Copula函数及其应用课件

第14章Copula函数及其应用第14章Copula函数及其应用组合信用风险可以分为两部分：一部分是各个资产本身的信用风险，另一部分则是由各个资产之间的相关结构引起的风险。

要很好地度量组合的整体风险，就要找到一个能将单个违约分布和多元违约联合分布联系起来的方法。

Copula是这样一个函数，它能将单个边缘分布和多元联合分布联系起来。

组合信用风险可以分为两部分：一部分是各个资产本身的信用风险，Copula函数定义1n维Copula函数，满足：(1)，若中至少有一个分量为0，则；若中除外的分量均为1，则；(2)，若，则，其中：

(14.1)Copula函数定义1n维Copula函数定义2n维函数为Copula函数，若对n个服从均匀分布的随机变量，满足：

(14.2)

即Copula函数是一组均匀分布随机变量的联合分布函数。定义2n维函数Copula函数的性质引理1

随机变量有连续分布函数F，则Z=F(X)在[0,1]上均匀分布。

定理2（Sklar定理）设随机变量的边际分布函数为，联合分布函数为F。则有n维Copula函数，使得对于所有，有：

(14.3)Copula函数的性质引理1随机变量有连续分布函数F，则ZCopula函数的一些其他性质：性质1C为n维Copula函数，对于任何自变量，C非递减，即，若，则：

(14.4)性质2（Frechet-Hoeffding约束）C为n维Copula函数，则对于每个，有：

(14.5)

其中(14.6)

Copula函数的一些其他性质：性质1C为n维Copul性质3（递增变化不变性）随机变量向量有Copula函数。为一族严格递增函数。则仍是的Copula函数。性质3（递增变化不变性）随机变量向量常见Copula函数乘积Copula函数

定义3

满足的Copula函数称为乘积Copula函数。乘积Copula函数是独立随机变量的Copula函数。定理3

令为连续随机变量，则彼此独立当且仅当这些变量的Copula函数。常见Copula函数乘积Copula函数正态Copula函数

定义4

正态分布随机变量的均值分别为，方差分别为，协方差矩阵为R，则随机变量的分布函数为Copula函数，称为协方差矩阵为的正态（Gauss）Copula函数。（为标准正态分布函数）正态Copula函数定义4正态分布随机变量t-分布Copula函数t-分布Copula函数是正态Copula函数的变形。定义5

正态分布随机变量的均值分别为0，方差分别为1，协方差矩阵为R。Y为分布随机变量，自由度为，与独立。则随机变量的分布函数为Copula函数，称为自由度为，协方差矩阵为R的t-分布Copula函数。

t-分布Copula函数t-分布Copula函数是正态CArchimedeanCopula函数定义6ArchimedeanCopula函数可表述为如下形式：

(14.7)其中函数，函数称为Copula函数的生成元。生成元并非任意，必须满足的导数随维数n的增加而收敛。如果是在任何维数下的可容许生成元，必须是一个Laplace变换。ArchimedeanCopula函数定义6Archi定义8（Laplace变换）Y为非负随机变量，分布函数为，密度函数，则有：

（1）Y的Laplace变换定义为：

(14.9)（2）令，若解存在，的Laplace逆变换定义为函数满足：

(14.10)

（3）Y的分布由Laplace变换唯一确定。定义8（Laplace变换）Y为非负随机变量，分布函数为几种不同生成元的Copula函数：

定义9（1）ClaytonCopula:

(14.11)（2）GumbelCopula:(14.12)（3）FrankCopula:

(14.13)(14.14)几种不同生成元的Copula函数：定义9运用Copula函数的相关性度量运用Copula函数能对非线性相关性进行度量，其思想主要是度量变量的一致性，其中常用的度量指标为Kendall’stau和Spearman’srho。定义10（一致性）令为向量X，Y的两组观测。若，则称与一致。若，则称为不一致。运用Copula函数的相关性度量运用Copula函数能对非线Kendall’stau定义11

