空间解析几何-第3章-常见的曲面2课件

2022/12/23空间解析几何第3章常见的曲面22022/12/18空间解析几何第3章常见的曲面21本章主要内容柱面2锥面3旋转曲面4曲线与曲面的参数方程5椭球面6双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面）7抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面）8二次直纹面9作图五种典型的二次曲面本章主要内容柱面五种典型的2§3.5五种典型的二次曲面椭球面双曲面单叶双曲面双叶双曲面抛物面椭圆抛物面双曲抛物面§3.5五种典型的二次曲面椭球面3二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面形状的截痕法：

用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．相应41.对称性：主平面:三坐标平面主轴:三坐标轴中心:坐标原点2.顶点:(±a,0,0),(0,±b,0),(0,0,±c)轴:2a,2b,2c()半轴:a,b,c截距:±a,±b,±c§3.5.1椭球面3.范围：1.对称性：§3.5.1椭球面3.范围：54.主截线：平行截割法：

用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截口）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。椭球面与三个坐标面的交线截口是曲面与平面的交线4.主截线：平行截割法：用坐标面和平6椭球面椭球面的主截线（主椭圆）椭球面与三个坐标面的交线椭球面椭球面的主截线（主椭圆）椭球面与75.平截线：用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo

椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化，因此椭球面可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生.5.平截线：用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n8用平行于xoy坐标面的平面截割椭球面，得截线的方程为：，(5)无图形；

由于h是变化的，(5)表示一族椭圆，椭圆面可以看成由一个椭圆变动而生成的，其在变动中始终保持所在的平面与坐标面xoy平行.，(5)表示两个点；(5)表示一个椭圆，两半轴长分别为用平行于xoy坐标面的平面截割椭球面，得截线的方程为：，(9椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭圆绕轴旋转而成．方程可写为椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭圆10球面截面上圆的方程方程可写为旋转椭球面与椭球面的区别：与平面的交线为圆.球面截面上圆的方程方程可写为旋转椭球面与椭球面的区别：与平面11三、椭球面的参数方程三、椭球面的参数方程12上海科技城椭球体玻璃幕墙

应用实例：上海科技城椭球体玻璃幕墙应用实例：13§3.5.2双曲面单叶双曲面双叶双曲面xyoz

xyoz§3.5.2双曲面单叶双曲面14单叶双曲面一、单叶双曲面1对称性（symmetric）关于三坐标平面对称；关于三坐标轴对称；关于坐标原点对称，（0，0，0）为其对称中心.单叶双曲面一、单叶双曲面1对称性（symmetric）关于152顶点、与坐标轴的交点和截距

(vertexandintercept)（1）单叶双曲面与x，y轴分别交于（±a，0，0），（0，±b，0）而与z轴无实交点.上述四点称为单叶双曲面的实顶点，而与z轴的交点（0，0，±ci）称为它的两个虚交点.（2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0，代入得x,y轴上的截距为:，；在z轴上没有截距.

xyoz2顶点、与坐标轴的交点和截距（1）单叶双曲面与x，y轴分163图形的范围由方程知，即曲面存在于椭圆柱面之外，从而曲面与z轴无交点，并且在xoy面的上,下半空间延到无穷远.

xyoz3图形的范围xyoz172022/12/234主截线与三坐标平面z=0，y=0和x=0交于三条曲线—xoy面上的椭圆叫做腰椭圆

—yoz面上的双曲线

—xoz面上的双曲线

有共同的虚轴和虚轴长2022/12/184主截线—xoy面上的椭圆叫做腰椭圆18

(1)用z=h截曲面结论：单叶双曲面可看作由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与xOy面平行，且两对顶点分别在两定双曲线上滑动.用平行于坐标面的平面截割yx

