多属性决策讲义课件

管理决策分析裴凤peifeng@合肥工业大学管理学院

1管理决策分析裴凤1第四章多属性决策第一节多属性决策问题第二节确定权重的常用方法第三节加权和法第四节TOPSIS法第五节层次分析法第六节数据包络分析法2第四章多属性决策第一节多属性决策问题2第一节多属性决策问题引例设某人拟购买住宅一栋，有四所房屋可供选择，房屋的合意程度用五个指标去衡量，即价格、使用面积、距工作地点的距离、设备、环境。见下表的决策矩阵：指标方案价格C1(万元)使用面积C2(m2)上班距离C3(公里)设备C4环境C5A16010010好好A250808差一般A3365020一般很好A4447012一般很好3第一节多属性决策问题引例设某人拟购买住宅一栋，有四所一、决策矩阵设有n个决策指标Cj(j=1,2,…,n)，m个可行方案Ai(i=1,2,…,m)，方案Ai在指标Cj

下的指标（属性）值为xij，则有如下决策矩阵(或属性值表)：指标方案C1…Cj…CnA1x11…x1j…x1n………………Aixi1…xij…xin………………Amxm1…xmj…xmn第一节多属性决策问题4一、决策矩阵设有n个决策指标Cj(j=1,2,…,n例1

研究生院试评估指标方案人均专著C1（本/人）生师比C2科研经费C3（万元/年）逾期毕业率C4（%）A10.1550004.7A20.2740002.2A30.61012603.0A40.3430003.9A52.822841.2第一节多属性决策问题5例1研究生院试评估指标人均专著C1生师例2

某航空公司在国际市场买飞机，按6个决策指标对不同型号的飞机进行综合评价。这6个指标是，最大速度（C1）、最大范围（C2）、最大负载（C3）、价格（C4）、可靠性（C5）、灵敏度（C6）。现有4种型号的飞机可供选择，具体指标值如表。写出决策矩阵，并用向量归一化法处理。指标机型最大速度马赫最大范围公里最大负载千克费用106美元可靠性灵敏度A12.01500200005.5一般很高A22.52700180006.5低一般A31.82000210004.5高高A42.21800200005.0一般一般第一节多属性决策问题6例2某航空公司在国际市场买飞机，按6个决策指标对不同型号的数据的预处理又称属性值的规范化（标准化），主要有如下作用：1.区分属性值的多种类型使得对于任一属性，其属性值都是越大越好。2.无量纲化多属性决策的目标间具有不可公度性，即在属性值表中每一列数据都具有不量纲。即使对同一属性，采用不同的计量单位，表中的数值也会不同。需要排除量纲的选用对决策结果的影响。3.归一化将属性值变换到[0,1]区间上。二、数据的预处理第一节多属性决策问题7数据的预处理又称属性值的规范化（标准化），主要有如下作用定性指标量化处理方法等级分值指标很低低一般高很高正向指标13579逆向指标97531将定性指标按性质划分为若干级别，分别赋予不同的量值。一般可以划分为五个级别，最优值10分，最劣值0分。其余级别赋予适当的分值。也可以划分为其他级别和赋予其他分值，方法类似，视具体情况而定。具体分值见表。第一节多属性决策问题8定性指标量化处理方法等级很低低一般高很高正向指标指标机型最大速度(马赫)最大范围(公里)最大负载(千克)费用(106美元)可靠性灵敏度A12.01500200005.5一般很高A22.52700180006.5低一般A31.82000210004.5高高A42.21800200005.0一般一般指标机型最大速度(马赫)最大范围(公里)最大负载(千克)费用(106美元)可靠性灵敏度A12.01500200005.559A22.52700180006.535A31.82000210004.577A42.21800200005.055第一节多属性决策问题9指标最大速度最大范围最大负载费用可靠性灵敏度A12.1.向量归一化法在决策矩阵中，令

则矩阵Y=(yij)m×n称为向量归一标准化矩阵。显然，矩阵Y的列向量的模等于1，即经过向量归一化处理后，其指标均满足0≤yij≤1,并且，正、逆向指标的方向没有发生变化。第一节多属性决策问题101.向量归一化法在决策矩阵中，令则矩阵Y=(yij)m×n指标机型最大速度马赫最大范围公里最大负载千克费用106美元可靠性灵敏度A12.01500200005.559A22.52700180006.535A31.82000210004.577A42.21800200005.055第一节多属性决策问题11指标最大速度最大范围最大负载费用可靠性灵敏度A12.2.线性比例变换法

在决策矩阵中，取对于正向指标Cj，则对于逆向指标Cj，则

经过线性比例变换后，其指标均满足0≤yij≤1,并且正、逆向指标均化为正向指标，最优值为1，最劣值为0。第一节多属性决策问题122.线性比例变换法在决策矩阵中，取对于正向指标Cj，则对于指标机型Ai最大速度马赫最大范围公里最大负载千克费用106美元可靠性灵敏度A12.01500200005.559A22.52700180006.535A31.82000210004.577A42.21800200005.055max2.52700210006.579min1.81500180004.535第一节多属性决策问题13指标最大速度最大范围最大负载费用可靠性灵敏度A12.3.极差变换法正向指标逆向指标