令为连续随机变量(X，Y)n组观测的随机样本，则有对不同的数组对设c表示一致的数组对对数，d表示不一致的数组对对数，则。Kendall’stau定义为:

(14.15)根据上述定义，t即为数组对一致与不一致的概率之差。Kendall’stau定义11令将Kendall’stau引入Copula函数：定理4

连续随机变量(X，Y)，其Copula函数为C，则(X，Y)的Kendall’stau为：

(14.16)若U,V为[0,1]上均匀分布的随机变量，其联合分布函数恰为C，则：

(14.17)将Kendall’stau引入Copula函数：下面讨论如何计算Kendall’stau：下面讨论如何计算Kendall’stau：Spearman’srho定义12

设连续随机变量彼此独立，且每组之间的联合分布均为H，的边际分布均分别为F,G。则Spearman’srho定义为：

(14.21)Spearman’srho定义12设连续随机变量定理5连续随机变量(X.Y)，其Copula函数为C，则X,Y的Spearman’srho为：

(14.22)若U,V为[0,1]上均匀分布的随机变量，其联合分布函数恰为C，则：

(14.23)这与线性相关性中的相关系数有着极为相似的形式。此外，即可将理解为X,Y联合分布与独立时分布之间的平均距离。定理5连续随机变量(X.Y)，其Copula函数为C，则XKendall’stau及Spearman’srho作为度量相关性指标的合理性定义13

对于两个连续变量X,Y之间相关性的度量，必须满足：

（1）对

有定义；

（2）

（3）

（4）若X,Y独立，则

（5）

（6）若满足，则

（7）若是一列连续随机变量，有Copula函数，则Kendall’stau及Spearman’srho作为定理6若为连续随机变量，Copula函数为，则Kendall’stau和Spearman’srho满足定义13所述要求。定理6若为连续随机变量，Copula函数为，则KendalKendall’stau与Spearman’srho的关系定理7X,Y为连续随机变量，分别为Kendall’stau与Spearman’srho，则有：

Kendall’stau与Spearman’srho的关Copula函数与尾部相关性设X,Y在[0,1]上均匀分布，联合分布函数为C，由对称性，不妨设。如下定义C相应的条件Copula函数：定义14

对于一个Copula函数C，。定义：

(14.31)表示X,Y均小于u的条件下u的分布，即。由于对称性，同时也是y在条件下的分布。Copula函数与尾部相关性设X,Y在[0,1]上均匀分布，定义15

设为定义14中所定义的条件分布函数，则在u水平对应于C的极限尾部相关Copula函数为：

(14.32)根据该定义，有这意味着当u很小的时候，描绘了两个有Copula函数的随机变量的尾部条件相关性结构。定义15设为定义14中所定义的条件分布函数，则在定义16

把在零点以指数的速度变化的函数集合记为，即，有：

(14.33)定理8

令C为ArchimedeanCpula函数，有可微生成元，则：(14.34)当时，当时，定义16把在零点以指数的速度定义17随机变量分别由分布函数，则其上尾部和下尾部相关性系数定义为：

(14.35)上述定义的可以有另一种写法：

(14.36)其中为C的生存Copula函数，即若存在且为正，则X,Y是下（上）尾部相关的；若为0，则X,Y关于下（上）尾部独立。定义17随机变量分别由分布函数，则其上尾部和下尾部相关性系定理9令C为ArchimedeanCopula函数，生成元则下尾部相关系数为定理9令C为ArchimedeanCopula函数，生成Copula函数是一组均匀分布随机变量的联合分布函数。对于n个服从[0,1]均匀分布的随机变量：，Copula函数定义为：设为随机变量的边缘分布，于是联合分布可以表示为：由此可以看出，Copula函数可以用作边缘分布函数和多元分布函数之间的连接函数。Copula函数是一组均匀分布随机变量的联合分布函数。对于nCopula函数的密度函数c的表达如下：如果多元分布函数的密度函数存在，则有下列的分解成立：Copula函数的密度函数c的表达如下：如果多元分布函数的密Copula函数的性质主要有一下几点：1.2.连接函数对于随机变量的严格单调递增变换是不变的；3.如果每个一维边际分布都是连续的，则连接边缘分布和多元分布函数的Copula函数是唯一的。Copula函数的性质主要有一下几点：利用Copula函数度量违约相关性在度量资产组合的信用风险时，可以采用违约概率作为衡量资产信用的指标。在此基础上，可以采用Copula函数来度量违约概率之间的相关性，并进一步计算组合的信用风险。