zO5平截线(1)用z=h截曲面结论：单叶双曲面可看作由一个椭19y=hyx

zO(2)用y=h截曲面用平行于坐标面的平面截割①当时截线为双曲线y=hyxzO(2)用y=h截曲面用平行于坐标面20(2)用y=h截曲面

用平行于坐标面的平面截割①当时截线为双曲线(2)用y=h截曲面用平行于坐标面的平面截割①当21y=h

yx

zo用平行于坐标面的平面截割(2)用y=h截曲面②当时截线为双曲线y=hyxzo用平行于坐标面的平面截割(2)用y22

用平行于坐标面的平面截割(2)用y=h截曲面②当时截线为双曲线用平行于坐标面的平面截割(2)用y=h截曲面②当23y=h

yx

zo③当时截线为直线用平行于坐标面的平面截割(2)用y=h截曲面y=hyxzo③当时截线为直线24(0,b,0)用平行于坐标面的平面截割(2)用y=h截曲面③当时截线为直线(0,b,0)用平行于坐标面的平面截割(2)用y=25②当时①当时③当时单叶双曲面：用y=h截曲面②当时①当时③当26空间解析几何-第3章-常见的曲面2课件27byzo

此时的单叶双曲面是双曲线

当时,方程绕虚轴（即z

轴）旋转形成的.变为byzo此时的单叶双曲面是双曲线28byzox单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面是单叶双曲面的特殊情形.

当时,方程

此时的单叶双曲面是双曲线

绕虚轴（即z

轴）旋转形成的.变为byzox单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面是单叶双曲面的特殊情形29分析：这一族的椭圆方程为即

从而椭圆焦点坐标为消去参数h得分析：这一族的椭圆方程为即30二、双叶双曲面双叶双曲面xyoz特别的a=b时为旋转双曲面二、双叶双曲面双叶双曲面xyoz特别的a=b时31双叶双曲面的性质1对称性（symmetric）2与坐标轴的交点及截距(vertexandintercept)双叶双曲面关于三坐标轴（叫做主平面），三坐标面（叫做主轴）及原点（中心）对称，原点为其对称中心

（1）双叶双曲面与x轴、y轴不交，而与z轴交于（0，0，±c），此为其实顶点.（2）用x=0,y=0代入，得曲线在z轴上的截距，而在x,y轴上无截距.xyoz双叶双曲面的性质1对称性（symmetric）2与坐标轴323图形范围

，易知，即或所以曲面分成两叶，一叶在的上方，另一叶在平面的下方，曲面在面的上半空间下半空间延伸到无穷。

xyoz3图形范围，易知33②用y=0截曲面③用x=0截曲面①用z=0截曲面4主截线无交点xy

zo②用y=0截曲面③用x=0截曲面①用z=0345平截线①当时,

②当时,交点坐标截线为椭圆（1）用

截曲面yx

zo结论：双叶双曲面可看作由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与xOy面平行，且两轴的端点分别在两定双曲线上滑动.5平截线①当时,②当时,交点坐标截35（2）用

截曲面截线为双曲线yx

zo（2）用截曲面截线为双曲线yxzo36截线为双曲线（3）用

截曲面yx

zo截线为双曲线（3）用截曲面yxzo37空间解析几何-第3章-常见的曲面2课件38五单叶双曲面和双叶双曲面的方程的识别：

1°两种双曲面的方程的左边都是x，y，z的平方项，有正有负，右边是1或－1.把方程的右边都化成1，则左边有两项正，一项负的，就表示单叶双曲面.而左边有两项负，一项正的，就表示双叶双曲面.把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.

2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐标轴的标注要符合右手系的原则.五单叶双曲面和双叶双曲面的方程的识别：1°两种双曲面的方39空间解析几何-第3章-常见的曲面2课件40空间解析几何-第3章-常见的曲面2课件41分析：分析：42

单叶：双叶：...yx

zo

在平面上，双曲线有渐进线。相仿，单叶双曲面和双叶双曲面有渐进锥面。

用z=h去截它们，当|h|无限增大时，双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。渐进锥面：双曲面及其渐进锥面单叶：双叶：...yxzo在平面上，双432022/12/23§3.5.3抛物面椭圆抛物面双曲抛物面xyzo2022/12/18§3.5.3抛物面椭圆抛物面xyzo441、椭圆抛物面

