流体力学课程课件(精华版)

在连续介质假设下，讨论描述流体运动的方法，根据运动要素的特性对流动进行分类。本章的讨论是纯运动学意义上的，不涉及流动的动力学因素。连续方程是质量守恒定律对流体运动的一个具体约束，也在本章的讨论范围之中。第三章流体运动学在连续介质假设下，讨论描述流体运动的方法，根据运动要素的特1§3—1描述流动的方法§3—2有关流场的几个基本概念§3—3流体微团运动的分析§3—4连续性方程第三章流体运动学§3—1描述流动的方法§3—2有关流场的几个基本概念§32§3—1描述流动的方法

离散

质点系刚体流体质点间的约束强无弱

一.描述流体运动的困难质点数N个无穷无穷§3—1描述流动的方法离散

质点系刚体流体质点间的3

离散

质点系刚体流体离散

质点系刚体流体4六个自由

度运动

编号，逐点描述3N个自由度困难：

无穷多质点有变形不易显示

离散

质点系刚体流体六个自由

度运动编号，逐点描述困难：离散

质点系5

二.拉格朗日法

拉格朗日法是质点系法，它定义流体质点的位移矢量为：(a,b,c)

是拉格朗日变数，即

t=t0

时刻质点的空间位置，用来对连续介质中无穷多个质点进行编号，作为质点标签。易知流体在运动过程中其它运动要素和物理量的时间历程也可用拉格朗日法描述，如速度、密度等：

二.拉格朗日法拉格朗日法是质点系法，它定义流体质点的6欧拉法是流场法，它定义流体质点的速度矢量场为：(x,y,z)

是空间点（场点）。流速u是在t

时刻占据(x,y,z)

的那个流体质点的速度矢量。

三.欧拉法流体的其它运动要素和物理特性也都可用相应的时间和空间域上的场的形式表达。如加速度场、压力场等：欧拉法是流场法，它定义流体质点的速度矢量场为：(x,7拉格朗日法

欧拉法

着眼于流体质点，跟踪质点描述其运动历程着眼于空间点，研究质点流经空间各固定点的运动特性布哨跟踪拉格朗日法欧拉法8如果流场的空间分布不随时间变化，其欧拉表达式中将不显含时间t，这样的流场称为恒定流。否则称为非恒定流。欧拉法是描述流体运动常用的一种方法。欧拉法把流场的运动要素和物理量都用场的形式表达，为在分析流体力学问题时直接运用场论的数学知识创造了便利条件。如果流场的空间分布不随时间变化，其欧拉表达式中将不显含时间9

四.流体质点的加速度、质点导数速度是同一流体质点的位移对时间的变化率，加速度则是同一流体质点的速度对时间的变化率。通过位移求速度或通过速度求加速度，必须跟定流体质点，应该在拉格朗日观点下进行。

四.流体质点的加速度、质点导数速度是同一流体质点的位移对10若流动是用拉格朗日法描述的，求速度和加速度只须将位移矢量直接对时间求一、二阶导数即可。求导时a,b,c作为参数不变，意即跟定流体质点。若流动是用拉格朗日法描述的，求速度和加速度只须将位移矢量直11跟定流体质点后，x,y,z均随t

变，而且若流场是用欧拉法描述的，流体质点加速度的求法必须特别注意。用欧拉法描述，处理拉格朗日观点的问题。跟定流体质点后，x,y,z均随t变，而且若流场是用12=+质

点

加

速

度位变

加速度由流速不均匀性引起时变加速度由流速

不恒定

性引起=+质

点

加

速

度位变

加速度由流速不均匀性引起时变13分量形式分量形式14

时间因素与空间因素对加速度贡献的分解yxzt+ΔtM0’MyxzM0t时间因素与空间因素对加速度贡献的分解yxzt+ΔtM0’15B’AA’BuAdtuBdt举例B’AA’BuAdtuBdt举例16=+时变导数当地导数局部导数全质导点数导

