不等式的性质教案

word格式，下载后可自由编辑PAGEPAGE22不等式的性质教案第一篇：不等式的性质教案【教学重点与难点】教学重点：掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3．教学难点：正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形．【教学目标】1、探索并掌握不等式的基本性质2、会用不等式的基本性质进行化简【教学方法】通过观察、分析、讨论，引导学生归纳总结出不等式的三条基本性质，从具体上升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握．【教学过程】一、创设情境复习引入（设计说明：设置以下习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．）问题：1、什么是等式?等式的基本性质是什么?2、什么是不等式?3、用“＞”或“＜”填空．（1）3b，那么a±c>b±c(2)如果a>b，c>0那么ac>bc(或>)(3)如果a>b，ca”或“x(1)x-7>26;(2)3x50;(4)-4x>3.解：（l）根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上7，不等号的方向不变．得x-7＋7>26＋7.x>33（2）根据不等式基本性质1，两边都减去2x，不等号的方向不变，得3x-2x75（4）根据不等式基本性质3，两边都除以－4，不等号的方向改变，得xa”或“x例2：三角形中任意两边之差与第三边有什么大小关系?ab师生共析:三角形的两边之和与第三边有什么关系?c三角形的任意两边之和大于第三边，如图，我们设三角形三边长分别为a,b,c,那么用式子如何表示前面的结果?a＋b>c,a＋c>b,b＋c>a我们现在求的是两边之差与第三边的关系，所以由不等式的性质1将上式变形为：由a＋b>c得a>c-b,b>c-a.同理，由a＋c>b,b＋c>a可得c>b-a,b>a-c,c>a-b,a>b-c.这就是说，三角形中任意两边之差小于第三边.(教学说明：此问题应用不等式的性质由“三角形的任意两边之和大于第三边”得出“三角形中任意两边之差小于第三边”这个与已有结论等价的新结论.“三角形的任意两边之和大于第三边”对应的是三个形式一样的不等式，而不是一个不等式.由这三个不等式再推出“三角形中任意两边之差小于第三边”.为了加深学生的感性认识，可以通过测量的方法验证这个结论.)三、巩固训练，熟练技能：1、如果a>b，那么(1)a-3b-3，(2)2a2b(3)-3a-3b，(4)a-b0(5)（6）(6)-b_____-a.2、在下列各题横线上填入不等号，并说明是根据不等式的哪一条基本性质．（1）若a–3＜9，则a_____12；（2）若-a＜10，则a_____–10；（3）若a＞–1，则a_____–4；（4）若-a＞0，则a_____0．3、利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集（解未知数为x的不等式，就是要使不等式逐步化为“x＞a”或“x＜a”的形式）(1)x-1＜0；(2)x＞-x＋6；(3)3x＞7；(4)-x＜-3.(教学说明：这些练习进一步加深了学生对不等式性质的理解，做此练习题时，应让学生注意观察它们是应用不等式的哪条性质，是怎样由已知变形得到的．注意应用不等式性质3时，不等号要改变方向．做第3题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比，让学生认识到应用不等式的性质1变形，相当于移项.)四、总结反思，情意发展1、不等式的基本性质是什么?如何用数学式子表示?2、在本节课的学习中，你还有什么疑惑?（教学说明：在师生共同回顾本节课所学内容的基础上，教师指出：在利用不等式的基本性质进行变形时，当不等式的两边都乘以(或除以)同一个字母，字母代表什么数是问题的关键，这决定了是用不等式基本性质2还是基本性质3，也就是不等号是否要改变方向的问题.）五、课堂小结1．本节主要学习了不等式的三条基本性质及应用性质解简单的不等式.2．主要用到的思想方法是类比思想.3．注意的问题:当不等式两边同乘（或除以）同一个数时，一定要看清是正数还是负数，若是负数，要变两个号，一个性质符号，另一个是不等号，对于未给定范围的字母，应分情况讨论．六、布置课后作业：1、课本127页练习2、课本128习题9.1的5、6、7题（教学说明：进一步巩固本节课所学知识.）