方程：设p、q>0,则图形在xoy平面上方与xoy面的交线为点（0，0，0）与平面交线1、椭圆抛物面方程：设p、q>0,则图形451、椭圆抛物面1、椭圆抛物面46yoz例

将抛物线绕它的对称轴旋转yoz例将抛物线47yoxz例

将抛物线绕它的对称轴旋转yoxz例将抛物线48y.oxz例将抛物线绕它的对称轴旋转旋转抛物面y.oxz例将抛物线49二、椭圆抛物面的性质1对称性（symmetric）椭圆抛物面关于z轴对称，z轴为主轴；关于yOz平面，zOx平面对称，这两个平面为主平面；而关于xoy面，x轴，y轴及原点都不对称，且无对称中心.

2有界性(bounded)

椭圆抛物面位于xy平面的上方，且在z轴的正向无界.

3顶点及截距(vertexandintercept)与三坐标轴均交于原点，此为其顶点；，，代后，易知，椭圆抛物面在x轴，y轴,，z轴上的截距都是零。

xyzo二、椭圆抛物面的性质1对称性（symmetric）椭圆抛物502°用y=0截曲面3°用x=0截曲面1°用z=0截曲面xzyO4.主截线Cx＝0Cy＝0

两条主抛物线具有相同的顶点,对称轴和开口方向2°用y=0截曲面3°用x=0截曲面1°用z=51————其为点（0，0，0）

————xoz

面上的抛物线

主抛物线————

yoz

面上的抛物线

有相同的定点（0，0，0）相同的对称轴z轴，开口均向z轴正方向————其为点（0，0，0）————xoz

面上的抛物线

52xzyO1°用z=k(k>0)截曲面结论：椭圆抛物面可看作由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与xOy面平行，且两对顶点分别在两主抛物线上滑动5.平截线xzyO1°用z=k(k>0)截曲面结论：椭圆抛物面可53①当时，为原点；②当时，为椭圆，其顶点为（0，，k），（，0，k）.两半轴长为：,.椭圆抛物面是由xoy平面上方的一系列“平行”的椭圆构成的，这些椭圆的顶点（，0，k）,（0，，k）分别在抛物线（2）和（3）上变化.①当时，为原点；②当时，为54xzyO②用y=k截曲面结论：取这样两个抛物线，它们所在的平面互相垂直，它们的顶点和轴都重合，且两抛物线有相同的开口方向，让其中一条抛物线平行于自己（即与抛物线所在的平面平行），且使其顶点在另一个抛物线上滑动，那么前一抛物线的运动轨迹是一个椭圆抛物面.xzyO②用y=k截曲面结论：取这样两个抛物线，它们所在55用z=0截曲面用y=0截曲面用x=0截曲面用z=h截曲面用y=k截曲面用x=t截曲面xzy0平行截割法主截口辅助截口用z=0截曲面用y=0截曲面用x=0截曲面56例已知椭圆抛物面S的顶点在原点，对称面为xOz面与yOz面，且过点和，求这个椭圆抛物面的方程。分析：对称面为xOz面与yOz面且例已知椭圆抛物面S的顶点在原点，对称面为xOz面与yOz面572、双曲抛物面（马鞍面）方程2、双曲抛物面（马鞍面）方程58四、双曲抛物面的几何特性与形状

1对称性（symmetric）2有界性(bounded)双曲抛物面关于yoz平面，xoz平面对称，这两个平面称为主平面；关于z轴对称，z轴称为主轴；而关于xoy平面，x轴,y轴及坐标原点均不对称，且无对称中心.

双曲抛物面是无界曲线.

