高中数学新版必修一课时跟踪检测（二十三） 对数的运算

课时跟踪检测（二十三）对数的运算A级——学考合格性考试达标练1．计算2log63＋log64的结果是()A．2 B．log62C．log63 D．3解析：选A2log63＋log64＝log69＋log64＝log636＝2.2．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，n∈N*，则下列各式：(1)(logax)n＝nlogax；(2)(logax)n＝logaxn；(3)logax＝－logaeq\f(1,x)；(4)eq\r(n,logax)＝eq\f(1,n)logax；(5)eq\f(logax,n)＝logaeq\r(n,x).其中正确的有()A．2个 B．3个C．4个 D．5个解析：选A根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M＞0，a＞0，且a≠1)知(3)与(5)正确．3．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是()A．a－2 B．3a－(1＋a)C．5a－2 D．－a2＋3解析：选A∵a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a4．计算eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)log64＋log63))(log312－2log32)＝()A．0 B．1C．2 D．4解析：选Beq\f(1,2)log64＋log63＝log64＋log63＝log62＋log63＝log66＝1，log312－2log32＝log312－log34＝log33＝1，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)log64＋log63))·(log312－2log32)＝1，故选B.5．已知log34·log48·log8m＝log416，则mA．eq\f(9,2) B．9C．18 D．27解析：选B∵log34·log48·log8m＝eq\f(lg4,lg3)·eq\f(lg8,lg4)·eq\f(lgm,lg8)＝eq\f(lgm,lg3)＝2，∴lgm＝2lg3，∴m＝9.6．已知a2＝eq\f(16,81)(a＞0)，则loga＝________．解析：由a2＝eq\f(16,81)(a＞0)得a＝eq\f(4,9)，所以logeq\f(4,9)＝logeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝2.答案：27．lgeq\r(5)＋lgeq\r(20)的值是________．解析：lgeq\r(5)＋lgeq\r(20)＝lgeq\r(100)＝lg10＝1.答案：18．若logab·log3a＝4，则b解析：logab·log3a＝eq\f(lgb,lga)·eq\f(lga,lg3)＝eq\f(lgb,lg3)＝4，所以lgb＝4lg3＝lg34，所以b＝34＝81.答案：819．用logax，logay，logaz表示下列各式：(1)loga(x2yz)；(2)logaeq\f(x2,yz)；(3)logaeq\f(\r(x),y2z).解：(1)loga(x2yz)＝logax2＋logay＋logaz＝2logax＋logay＋logaz.(2)logaeq\f(x2,yz)＝logax2－loga(yz)＝2logax－(logay＋logaz)＝2logax－logay－logaz.(3)logaeq\f(\r(x),y2z)＝logaeq\r(x)－loga(y2z)＝eq\f(1,2)logax－2logay－logaz.10．计算：(1)2log32－log3eq\f(32,9)＋log38；(2)log3(9×272)＋log26－log23＋log43×log316.解：(1)原式＝log34－log3eq\f(32,9)＋log38＝log39＝2.(2)原式＝log3(32×36)＋log2eq\f(6,3)＋log43·2log34＝log338＋log22＋2＝11.B级——面向全国卷高考高分练1．若lgx－lgy＝t，则lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(3)－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq\s\up12(3)＝()A．3t B．eq\f(3,2)tC．t D．eq\f(t,2)解析：选Algeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(3)－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq\s\up12(3)＝3lgeq\f(x,2)－3lgeq\f(y,2)＝3lgeq\f(x,y)＝3(lgx－lgy)＝3t.2．若log5eq\f(1,3)·log36·log6x＝2，则x等于()A．9 B．eq\f(1,9)C．25 D.eq\f(1,25)解析：选D由换底公式，得eq\f(－lg3,lg5)·eq\f(lg6,lg3)·eq\f(lgx,lg6)＝2，lgx＝－2lg5，x＝5－2＝eq\f(1,25).3．若a≠b，且logab＝logba，则ab的值为()A．1 B．2C．eq\f(1,4) D．4解析：选A∵logab＝logba，∴eq\f(lgb,lga)＝eq\f(lga,lgb)，∴(lgb)2＝(lga)2.∵a≠b，∴lga＝－lgb，∴lga＝lgeq\f(1,b)，∴ab＝1.4．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与eq\f(M,N)最接近的是(参考数据：lg3≈0.48)()A．1033 B．1053C．1073 D．1093解析：选D由已知得，lgeq\f(M,N)＝lgM－lgN≈361×lg3－80×lg10≈361×0.48－80＝93.28＝lg1093.28.故与eq\f(M,N)最接近的是1093.5．化简：log3eq\f(1,2)＋log3eq\f(2,3)＋log3eq\f(3,4)＋…＋log3eq\f(80,81)＝______．解析：原式＝log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(2,3)×\f(3,4)×…×\f(80,81)))＝log3eq\f(1,81)＝－4.答案：－46.eq\f(lg3＋2lg2－1,lg1.2)＝________．解析：eq\f(lg3＋2lg2－1,lg1.2)＝eq\f(lg3＋lg22－1,lg1.2)＝eq\f(lg12－1,lg1.2)＝eq\f(lg12－lg10,lg1.2)＝eq\f(lg\f(12,10),lg1.2)＝eq\f(lg1.2,lg1.2)＝1.答案：17．计算下列各式的值：(1)log535＋2logeq\r(2)－log5eq\f(1,50)－log514；(2)log225·log3eq\f(1,16)·log5eq\f(1,9)；(3)eq\f(2lg2＋lg3,1＋\f(1,2)lg0.36＋\f(1,3)lg8).解：(1)原式＝log535＋log550－log514＋2log2＝log5eq\f(35×50,14)＋log2＝log553－1＝2.(2)log225·log3eq\f(1,16)·log5eq\f(1,9)＝log252·log32－4·log53－2＝2log25×(－4log32)×(－2log53)＝16log25×log32×log53＝16×eq\f(lg5,lg2)×eq\f(lg2,lg3)×eq\f(lg3,lg5)＝16.(3)eq\f(2lg2＋lg3,1＋\f(1,2)lg0.36＋\f(1,3)lg8)＝eq\f(lg4＋lg3,1＋\f(1,2)lg0.62＋\f(1,3)lg23)＝eq\f(lg12,1＋lg0.6＋lg2)＝eq\f(lg12,lg10＋lg0.6＋lg2)＝eq\f(lg12,lg12)＝1.8．已知x，y，z为正数，且3x＝4y＝6z.(1)求使2x＝py成立的p的值；(2)求证：eq\f(1,2y)＝eq\f(1,z)－eq\f(1,x).解：(1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k＞0且k≠1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k，由2x＝py得2log3k＝plog4k＝p·eq\f(log3k,log34)，因为log3k≠0，所以p＝4log32.(2)证明：eq\f(1,z)－eq\f(1,x)＝eq\f(1,log6k)－eq\f(1,log3k)＝logk6－logk3＝logk2＝eq\f(1,2)logk4＝eq\f(1,2log4k)＝eq\f(1,2y).C级——拓展探索性题目应用练若a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．解：原方程可化为2(lgx)2－4lgx＋1＝0.设t＝lgx，则方程化为2t2－4t＋1＝0，∴t1＋t2＝2，t1·t2＝eq\f(1,2).又∵a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，∴t1＝lga，t2＝lgb，即lga＋lgb＝2，lga·lgb＝eq\f(1,2).∴lg(ab)·(logab＋logba)＝(lga＋lg