经过极差变换后，其指标均满足0≤yij≤1,并且正、逆向指标均化为正向指标，最优值为1，最劣值为0。

第一节多属性决策问题143.极差变换法正向指标逆向指标经过极差变换后，其指标指标机型Ai最大速度马赫最大范围公里最大负载千克费用106美元可靠性灵敏度A12.01500200005.559A22.52700180006.535A31.82000210004.577A42.21800200005.055max2.52700210006.579min1.81500180004.535第一节多属性决策问题15指标最大速度最大范围最大负载费用可靠性灵敏度A12.4.标准样本变换法其中，样本均值样本均方差矩阵称为标准样本变换矩阵。经过标准样本变换之后，标准化的矩阵的样本均值为0，方差为1。第一节多属性决策问题164.标准样本变换法其中，样本均值样本均方差矩阵称为标准样本变5.区间型指标(指标值落在某个区间为最好)：

其中，为区间指标的适度区间。6.居中型指标：

其中，qj为居中指标的理想值。第一节多属性决策问题175.区间型指标(指标值落在某个区间为最好)：其中，逐对比较法是一种主观赋权法。

基本思想：将属性按重要性进行两两比较，根据三级比例标度进行评分，各属性得分与所有属性总得分之比即为该属性的权重。

1.逐对比较法第二节确定权重的常用方法18逐对比较法是一种主观赋权法。1.逐对比较法第二节确定权重设有n个指标C1,C2,…,Cn，按三级比例标度评分值为aij，三级比例标度的含义是当Ci比Cj重要时当Ci与Cj同等重要时当Ci比Cj不重要时评分值构成矩阵A=(aij

)n*n显然，该矩阵单元之间存在如下的关系指标Ck的权重系数分别为第二节确定权重的常用方法19设有n个指标C1,C2,…,Cn，按三级比例标度评分值

最大速度C1最大范围C2最大负载C3费用C4可靠性C5灵敏度C6评分总计权重wiC10.51110.5040.22C001.50.08C30001.50.08C40001.50.08C50.51110.5040.22C611114/181.5/185.5/18第二节确定权重的常用方法20最大速度C1最大范围C2最大负载C3费用可靠性C5灵连环比率法也是一种主观赋权法，其基本思路是：将所有指标排成一列，从上到下比较相邻两个指标重要性，并赋予一个比率值，对最后一个指标赋予1。再从下到上，依次求出各指标修正评分值，最后，进行归一化处理，求得各指标的权重。（1）设有n个指标C1,C2,…,Cn，将Ci与Ci+1比较，赋予Ci以比率值ri，ri按三级比例标度：

Ci比Ci+1重要（或相反）Ci比Ci+1较重要（或相反）

Ci与Ci+1同等重要2.连环比率法第二节确定权重的常用方法21连环比率法也是一种主观赋权法，其基本思路是：将所有指标排成一

比率值ri修正评分值ki权重wi最大速度C13最大范围C21最大负载C31费用C41/3可靠性C51/2灵敏度C61和（2）计算各指标修正评分值（3）归一化处理，11/21/61/61/61/70.070.070.200.401.01第二节确定权重的常用方法22比率值ri修正评分值ki权重wi最大速度C13最大熵是信息论中一个衡量系统不确定性的量。不确定性越大，熵越大；反之，不确定性越小，熵越小。3.熵值法熵值法依据各指标所包含的信息量大小确定指标权重，是一种客观赋权法。（1）对决策矩阵用线性比例变换法进行标准化处理，得标准化矩阵Y=(yij)m*n，并进行归一化处理，得第二节确定权重的常用方法23熵是信息论中一个衡量系统不确定性的量。不确定性越大，（2）计算第j个指标的熵值（3）根据每个指标的熵值求其差异系数，即

指标的差异越大，对方案的评价作用就越大；反之，差异越小，对方案评价的作用越小。根据每个指标的差异系数，确定其权重系数，即第二节确定权重的常用方法24（2）计算第j个指标的熵值（3）根据每个指标的熵值求其差组织若干对决策系统熟悉的专家，采用一定的方式对指标权重独立地发表意见，用统计方法作适当处理。这种方法称为专家赋权法，也称Delphi法。

设有n个决策指标C1,C2,…,Cn，组织l个专家咨询，每个专家确定一组指标权重估计值4.专家赋权法第二节确定权重的常用方法25组织若干对决策系统熟悉的专家，采用一定的方式对指标权重独立地对l个专家给出的权重估计值平均，得到平均估计值根据专家赋值和平均估计值求赋值权重的偏差，即

对于偏差较大的第j个指标的权重估计值，再请第i个专家重新估计权重值。经过几轮反复，直到偏差满足一定要求为止。这样，就得到一组指标权重的平均估计修正值。第二节确定权重的常用方法26对l个专家给出的权重估计值平均，得到平均估计值根据专家赋第三节加权和法步骤（1）用适当方法确定各指标的权重,得到权重向量W=(w1,w2,…,wn)T;（2）对决策矩阵进行标准化处理(要求将所有的指标正向化),得到标准化矩阵Y=(yij)m×n；（3）求出各方案的指标线性加权和（4）按照ui由大到小的顺序对方案进行排序。27第三节加权和法步骤27指标机型Ai最大速度马赫最大范围公里最大负载千克费用106美元可靠性灵敏度A12.01500200005.559A22.52700180006.535A31.82000210004.577A42.21800200005.055例3