数位变导数迁移导数对流导数算子=+时变导数当地导数局部导数全质导点数导

17例如不可压是其特例例如不可压是其特例18§3—2有关流场的几个基本概念

一.恒定流、非恒定流若流场中各空间点上的任何运动要素均不随时间变化，称流动为恒定流。否则，为非恒定流。恒定流中，所有物理量的欧拉表达式中将不显含时间，它们只是空间位置坐标的函数，时变导数为零。例如，恒定流的流速场：恒定流的时变加速度为零，但位变加速度可以不为零。§3—2有关流场的几个基本概念

一.恒定流、非恒定流若19流动是否恒定与所选取的参考坐标系有关,因此是相对的概念。流动是否恒定与所选取的参考坐标系有关,因此是相对的概念。20

二.迹线和流线

迹线是流体质点运动的轨迹，是与拉格朗日观点相对应的概念。拉格朗日法中位移表达式即为迹线的参数方程。t是变数，a,b,c是参数。

二.迹线和流线迹线是流体质点运动的轨迹，是与拉格朗日观21这是由三个一阶常微分方程组成的方程组，未知变量为质点位置坐标（x,y,z），它是t

的函数。给定初始时刻质点的位置坐标，就可以积分得到迹线。在欧拉观点下求迹线，因须跟定流体质点，此时欧拉变数x,y,z成为t

的函数，所以迹线的微分方程为这是由三个一阶常微分方程组成的方程组，未知变量为质点22

流线是流速场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的一条曲线，该瞬时位于流线上的流体质点之速度矢量都和流线相切。流线是与欧拉观点相对应的概念。有了流线，流场的空间分布情况就得到了形象化的描绘。流线是流速场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的一条曲线，该瞬23根据定义，流线的微分方程为实际上这是两个微分方程，其中t是参数。可求解得到两族曲面，它们的交线就是流线族。其中根据定义，流线的微分方程为实际上这是两个微分方程，24已知直角坐标系中的速度场ux=x+t；uy=-y+t；uz=0,试求t=0时过M(-1,-1)点的流线。解：ux=x+t；uy=-y+t；uz=0(x+t)(-y+t)=Ct=0时过M(-1,-1)：C=-1积分xy=1由流线的微分方程：t=0时过M(-1,-1)点的流线：举例已知直角坐标系中的速度场ux=x+t；25t=0时过M(-1,-1)：

C1=C2=0

已知直角坐标系中的速度场ux=x+t；uy=-y+t；uz=0,试求t=0时过M(-1,-1)点的迹线。解：ux=x+t；uy=-y+t；uz=0求解x+y=-2由迹线的微分方程：x=-t-1

y=t-1消去t，得迹线方程：举例t=0时过M(-1,-1)：

C1=C226迹线流线xyot=0时过M(-1,-1)点的流线和迹线示意图M(-1,-1)迹线流线xyot=0时过M(-1,-1)点的流线和迹27在非恒定流情况下，流线一般会随时间变化。在恒定流情况下，流线不随时间变，流体质点将沿着流线走，迹线与流线重合。迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切的曲线，与欧拉观点相对应。即使是在恒定流中，迹线与流线重合，两者仍是完全不同的概念。根据流线的定义，可以推断：除非流速为零或无穷大处，流线不能相交，也不能转折。在非恒定流情况下，流线一般会随时间变化。在恒定流情况下，流28如何用摄象机获取流线和迹线？思考?如何用摄象机获取流线和迹线？思考?29

三.流管和流量流线在流场中，取一条不与流线重合的封闭曲线L，在同一时刻过

L上每一点作流线，由这些流线围成的管状曲面称为流管。与流线一样，流管是瞬时概念。根据流管的定义易知，在对应瞬时，流体不可能通过流管表面流出或流入。L流管

三.流管和流量流线在流场中，取一条不与流线重合的封闭曲30与流动方向正交的流管的横断面过水断面为面积微元的流管叫元流管，其中的流动称为元流。过水断面为有限面积的流管中的流动叫总流。总流可看作无数个元流的集合。总流的过水断面一般为曲面。dA1dA2u1u2

过水断面与流动方向正交的流管的横断面过水断面为面积微31称为质量流量，记为Qm，单位为kg/s.流量计算

公式中，曲面A的法线指向应予明确，指向相反，流量将反号。闭曲面的法向一般指所围区域的外法向。通过流场中某曲面A的流速通量称为流量，记为Q，它的物理意义是单位时间穿过该曲面的流体体积，所以也称为体积流量，单位为m3/s.dAuAn称为质量流量，32总流过水断面上的流速与法向一致，所以穿过过水断面A的流量大小

