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文档简介
高等数学考研辅导（题型思路与必证定理）高等数学考研辅导1一、不等式的证明思路xxx01、如果区间上成立的不等式，一般用单调性证明.1如，当x
(0,
)时, (1+ )x
e2、已知条件中导数的阶数是二阶以上，又知道最高阶导数的符号，一般要用泰勒公式考虑.如，已知f
(x)在(0,
)内二阶可导,
且f
(x)
0，lim
f
(x)
=0.证明：f
(x)
x一、不等式的证明思路xxx01、如果区间上成立的不等式，一23、
利用最大值，最小值证明不等式.如，当x
0,
)时，e
x
(1
x)
14、
常值不等式的证明转化成函数的单调性，或函数不等式.如，比较e，e的大小3、利用最大值，最小值证明不等式.3二、等式的证明思路1、如果结论是不带导数的等式，一般用零点定理考虑如，F（x0）=02、已知结论中含导数：（A）是一个点的导数，如f（
x0）=0，用罗尔定理考虑（B）是二个点的导数，如f（
x0）+g（
x0）=0，用两次拉格朗日中值定理或一
次
拉
格
朗
日
中
值
定
理，一次柯西中值定理二、等式的证明思路4
2224f (c)f (c)
a
b
(b
a)2
f(a)
4(b
a)3
a
b
(b
a)
3、 如果结论是函数值与某点的二阶导数的等式，要用泰勒公式考虑.如，结论是f
(b)
2
f
或 f
(b)
f
(a)
f
2224f (c)f (c)ab (b5
三、级数收敛的证明思路
2nn1、如果涉及的级数的部分和是两项和或差一般要用级数的部分和Sn考虑.如，(an1
an
)2、如果已知级数通项的性质，如an收敛，有界等，要证明级数收敛，一般用比较判别法的不等式形式.如，na有界
a
收敛 三、级数收敛的证明思路 2nn1、如果涉及的级数的部分6
2n n3、
如果已知级数的性质，如an收敛等，要证明级数收敛，一般也用比较判别法，但是用不等式形式居多.如，
a 收敛
a
收敛 2n n3、如果已知级数的性质，如an收敛等，要证明7
四、需要掌握的定理证明和一些公式的推导：1.介值定理的证明2.可导与可微等价3.斜渐近线公式的推导4.一元函数取得极值的必要条件是什么？给出证明5.三个中值定理的证明 四、需要掌握的定理证明和一些公式的推导：8
6.设y
（f x）满足f（
x0）=0，f
（
x0）
0，证明x0是极值点7.设y
（f x）满足f
（
x0）=0，f
（
x0）
0，证明
x0，（f
x0）是拐点8.利用级数收敛的定义证明正项级数的比较法9.叙述并证明正项级数收敛的比值法 6.设y （f x）满足f（ x0）=0，f（99.绝对收敛级数本身是收敛的10.若级数每一项取绝对值后的正项级数用比值法判定是发散的，证明原级数发散11.正项级数收敛的充要条件:部分和有界12.交错级数收敛的阿贝尔定理9.绝对收敛级数本身是收敛的10
14.设yoz坐标面内的曲线L的方程为F（y,
z）=0，求其绕z轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程为F（
x2+y2,
z）=013.二阶欧拉微分方程化为常系数微分方程的推导过程 14.设yoz坐标面内的曲线L的方程为F（y,z）=011P
Q15.设单连通区域D内y
，
x
连续，且满足
P
Q，证明曲线积分y xL
Pdx
Qdy在D内与路径无关P Q15.设单连通区域D内y，x连续，且满足1202a aa
a 0f(x)dx
f(
x)
f(
x)dx=
16.设f
(
x)在a,
a上连续，证明f
(
x)dx，若f
(
x)是偶函数0 ， 若f
(
x)是偶函数02a aaa 0f(x)dxf(x)13a+T
Ta02-
T2f(x)dx
=f(x)dx
= f(x)dx
17.设f(x)是以T为周期的连续函数，T证明对"a,a2xf(
x)dx18.设D是由y=f
(
x)(
f
0),
x
a,
b和x
a,
x
b,
y
0所围成，用微元法证明D绕y轴旋转所得的旋转体的b体积是:a+T Ta02f(x)dx=f(x)dx= f(x)d14nncos xdxn!2020n! sin xdx
n
1!!
19.证明：（1）I=，
n为奇数（2）I=
，
n为奇数bbb22aaaf (x)dx
2
f(x)g(x)dx
g (x)dx
n
1!!
