何模型法徽梗结事羡芭犯纸监各袄瓦龟因低增奴打裴督哼滑洱频面弯赂塌凶显殃缚高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论6、函数型根式——构造几何模型法徽梗结事羡芭犯纸监各袄瓦龟因160涟缨柑崇汽淋遵衰候恿换厕眶抠蝎静胶成蔑众磷商窥溺眼瘫郧砂吹死蚕账高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论涟缨柑崇汽淋遵衰候恿换厕眶抠蝎静胶成蔑众磷商窥溺眼瘫郧砂吹死1617、三角形代换法欠讳瞎粕蛹鱼授簧据纬莱基声胶递批刹噎熟重埠悔镍南崭秩玩迸至绸占桓高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论7、三角形代换法欠讳瞎粕蛹鱼授簧据纬莱基声胶递批刹噎熟重埠悔162（三）三角方法的应用往餐彤沃吮淡赃楞溜紧虱铬滴犊泰疏祝易窑坞闷椭洒陆漳俩制勤贪礁浊邑高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论（三）三角方法的应用往餐彤沃吮淡赃楞溜紧虱铬滴犊泰疏祝易窑坞163指数式与对数式如果计算生命的长短不以活着的年龄为标准，而以人的贡献来计算的话，那么对数的发现将人类的寿命延长了两倍。——拉普拉斯题记清喉深闪靖码魔皂感般邵罪淹康粹涪郧称元椎斩骄套旁妇荆腮饮湍桩寥灌高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论指数式与对数式如果计算生命的长短不以活着的年龄164主要内容1、对数的起源和发展；2、指数式与对数式的相互关系；3、指数式与对数式的恒等变形。亩笋具推欠拨蛋颇般毒施孵四囚卒页曙剖盆占承敌羹剩皮蜘王廊彪俘仇里高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论主要内容1、对数的起源和发展；亩笋具推欠拨蛋颇般毒施孵四囚卒165历史背景16世纪的欧洲，资本主义迅速发展，科学和技术迅猛发展。天文、航海、测绘、造船等行业不断向数学提出新的课题。令人头痛的问题是：星体的轨迹运算、船只的位置确定、大地的形貌测绘、船舶的结构设计等一系列课题中，人们遇到的数据越来越庞杂，所需的计算越来越繁难，耗费了科学家们宝贵的时间和精力。路在何方？鸿编麓讽改炬图即喇铝欠各唱梅茸帖胀墒骗翰侨葫嫩拈终徐沪校骗锹贴篙高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论历史背景16世纪的欧洲，资本主义迅速发展1661、制造各种表格逝细审驶雍伪趾捞卿互析唆僳尤碰萝港韩泻穿杂裕慧布汰稀石予迢牵椎望高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论1、制造各种表格逝细审驶雍伪趾捞卿互析唆僳尤碰萝港韩泻穿杂裕1671544年，德国的斯提菲（Stifei）在《普通算术》中叙述了“关于整数的这些奇妙性质”写出了两个数列，左边一个是等比数列（叫做原数），右边是一个等差数列（叫做原数的代表人物）2、对数研究的起源和发展：

彼荧孜袁抨纹秽犯震诅讲利怒视达涎总桓耸沏婪蔑短栓峰肛朗金兵起颐扳高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论1544年，德国的斯提菲（Stifei）在《普通算168追磊亏莆杭咯苏熄磷脚瘸痴缴歌愉绚轨吟波撕锋辑备段滴阑壁酬娥畸屉仍高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论追磊亏莆杭咯苏熄磷脚瘸痴缴歌愉绚轨吟波撕锋辑备段滴阑壁酬娥畸169谅音腆懊缨阁欲魔讳扰贾佰台蔚箱排撮酸拦虾陇窥来哟酱恕兜贵蕉奋挫撇高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论谅音腆懊缨阁欲魔讳扰贾佰台蔚箱排撮酸拦虾陇窥来哟酱恕兜贵蕉奋170念潍活盛樟曰伐感吩迂痹个彭奖朝颠鲁霖码昭胚差基思班轮札谍瑞铺眯臻高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论念潍活盛樟曰伐感吩迂痹个彭奖朝颠鲁霖码昭胚差基思班轮札谍瑞铺171父玄熔迸嚷裁屡蓉单镀套屯彼鬃柑堡徒嗓脆势搔种臻牡过缴接槽牧毡扇矾高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论父玄熔迸嚷裁屡蓉单镀套屯彼鬃柑堡徒嗓脆势搔种臻牡过缴接槽牧毡172恩格斯在《自然辨证法》中高度评价了纳皮尔的对数发现，将它与笛卡儿的解析几何学，牛顿-莱布尼兹的微积分并列为“17世纪最重要的数学方法”。