3截距（intercept）曲面在x轴,y轴及z轴上的截距为零，过坐标原点，坐标原点叫做顶点.

xyzo四、双曲抛物面的几何特性与形状1对称性（symmetr59Oxzy2°用坐标面y=0

截割曲面，得3°用坐标面x=0

截割曲面，得1°用坐标面z=0

截割曲面，得4主截线Cy＝0Cx＝0

两条主抛物线具有相同的顶点和对称轴,但开口方向相反.两相交直线抛物线抛物线Oxzy2°用坐标面y=0截割曲面，得3°用坐标面x60Oxzy1°用平面z=h截割曲面，得5平截面当h<0时，当h>0时，Cz＝hCz＝h双曲线实轴平行于x轴实轴平行于y轴Oxzy1°用平面z=h截割曲面，得5平截面当h<061Oxzy2°用平面y=t截曲面，得Cy＝t抛物线Oxzy2°用平面y=t截曲面，得Cy＝t抛物线62Oxzy结论：如果取两个这样的抛物线，它们的所在平面相互垂直，有公共的顶点与轴，而两抛物线的开口方向相反，让其中的一个抛物线平行于自己（即与抛物线所在的平面平行），且使其顶点在另一抛物线上滑动，那么前一抛物线的运动轨迹便是一个双曲抛物面。Oxzy结论：如果取两个这样的抛物线，它们的所在平面相互垂直63OxzyOxzy64xzyO

双曲抛物面被xOy面分割成上、下两部分，上半部分沿x轴的两个方向上升，下半部分沿y轴的两个方向下降，曲面的大体形状形如马鞍，故双曲抛物面也称作马鞍面。OxzyxzyO双曲抛物面被xOy面分割成上、下两部分，上半65空间解析几何-第3章-常见的曲面2课件66抛物面的方程可以写成统一的形式：（＊）当时，（＊）表示椭圆抛物面；当时，（＊）表示双曲抛物面.双曲抛物面椭圆抛物面抛物面的方程可以写成统一的形式：（＊）当时，67注：z=xy是经旋转后的双曲抛物面xyzo注：z=xy是经旋转后的双曲抛物面xyzo682022/12/23空间解析几何第3章常见的曲面22022/12/18空间解析几何第3章常见的曲面269本章主要内容柱面2锥面3旋转曲面4曲线与曲面的参数方程5椭球面6双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面）7抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面）8二次直纹面9作图五种典型的二次曲面本章主要内容柱面五种典型的70§3.5五种典型的二次曲面椭球面双曲面单叶双曲面双叶双曲面抛物面椭圆抛物面双曲抛物面§3.5五种典型的二次曲面椭球面71二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面形状的截痕法：

用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之为二次曲面．相应721.对称性：主平面:三坐标平面主轴:三坐标轴中心:坐标原点2.顶点:(±a,0,0),(0,±b,0),(0,0,±c)轴:2a,2b,2c()半轴:a,b,c截距:±a,±b,±c§3.5.1椭球面3.范围：1.对称性：§3.5.1椭球面3.范围：734.主截线：平行截割法：

用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截口）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌。椭球面与三个坐标面的交线截口是曲面与平面的交线4.主截线：平行截割法：用坐标面和平74椭球面椭球面的主截线（主椭圆）椭球面与三个坐标面的交线椭球面椭球面的主截线（主椭圆）椭球面与755.平截线：用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n截曲面abcyx

zo

椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化，因此椭球面可以看成是由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生.5.平截线：用z=h截曲面用y=m截曲面用x=n76用平行于xoy坐标面的平面截割椭球面，得截线的方程为：，(5)无图形；

由于h是变化的，(5)表示一族椭圆，椭圆面可以看成由一个椭圆变动而生成的，其在变动中始终保持所在的平面与坐标面xoy平行.，(5)表示两个点；(5)表示一个椭圆，两半轴长分别为用平行于xoy坐标面的平面截割椭球面，得截线的方程为：，(77椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭圆绕轴旋转而成．方程可写为椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭圆78球面截面上圆的方程方程可写为旋转椭球面与椭球面的区别：与平面的交线为圆.球面截面上圆的方程方程可写为旋转椭球面与椭球面的区别：与平面79三、椭球面的参数方程三、椭球面的参数方程80上海科技城椭球体玻璃幕墙

应用实例：上海科技城椭球体玻璃幕墙应用实例：81§3.5.2双曲面单叶双曲面双叶双曲面xyoz

xyoz§3.5.2双曲面单叶双曲面82单叶双曲面一、单叶双曲面1对称性（symmetric）关于三坐标平面对称；关于三坐标轴对称；关于坐标原点对称，（0，0，0）为其对称中心.单叶双曲面一、单叶双曲面1对称性（symmetric）关于832顶点、与坐标轴的交点和截距