为，其中u

为流速的大小。定义体积流量与断面面积

之比为断面平均流速，

它是过水断面上不均匀流速u的一个平均值，假设过水断面上各点流速大小均等于v，方向与实际流动方向相同，则通过的流量与实际流量相等。总流过水断面上的流速与法向一致，所以穿过过水断面A的流33位变导数？均匀流非均匀流

四.均匀流、非均匀流；渐变流、急变流均匀流的流线必为相互平行的直线，而非均匀流的流线要么是曲线，要么是不相平行的直线。

判别：位变导数？均匀流非均匀流

四.均匀流34uxazyx应注意将均匀流与完全不随空间位置而变的等速直线流动例如，以下的流动是均匀流：

相区别，前者是流动沿着流线方向不变，后者是流动沿着空间任何方向不变。后者是均匀流的一个特例。

ouxazyx应注意将均匀流与完全不随空间位置而变的等速直线35在实际流动中，经常会见到均匀流，如等截面的长直管道内的流动、断面形状不变，且水深不变的长直渠道内的流动等。

恒定均匀流的时变加速度和位变加速度都为零，即流体质点的惯性力为零，将作匀速直线运动。若总流为均匀流，其过水断面是平面。这些均匀流的运动学特性，将给以后处理相关的动力学问题带来便利，因此在分析流动时，特别关注流动是否为均匀流的判别。在实际流动中，经常会见到均匀流，如等截面的长直管道内的流动36是否接近均匀流？渐变流流线虽不平行，但夹角较小；

流线虽有弯曲，但曲率较小。急变流流线间夹角较大；

流线弯曲的曲率较大。渐变流和急变流是工程意义上对流动是否符合均匀流条件的划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需要根据实际情况来判定是否是否接近均匀流？渐变流流线虽不平行，但夹角较小；

流线虽有弯37急变流示意图急变流示意图38

五.流动按空间维数的分类一维流动二维流动三维流动平面流动轴对称流动任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生的，二维和一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和抽象，以便分析处理。

五.流动按空间维数的分类一维流动平面流动轴对称流动任何39直角系中的平面流动：流场与某一空间坐标变量无关，且沿该坐标方向无速度分量的流动。xyoxyzou0u0大展弦比机翼绕流

二维流动直角系中的平面流动：流40zro柱坐标系中的轴对称流动：液体在圆截面管道中的流动子午面zro柱坐标系中的轴对称流动：液体在圆截面管道中的流动子午41流动要素只取决于一个空间坐标变量的流动在实际问题中，常把总流也简化为一维流动，此时取定空间曲线坐标s的值相当于指定总流的过水断面，但由于过水断面上的流动要素一般是不均匀的，所以一维简化的关键是要在过水断面上给出运动要素的代表值，通常的办法是取平均值。s

一维流动其流场为s—空间曲线坐标元流是严格的一维流动，空间曲线坐标s

沿着流线。流动要素只取决于一个空间坐标42

六.系统和控制体由确定的流体质点组成的集合称为系统。系统在运动过程中，其空间位置、体积、形状都会随时间变化，但与外界无质量交换。有流体流过的固定不变的空间区域称为控制体，其边界叫控制面。不同的时间控制体将被不同的系统所占据。站在系统的角度观察和描述流体的运动及物理量的变化是拉格朗日方法的特征，而站在控制体的角度观察和描述流体的运动及物理量的变化是欧拉方法的特征。

六.系统和控制体由确定的流体质点组成的集合称为系统。系43占据有限体积

系统

流体团微分体积

系统

流体微团最小的

系统

流体质点有限体积

控制体

微元

控制体

场点大小占据有限体积

系44§3—3流体微团运动的分析考察和分析流体质点之间的相对位移和相对运动。谈及相对运动就必须把讨论问题的尺度从流体质点扩大到流体微团。给出在同一时刻流体微团中任意两点速度之间的关系。分析流体微团的运动形式。§3—3流体微团运动的分析考察和分析流体质点之间的相对位45