利用Copula函数度量违约相关性在度量资产组合的信用风险时构建信用曲线连续随机变量生存时间T（survivaltime），它表示从现在到违约(default)事件发生时的时间长度。F(t)表示在t时刻已经违约的概率S(t)表示在t时刻还没有违约的概率，它也被称为生存函数（survivalfunction）。根据函数的定义，可以得到：可以看出，F(t)其实就是生存时间T的累积分布函数。构建信用曲线连续随机变量生存时间T（survivaltim资产在时刻没有违约的情况下，在时段内违约的概率：

定义可以称之为危险率函数，它表示条件违约概率密度。有下列等式成立：从而可以得到：而资产在时刻没有违约的情况下，在时段内违约的概率：现在定义信用曲线（creditcurve），它是危险率函数的图形表示，代表信用资产在不同时刻的条件违约概率密度。有了信用曲线，就可以计算不同资产的违约相关性。获得信用曲线的方法一般有三种：第一，从评级机构的历史数据中获得。第二，使用布莱克－舒尔茨方法，将股票看作一个公司的看涨期权，用这个架构可以获得n期的违约概率，然后将其转换为危险率函数。第三，从现有的市场信息中获得公司一系列不同期限债券的到期收益率，并将它与国债的到期收益率作比较，获得收益率价差曲线（YieldSpreadCurve），然后假设一个外生的恢复率（RecoveryRate），就可以推算出信用曲线。现在定义信用曲线（creditcurve），它是危险率函数布莱克－舒尔茨方法

假设公司的资产市值服从几何布朗运动，并假设其资本结构可简单地分为债务和股权，那么，股权就可以看作是以资产市值为标的物、执行价格为债务面值的看涨期权。弱点：假设违约只在债务到期日才发生

。First-Passage模型认为违约事件应该发生在公司资产价值第一次低于违约边界的时候，而不是债务到期日。

布莱克－舒尔茨方法根据First-Passage模型，假设公司资产价值服从对数正态分布，违约边界为固定值D（它不必是债务总额），则从目前到时刻t这段时间，公司的生存概率S(t)可以用下列公式得到：其中由此可以计算出资产的信用曲线。根据First-Passage模型，假设公司资产价值图14.1由First-Passage模型构建的信用曲线公司资产的净收益率，资产波动率，违约边界D=70，公司初始资产。图14.1由First-Passage模型构建的信用曲线选择合适的Copula函数一般采用正态Copula函数和学生氏Copula函数。根据正态Copula函数的定义，可以通过公式（1）得到其密度函数：

其中，，为gamma函数，为自由度。其中学生氏Copula函数的密度函数：选择合适的Copula函数一般采用正态Copula函数和学生Copula函数分布很适合利用蒙特卡罗模拟来实现。例如，模拟正态Copula函数的步骤如下：产生均值为0，相关系数矩阵为的正态随机数向量将正态随机变量转换为均匀随机变量：根据所希望的边缘分布函数转换均匀随机变量：这里的Copula函数为：