七、拓展练习1、指出下列各题中不等式变形的依据:(1)由3a＞2,得(2)由-5a＞2,得(3)由4a＞3a＋1,得a＞1(4)由a＞b，得(5)由a＞b，得2-a＜2-b2、利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：(1)x＋2＞-1(2)5x≤7x-8(3)(4)6x≥-123、某长方体形状的容器长5cm，宽3cm，高10cm。容器内原有水的高度为3cm，现准备向它继续注水。用V（单位：cm3）表示新注入水的体积，写出V的取值范围。【评价与反思】及交流体会通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质，引导学生用数学式子表示三条基本性质，同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质进行比较，以加深学生的理解.在教学过程中，注重培养学生运用类比方法观察、分析、解决问题的能力及归纳总结概括的能力．同时培养了学生积极主动的参与意识和勇敢尝试、探索的精神．第二篇：不等式的性质教案不等式的性质教材分析这节的主要内容是不等式的概念、不等式与实数运算的关系和不等式的性质．这部分内容是不等式变形、化简、证明的理论依据及基础．教材通过具体实例，让学生感受现实生活中存在大量的不等关系．在不等式与实数运算的关系基础上，系统归纳和论证了不等式的一系列性质．教学重点是比较两个实数大小的方法和不等式的性质，教学难点是不等式性质的证明及其应用．教学目标1.通过具体情境，让学生感受现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等关系与不等式的联系，会用不等式表示不等关系．2.理解并掌握比较两个实数大小的方法．3.引导学生归纳和总结不等式的性质，并利用比较实数大小的方法论证这些性质，培养学生的合情推理和逻辑论证能力．任务分析这节内容从实际问题引入不等关系，进而用不等式来表示不等关系，自然引出不等式的基本性质．为了研究不等式的性质，首先学习比较两实数大小的方法，这是论证不等式性质的基本出发点，故必须让学生明确．在教师的引导下学生基本上可以归纳总结出不等式的一系列性质，但对于这些性质的证明有些学生认为没有必要或对论证过程感到困惑，为此，必须明确论证性质的方法和要点，同时引导学生认识到数学中的定理、法则等，通常要通过论证才予以认可，培养学生的数学理性精神．教学设计一、问题情境教师通过下列三个现实问题创设不等式的情境，并引导学生思考．1.公路上限速40km／h的路标，指示司机在前方行驶时，应使汽车的速度v不超过40km／h，用不等式表达即为v≤40km／h．2.某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少20XX本．若把提价后杂志的定价改为x元，怎样用不等式表示销售的总收入的不低于20XX？x·［80000－20XX（x－25）］≥20XX00．3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种，按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm的3倍，试写出满足上述所有不等关系的不等式．设600mm钢管的数量为x，500mm的数量为y，则通过上述实例，说明现实世界中，不等关系是十分丰富的，为了解决这些问题，须要我们学习不等式及基本性质．二、建立模型1.教师精讲，分析我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大，用不等式表示为ａ＞ｂ，即ａ减去ｂ所得的差是一个大于0的数．一般地，设ａ，ｂ∈R，则ａ＞ｂａ＝ｂａ＜ｂａ－ｂ＞0，ａ－ｂ＝0，ａ－ｂ＜0．由此可见，要比较两个实数的大小，只要考查它们的差就可以了．例如，比较（ａ＋3）（ａ－5）与（ａ＋2）（ａ－4）的大小就可以作差变形，然后判断符号．2.通过问题或复习，引导学生归纳和总结不等式的性质（1）对于“甲的年龄大于乙的年龄”，你能换一种不同的叙述方式吗？（2）如果甲的身高比乙高，乙的身高比丙高，你能得出甲与丙哪个高吗？（3）回忆初中已学过的不等式的性质，试用字母把它们表示出来．用数学符号表示出上面的问题，便可得出不等式的一些性质：定理1如果ａ＞ｂ，那么ｂ＜ａ；如果ｂ＜ａ，那么ａ＞ｂ．定理2如果ａ＞ｂ，且ｂ＞ｃ，那么ａ＞ｃ．定理3如果ａ＞ｂ，那么ａ＋ｃ＞ｂ＋ｃ．定理4如果ａ＞ｂ，且ｃ＞０，那么ａｃ＞ｂｃ；如果ａ＞ｂ，且ｃ＜０，那么ａｃ＜ｂｃ．3.定理1～4的证明关于定理1～4的证明要注意：（1）定理为什么要证明？