一.亥姆霍兹速度分解定理在M点的一阶台劳展开，以x方向分量为例。dr

一.亥姆霍兹速度分解定理在M点的一阶台46

同理同理47合并成矢量形式流体微团中任意两点间速度关系的一般形式。亥姆霍兹速度分解定理合并成矢量形式流体微团中任意两点间速度关系的一般形式。亥姆48主对角线上三个元素是线变形速率其余的是角变形速率流体的变形速率张量，是二阶对称张量主对角线上三个元素是线变形速率其余的是角变形速率流体的变形速49流体旋转角速度矢量，它恰是流速场的旋度矢量的一半。旋度流体旋转角速度矢量，它恰是流速场的旋度矢量的一半。旋度50

二.流体微团运动分析以oxy平面上的运动为例，解释[E]和

的含义，进而给出亥姆霍兹速度分解定理的物理意义，分析流体微团的运动。M’A’B’AMBxyot

t+dtdxdy

二.流体微团运动分析以oxy平面上的运动为例，解释51M’A’B’AMBxyot

t+dt由A点相对于M

点的x

方向的速度差引起MA的伸长=表示单位时间、x方向单位长度流体线段的伸长，即x方向的线变形速率。dxdyM’A’B’AMBxyott+dt由A点相对于M52M’A’B’AMBxyot

t+dtdxdyd1d2,直角AMB的减小:

d1+d2=表示

oxy坐标面上流体直角减小速率的一半，也称为角变形速率

M’A’B’AMBxyott+dtdxdyd1d253M’A’B’AMBxyot

t+dtdxdyd1d2表示

oxy坐标面上两直角边旋转的平均速率，即直角平分线的旋转速率，也是M点处流体平均旋转角速度矢量在z

轴上的分量。,直角边MA，MB的逆时针转过角度的平均值:

M’A’B’AMBxyott+dtdxdyd1d2表示54亥姆霍兹速度分解定理各项的物理意义：:点的流速；:点的流速；:流体变形率张量[E]对两点相对运动速度的贡献，包括线变形和角变形；:流体平均旋转角速度引起的两点相对运动速度。平移变形转动基准点是展开点M亥姆霍兹速度分解定理各项的物理意义：:55变形速度转动速度适用范围流体刚体有因点而异流体微团无不随点变整个刚体流体速度分解与刚体速度分解的异同变形速度转动速度适用范围56唯一的标准是看流速场是否满足，写成分量形式为：

判别：

三.有旋流动和无旋流动旋度无旋流动有旋流动这个分类是

很重要的唯一的标准是看流速场是57无旋流动有势流动等价

φ

称为

速度势函数无旋流动有势流动等价φ称为

速度势函数58有旋流动和有势流动的判别仅在于流速场的旋度是否为零。不要根据流线是直线或曲线来直观判别，以免出错。流线是圆周，无旋流线是直线，有旋xyoxyo有旋流动和有势流动的判别仅在于流速场的旋度是否为零。不要根59

一.三维流动的连续性微分方程xyzodxdydzuxabcda’b’c’d’净流入前后这一对表面的流体质量为在时间段dt

里，从abcd

面流入微元体的流体质量为从a’b’c’d’面流出的流体质量为

一.三维流动的连续性微分方程xyzodxdydzuxab60§3—4连续性方程连续性方程——质量守恒定律对流体运动的一个基本约束用欧拉观点对质量守恒原理的描述：连续介质的运动必须维持质点的连续性，即质点间不能发生空隙。因此，净流入控制体的流体质量必等于控制体内因流体密度变化而增加的质量。§3—4连续性方程连续性方程——质量守恒定律对流体运61xyzodxdydzuzabcda’b’c’d’同理可知，在时间段dt

里，沿着y方向和z方向净流入左右和上下两对表面的流体质量分别为和uyxyzodxdydzuzabcda’b’c’d’同理可知，62三维流动的连续性微分方程在时间段dt