(vertexandintercept)（1）单叶双曲面与x，y轴分别交于（±a，0，0），（0，±b，0）而与z轴无实交点.上述四点称为单叶双曲面的实顶点，而与z轴的交点（0，0，±ci）称为它的两个虚交点.（2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0，代入得x,y轴上的截距为:，；在z轴上没有截距.

xyoz2顶点、与坐标轴的交点和截距（1）单叶双曲面与x，y轴分843图形的范围由方程知，即曲面存在于椭圆柱面之外，从而曲面与z轴无交点，并且在xoy面的上,下半空间延到无穷远.

xyoz3图形的范围xyoz852022/12/234主截线与三坐标平面z=0，y=0和x=0交于三条曲线—xoy面上的椭圆叫做腰椭圆

—yoz面上的双曲线

—xoz面上的双曲线

有共同的虚轴和虚轴长2022/12/184主截线—xoy面上的椭圆叫做腰椭圆86

(1)用z=h截曲面结论：单叶双曲面可看作由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与xOy面平行，且两对顶点分别在两定双曲线上滑动.用平行于坐标面的平面截割yx

zO5平截线(1)用z=h截曲面结论：单叶双曲面可看作由一个椭87y=hyx

zO(2)用y=h截曲面用平行于坐标面的平面截割①当时截线为双曲线y=hyxzO(2)用y=h截曲面用平行于坐标面88(2)用y=h截曲面

用平行于坐标面的平面截割①当时截线为双曲线(2)用y=h截曲面用平行于坐标面的平面截割①当89y=h

yx

zo用平行于坐标面的平面截割(2)用y=h截曲面②当时截线为双曲线y=hyxzo用平行于坐标面的平面截割(2)用y90

用平行于坐标面的平面截割(2)用y=h截曲面②当时截线为双曲线用平行于坐标面的平面截割(2)用y=h截曲面②当91y=h

yx

zo③当时截线为直线用平行于坐标面的平面截割(2)用y=h截曲面y=hyxzo③当时截线为直线92(0,b,0)用平行于坐标面的平面截割(2)用y=h截曲面③当时截线为直线(0,b,0)用平行于坐标面的平面截割(2)用y=93②当时①当时③当时单叶双曲面：用y=h截曲面②当时①当时③当94空间解析几何-第3章-常见的曲面2课件95byzo

此时的单叶双曲面是双曲线

当时,方程绕虚轴（即z

轴）旋转形成的.变为byzo此时的单叶双曲面是双曲线96byzox单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面是单叶双曲面的特殊情形.

当时,方程

此时的单叶双曲面是双曲线

绕虚轴（即z

轴）旋转形成的.变为byzox单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面是单叶双曲面的特殊情形97分析：这一族的椭圆方程为即

从而椭圆焦点坐标为消去参数h得分析：这一族的椭圆方程为即98二、双叶双曲面双叶双曲面xyoz特别的a=b时为旋转双曲面二、双叶双曲面双叶双曲面xyoz特别的a=b时99双叶双曲面的性质1对称性（symmetric）2与坐标轴的交点及截距(vertexandintercept)双叶双曲面关于三坐标轴（叫做主平面），三坐标面（叫做主轴）及原点（中心）对称，原点为其对称中心

（1）双叶双曲面与x轴、y轴不交，而与z轴交于（0，0，±c），此为其实顶点.（2）用x=0,y=0代入，得曲线在z轴上的截距，而在x,y轴上无截距.xyoz双叶双曲面的性质1对称性（symmetric）2与坐标轴1003图形范围

，易知，即或所以曲面分成两叶，一叶在的上方，另一叶在平面的下方，曲面在面的上半空间下半空间延伸到无穷。

xyoz3图形范围，易知101②用y=0截曲面③用x=0截曲面①用z=0截曲面4主截线无交点xy

zo②用y=0截曲面③用x=0截曲面①用z=01025平截线①当时,

②当时,交点坐标截线为椭圆（1）用

截曲面yx

zo结论：双叶双曲面可看作由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与xOy面平行，且两轴的端点分别在两定双曲线上滑动.5平截线①当时,②当时,交点坐标截103（2）用