（2）证明定理的主要依据或出发点是什么？（3）定理的证明要规范，每步推理要有根据．（4）关于定理3的推论，定理4的推论1，可由学生独立完成证明．4.考虑定理4的推论2：“如果ａ＞ｂ＞０，那么ａn＞ｂn（ｎ∈N，且ｎ＞0）”的逆命题，得出定理5定理5如果ａ＞ｂ＞０，那么（ｎ∈N，且ｎ＞1）．由于直接证明定理5较困难，故可考虑运用反证法．三、解释应用［例题］1.已知ａ＞ｂ，ｃ＜ｄ，求证：ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．证法1：∵ａ＞ｂ，∴ａ－ｂ＞0．又ｃ＜ｄ，∴ｄ－ｃ＞0．∴（ａ－ｃ）－（ｂ－ｄ）＝（ａ－ｂ）＋（ｄ－ｃ）＞0，∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．证法2：∵ｃ＜ｄ，∴－ｃ＞－ｄ．又ａ＞ｂ，∴ａ－ｃ＞ｂ－ｄ．［练习］1.判断下列命题的真假，并说明理由．（1）如果ａｃ2＞ｂｃ2，那么ａ＞ｂ．（2）如果ａ＞ｂ，ｃ＞ｄ，那么ａ－ｄ＞ｂ－ｃ．四、拓展延伸1.如果30＜ｘ＜42，16＜ｙ＜24，求ｘ＋ｙ，ｘ－2ｙ及的取值范围．2.如果ａ1＞ｂ1，ａ2＞ｂ2，ａ3＞ｂ3，…，ａn＞ｂn，那么ａ1＋ａ2＋ａ3＋…＋ａn＞ｂ1＋ｂ2＋ｂ3＋…＋ｂn吗？为什么？3.如果ａ＞ｂ＞0，那么吗？（其中为正有理数）点评这篇案例从实际问题引入不等关系，由如何求非不等关系引入不等式的求法，进而点出教学的主题———不等式性质，由学生熟悉的实数性质，及现实生活中的常识，将语言表达转化为数学符号的一般表示，进而得出不等式的常见性质．通过对不等式的证明，使学生理解对数学定理证明的必要性，增强学生的逻辑推理能力．就整个教学设计的效果看，这种设计是成功的，尤其是由定理的应用，达到了对性质的理解和升华，巩固了教学的重点，效果比较理想．此外，这篇案例也十分关注由学生自主探究去开发其潜在能力，培养其发散思维能力．总之，这是一篇成功的教学设计案例，美中不足的是，对文初创设的现实情景利用的力度稍欠缺．第三篇：不等式的性质教案不等式性质教案西南大学20XX级4班孙丹【课标要求】1．不等关系通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；2不等式的性质了解不等式的性质，并会用其证明不等式；【教学重难点】1、教学重点：掌握不等式性质的三条公理，并运用公理进行比较大小。2、教学难点：正确运用不等式的三条公理进行不等式变形。【教学目标】1、探索并掌握不等式的基本性质；2、会用不等式的基本性质进行简单化简。【教学方法】通过观察、分析、讨论，引导学生归纳总结出不等式的三条公理，从具体上升到理论，再由理论指导具体的练习，从而加强学生对知识的理解和掌握。【命题走向】不等式历来是高考的重点内容。对于本将来讲，考察有关不等式性质的基础知识、基本方法，而且还考察逻辑推理能力、分析问题、解决问题的能力。本将内容在复习时，要在思想方法上下功夫.预测高考命题趋势：1．从题型上来看，选择题、填空题都有可能考察，把不等式的性质与函数、三角结合起来综合考察不等式的性质、函数单调性等，多以选择题的形式出现，解答题以含参数的不等式的证明、求解为主；2．利用基本不等式解决像函数f(x)x考察的重点和热点，应加强训练。a,(a0)的单调性或解决有关最值问题是x【教学过程】一、创设情境复习引入（设计说明：设置以下习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．）问题：1、什么是等式?等式的基本性质是什么?2、什么是不等式?1．不等式的性质比较两实数大小的方法——求差比较法公理：abab0；abab0；abab0。性质1：若ab，则ba；若ba，则ab．即abba。说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。性质2：若ab，且bc，则ac。说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数，定理2称不等式的传递性。性质3：若ab，则acbc。说明：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向；（2）定理3的证明相当于比较ac与bc的大小，采用的是求差比较法；（3）定理3的逆命题也成立；（4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。推论1：不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。