里，微元内流体质量的增加根据质量守恒原理简化或写成在时间段dt里，微元内流体质量的增加根据质量守恒原理简63对于不可压缩流体的流动（不论是恒定或非恒定），连续方程为恒定流动的连续方程对于不可压缩流体的流动（不论是恒定或非恒定），连续方程为64速度场的散度流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率之和，也是流体微团的体积膨胀率。连续方程表明不可压缩流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率的总和必为零，若在一个方向上有拉伸，则必有另一个方向上的压缩，在运动过程中其体积不会发生变化。流体微团在三个互相垂直方向上的线变形速率之和，也是流体微团的65

试用微元分析法在极坐标中写出平面流动的微分形式连续方程dθuθourrdθdrθr试用微元分析法在极坐标中写出平面流动的微分形式连续方程dθ66恒定条件下：总流管的形状、位置不随时间变化。总流内的流体是不存在空隙的连续介质，其密度分布恒定，所以这段总流管内的流体质量也不随时间变化。没有流体穿过总流管侧壁流入或流出，流体只能通过两个过流断面进出控制体。

二.恒定总流的连续性方程控制体：上游过水断面A1和下游过水断面A2之间的总流管A1A2QmQm恒定条件下：

二.恒定总流的连续性方程控制体：上游过水67根据质量守恒定律即可得出结论：在单位时间内通过A1流入控制体的流体质量等于通过A2流出控制体的流体质量。通过恒定总流两个过水断面的质量流量相等。

恒定总流

连续方程又若流体不可压，即或通过恒定总流两个过水断面的体积流量相等。

根据质量守恒定律即可得出结论：在单位时间内通过A1流入68对于不可压缩流体，根据连续方程，容易理解为什么流线的疏密能够反映流速的大小。在有分流汇入及流出的情况下，连续方程只须作相应变化。质量的总流入=质量的总流出。对于不可压缩流体，根据连续方程，容易理解为什么流线的疏密能69在连续介质假设下，讨论描述流体运动的方法，根据运动要素的特性对流动进行分类。本章的讨论是纯运动学意义上的，不涉及流动的动力学因素。连续方程是质量守恒定律对流体运动的一个具体约束，也在本章的讨论范围之中。第三章流体运动学在连续介质假设下，讨论描述流体运动的方法，根据运动要素的特70§3—1描述流动的方法§3—2有关流场的几个基本概念§3—3流体微团运动的分析§3—4连续性方程第三章流体运动学§3—1描述流动的方法§3—2有关流场的几个基本概念§371§3—1描述流动的方法

离散

质点系刚体流体质点间的约束强无弱

一.描述流体运动的困难质点数N个无穷无穷§3—1描述流动的方法离散

质点系刚体流体质点间的72

离散

质点系刚体流体离散

质点系刚体流体73六个自由

度运动

编号，逐点描述3N个自由度困难：

无穷多质点有变形不易显示

离散

质点系刚体流体六个自由

度运动编号，逐点描述困难：离散

质点系74

二.拉格朗日法

拉格朗日法是质点系法，它定义流体质点的位移矢量为：(a,b,c)

是拉格朗日变数，即

t=t0

时刻质点的空间位置，用来对连续介质中无穷多个质点进行编号，作为质点标签。易知流体在运动过程中其它运动要素和物理量的时间历程也可用拉格朗日法描述，如速度、密度等：

二.拉格朗日法拉格朗日法是质点系法，它定义流体质点的75欧拉法是流场法，它定义流体质点的速度矢量场为：(x,y,z)

是空间点（场点）。流速u是在t

时刻占据(x,y,z)

的那个流体质点的速度矢量。

三.欧拉法流体的其它运动要素和物理特性也都可用相应的时间和空间域上的场的形式表达。如加速度场、压力场等：欧拉法是流场法，它定义流体质点的速度矢量场为：(x,76拉格朗日法

欧拉法

着眼于流体质点，跟踪质点描述其运动历程着眼于空间点，研究质点流经空间各固定点的运动特性布哨跟踪拉格朗日法欧拉法77如果流场的空间分布不随时间变化，其欧拉表达式中将不显含时间t，这样的流场称为恒定流。否则称为非恒定流。欧拉法是描述流体运动常用的一种方法。欧拉法把流场的运动要素和物理量都用场的形式表达，为在分析流体力学问题时直接运用场论的数学知识创造了便利条件。如果流场的空间分布不随时间变化，其欧拉表达式中将不显含时间78