使用加权和法对例2的购买飞机问题进行决策。解：用适当方法确定决策指标的权重，得到wT=(0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3)用线性比例变换法得到标准化决策矩阵第三节加权和法28指标最大速度最大范围最大负载费用可靠性灵敏度A12.求得四个方案的加权指标值分别为u1=0.835,u2=0.709,

u3=0.853,

u4=0.738利用公式计算各方案的加权指标值。由此可得最满意方案为a3,且各方案的优劣排序结果为第三节加权和法29求得四个方案的加权指标值分别为利用公式（1）指标体系为树状结构，即每个下级指标只与一个上级指标相关联。（2）每个属性的边际价值是线性的，每两个属性都是相互价值独立的。（3）属性间的完全可补偿性，即某个属性的缺陷可以由其他属性来补偿。使用加权和法的前提条件第三节加权和法30（1）指标体系为树状结构，即每个下级指标只与一个上级指标相关(TechniqueforOrderPreferencebySimilaritytoIdealSolution)基本思想：通过构造理想解和负理想解，并以靠近理想解和远离负理想解两个基准，作为评价各方案的依据。理想解：各指标属性都达到最满意时的解。负理想解：各指标属性都处在最不满意时的解。

早期理想解法只考虑与理想解距离，但有时会出现某两个备选方案与理想解距离相同的情况，为了区分这两个方案的优劣，引入负理想解并计算这两个方案与负理想解的距离，与理想解的距离相同的方案离负理想解远者为优。这就出现了后来的双基点理想解法，现仍称为理想解法。第四节理想点法（TOPSIS）31(TechniqueforOrderPreferenc

准则准则

TOPSIS理想解与负理想解图形

说明：最佳方案亦即距离理想解最近，同時距离负理想解最

远的方案。第四节理想点法（TOPSIS）32准则准则TOPSIS理想解与负理想解图形说明：最佳方价格使用面积A160100A25080A33650A44470A+36100A-6050A-A+

确定了理想解和负理想解，还需要定义一个距离测度表示各方案与理想解和负理想解的距离，TOPSIS法所用的是欧氏距离.A1A2A3A4第四节理想点法（TOPSIS）例如，A2到A+的距离为33价格使用面积A160100A25080A33650A4447（1）用向量规一化方法求得标准化决策矩阵Y=(yij)m*n,设多属性决策问题的决策矩阵X=(xij)m*n,指标权重向量为W=(w1,w2,…,wn)T，则理想点法的步骤为：（2）计算加权标准化决策矩阵V=(vij)m*n理想点法的步骤第四节理想点法（TOPSIS）34（1）用向量规一化方法求得标准化决策矩阵Y=(yij)m（4）计算各方案到理想解与负理想解的距离。方案Ai到负理想解V-的距离方案Ai到理想解V+的距离（5）计算各方案的相对贴近度（6）按Ci由大到小对方案排序。（3）确定理想解V+和负理想解V-，定义如下：

其中，第四节理想点法（TOPSIS）35（4）计算各方案到理想解与负理想解的距离。方案Ai到负理指标机型Ai最大速度马赫最大范围公里最大负载千克费用106美元可靠性灵敏度A12.01500200005.559A22.52700180006.535A31.82000210004.577A42.21800200005.055例4

使用理想解法对例2的购买飞机问题进行决策。解：用适当方法确定决策指标的权重，得到wT=(0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3)用向量归一化法得到标准化决策矩阵第四节理想点法（TOPSIS）36指标最大速度最大范围最大负载费用可靠性灵敏度A12.计算加权标准化决策矩阵，可得确定理想解和负理想解V+=(0.1168,0.0659,0.0531,0.0414,0.1347,0.2012)V-=(0.0841,0.0366,0.0455,0.0598,0.0577,0.1118)计算各方案到理想解和负理想解的距离S1+=0.0545,S2+=0.1197,S3+=0.0580,S4+=0.1009S1-=0.0983,S2-=0.0439,S3-=0.0920,S4-=0.0548第四节理想点法（TOPSIS）37计算加权标准化决策矩阵，可得确定理想解和负理想解计算各方案到计算各方案的相对贴近度C1=0.643,C2=0.268,C3=0.613,C4=0.312按Ci由大到小对方案排序第四节理想点法（TOPSIS）38计算各方案的相对贴近度按Ci由大到小对方案排序第四节理想点第五节层次分析法(AHP)

层次分析法（TheAnalyticalHierarchyProcess）是美国运筹学家、匹兹堡大学教授T.L.Saaty在20世纪70年代初提出来的。它是处理多目标、多准则、多要素、多层次的复杂问题，进行决策分析、综合评价的一种简单、实用而有效的方法，是一种定性分析与定量分析相结合的方法。39第五节层次分析法(AHP)层次分析法（The基本思路：首先根据问题的性质和所要达到的总目标，将问题分解为不同的组成要素，并按照这些要素间的相互关联影响以及隶属关系，将要素按不同层次聚集组合，形成一个多层次分析结构模型。最后将该问题归结为最低层相对最高层(总目标)的比较优劣的排序问题。第五节层次分析法(AHP)40基本思路：首先根据问题的性质和所要达到的总目标，将问题分解为一、AHP的步骤（1）建立层次分析结构模型;

（2）构造判断矩阵;

（3）层次单排序及一致性检验;

（4）层次总排序及一致性检验。

第五节层次分析法(AHP)41一、AHP的步骤（1）建立层次分析结构模型;

（2）构造判断最高层(目标层)：表示系统的目的，即AHP所要达到的目标。中间层(准则层)：表示采用某种措施或政策来实现预定目标所涉及的中间环节，这些环节通常是需要考虑的准则。他可以有多个子层。最低层(措施层)：表示解决问题的措施或政策。确定各层次后，标明上一层与下一层要素之间的联系。层次结构往往用结构模型来描述。1.建立层次分析结构模型