Copula函数分布很适合利用蒙特卡罗模拟来实现。例如，模拟图14.2Copula函数的蒙特卡罗模拟结果图14.2Copula函数的蒙特卡罗模拟结果计算联合违约概率分布假设有两种资产，第一种资产的危险率（HazardRate）为h=0.1，第二种资产的危险率为h=0.2。于是,。假设这里采用二维正态分布Copula函数，于是有下列公式：它表示两种资产从现在开始，到t时刻时都违约的概率。

计算联合违约概率分布假设有两种资产，第一种资产的危险率（Ha图14.3两种资产同时违约的累积概率分布图14.3两种资产同时违约的累积概率分布图14.4两种资产同时违约的概率密度分布图14.4两种资产同时违约的概率密度分布信用衍生品定价在度量资产组合的风险时，通常采用以下的过程来进行计算。第一步，计算出资产组合中每种单一资产的风险。第二步，找到一个合适的方法来将组合中单一风险进行综合。最后，在确定了资产组合综合方式的基础上，可以进一步度量组合的风险。信用衍生品定价在度量资产组合的风险时，通常采用以下的过程来进背景介绍例14.1(MeasuringandOptimizingPortfolioCreditRisk:ACopula-basedApproach):一个信用资产组合有10项信用资产，每项价值为100,000欧元，估计的危险率如表14.1所示。表14.1债务人情况Obligor(i)CreditRatingNiRiri=ri+csihiNecchi(1)CCC1000000.53800.15050.266799Danieli(2)CCC1000000.51130.15050.250231Premuda(3)BBB1000000.38520.04100.008146Benetton(4)BBB1000000.32740.04100.007443FIAT(5)BB1000000.17090.05550.023567Ericsson(6)B1000000.53800.06050.053808Olivetti(7)B1000000.51130.06050.050792Merloni(8)A1000000.38520.03720.001953Impregilo(9)B1000000.32740.06050.036647Edison(10)B1000000.17090.06050.029626背景介绍例14.1(MeasuringandOptim计算步骤设的分布函数为。可用Copula函数得生存时间的联合分布如下：

如果使用正态Copula函数，即为：

其中为10维正态累积分布函数，其相关系数矩阵可利用RiskMetricsGroup的CreditManager得到。计算步骤设的分布函数为。可用Copu表14.2相关性矩阵1.00000.33670.34900.33430.38650.38040.39930.37970.34330.1190,0.33671.00000.47250.50210.66860.48530.40560.50400.55190.3334,0.34900.47251.00000.31330.46210.41890.26940.35550.44560.2873,0.33430.50210.31331.00000.59450.49890.44220.48990.56050.2936,0.38650.66860.46210.59451.00000.59520.60210.47520.64570.4000,0.38040.48530.41890.49890.59521.00000.54550.44570.50420.3455,0.39930.40560.26940.44220.60210.54551.00000.46930.55530.3876,0.37970.50400.35550.48990.47520.44570.46931.00000.41180.3297,0.34330.55190.44560.56050.64570.50420.55530.41181.00000.4728,0.11900.33340.28730.29360.40000.34550.38760.32970.47281.0000表14.2相关性矩阵1.00000.33670.34900为模拟相关生存时间，引进另一列随即变量，使得：则Y与T之间一一映射。此时，模拟等价于模拟同时之间的相关性即为相关信用资产的相关性。为模拟相关生存时间，引进另一列随即变量由此，有如下模拟机制：（1）模拟满足n维正态分布，相关系数矩阵为。（2）根据得到。因为每个信用资产的风险率为常数,所以生存时间T的密度函数为。（3）违约时间即为（4）假设利率为常数，合同期限为2年。若，则合同的当前价值为根据上述步骤，可以得到该合约的价格应为57,843.504欧元。由此，有如下模拟机制：第14章Copula函数及其应用第14章Copula函数及其应用组合信用风险可以分为两部分：一部分是各个资产本身的信用风险，另一部分则是由各个资产之间的相关结构引起的风险。