四.流体质点的加速度、质点导数速度是同一流体质点的位移对时间的变化率，加速度则是同一流体质点的速度对时间的变化率。通过位移求速度或通过速度求加速度，必须跟定流体质点，应该在拉格朗日观点下进行。

四.流体质点的加速度、质点导数速度是同一流体质点的位移对79若流动是用拉格朗日法描述的，求速度和加速度只须将位移矢量直接对时间求一、二阶导数即可。求导时a,b,c作为参数不变，意即跟定流体质点。若流动是用拉格朗日法描述的，求速度和加速度只须将位移矢量直80跟定流体质点后，x,y,z均随t

变，而且若流场是用欧拉法描述的，流体质点加速度的求法必须特别注意。用欧拉法描述，处理拉格朗日观点的问题。跟定流体质点后，x,y,z均随t变，而且若流场是用81=+质

点

加

速

度位变

加速度由流速不均匀性引起时变加速度由流速

不恒定

性引起=+质

点

加

速

度位变

加速度由流速不均匀性引起时变82分量形式分量形式83

时间因素与空间因素对加速度贡献的分解yxzt+ΔtM0’MyxzM0t时间因素与空间因素对加速度贡献的分解yxzt+ΔtM0’84B’AA’BuAdtuBdt举例B’AA’BuAdtuBdt举例85=+时变导数当地导数局部导数全质导点数导

数位变导数迁移导数对流导数算子=+时变导数当地导数局部导数全质导点数导

86例如不可压是其特例例如不可压是其特例87§3—2有关流场的几个基本概念

一.恒定流、非恒定流若流场中各空间点上的任何运动要素均不随时间变化，称流动为恒定流。否则，为非恒定流。恒定流中，所有物理量的欧拉表达式中将不显含时间，它们只是空间位置坐标的函数，时变导数为零。例如，恒定流的流速场：恒定流的时变加速度为零，但位变加速度可以不为零。§3—2有关流场的几个基本概念

一.恒定流、非恒定流若88流动是否恒定与所选取的参考坐标系有关,因此是相对的概念。流动是否恒定与所选取的参考坐标系有关,因此是相对的概念。89

二.迹线和流线

迹线是流体质点运动的轨迹，是与拉格朗日观点相对应的概念。拉格朗日法中位移表达式即为迹线的参数方程。t是变数，a,b,c是参数。

二.迹线和流线迹线是流体质点运动的轨迹，是与拉格朗日观90这是由三个一阶常微分方程组成的方程组，未知变量为质点位置坐标（x,y,z），它是t

的函数。给定初始时刻质点的位置坐标，就可以积分得到迹线。在欧拉观点下求迹线，因须跟定流体质点，此时欧拉变数x,y,z成为t

的函数，所以迹线的微分方程为这是由三个一阶常微分方程组成的方程组，未知变量为质点91

流线是流速场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的一条曲线，该瞬时位于流线上的流体质点之速度矢量都和流线相切。流线是与欧拉观点相对应的概念。有了流线，流场的空间分布情况就得到了形象化的描绘。流线是流速场的矢量线，是某瞬时对应的流场中的一条曲线，该瞬92根据定义，流线的微分方程为实际上这是两个微分方程，其中t是参数。可求解得到两族曲面，它们的交线就是流线族。其中根据定义，流线的微分方程为实际上这是两个微分方程，93已知直角坐标系中的速度场ux=x+t；uy=-y+t；uz=0,试求t=0时过M(-1,-1)点的流线。解：ux=x+t；uy=-y+t；uz=0(x+t)(-y+t)=Ct=0时过M(-1,-1)：C=-1积分xy=1由流线的微分方程：t=0时过M(-1,-1)点的流线：举例已知直角坐标系中的速度场ux=x+t；94t=0时过M(-1,-1)：