分析评价系统中各基本要素之间的关系，建立系统的递阶层次结构（分解法、ISM法）第五节层次分析法(AHP)42最高层(目标层)：表示系统的目的，即AHP所要达到的目标。确房屋的合意性A房屋C1房屋C2房屋C3房屋C4

价格B1面积B2距离B3设备B4

环境B5

第五节层次分析法(AHP)43房屋的合意性A房屋C1房屋C2房屋C3房屋C4价格B1面总人口A保健水平D1出生率B1

死亡率B2食物营养D2国民收入D3污染程度D4

生育能力C1计划生育政策C2思想、风俗C3期望寿命C4

第五节层次分析法(AHP)44总人口A保健水平D1出生率B1死亡率B2食物营养D2国民

判断矩阵B的含义：相对于上一层某要素，本层次各个要素重要性两两比较的判断值。bij表示要素i与要素j重要性的比值。bij按1－9标度给定

i与j重要性比较biji与j同等重要1i比j稍重要3i比j重要5i比j明显重要7i比j绝对重要9相邻两级间2,4,6,8判断矩阵B具有如下性质：(1)bii=1(2)bij与bji互为倒数2．构造判断矩阵B

b11…b1nB=(bij)n×n

=……

bn1…bnn第五节层次分析法(AHP)45判断矩阵B的含义：相对于上一层某要素，本层次各个要例如：相对于投资合理性，将风险小、利润高和易转产之间的重要性进行两两比较。如b21=3，表示利润高比风险小稍微重要。同理，相对于风险小、利润高、易转产，第三层各有一个方案之间满意度两两比较矩阵。这样，本问题共有四个判断矩阵。11/51/2B3513B221/31B1B3B2B1AB=选择合理投资方向A

风险小B1

家用电器C1利润高B2

易转产B3

紧俏产品C2传统产品C3第五节层次分析法(AHP)46例如：相对于投资合理性，将风险小、利润高和易转产之间的重要性层次单排序：根据判断矩阵计算出某层次各要素相对于上一层次中某要素的相对权重。设有n个事物构成的一个整体W，其分量为：

W=[w1,w2,…,wn]其总体和为1。为了得到每个事物在总体和中的权重，就需两两比较其分量：3．层次单排序及一致性检验一致性：设矩阵A＝(aij)n×n满足对任意i,j,k=1,2,…,n,有aik×akj=aij,则称A为一致性矩阵。第五节层次分析法(AHP)47层次单排序：根据判断矩阵计算出某层次各要素相对于上一层次中某A具有如下性质：①aii＝1②aij与aji互为倒数③完全一致性，即aik×akj=aij,i,j,k=1,…,n第五节层次分析法(AHP)48A具有如下性质：第五节层次分析法(AHP)48

根据矩阵理论，一致性矩阵A的最大特征值等于矩阵A的阶数n。以n个事物为元素的向量W是矩阵A对应于n的特征向量，它表示n个事物在总量和中的权重。也就是说，矩阵A的最大特征值n所对应的特征向量即为被比较事物的权重。第五节层次分析法(AHP)49根据矩阵理论，一致性矩阵A的最大特征值等于矩阵A的特征根法

基本思想：当矩阵A为一致性矩阵时，其特征根问题AW=λW的最大特征值所对应的特征向量归一化后即为排序权重向量。

结论：求A的重要性权重就可以归结为求A的最大特征值所对应的特征向量。第五节层次分析法(AHP)50特征根法基本思想：当矩阵A为一致性矩阵时，其特征根①A的元素按列归一化，即②将归一化后的各列相加再除以n，即为权重向量。权重向量的近似算法1.求和法(算术平均法)第五节层次分析法(AHP)51①A的元素按列归一化，即权重向量的近似算法第五节层次分析法步骤①按行求乘积开n次方根②将归一化为wi,得权重向量W=(w1,w2,…,wn).归一化公式:2.方根法(几何平均法)第五节层次分析法(AHP)52步骤归一化公式:2.方根法(几何平均法)第五节层次分析法(求和法列归一50.670.650.63列相加0.691.940.37除以3

0.2300.6470.123

A

B1B2

B3B＝

B111/32

B2315

B31/21/51例2

分别使用求和法与方根法计算要素B1,B2,B3关于要素A的相对权重。第五节层次分析法(AHP)53求和法列归一5列相方根法连乘2/315

1/10归一化0.2300.6480.122开3次方0.872.470.46

A

B1B2

B3B＝

B111/32

B2315

B31/21/51第五节层次分析法(AHP)54方根法连乘归一化开3次方AB1

B与A都表示元素重要性比值，但A是按定义构造，而B是由主观判断获得，因此两者数学性质并不完全一致，表现在A具有完全一致性③，从而其判断矩阵的最大特征根λ=n。而B不具备性质③，λ大于n，从而把A推广到B所得的结论也有一定误差。为使特征根法仍能适用，须对误差进行检验，若误差在允许范围内，则对B所求的特征向量可近似表示权重。这一检验环节称一致性检验（相容性检验）。例如：例2中的判断矩阵B就不满足完全一致性b13.b32=2×1/5＝2/5，b12=

1/3，b13.b32≠b12第五节层次分析法(AHP)55B与A都表示元素重要性比值，但A是按定义构造，而B

前述A的最大特征值为n，而判断矩阵B的最大特征值λmax>n，可以认为这是B不满足③而产生的结果，B越是不满足③，λmax-n越大，因此，将这一误差值作为衡量A满足完全一致性的程度。一致性指标(ConsistencyIndex)其中第五节层次分析法(AHP)56前述A的最大特征值为n，而判断矩阵B的最大特征值λm