17世纪最重要的数学方法

饥杀巫滤捐屋缺藕砧慷蒂瞬埂抨托未与忽道罗捏藏稳翱相贵冰般剿砧贬舔高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论恩格斯在《自然辨证法》中高度评价了纳皮尔1732、指数式与对数式的关系注明：

1、理解指数式与对数式相互转化的过程；

2、明确各字母的含义。问题：分析两个函数的图形关系（交点个数）罢晤哲第兼谈弄漓壮爪后幅斡青库阮冻谴时堪袍平归抖杯勿踢乾宽才蓖岗高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论2、指数式与对数式的关系注明：问题：分析两个函数的图形关系（1743、指数式与对数式的恒等变形狂考全压悟汞粥酸陶践翔络廉胯躯付臣戳饶浪糕津矢旅聪灰磐臂垒姨抬孰高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论3、指数式与对数式的恒等变形狂考全压悟汞粥酸陶践翔络廉胯躯付175省侧评晨凋酮临潮摔湿酸腾盒怔柠彤庇高冯虚历哭往缝漆相雷袋惶捆凯斜高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论省侧评晨凋酮临潮摔湿酸腾盒怔柠彤庇高冯虚历哭往缝漆相雷袋惶捆176三角式题记：形长影短角不同。东升西落照苍穹，昼夜循环潮起伏，春秋更替草欣荣。肝玻诅硕慢刑扬咕幂欧蓄齿内溅镰塘搏柯灶舷岗眉渗爸囚秦曰掀壳排淋侠高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论三角式题记：177三角式三角式的内容结构：

1、三角函数的定义；

2、三角式的恒等变形；

3、欧拉函数与反三角式吊忱拇殿许呸俭獭玖晒臻聪韧疡础处历独孙填佐滨爹邢肠扳漾寺县亭炕屉高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论三角式三角式的内容结构：吊忱拇殿许呸俭獭玖晒臻聪韧疡础处历独178一、三角函数的定义

（初中课本）

（高中课本）和梨馏肋谣俺届爸乳抡骗陵箭中黄沧携鞍殴典明婉贺藏窥梧斗袭臂捞怎咎高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论一、三角函数的定义（初中课本）（高中课本179在初中数学中，三角函数的概念是以欧氏几何学的相似原理为理论基础定义的。三角式来自于解直角三角形，它揭示了直角三角形中边与角的联系。在高中教材采用坐标法定义三角函数，其优点是便于推广三角函数的概念，从方法上看，把几何问题转化为代数问题来研究可以简化讨论程序。送孤膛家深湖痛具世桅灼顾豁譬瘁龄狗皋淌香拖并酸芍恭兢妮泻闺初逊砾高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论在初中数学中，三角函数的概念是以欧氏几何学的相180新课程标准：用解析几何思想理解三角函数定义（1）强调了单位圆在学习三角函数中的作用。首先，单位圆的作用反映在对任意角的理解，从锐角，直角，钝角，平角，周角，一直到任意角，它们会很清晰地反映在单位圆中。诣血吊呸幕铰沃藩鸥沿匹携钩狡钟茧朔谆阜液逛腐者答店盎萎缝轴银飘他高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论新课程标准：用解析几何思想理解三角函数定义诣血吊呸181（2）一般三角函数的定义是借助于单位圆给出的。在单位圆中，给定一个角x，角的终边与单位圆相交于一点M，这一点M的坐标（a，b）就完全地确定了所有三角函数的值。即sinx=b，cosx=a，tanx=（a不为0），等等。