220. f,
g连续，则nncos xdxn!n! sin xdx 150xF
(
x)
21.f
(
x)
C
a，
a
，则x
a，
a
,有f
(t
)dt
奇函数,偶函数，f
(
x)为偶函数f
(
x)为奇函数
babbaa22.若（f x）在a，b上连续，（g x）在a，b上可积且不变号则（1）
a（f x）dx
（f）(b
a
)（2）
a，b
，使得，b
，使得（f x）（g x）dx
（f ） （g x）dx0xF(x)21.f(x)Ca，16
23.多元函数可微的必要条件（连续，可偏导）y
ep(x)dxdx
C
)(
Q(x)ep(x)dx24.多元函数取得极值的必要条件（偏导数为零）25.证明微分方程y
p(
x)
y
Q(
x)的通解为 23.多元函数可微的必要条件（连续，可偏导）ye17高等数学考研辅导（题型思路与必证定理）高等数学考研辅导18一、不等式的证明思路xxx01、如果区间上成立的不等式，一般用单调性证明.1如，当x
(0,
)时, (1+ )x
e2、已知条件中导数的阶数是二阶以上，又知道最高阶导数的符号，一般要用泰勒公式考虑.如，已知f
(x)在(0,
)内二阶可导,
且f
(x)
0，lim
f
(x)
=0.证明：f
(x)
x一、不等式的证明思路xxx01、如果区间上成立的不等式，一193、
利用最大值，最小值证明不等式.如，当x
0,
)时，e
x
(1
x)
14、
常值不等式的证明转化成函数的单调性，或函数不等式.如，比较e，e的大小3、利用最大值，最小值证明不等式.20二、等式的证明思路1、如果结论是不带导数的等式，一般用零点定理考虑如，F（x0）=02、已知结论中含导数：（A）是一个点的导数，如f（
x0）=0，用罗尔定理考虑（B）是二个点的导数，如f（
x0）+g（
x0）=0，用两次拉格朗日中值定理或一
次
拉
格
朗
日
中
值
定
理，一次柯西中值定理二、等式的证明思路21
2224f (c)f (c)
a
b
(b
a)2
f(a)
4(b
a)3
a
b
(b
a)
3、 如果结论是函数值与某点的二阶导数的等式，要用泰勒公式考虑.如，结论是f
(b)
2
f
或 f
(b)
f
(a)
f
2224f (c)f (c)ab (b22
三、级数收敛的证明思路
2nn1、如果涉及的级数的部分和是两项和或差一般要用级数的部分和Sn考虑.如，(an1
an
)2、如果已知级数通项的性质，如an收敛，有界等，要证明级数收敛，一般用比较判别法的不等式形式.如，na有界
a
收敛 三、级数收敛的证明思路 2nn1、如果涉及的级数的部分23
2n n3、
如果已知级数的性质，如an收敛等，要证明级数收敛，一般也用比较判别法，但是用不等式形式居多.如，
a 收敛
a
收敛 2n n3、如果已知级数的性质，如an收敛等，要证明24
四、需要掌握的定理证明和一些公式的推导：1.介值定理的证明2.可导与可微等价3.斜渐近线公式的推导4.一元函数取得极值的必要条件是什么？给出证明5.三个中值定理的证明 四、需要掌握的定理证明和一些公式的推导：25
6.设y
（f x）满足f（
x0）=0，f
（
x0）
0，证明x0是极值点7.设y
（f x）满足f
（
x0）=0，f
（
x0）
0，证明
x0，（f
x0）是拐点8.利用级数收敛的定义证明正项级数的比较法9.叙述并证明正项级数收敛的比值法 6.设y （f x）满足f（ x0）=0，f（269.绝对收敛级数本身是收敛的10.若级数每一项取绝对值后的正项级数用比值法判定是发散的，证明原级数发散11.正项级数收敛的充要条件:部分和有界12.交错级数收敛的阿贝尔定理9.绝对收敛级数本身是收敛的27
14.设yoz坐标面内的曲线L的方程为F（y,
z）=0，求其绕z轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程为F（
x2+y2,
z）=013.二阶欧拉微分方程化为常系数微分方程的推导过程 14.设yoz坐标面内的曲线L的方程为F（y,z）=028P
Q15.设单连通区域D内y
，
x
连续，且满足
P
Q，证明曲线积分y xL
Pdx
Qdy在D内与路径无关P Q15.设单连通区域D内y，x连续，且满足2902a aa
a 0f(x)dx
f(
x)
f(
x)dx=
16.设f
(
x)在a,
a上连续，证明f
(
x)dx，若f
(
x)是偶函数0 ， 若f
(
x)是偶函数02a aaa 0f(x)dxf(x)30a+T
Ta02-
T2f(x)dx
=f(x)dx
= f(x)dx
17.设f(x)是以T为周期的连续函数，T证明对"a,a2xf(
x)dx18.设D是由y=f
(
x)(
f
0),
x
a,
b和x
a,
x
b,
y
0所围成，用微元法证明D绕y轴旋转所得的旋转体的b体积是:a+T Ta02f(x)dx=f(x)dx= f(x)d31nncos xdxn!2020n! sin xdx
n
1!!
19.证明：（1）I=，
n为奇数（2）I=
，
n为奇数bbb22aaaf (x)dx
2
f(x)g(x)dx
g (x)dx
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