考虑到n越大，判断矩阵B越难满足一致性，所以应对不同阶数的矩阵给予不同的误差限，为此引入随机一致性指标R.I.（1000个样本得到的平均C.I.值）：

n123456789R.I.000.580.921.411.45一致性比率(ConsistencyRatio):C.R.=C.I./R.I.若C.R.<0.1，判断矩阵B具有满意一致性;若C.R.≥0.1，判断矩阵B不具有满意一致性，需要重新构造，直到满意为止。第五节层次分析法(AHP)57考虑到n越大，判断矩阵B越难满足一致性，所以应对不同

A

B1B2B3B＝

B111/32

B2315

B31/21/5111/32BW=3151/21/510.2300.6480.122

0.69=1.9480.367例3

对例2中的判断矩阵B进行一致性检验。故此判断矩阵具有满意一致性。第五节层次分析法(AHP)58AB1B24．层次总排序及一致性检验

b1

b2…bm…C层次总排序C1C2…Cn

c11

c12

…

c1m

c21

c22…

c2m………

cn1

cn2

…

cnm

B1

B2…Bm层次B要素总排序值单排序值层次C要素层次总排序：计算各层要素相对于最高层(总目标)的总权重，并据此对方案等排序。

第五节层次分析法(AHP)594．层次总排序及一致性检验b1b2采用同一层次中所有层次单排序的结果，就可计算对上一层次而言的本层次所有要素重要性的数值。总排序过程从上到下逐层进行，直到得出最后一层的总排序。设以第k-1层的第j个要素为准则的一致性指标为C.I.jk，相应的平均随机一致性指标为R.I.jk,(j=1,2,…,nk-1)，那么第k层的综合指标分别为综合一致性检验第五节层次分析法(AHP)60采用同一层次中所有层次单排序的结果，就可计算对上一层次而当C.R.(k)<0.1时，认为层次结构在第k层以上的判断具有整体满意一致性，否则，认为层次结构在第k层以上的判断不具有整体满意一致性。但在实际应用中，整体一致性检验常常不必进行。第五节层次分析法(AHP)61当C.R.(k)<0.1时，认为层次结构在第k层以上的-以第k-1层要素为准则的一致性指标平均随机一致性指标第k层总排序第k-1层要素第k-1层总排序值单排序值第k层要素层次总排序及一致性检验表第五节层次分析法(AHP)62-以第k-1层要素为准则的一致性指标平均随机一致性第二、AHP的流程图构造判断矩阵B求B的特征向量求B的最大特征值结束一致性检验建立层次分析结构模型修改判断矩阵没有通过第五节层次分析法(AHP)63二、AHP的流程图构造判断矩阵B求B的特征向量求B的最大特征三、应用举例

例4

某省轻工部门有一笔资金欲投资生产轻工产品。现拟定三个投资方案:(1)生产某种家用电器；(2)生产某种紧俏产品；(3)生产传统产品。评价和选择投资方案的准则是：风险程度、资金利润率和转产难易程度。经初步分析认为：若投资用来生产家用电器，其优点是资金利润率高，但因竞争厂家多，故所冒风险也大，且今后若要转产其他产品也较困难。若资金用来生产传统产品，情况正好相反，即其优点是所冒风险小，今后若要转产也较方便，但资金利润却很低。生产紧俏产品的投资方案，其优缺点则介于上述两种方案之间。因此，对上述三种投资方案不能立即作出评价与决策。第五节层次分析法(AHP)64三、应用举例例4某省轻工部门有一笔资金欲投资生产轻1.建立层次分析结构模型

A

B1

B2

B3Wi0C.R.=C.I./R.I.

B111/320.230

B23150.6480.004/0.58=0.007＜0.10

B31/21/510.122选择合理投资方向A

风险小B1

家用电器C1利润高B2

易转产B3

紧俏产品C2传统产品C32.构造判断矩阵，进行层次单排序及一致性检验。第五节层次分析法(AHP)651.建立层次分析结构模型AB1B2

B1

C1

C2

C3Wi0C.R.

C111/31/50.105

C2311/30.2580.022/0.58=0.038＜0.10

C35310.637

B2

C1

C2

C3Wi0C.R.

C11270.592

C21/2150.3330.008/0.58=0.014＜0.10

C31/71/510.075

B3

C1

C2

C3Wi0C.R.

C111/31/70.081

C2311/50.1880.035/0.58=0.06＜0.10

C37510.731第五节层次分析法(AHP)66B1C1C2C3Wi00.230×0.105+0.648×0.592+0.122×0.0810.230×0.022+0.648×0.008+0.122×0.035层次B要素

B层总排序值单排序值层次C要素B1B2B3综合重要度0.2300.6480.122C1C2C30.1050.2580.6370.5920.333

0.0750.0810.1880.7310.4180.2980.284C.I.0.0220.0080.0350.015R.I.0.580.580.580.583.层次总排序及一致性检验。C.R.=C.I/R.I.=0.015/0.58=0.025<0.1第五节层次分析法(AHP)670.230×0.105+0.648×0.592+0.122×总人口A

保健水平D1出生率B1

死亡率B2食物营养D2国民收入D3污染程度D4

生育能力C1计划生育政策C2思想、风俗C3期望寿命C4

例5四级递阶结构的AHP算法第五节层次分析法(AHP)68总人口A保健水平D1出生率B1死亡率B2食物营养D2国民

A

B1

B2

Wi0C.R.