（移项法则）推论2：若ab,且cd,则acbd。说明：（1）推论2的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.定理4．如果ab且c0，那么acbc；如果ab且c0，那么acbc。推论1：如果ab0且cd0，那么acbd。证明：∵ab0,c0,acbc，又∵cd0,b0,bcbd，∴由传递性，有acbd，得证。说明：（1）不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；（2）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；（3）推论1可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。nn推论2：如果ab0，那么ab(nN且n1)。推论3：如果ab0，那么ab(nN且n1)。【典例解析】例1：应用不等式的性质，证明下列不等式：（1）已知a>b，ab>0，求证：1/a>1/b；（2）已知a>b，cb－d；（3）已知a>b>0，0b/d证明：（1）因为ab>0，所以1/ab>0又因为a>b，所以a.1/ab>b.1/ab即1/b>1/a因此1/a>1/b（2）因为a>b，cb，－c>－d，根据性质3的推论2，得a+(－c)>b+(－d)，即a－c>b－d.（3）因为01/d>0又因为a>b>0，所以a.1/c>b.1/d即a/c>b/d例2.已知a>b，不等式:（1）a2>b2；（2）1/a>1/b；（3）1/(a-b)>1/a成立的个数是（）（A）0（B）1（C）2（D）3答案：A例3．设A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R，则A，B的大小关系是。答案：A≥B例4．（1）如果30（2）若－3答案：（1）18（2）因为－4例5．若-π/2≤a＜b≤π/2，求(a+b)/2,(a-b)/2的取值范围。-π/2＜(a+b)/2＜π/2,-π/2≤(a-b)/2＜0练习1已知函数f(x)=ax²-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围。解：因为f(x)=ax²-c，所以f(1)=a-c,f(2)=4a-c解得a=1/3[f(2)=-f(1)],c=1/3f(2)-4/3f（1）所以f(3)=9a－c=8/3f(2)-5/3f(1)因为-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,所以8/3≤8/3f(2)≤40/3,5/3≤-5/3f(1)≤20XX练习2已知－4≤a－b≤－1，－1≤4a－b≤5，求9a－b的取值范围。解：设9a－b=m(a－b)+n(4a－b)=(m+4n)a－(m+n)b，令m+4n=9，－(m+n)=－1，解得，m=-5/3,n=8/3所以9a－b=-5/3(a－b)+8/3(4a－b)由－4≤a－b≤－1，得5/3≤-5/3(a-b)≤20XX由－1≤4a－b≤5，得由－1≤4a－b≤5，得-8/3≤8/3(4a-b)≤40/3以上两式相加得－1≤9a－b≤20XX五．【思维总结】1．不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法。（1）比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证；（2）综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野。2．不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等。换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性。放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查。有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.第四篇：不等式的性质教案1高中数学新教材第二册（上）第六章不等式————-桂城中学：谭江南不等式的性质（1）教学目标：第1页共2页1．掌握实数的运算性质与大小顺序间关系；2．掌握求差法比较两实数或代数式大小；3．强调数形结合思想.教学重点：比较两实数大小教学难点：理解实数运算的符号法则教学过程：Ⅰ.