要很好地度量组合的整体风险，就要找到一个能将单个违约分布和多元违约联合分布联系起来的方法。

Copula是这样一个函数，它能将单个边缘分布和多元联合分布联系起来。

组合信用风险可以分为两部分：一部分是各个资产本身的信用风险，Copula函数定义1n维Copula函数，满足：(1)，若中至少有一个分量为0，则；若中除外的分量均为1，则；(2)，若，则，其中：

(14.1)Copula函数定义1n维Copula函数定义2n维函数为Copula函数，若对n个服从均匀分布的随机变量，满足：

(14.2)

即Copula函数是一组均匀分布随机变量的联合分布函数。定义2n维函数Copula函数的性质引理1

随机变量有连续分布函数F，则Z=F(X)在[0,1]上均匀分布。

定理2（Sklar定理）设随机变量的边际分布函数为，联合分布函数为F。则有n维Copula函数，使得对于所有，有：

(14.3)Copula函数的性质引理1随机变量有连续分布函数F，则ZCopula函数的一些其他性质：性质1C为n维Copula函数，对于任何自变量，C非递减，即，若，则：

(14.4)性质2（Frechet-Hoeffding约束）C为n维Copula函数，则对于每个，有：

(14.5)

其中(14.6)

Copula函数的一些其他性质：性质1C为n维Copul性质3（递增变化不变性）随机变量向量有Copula函数。为一族严格递增函数。则仍是的Copula函数。性质3（递增变化不变性）随机变量向量常见Copula函数乘积Copula函数

定义3

满足的Copula函数称为乘积Copula函数。乘积Copula函数是独立随机变量的Copula函数。定理3

令为连续随机变量，则彼此独立当且仅当这些变量的Copula函数。常见Copula函数乘积Copula函数正态Copula函数

定义4

正态分布随机变量的均值分别为，方差分别为，协方差矩阵为R，则随机变量的分布函数为Copula函数，称为协方差矩阵为的正态（Gauss）Copula函数。（为标准正态分布函数）正态Copula函数定义4正态分布随机变量t-分布Copula函数t-分布Copula函数是正态Copula函数的变形。定义5

正态分布随机变量的均值分别为0，方差分别为1，协方差矩阵为R。Y为分布随机变量，自由度为，与独立。则随机变量的分布函数为Copula函数，称为自由度为，协方差矩阵为R的t-分布Copula函数。

t-分布Copula函数t-分布Copula函数是正态CArchimedeanCopula函数定义6ArchimedeanCopula函数可表述为如下形式：

(14.7)其中函数，函数称为Copula函数的生成元。生成元并非任意，必须满足的导数随维数n的增加而收敛。如果是在任何维数下的可容许生成元，必须是一个Laplace变换。ArchimedeanCopula函数定义6Archi定义8（Laplace变换）Y为非负随机变量，分布函数为，密度函数，则有：

（1）Y的Laplace变换定义为：

(14.9)（2）令，若解存在，的Laplace逆变换定义为函数满足：

(14.10)

（3）Y的分布由Laplace变换唯一确定。定义8（Laplace变换）Y为非负随机变量，分布函数为几种不同生成元的Copula函数：

定义9（1）ClaytonCopula:

(14.11)（2）GumbelCopula:(14.12)（3）FrankCopula:

(14.13)(14.14)几种不同生成元的Copula函数：定义9运用Copula函数的相关性度量运用Copula函数能对非线性相关性进行度量，其思想主要是度量变量的一致性，其中常用的度量指标为Kendall’stau和Spearman’srho。定义10（一致性）令为向量X，Y的两组观测。若，则称与一致。若，则称为不一致。运用Copula函数的相关性度量运用Copula函数能对非线Kendall’stau定义11

令为连续随机变量(X，Y)n组观测的随机样本，则有对不同的数组对设c表示一致的数组对对数，d表示不一致的数组对对数，则。Kendall’stau定义为:

