高二数学《“杨辉三角”与二项式系数的性质》课件

“杨辉三角”与二项式系数的性质高二年级数学用计算器计算

展开式的二项式系数并填入下表.探究

n123456用计算器计算

展开式的二项式系数并填入下表.探究

n11121213133141464151510105161615201561通过计算填表，你发现了什么规律？(a+b)1…………11(a+b)2…………121(a+b)3…1331(a+b)4…14641(a+b)5…………15101051(a+b)6…………1615201561(a+b)1…………11(a+b)2…………121(a+b)3…1331(a+b)4…14641(a+b)5…………15101051(a+b)6…………1615201561我们可以从中发现，每一行的系数具有对称性.除此之外,还有什么规律呢？上表中蕴含着许多规律,例如：在同一行中,每行的两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；(a+b)1…………11(a+b)2…………121(a+b)3…1331(a+b)4…14641(a+b)5…………15101051(a+b)6…………1615201561(a+b)1…………11(a+b)2…………121(a+b)3…1331(a+b)4…14641(a+b)5…………15101051(a+b)6…………1615201561在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.

事实上,设表中任一不为1的数为,那么它肩上的两个数分别为及,容易证明：此式是二项式系数的性质，也是组合数的性质.(a+b)1…………11(a+b)2…………121(a+b)3…1331(a+b)4…14641(a+b)5…………15101051(a+b)6…………1615201561我们还可以从中发现什么规律呢？规律是什么？为什么？(a+b)1…………11(a+b)2…………121(a+b)3…1331(a+b)4…14641(a+b)5…………15101051(a+b)6…………1615201561我们还可以从中发现什么规律呢？规律是什么？为什么？(a+b)1…………11(a+b)2…………121(a+b)3…1331(a+b)4…14641(a+b)5…………15101051(a+b)6…………1615201561我们还可以从中发现什么规律呢？规律是什么？为什么？(a+b)1…………

(a+b)2…………

(a+b)3…

(a+b)4…(a+b)5…………

(a+b)6…………我们还可以从中发现什么规律呢？规律是什么？为什么？根据你发现的规律，猜想下列数列的前若干项的和：

一般地，根据你发现的规律，猜想下列数列的前若干项的和：

一般地，根据你发现的规律，猜想下列数列的前若干项的和：

一般地，如何证明这个规律呢？实际上，上述等式我们可以用已有的性质进行证明

根据(a+b)1…………

(a+b)2…………

(a+b)3…

(a+b)4…(a+b)5…………

(a+b)6…………我们还可以从中发现什么规律呢？实际上，上述等式我们可以用已有的性质进行证明

根据实际上，上述等式我们可以用已有的性质进行证明

根据实际上，上述等式我们可以用已有的性质进行证明

根据实际上，上述等式我们可以用已有的性质进行证明

根据实际上，上述等式我们可以用已有的性质进行证明

根据

事实上，这个表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里已经出现了.所不同的只是这里的表用阿拉伯数字表示，在那本书里是用汉字表示（如右图）.我们称这个表为杨辉三角.

杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》.在编写这些算书时，杨辉广泛引用古代数学典籍，使得我们能够了解许多已经失传的数学方法.杨辉在《详解九章算法》里指出，杨辉三角这种方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约11世纪）曾用过，由此可以推断，我国发现这个表不晚于11世纪.“释锁”和开方有关，杨辉三角原名为“开方作法本源图”，也有人称为“乘方求廉图”，在我国古代用来作为开方的工具.

在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（B.Pascal，1623—1662)首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.111121133114641151010511615201561……在我国古代，杨辉三角是解决很多数学问题的有力工具，像开方问题、数列问题等.正因为杨辉三角中的数与开方、解方程、组合数学、概率论都有密切的关系，所以历代数学家从不同角度研究它的性质.杨辉三角中的五句话，前三句“左袤乃积数，右袤乃隅算，中藏者皆廉”分别说明了图中数字代表的意义，后两句“以廉乘商方，命实而除之”说明了如何应用各行系数进行开方.杨辉三角中的五句话，前三句“左袤乃积数，右袤乃隅算，中藏者皆廉”分别说明了图中数字代表的意义，后两句“以廉乘商方，命实而除之”说明了如何应用各行系数进行开方.大家可以结合资料，探究一下开方算法的具体操作及其中蕴含的算法思想，感受我国古代数学的独特风格.

对于展开式的二项式系数我们还可以从函数角度来分析它们.

可看成是以

r为自变量的函数

f(r)，其定义域是{0，1，2，…，n}.对于确定的

n，我们还可以画出它的图象.