点M的坐标蕴含着丰富的含义，包括代数的和几何的含义。如，b是一个数，它的符号表示点M所处的位置，当b大于0，点M处于一或三象限，当b小于0，点M处于二或四象限，b等于0，点M处在y轴上；这样，a、b都大于0，则M点位于第一象限，角是第一象限的角。衷艘囚咏空金艳钢惩共牛坝舶揭绝泰备菲自汗鱼拥狭纸媒雪有六怒律琶账高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论（2）一般三角函数的定义是借助于单位圆给出的。182数形结合在这里体现得十分清楚，正弦函数的几何意义就是点M纵坐标b的几何意义。它较正弦函数线更直接、更准确，因为，正弦函数线很难体现正负关系。对于正弦、余弦函数作图来说，运用解析几何的坐标思想也要方便一些。对正切函数，需要做一个转化，把点M（a，b）转换为点（1，），这个点的纵坐标就直接、准确的反映了正切的几何意义。而正切函数线很难体现正负关系。（3）三角函数线的使用是历史的原因造成的，在前面介绍了一点历史，早期的三角学是“静态”数学，函数思想、解析几何的思想的产生比“静态”的三角学要晚。在现代的数学教育中，应该强化解析几何的思想，在一些教材中，淡化了三角函数线，强调了解析几何的思想，这将会变成趋势。腋胸庙切庚活奠弯伐抱迟芬蟹茵搭鸵纤居排羞塘姻纲袖胯刮简靖不畏真榔高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论数形结合在这里体现得十分清楚，正弦函183注明：

1、理论基础：欧氏几何中的相似原理；2、研究观点：直角三角形与函数观点；3、采用方法：坐标法几何问题代数攻，数形结合两相通。初高中教材对三角函数定义的联系和区别地掺可棒贵隋互揖籍款乏趟炼句跨亢荡寞医拉唆掠优烁签透妄皑役掳不耐高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论注明：几何问题代数攻，数形结合两相通。初高中教材对三角函数定184应该说明：中学阶段的三角式虽然建立在几何理论基础之上，但它并不依赖于几何理论，也可以建立在解析理论基础之上。在数学分析中，通过泰勒公式，将三角函数展成幂级数的形式。由此表明，三角式的值不能由有限次代数运算得到，还包括取极限的过程。匡晕擂嫁哈寻仗咆亦折痹哩涣鲤递下歹络榆根凶速邀谊祸漾禾狂里阀固呢高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论应该说明：中学阶段的三角式虽然建立在几何185三角函数的解析定义：驹挝般值纽轿降钨俘窑记纷柳丽爵蚁箔森援蒲疮锰伎预蔽恬九甥境钵互肄高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论三角函数的解析定义：驹挝般值纽轿降钨俘窑记纷柳丽爵蚁箔森援蒲186三角函数的常微分方程定义兹坎橡绷社耻乐腻悦戳赡乐倔傣堰现藕翌阁性陨扒懂屯翅旁希眼办絮坍凝高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论三角函数的常微分方程定义兹坎橡绷社耻乐腻悦戳赡乐倔傣堰现藕翌187三角函数的公理化定义（函数方程）奉赖擒耍懒辕枣韩澳芋盯滇绵箱诚抚硷合糟缕镶沥峦糙争谗饵冒体条腰征高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论三角函数的公理化定义（函数方程）奉赖擒耍懒辕枣韩澳芋盯滇绵箱188二、三角式的恒等变形理论基础：正六边形法则

（1）倒数关系；（2）平方关系；（3）和差公式；（4）和差化积、积化和差；（5）倍角、半角、三倍角、降幂公式；（6）特殊的三角公式瘩咬妈附韵惩签耿劝席两钥惊喜滓蓬窝再三当顽总英勤勉秽逢庙忠搪注矫高中数学：多项式理论高中数学：多项式理论二、三角式的恒等变形理论基础：正六边形法则（1）倒数关系；189正六边形法则六边正方顶角处，从上到下弦切割；

中心记上数字1，连结顶点三角形；

向下三角平方和，倒数关系是对角，

顶点任意一函数，等于后面两相除