(14.15)根据上述定义，t即为数组对一致与不一致的概率之差。Kendall’stau定义11令将Kendall’stau引入Copula函数：定理4

连续随机变量(X，Y)，其Copula函数为C，则(X，Y)的Kendall’stau为：

(14.16)若U,V为[0,1]上均匀分布的随机变量，其联合分布函数恰为C，则：

(14.17)将Kendall’stau引入Copula函数：下面讨论如何计算Kendall’stau：下面讨论如何计算Kendall’stau：Spearman’srho定义12

设连续随机变量彼此独立，且每组之间的联合分布均为H，的边际分布均分别为F,G。则Spearman’srho定义为：

(14.21)Spearman’srho定义12设连续随机变量定理5连续随机变量(X.Y)，其Copula函数为C，则X,Y的Spearman’srho为：

(14.22)若U,V为[0,1]上均匀分布的随机变量，其联合分布函数恰为C，则：

(14.23)这与线性相关性中的相关系数有着极为相似的形式。此外，即可将理解为X,Y联合分布与独立时分布之间的平均距离。定理5连续随机变量(X.Y)，其Copula函数为C，则XKendall’stau及Spearman’srho作为度量相关性指标的合理性定义13

对于两个连续变量X,Y之间相关性的度量，必须满足：

（1）对

有定义；

（2）

（3）

（4）若X,Y独立，则

（5）

（6）若满足，则

（7）若是一列连续随机变量，有Copula函数，则Kendall’stau及Spearman’srho作为定理6若为连续随机变量，Copula函数为，则Kendall’stau和Spearman’srho满足定义13所述要求。定理6若为连续随机变量，Copula函数为，则KendalKendall’stau与Spearman’srho的关系定理7X,Y为连续随机变量，分别为Kendall’stau与Spearman’srho，则有：

Kendall’stau与Spearman’srho的关Copula函数与尾部相关性设X,Y在[0,1]上均匀分布，联合分布函数为C，由对称性，不妨设。如下定义C相应的条件Copula函数：定义14

对于一个Copula函数C，。定义：

(14.31)表示X,Y均小于u的条件下u的分布，即。由于对称性，同时也是y在条件下的分布。Copula函数与尾部相关性设X,Y在[0,1]上均匀分布，定义15

设为定义14中所定义的条件分布函数，则在u水平对应于C的极限尾部相关Copula函数为：

(14.32)根据该定义，有这意味着当u很小的时候，描绘了两个有Copula函数的随机变量的尾部条件相关性结构。定义15设为定义14中所定义的条件分布函数，则在定义16

把在零点以指数的速度变化的函数集合记为，即，有：

(14.33)定理8

令C为ArchimedeanCpula函数，有可微生成元，则：(14.34)当时，当时，定义16把在零点以指数的速度定义17随机变量分别由分布函数，则其上尾部和下尾部相关性系数定义为：

(14.35)上述定义的可以有另一种写法：

(14.36)其中为C的生存Copula函数，即若存在且为正，则X,Y是下（上）尾部相关的；若为0，则X,Y关于下（上）尾部独立。定义17随机变量分别由分布函数，则其上尾部和下尾部相关性系定理9令C为ArchimedeanCopula函数，生成元则下尾部相关系数为定理9令C为ArchimedeanCopula函数，生成Copula函数是一组均匀分布随机变量的联合分布函数。对于n个服从[0,1]均匀分布的随机变量：，Copula函数定义为：设为随机变量的边缘分布，于是联合分布可以表示为：由此可以看出，Copula函数可以用作边缘分布函数和多元分布函数之间的连接函数。Copula函数是一组均匀分布随机变量的联合分布函数。对于nCopula函数的密度函数c的表达如下：如果多元分布函数的密度函数存在，则有下列的分解成立：Copula函数的密度函数c的表达如下：如果多元分布函数的密Copula函数的性质主要有一下几点：1.2.连接函数对于随机变量的严格单调递增变换是不变的；3.如果每个一维边际分布都是连续的，则连接边缘分布和多元分布函数的Copula函数是唯一的。Copula函数的性质主要有一下几点：利用Copula函数度量违约相关性在度量资产组合的信用风险时，可以采用违约概率作为衡量资产信用的指标。在此基础上，可以采用Copula函数来度量违约概率之间的相关性，并进一步计算组合的信用风险。