C1=C2=0

已知直角坐标系中的速度场ux=x+t；uy=-y+t；uz=0,试求t=0时过M(-1,-1)点的迹线。解：ux=x+t；uy=-y+t；uz=0求解x+y=-2由迹线的微分方程：x=-t-1

y=t-1消去t，得迹线方程：举例t=0时过M(-1,-1)：

C1=C295迹线流线xyot=0时过M(-1,-1)点的流线和迹线示意图M(-1,-1)迹线流线xyot=0时过M(-1,-1)点的流线和迹96在非恒定流情况下，流线一般会随时间变化。在恒定流情况下，流线不随时间变，流体质点将沿着流线走，迹线与流线重合。迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切的曲线，与欧拉观点相对应。即使是在恒定流中，迹线与流线重合，两者仍是完全不同的概念。根据流线的定义，可以推断：除非流速为零或无穷大处，流线不能相交，也不能转折。在非恒定流情况下，流线一般会随时间变化。在恒定流情况下，流97如何用摄象机获取流线和迹线？思考?如何用摄象机获取流线和迹线？思考?98

三.流管和流量流线在流场中，取一条不与流线重合的封闭曲线L，在同一时刻过

L上每一点作流线，由这些流线围成的管状曲面称为流管。与流线一样，流管是瞬时概念。根据流管的定义易知，在对应瞬时，流体不可能通过流管表面流出或流入。L流管

三.流管和流量流线在流场中，取一条不与流线重合的封闭曲99与流动方向正交的流管的横断面过水断面为面积微元的流管叫元流管，其中的流动称为元流。过水断面为有限面积的流管中的流动叫总流。总流可看作无数个元流的集合。总流的过水断面一般为曲面。dA1dA2u1u2

过水断面与流动方向正交的流管的横断面过水断面为面积微100称为质量流量，记为Qm，单位为kg/s.流量计算

公式中，曲面A的法线指向应予明确，指向相反，流量将反号。闭曲面的法向一般指所围区域的外法向。通过流场中某曲面A的流速通量称为流量，记为Q，它的物理意义是单位时间穿过该曲面的流体体积，所以也称为体积流量，单位为m3/s.dAuAn称为质量流量，101总流过水断面上的流速与法向一致，所以穿过过水断面A的流量大小

为，其中u

为流速的大小。定义体积流量与断面面积

之比为断面平均流速，

它是过水断面上不均匀流速u的一个平均值，假设过水断面上各点流速大小均等于v，方向与实际流动方向相同，则通过的流量与实际流量相等。总流过水断面上的流速与法向一致，所以穿过过水断面A的流102位变导数？均匀流非均匀流

四.均匀流、非均匀流；渐变流、急变流均匀流的流线必为相互平行的直线，而非均匀流的流线要么是曲线，要么是不相平行的直线。

判别：位变导数？均匀流非均匀流

四.均匀流103uxazyx应注意将均匀流与完全不随空间位置而变的等速直线流动例如，以下的流动是均匀流：

相区别，前者是流动沿着流线方向不变，后者是流动沿着空间任何方向不变。后者是均匀流的一个特例。

ouxazyx应注意将均匀流与完全不随空间位置而变的等速直线104在实际流动中，经常会见到均匀流，如等截面的长直管道内的流动、断面形状不变，且水深不变的长直渠道内的流动等。

恒定均匀流的时变加速度和位变加速度都为零，即流体质点的惯性力为零，将作匀速直线运动。若总流为均匀流，其过水断面是平面。这些均匀流的运动学特性，将给以后处理相关的动力学问题带来便利，因此在分析流动时，特别关注流动是否为均匀流的判别。在实际流动中，经常会见到均匀流，如等截面的长直管道内的流动105是否接近均匀流？渐变流流线虽不平行，但夹角较小；

流线虽有弯曲，但曲率较小。急变流流线间夹角较大；

流线弯曲的曲率较大。渐变流和急变流是工程意义上对流动是否符合均匀流条件的划分，两者之间没有明显的、确定的界限，需要根据实际情况来判定是否是否接近均匀流？渐变流流线虽不平行，但夹角较小；

流线虽有弯106急变流示意图急变流示意图107

五.流动按空间维数的分类一维流动二维流动三维流动平面流动轴对称流动任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生的，二维和一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和抽象，以便分析处理。