B1140.8

B21/410.20＜0.1

B1

C1

C2

C3Wi0C.R.

C111/41/20.143

C24120.571

0.002/0.58=0.003<0.1

C321/210.286

B2

C4

Wi0C.R.

C411

0<0.11.构造判断矩阵，进行层次单排序及一致性检验。第五节层次分析法(AHP)69AB1B2Wi0

C1

D1

D2

D3Wi0C.R.

D111/21/40.136

D2211/30.239

0.014/0.58=0.024<0.1

D34310.625

C2

D3

Wi0C.R.

D311

0

<0.1

C3

D3

Wi0C.R.D311

0<0.1

C4

D1

D2

D3D4Wi0C.R.

D1121/330.245

D21/211/320.1570.067/0.96=0.07<0.1

D333140.505

D41/31/21/410.452第五节层次分析法(AHP)70C1D1D2D3Wi0

BiCjiCjB1B2综合重要度0.80.2C1C2C3C40.1430.5710.28610.1140.4570.2290.200C.I.0.00200.0016R.I.0.5800.464二级综合重要度计算表2.层次总排序及一致性检验C.R.=C.I/R.I.=0.0016/0.464<0.1第五节层次分析法(AHP)71BiB1B20.80.2C10.1430.114

CiDjiDjC1C2C3C4综合重要度0.1140.4570.2290.200D1D2D3D40.1360.2390.625110.2450.1570.5050.0930.0650.0580.8580.019C.I.0.014000.0670.015R.I.0.58000.960.258三级综合重要度计算表C.R.=C.I/R.I.=0.015/0.258<0.1第五节层次分析法(AHP)72CiC1C2C3C4综合0.1140.4570.改进的1-9标度——Ax标度Ax标度赋值因素i与j相比较的重要程度等级901同等重要91/81.3161稍微重要92/81.7321重要94/83明显重要96/85.1962强烈重要98/89极端重要参考书籍：《系统工程定量技术批判与创新》,张志勇，陕西人民出版社。第五节层次分析法(AHP)73改进的1-9标度——Ax标度Ax赋值因素i与j相比较的90第六节数据包络分析法1.DEA的产生数据包络分析是运筹学、管理科学和数理经济学交叉研究的一个新的领域，它是由A.Charnes和W.W.Cooper等人于1978年创建的。DEA是使用数学规划模型评价具有多个投入和多个产出的部门或单位间的相对有效性。(DataEnvelopmentAnalysis——DEA)1978年,Charnes、Cooper、Rhodes，C2R模型1985年,Charnes、Cooper、Golany、Seiford、Stutz,C2GS2模型1986年,Charnes、Cooper、魏权龄,C2W模型74第六节数据包络分析法1.DEA的产生数据国外：评价为弱智儿童开设的公立学校项目2.DEA的应用研究工作国内：1986年，周泽昆、陈珽等，中小学教育1988年，魏权龄等，学会1989年，余学林，科技情报机构1990年，李树根、杨印生等，机械部所属院校的科研相对有效性1992年，杨印生等，高校实验室管理效率第六节数据包络分析法75国外：2.DEA的应用研究工作国内：第六节数据包络分析法DEA适用于具有多投入多产出的复杂系统（1）DEA以各投入产出的权系数为决策变量，在最优化的意义上进行评价，避免了在统计平均意义上确定指标权系数，具有内在的客观性。（2）DEA不必给出反映各投入与产出之间关联关系的表达式。3.DEA的优点第六节数据包络分析法76DEA适用于具有多投入多产出的复杂系统3.（1）收集数据。投入、产出数据（2）调整数据。使投入数据的优化方向为越小越好，产出数据的优化方向为越大越好。（3）建模。以N个决策单元为行向量，形成一个N(M+S)维数表，即为标准DEA模型。（4）运行DEA程序，得出效率评价指数，据此判断决策单元是否有效，以及有效的投入量和产出量。4.DEA的操作步骤第六节数据包络分析法77（1）收集数据。投入、产出数据4.DEA的操作步骤第六节二、C2R模型的基本原理1．C2R模型x11x12……x1nx21x22……x2n………xm1xm2……xmny11y12……y1ny21y22……y2n………yp1yp2……ypnv1v2…vmu1u2…up投入产出12……n第六节数据包络分析法78二、C2R模型的基本原理1．C2R模型x11决策单元j的效率指标：hj表示第j个决策单元多指标投入和多指标产出所取得的经济效率，可以适当选择权系数u、v，使得hj

≤1第六节数据包络分析法79决策单元j的效率指标：hj表示第j个决策单元多指标投入和评价第j0个决策单元相对有效性的C2R模型：意义：寻找一组权系数v1,…,vm

和u1,…、up，在全部所考察的决策单元的效率指数hj

满足小于等于1的条件下，使所评价的决策单元

j0的效率指数h0最大。第六节数据包络分析法80评价第j0个决策单元相对有效性的C2R模型：意义：寻找一组权向量形式：其中：第六节数据包络分析法81向量形式：其中：第六节数据包络分析法81利用Charnes-Cooper变换，将上述分式规划问题转化为等价的线性规划问题，令则有：向量形式：第六节数据包络分析法82利用Charnes-Cooper变换，将上述分式规划问题转化(P)的对偶规划问题为：其中为松弛变量，为剩余变量。第六节数据包络分析法83(P)的对偶规划问题为：其中例1设有4个决策单元，2个投入指标和1个产出指标的评价系统，写出评价第1个决策单元相对效率的C2R模型。