复习回顾我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如，在图6—1中，点A表示实数a，点B表示实数b,点A在点B右边，那么a＞b.我们再看图6—1，a＞b表示a减去b所得的差是一个大于0的数即正数.一般地：若a＞b，则a－b是正数；逆命题也正确.类似地，若a＜b，则a－b是负数；若a=b，则a－b=0.它们的逆命题都正确.这就是说：a＞ba－b＞0a=ba－b=0a＜ba-b＜0由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们这节课将要学习的主要内容.Ⅱ.讲授新课1．比较两实数大小的方法——求差比较法比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差a－b的符号，而这又必然归结到实数运算的符号法则.比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号.接下来，我们通过具体的例题来熟悉求差比较法.2．例题讲解例1比较（a+3）(a－5)与（a+2）（a-4）的大小.分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.解：(a3)(a5)(a2)(a4)(a2a15)(a2a8)70不等式的性质（1）第五篇：不等式的性质《不等式的性质》的教学设计与反思庆阳市西峰区彭原乡彭原初级中学马杰［教材分析］《不等式的性质》的内容属于初中数学“数与代数”部分。数量之间除有相等关系外，还有大小不等的关系。正如方程和方程组是讨论等量关系的有利数学工具一样，不等式与不等式组是讨论不等关系的有利数学工具。不等式是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用，所以对不等式的学习，有着重要的实际意义。研究不等式在整个初中数学学习中有着承上启下的作用。解决不等式问题对不等关系的研究起着画龙点睛的作用。掌握不等式的性质是顺利解决不等式的重要依据。不等式的基本性质也为学生以后顺利学习解一元一次不等式和解一元一次不等式组的有关内容作理论基础，起到重要的奠基作用。［学情分析］1.授课班级学生基础较差，教学中应给予充分思考的时间，谨防填塞式教学；充分调动学生的积极性，注重课堂教学的有效性，在练习设计上要针对学生差异采取分层设计的方法。2.本节课主要研究不等式的性质和简单应用。他与前面学过的等式的性质有联系也有区别，为渗透类比、分类讨论的数学思想提供了很好的素材。由于学生的认知结构是建立在等式的知识基础上对不等式进行学习，所以，在学习的过程中学生容易延续的等式性质的理解，产生惯性的思维定势，尤其体现在对不等式性质3的理解与应用。［教学目标］1.经历不等式基本性质的探索过程，掌握不等式的基本性质。2.经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。3.通过创设问题情境和实验探究活动，积极引导学生参与解决数学问题，提高学生学习数学的兴趣，增强学习数学的信心，发展学生的符号表达能力、代数变形能力，在自主探索、合作交流中让学生感受学习的乐趣。［教学重难点］重点：理解并掌握不等式的性质。难点：不等式性质的理解应用（特别是性质3的理解应用）。［教学过程］一、回顾旧知，类比新知［问题1］我们学习过等式的相关性质，你能说出等式的性质吗？（性质1„„，性质2„„。）学生回答问题，教师演示天平实验。（等式）［问题2］我们学习了不等式，它是否也有类似的性质呢？教师继续演示天平实验。学生观察老师的操作后思考：①.天平被调整到什么状况；②.给不平衡的天平两边同时加入（拿掉）相2同质量的砝码，天平会有什么变化？③.如果对不平衡的天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数，天平会平衡吗？缩小相同的倍数呢？本环节中，教师应重点关注：（1）.学生能否准确表达等式的性质；（2）.学生是否积极参与类比的思考之中。（通过回顾等式的性质，演示等式性质的产生过程，为不等式性质的研究以及不等式的性质的归纳作好铺垫。培养学生善于运用类比、迁移学习方法的良好习惯。）二、探索新知，归纳结论［问题3］用“>”或“3,5+2——3+2,5-2——3-2；②-1b,则：a±c>b±c；（2）.若a>b,c>0则：ac>bc或a/c>b/c；4（3）.若a>b,cb,判断下列不等式是否正确：-4+a>-4+b；（）a-3b.b；（）-5a>-5b（）2.如果a>b,用用“>”或“0,b0x>y则：ax____ay