利用Copula函数度量违约相关性在度量资产组合的信用风险时构建信用曲线连续随机变量生存时间T（survivaltime），它表示从现在到违约(default)事件发生时的时间长度。F(t)表示在t时刻已经违约的概率S(t)表示在t时刻还没有违约的概率，它也被称为生存函数（survivalfunction）。根据函数的定义，可以得到：可以看出，F(t)其实就是生存时间T的累积分布函数。构建信用曲线连续随机变量生存时间T（survivaltim资产在时刻没有违约的情况下，在时段内违约的概率：

定义可以称之为危险率函数，它表示条件违约概率密度。有下列等式成立：从而可以得到：而资产在时刻没有违约的情况下，在时段内违约的概率：现在定义信用曲线（creditcurve），它是危险率函数的图形表示，代表信用资产在不同时刻的条件违约概率密度。有了信用曲线，就可以计算不同资产的违约相关性。获得信用曲线的方法一般有三种：第一，从评级机构的历史数据中获得。第二，使用布莱克－舒尔茨方法，将股票看作一个公司的看涨期权，用这个架构可以获得n期的违约概率，然后将其转换为危险率函数。第三，从现有的市场信息中获得公司一系列不同期限债券的到期收益率，并将它与国债的到期收益率作比较，获得收益率价差曲线（YieldSpreadCurve），然后假设一个外生的恢复率（RecoveryRate），就可以推算出信用曲线。现在定义信用曲线（creditcurve），它是危险率函数布莱克－舒尔茨方法

假设公司的资产市值服从几何布朗运动，并假设其资本结构可简单地分为债务和股权，那么，股权就可以看作是以资产市值为标的物、执行价格为债务面值的看涨期权。弱点：假设违约只在债务到期日才发生

。First-Passage模型认为违约事件应该发生在公司资产价值第一次低于违约边界的时候，而不是债务到期日。

布莱克－舒尔茨方法根据First-Passage模型，假设公司资产价值服从对数正态分布，违约边界为固定值D（它不必是债务总额），则从目前到时刻t这段时间，公司的生存概率S(t)可以用下列公式得到：其中由此可以计算出资产的信用曲线。根据First-Passage模型，假设公司资产价值图14.1由First-Passage模型构建的信用曲线公司资产的净收益率，资产波动率，违约边界D=70，公司初始资产。图14.1由First-Passage模型构建的信用曲线选择合适的Copula函数一般采用正态Copula函数和学生氏Copula函数。根据正态Copula函数的定义，可以通过公式（1）得到其密度函数：

其中，，为gamma函数，为自由度。其中学生氏Copula函数的密度函数：选择合适的Copula函数一般采用正态Copula函数和学生Copula函数分布很适合利用蒙特卡罗模拟来实现。例如，模拟正态Copula函数的步骤如下：产生均值为0，相关系数矩阵为的正态随机数向量将正态随机变量转换为均匀随机变量：根据所希望的边缘分布函数转换均匀随机变量：这里的Copula函数为：

Copula函数分布很适合利用蒙特卡罗模拟来实现。例如，模拟图14.2Copula函数的蒙特卡罗模拟结果图14.2Copula函数的蒙特卡罗模拟结果计算联合违约概率分布假设有两种资产，第一种资产的危险率（HazardRate）为h=0.1，第二种资产的危险率为h=0.2。于是,。假设这里采用二维正态分布Copula函数，于是有下列公式：它表示两种资产从现在开始，到t时刻时都违约的概率。