1

3343

13212341

121112解得：第六节数据包络分析法84例1设有4个决策单元，2个投入指标和1个产出指标的评价系2．系统的DEA有效性定义1如果LP问题(P)的最优解满足条件则称决策单元j0为弱DEA有效。定义2如果LP问题(P)的最优解满足条件并且则称决策单元j0为DEA有效。定理1

（1）如果(D)的最优值VD=1，则j0为弱DEA有效；反之亦然。（2）如果(D)的最优值VD=1，并且每个最优解都满足条件则j0为DEA有效；反之亦然。

第六节数据包络分析法852．系统的DEA有效性定义1如果LP问题(P)的最优解3．系统DEA有效性的判定为使模型计算简便易行，查恩斯和库伯引入非阿基米德无穷小量ε，得：第六节数据包络分析法863．系统DEA有效性的判定为使模型计算简便易行，查恩定理2设LP问题(Dε)的最优解为则（1）若θ0=1，则j0为弱DEA有效；（2）若θ0=1，并且s0=0，t0=0，则j0为DEA有效。

第六节数据包络分析法87定理2设LP问题(Dε)的最优解为例如，例1中评价第4个决策单元相对有效性的C2R模型为：1334313212341121112第六节数据包络分析法88例如，例1中评价第4个决策单元相对有效性的C2R模型为：1利用单纯形法求解，得到最优解：因为θ0<1，故决策单元4不是弱DEA有效，也不是DEA有效。同理，可判定决策单元1、2、3为DEA有效。第六节数据包络分析法89利用单纯形法求解，得到最优解：因为θ0<1，故决策单元4不是三、DEA有效性的经济意义1．生产函数生产函数y=f(x)表示理想的生产状态，即投入量x所能获得的最大产出量y。y=f(x)xyACB“规模有效”，是指投入量既不偏大，也不过小，是介于规模收益由递增到递减之间的一种状态（边际报酬递减规律）“技术有效”是指输出相对输入而言已达到最大．第六节数据包络分析法90三、DEA有效性的经济意义1．生产函数生产函数y=f(x)设LP问题(Dε)的最优解为（1）当θ0=1，且s0=0，t0=0时，j0为DEA有效。（2）当θ0=1，但至少有某个si0>0(i=1,…,m)，或至少有某个tk

0>0(k=1,…,s)时，j0为弱DEA有效。（3）当θ0<1，j0不是DEA有效。第六节数据包络分析法91设LP问题(Dε)的最优解为（1）当θ0=1，且s0=0实证研究——企业技术进步分析

取年份为决策单元，表中前2个指标是投入指标，后4个是指标是产出指标。根据表中数据可写出评价决策单元1991年相对有效性的C2R模型：指标年份19911992199319941995199619971998R&D经费(万元)111522511305588178981128固定资产净值(万元)4642666665281009618046335014217540905销售收入(万元)7618193564517558303712918038084494114963新产品产值率(%)26.21013.916.533.5全员劳动生产率(%)2.26.715.220.319.721.522.721.3产品开发周期(月)66111110.36第六节数据包络分析法92实证研究——企业技术进步分析取年份为决策单元，表中minθ-10-6(s1+s2+t1+t2+t3+t4)s.t.11λ

1+152λ

2+251λ

3+130λ

4+558λ

5+817λ

6

+898λ

7+1128λ

8+s1=11θ4642λ

1+6666λ

2+6528λ

3+10096λ

4+18046λ

5+33501λ

6

+42175λ

7+40905λ

8+s2=4642θ

7618λ

1+19356λ

2+45175λ

3+58303λ

4+71291λ

5+80380λ

6

+84494λ

7+114963λ

8-t1=761826.2λ

1+10λ

2+10.2λ

3+12.2λ

4+12.8λ

5+13.9λ

6

+16.5λ

7+33.5λ

8-t2=26.22.2λ

1+6.7λ

2+15.2λ

3+20.3λ

4+19.7λ

5+21.5λ

6

+22.7λ

7+21.3λ

8-t3=2.26λ

1+6λ

2+λ

3+λ

4+λ

5+λ

6+λ

7+0.36λ

8-t4=6

λj≥0,j=1,2,…,8；si≥0,i=1,2；tk≥0,k=1,2,3,4；θ≥093minθ-10-6(s1+s2+t1+t2+t3+t

在上述模型中，用各年份2个投入指标分别替换约束条件中第1﹑第2个等式中y的系数，用4个产出指标分别替换第3﹑第4﹑第5﹑第6个等式中右端常数，则可得到各年份的C2R模型。

C2R19911992199319941995199619971998y*10.9583110.60010.38140.35270.4582s1*59.064s2*t1*1581.6t2*17.972.99223.5781.6978t3*4.5036.0216.35317.654t4*0.4860.5770.6053.947结论有效

非有效有效有效非有效非有效非有效非有效

由定理1，决策单元1、3、4即91、93、94年同时为技术效率最佳和规模收益不变，其余年份为非同时技术效率最佳和规模收益不变。其中1992年s1*=59(万元)，表示R&D投入有那么多未真正起作用；t1*=1582(万元)﹑t2*=18(%),分别表示销售收入和新产品产值率有那么多的不足。94在上述模型中，用各年份2个投入指标分别替换约束条件中某快餐企业拥有12个分店,总经理拟对分店业绩进行评估,以确定分店员工奖金,分店投入产出数据如下:分店利润满意度卫生工作小时运营成本15.987.70924.746.7527.189.70996.387.4234.979.30985.046.3545.327.70873.616.3453.397.80943.454.4364.957.90885.256.3172.898.60902.363.2386.409.101007.098.6996.017.30896.497.28106.948.80897.369.07115.868.20935.466.69128.359.60976.588.75快餐分店相对有效性分析