对于展开式的二项式系数我们还可以从函数角度来分析它们.

可看成是以

r为自变量的函数

f(r)，其定义域是{0，1，2，…，n}.对于确定的

n，我们还可以画出它的图象.例如，当

n=6时，其图象是7个孤立点，如图所示分别画出

n=7，8，9时的函数图象，能看出它们有哪些异同吗？n=7时分别画出

n=7，8，9时的函数图象，能看出它们有哪些异同吗？n=7时n=8时分别画出

n=7，8，9时的函数图象，能看出它们有哪些异同吗？n=7时n=8时n=9时分别画出

n=7，8，9时的函数图象，能看出它们有哪些异同吗？n=7时n=8时n=9时结合这几个函数图象，我们可以尝试找到一些二项式系数的规律.（1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式得到.直线将函数

f(r)的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴.二项式系数的性质（2）增减性与最大值.因为

二项式系数的性质（2）增减性与最大值.因为

所以相对于的增减情况由决定.二项式系数的性质（2）增减性与最大值.

二项式系数的性质由可知，当时，二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间

取得最大值.二项式系数的性质（2）增减性与最大值.当

n是偶数时，中间的一项取得最大值；

当

n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值.（3）各二项式系数的和.已知令

x=1，则

二项式系数的性质（3）各二项式系数的和.已知令

x=1，则

二项式系数的性质（3）各二项式系数的和.已知令

x=1，则这就是说，的展开式的各个二项式系数的和

等于.二项式系数的性质例3

试证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.分析：奇数项的二项式系数的和为

例3

试证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.分析：奇数项的二项式系数的和为

偶数项的二项式系数的和为

例3

试证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.分析：由于中的

a，b可以取任意实数，因此我们可以通过对

a，b适当赋值来得到上述两个系数和.例3

试证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.例3

试证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.证明：在展开式

中，例3

试证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.证明：在展开式

中，令

a=1，b=－1，则得例3

试证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.证明：在展开式

中，令

a=1，b=－1，则得例3

试证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.证明：即

例3

试证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.证明：即

所以，例3

试证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.证明：即

所以，即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.例3

试证：在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.证明：实际上，联想到

把它看成是关于

x的函数，即那么

f(－1)=0，由此很容易得到要证明的结果.1.填空：（1）的各二项式系数的最大值是___________；练习1.填空：（1）的各二项式系数的最大值是___________；解：根据二项式系数的性质，当

n是偶数时，中间的一项取得最大值，为；

当

n是奇数时，中间的两项相等，同时取得

最大值.练习1.填空：（1）的各二项式系数的最大值是___________；解：故解答为：

当

n是偶数时，最大值为；

当

n是奇数时，最大值为.

练习1.填空：（2）

___________；

练习1.填空：（2）

___________；解：根据二项式系数的性质，可知

练习1.填空：（2）

___________；解：根据二项式系数的性质，可知

同时

练习1.填空：（2）

___________；解：故可知

故解答为：1024.

练习1.填空：（3）

___________.

练习1.填空：（3）

___________.解：根据二项式系数的性质，可得：

练习1.填空：（3）

___________.解：根据二项式系数的性质，可得：

练习1.填空：（3）

___________.解：从而

练习1.填空：（3）

___________.解：从而

故解答为：

练习1.填空：（4）的展开式各项系数的最小值是___________；解：根据二项式系数的性质，当

n是奇数时，中间的两项相等，同时取得最大值.练习1.填空：（4）的展开式各项系数的最小值是___________；解：当n=

9时，展开式中间两项二项式系数相等，同时取得最大值.即由于展开式中奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，故系数的最小值为练习2.证明：（

n是偶数）.

练习2.证明：（

n是偶数）.

解：因为

练习2.证明：（

n是偶数）.

解：因为

练习2.证明：（

n是偶数）.

解：所以

练习2.证明：（

n是偶数）.

解：所以

练习2.证明：（

n是偶数）.

解：所以

练习2.证明：（

n是偶数）.

解：所以

练习2.证明：（

n是偶数）.

解：所以

故练习3.写出

n从1到10的二项式系数表.

练习3.写出

n从1到10的二项式系数表.

解：

练习111211331146411510105116152015613.写出

n从1到10的二项式系数表.

解：

练习111211331146411510105116152015611721353521713.写出

n从1到10的二项式系数表.

解：

练习11121133114641151010511615201561172135352171182856705628813.写出

n从1到10的二项式系数表.

解：

练习1112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843