五.流动按空间维数的分类一维流动平面流动轴对称流动任何108直角系中的平面流动：流场与某一空间坐标变量无关，且沿该坐标方向无速度分量的流动。xyoxyzou0u0大展弦比机翼绕流

二维流动直角系中的平面流动：流109zro柱坐标系中的轴对称流动：液体在圆截面管道中的流动子午面zro柱坐标系中的轴对称流动：液体在圆截面管道中的流动子午110流动要素只取决于一个空间坐标变量的流动在实际问题中，常把总流也简化为一维流动，此时取定空间曲线坐标s的值相当于指定总流的过水断面，但由于过水断面上的流动要素一般是不均匀的，所以一维简化的关键是要在过水断面上给出运动要素的代表值，通常的办法是取平均值。s

一维流动其流场为s—空间曲线坐标元流是严格的一维流动，空间曲线坐标s

沿着流线。流动要素只取决于一个空间坐标111

六.系统和控制体由确定的流体质点组成的集合称为系统。系统在运动过程中，其空间位置、体积、形状都会随时间变化，但与外界无质量交换。有流体流过的固定不变的空间区域称为控制体，其边界叫控制面。不同的时间控制体将被不同的系统所占据。站在系统的角度观察和描述流体的运动及物理量的变化是拉格朗日方法的特征，而站在控制体的角度观察和描述流体的运动及物理量的变化是欧拉方法的特征。

六.系统和控制体由确定的流体质点组成的集合称为系统。系112占据有限体积

系统

流体团微分体积

系统

流体微团最小的

系统

流体质点有限体积

控制体

微元

控制体

场点大小占据有限体积

系113§3—3流体微团运动的分析考察和分析流体质点之间的相对位移和相对运动。谈及相对运动就必须把讨论问题的尺度从流体质点扩大到流体微团。给出在同一时刻流体微团中任意两点速度之间的关系。分析流体微团的运动形式。§3—3流体微团运动的分析考察和分析流体质点之间的相对位114

一.亥姆霍兹速度分解定理在M点的一阶台劳展开，以x方向分量为例。dr

一.亥姆霍兹速度分解定理在M点的一阶台115

同理同理116合并成矢量形式流体微团中任意两点间速度关系的一般形式。亥姆霍兹速度分解定理合并成矢量形式流体微团中任意两点间速度关系的一般形式。亥姆117主对角线上三个元素是线变形速率其余的是角变形速率流体的变形速率张量，是二阶对称张量主对角线上三个元素是线变形速率其余的是角变形速率流体的变形速118流体旋转角速度矢量，它恰是流速场的旋度矢量的一半。旋度流体旋转角速度矢量，它恰是流速场的旋度矢量的一半。旋度119

二.流体微团运动分析以oxy平面上的运动为例，解释[E]和

的含义，进而给出亥姆霍兹速度分解定理的物理意义，分析流体微团的运动。M’A’B’AMBxyot

t+dtdxdy

二.流体微团运动分析以oxy平面上的运动为例，解释120M’A’B’AMBxyot

t+dt由A点相对于M

点的x

方向的速度差引起MA的伸长=表示单位时间、x方向单位长度流体线段的伸长，即x方向的线变形速率。dxdyM’A’B’AMBxyott+dt由A点相对于M121M’A’B’AMBxyot

t+dtdxdyd1d2,直角AMB的减小:

d1+d2=表示

oxy坐标面上流体直角减小速率的一半，也称为角变形速率

M’A’B’AMBxyott+dtdxdyd1d2122M’A’B’AMBxyot

t+dtdxdyd1d2表示

oxy坐标面上两直角边旋转的平均速率，即直角平分线的旋转速率，也是M点处流体平均旋转角速度矢量在z

轴上的分量。,直角边MA，MB的逆时针转过角度的平均值:

M’A’B’AMBxyott+dtdxdyd1d2表示123亥姆霍兹速度分解定理各项的物理意义：:点的流速；:点的流速；:流体变形率张量[E]对两点相对运动速度的贡献，包括线变形和角变形；:流体平均旋转角速度引起的两点相对运动速度。平移变形转动基准点是展开点M亥姆霍兹速度分解定理各项的物理意义：:124变形速度转动速度