截曲面截线为双曲线yx

zo（2）用截曲面截线为双曲线yxzo104截线为双曲线（3）用

截曲面yx

zo截线为双曲线（3）用截曲面yxzo105空间解析几何-第3章-常见的曲面2课件106五单叶双曲面和双叶双曲面的方程的识别：

1°两种双曲面的方程的左边都是x，y，z的平方项，有正有负，右边是1或－1.把方程的右边都化成1，则左边有两项正，一项负的，就表示单叶双曲面.而左边有两项负，一项正的，就表示双叶双曲面.把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.

2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐标轴的标注要符合右手系的原则.五单叶双曲面和双叶双曲面的方程的识别：1°两种双曲面的方107空间解析几何-第3章-常见的曲面2课件108空间解析几何-第3章-常见的曲面2课件109分析：分析：110

单叶：双叶：...yx

zo

在平面上，双曲线有渐进线。相仿，单叶双曲面和双叶双曲面有渐进锥面。

用z=h去截它们，当|h|无限增大时，双曲面的截口椭圆与它的渐进锥面的截口椭圆任意接近，即：双曲面和锥面任意接近。渐进锥面：双曲面及其渐进锥面单叶：双叶：...yxzo在平面上，双1112022/12/23§3.5.3抛物面椭圆抛物面双曲抛物面xyzo2022/12/18§3.5.3抛物面椭圆抛物面xyzo1121、椭圆抛物面

方程：设p、q>0,则图形在xoy平面上方与xoy面的交线为点（0，0，0）与平面交线1、椭圆抛物面方程：设p、q>0,则图形1131、椭圆抛物面1、椭圆抛物面114yoz例

将抛物线绕它的对称轴旋转yoz例将抛物线115yoxz例

将抛物线绕它的对称轴旋转yoxz例将抛物线116y.oxz例将抛物线绕它的对称轴旋转旋转抛物面y.oxz例将抛物线117二、椭圆抛物面的性质1对称性（symmetric）椭圆抛物面关于z轴对称，z轴为主轴；关于yOz平面，zOx平面对称，这两个平面为主平面；而关于xoy面，x轴，y轴及原点都不对称，且无对称中心.

2有界性(bounded)

椭圆抛物面位于xy平面的上方，且在z轴的正向无界.

3顶点及截距(vertexandintercept)与三坐标轴均交于原点，此为其顶点；，，代后，易知，椭圆抛物面在x轴，y轴,，z轴上的截距都是零。

xyzo二、椭圆抛物面的性质1对称性（symmetric）椭圆抛物1182°用y=0截曲面3°用x=0截曲面1°用z=0截曲面xzyO4.主截线Cx＝0Cy＝0

两条主抛物线具有相同的顶点,对称轴和开口方向2°用y=0截曲面3°用x=0截曲面1°用z=119————其为点（0，0，0）

————xoz

面上的抛物线

主抛物线————

yoz

面上的抛物线

有相同的定点（0，0，0）相同的对称轴z轴，开口均向z轴正方向————其为点（0，0，0）————xoz

面上的抛物线

120xzyO1°用z=k(k>0)截曲面结论：椭圆抛物面可看作由一个椭圆的变动（大小位置都改变）而产生，该椭圆在变动中，保持所在平面与xOy面平行，且两对顶点分别在两主抛物线上滑动5.平截线xzyO1°用z=k(k>0)截曲面结论：椭圆抛物面可121①当时，为原点；②当时，为椭圆，其顶点为（0，，k），（，0，k）.两半轴长为：,.椭圆抛物面是由xoy平面上方的一系列“平行”的椭圆构成的，这些椭圆的顶点（，0，k）,（0，，k）分别在抛物线（2）和（3）上变化.①当时，为原点；②当时，为122xzyO②用y=k