95某快餐企业拥有12个分店,总经理拟对分店业绩进行评估,仿照上述公式,写出求分店1效率的DEA模型:分店1加权产出分店1效率约束分店2效率约束分店12效率约束分店1投入约束96仿照上述公式,写出求分店1效率的DEA模型:分店1加权产出分管理决策分析裴凤peifeng@合肥工业大学管理学院

97管理决策分析裴凤1第四章多属性决策第一节多属性决策问题第二节确定权重的常用方法第三节加权和法第四节TOPSIS法第五节层次分析法第六节数据包络分析法98第四章多属性决策第一节多属性决策问题2第一节多属性决策问题引例设某人拟购买住宅一栋，有四所房屋可供选择，房屋的合意程度用五个指标去衡量，即价格、使用面积、距工作地点的距离、设备、环境。见下表的决策矩阵：指标方案价格C1(万元)使用面积C2(m2)上班距离C3(公里)设备C4环境C5A16010010好好A250808差一般A3365020一般很好A4447012一般很好99第一节多属性决策问题引例设某人拟购买住宅一栋，有四所一、决策矩阵设有n个决策指标Cj(j=1,2,…,n)，m个可行方案Ai(i=1,2,…,m)，方案Ai在指标Cj

下的指标（属性）值为xij，则有如下决策矩阵(或属性值表)：指标方案C1…Cj…CnA1x11…x1j…x1n………………Aixi1…xij…xin………………Amxm1…xmj…xmn第一节多属性决策问题100一、决策矩阵设有n个决策指标Cj(j=1,2,…,n例1

研究生院试评估指标方案人均专著C1（本/人）生师比C2科研经费C3（万元/年）逾期毕业率C4（%）A10.1550004.7A20.2740002.2A30.61012603.0A40.3430003.9A52.822841.2第一节多属性决策问题101例1研究生院试评估指标人均专著C1生师例2

某航空公司在国际市场买飞机，按6个决策指标对不同型号的飞机进行综合评价。这6个指标是，最大速度（C1）、最大范围（C2）、最大负载（C3）、价格（C4）、可靠性（C5）、灵敏度（C6）。现有4种型号的飞机可供选择，具体指标值如表。写出决策矩阵，并用向量归一化法处理。指标机型最大速度马赫最大范围公里最大负载千克费用106美元可靠性灵敏度A12.01500200005.5一般很高A22.52700180006.5低一般A31.82000210004.5高高A42.21800200005.0一般一般第一节多属性决策问题102例2某航空公司在国际市场买飞机，按6个决策指标对不同型号的数据的预处理又称属性值的规范化（标准化），主要有如下作用：1.区分属性值的多种类型使得对于任一属性，其属性值都是越大越好。2.无量纲化多属性决策的目标间具有不可公度性，即在属性值表中每一列数据都具有不量纲。即使对同一属性，采用不同的计量单位，表中的数值也会不同。需要排除量纲的选用对决策结果的影响。3.归一化将属性值变换到[0,1]区间上。二、数据的预处理第一节多属性决策问题103数据的预处理又称属性值的规范化（标准化），主要有如下作用定性指标量化处理方法等级分值指标很低低一般高很高正向指标13579逆向指标97531将定性指标按性质划分为若干级别，分别赋予不同的量值。一般可以划分为五个级别，最优值10分，最劣值0分。其余级别赋予适当的分值。也可以划分为其他级别和赋予其他分值，方法类似，视具体情况而定。具体分值见表。第一节多属性决策问题104定性指标量化处理方法等级很低低一般高很高正向指标指标机型最大速度(马赫)最大范围(公里)最大负载(千克)费用(106美元)可靠性灵敏度A12.01500200005.5一般很高A22.52700180006.5低一般A31.82000210004.5高高A42.21800200005.0一般一般指标机型最大速度(马赫)最大范围(公里)最大负载(千克)费用(106美元)可靠性灵敏度A12.01500200005.559A22.52700180006.535A31.82000210004.577A42.21800200005.055第一节多属性决策问题105指标最大速度最大范围最大负载费用可靠性灵敏度A12.1.向量归一化法在决策矩阵中，令

则矩阵Y=(yij)m×n称为向量归一标准化矩阵。显然，矩阵Y的列向量的模等于1，即经过向量归一化处理后，其指标均满足0≤yij≤1,并且，正、逆向指标的方向没有发生变化。第一节多属性决策问题1061.向量归一化法在决策矩阵中，令则矩阵Y=(yij)m×n指标机型最大速度马赫最大范围公里最大负载千克费用106美元可靠性灵敏度A12.01500200005.559A22.52700180006.535A31.82000210004.577A42.21800200005.055第一节多属性决策问题107指标最大速度最大范围最大负载费用可靠性灵敏度A12.2.线性比例变换法

在决策矩阵中，取对于正向指标Cj，则对于逆向指标Cj，则

经过线性比例变换后，其指标均满足0≤yij≤1,并且正、逆向指标均化为正向指标，最优值为1，最劣值为0。第一节多属性决策问题1082.线性比例变换法在决策矩阵中，取对于正向指标Cj，则对于指标机型Ai