2022-2023学年抚州市高一数学第一学期期末达标检测模拟试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．函数的图象与函数的图象关于直线对称，则函数的单调递减区间为A. B.C. D.2．把长为的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（）A. B.C. D.3．已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（）A. B.C. D.4．设，则等于A. B.C. D.5．设a为实数，“”是“对任意的正数x，”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件6．已知是偶函数，它在上是减函数.若，则的取值范围是（）A. B.C. D.7．已知集合，下列选项正确的是（）A. B.C. D.8．下列结论中正确的个数是（）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“”是全称量词命题；③命题“”的否定为“”；④命题“是的必要条件”是真命题；A.0 B.1C.2 D.39．下列向量的运算中，正确的是A. B.C. D.10．若函数满足，，则下列判断错误的是（）A. B.C.图象的对称轴为直线 D.f（x）的最小值为－111．命题“，”否定是（）A.， B.，C.， D.，12．始边是x轴正半轴，则其终边位于第（）象限A.一 B.二C.三 D.四二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知是锐角，且sin＝，sin＝_________.14．水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立如图平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，当秒时，___________.15．已知，则________.16．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是__________三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．设矩形的周长为，其中，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点.设，.（1）将表示成的函数，并求定义域；（2）求面积的最大值.18．已知函数的最小正周期为.（1）求函数的单调递增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象.若在上至少有个零点，求的最小值.19．已知幂函数的图象经过点.（1）求的解析式；（2）用定义证明：函数在区间上单调递增.20．某网站为调查某项业务的受众年龄，从订购该项业务的人群中随机选出200人，并将这200人的年龄按照，，，，分成5组，得到的频率分布直方图如图所示：（1）求的值和样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中恰有1人年龄在中的概率21．在平面直角坐标系中，已知角的页点为原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点.（1）求的值；（2）求旳值.22．在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：顶点C的坐标；

直线MN的方程

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、D【解析】先由函数是函数的反函数，所以，再求得，再求函数的定义域，再结合复合函数的单调性求解即可.【详解】解：由题意函数的图象与函数的图象关于直线对称知，函数是函数的反函数，所以，即，要使函数有意义，则，即，解得，设，则函数在上单调递增，在上单调递减．因为函数在定义域上为增函数，所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是，故选D【点睛】本题考查了函数的反函数的求法及复合函数的单调性，重点考查了函数的定义域，属中档题.2、D【解析】先得到两个正三角形面积之和的表达式，再对其求最小值即可.【详解】设一个正三角形的边长为，则另一个正三角形的边长为，设两个正三角形的面积之和为，则，当时，S取最小值.故选：D3、D【解析】根据二次函数的单调性进行求解即可.【详解】当时，函数是实数集上的减函数，不符合题意；当时，二次函数的对称轴为：，由题意有解得故选：D4、D【解析】由题意结合指数对数互化确定的值即可.【详解】由题意可得：，则.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查对数与指数的互化，对数的运算性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5、A【解析】根据题意利用基本不等式分别判断充分性和必要性即可.【详解】若，因为，则，当且仅当时等号成立，所以充分性成立；取，因为，则，当且仅当时等号成立，即时，对任意的正数x，，但，所以必要性不成立，综上，“”是“对任意的正数x，”的充分非必要条件.故选：A.6、C【解析】根据偶函数的性质结合单调性可得，即可根据对数函数单调性解出不等式.【详解】由于函数是偶函数，由得，又因为函数在上是减函数，所以在上是增函数，则，即，解得.故选：C.7、B【解析】由已知集合，判断选项中的集合或元素与集合A的关系即可.【详解】由题设，且，所以B正确，A、C、D错误.故选：B8、C【解析】根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案.【详解】对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；对于②：命题“”是全称量词命题；故②正确；对于③：命题，则，故③错误；对于④：可以推出，所以是的必要条件，故④正确；所以正确的命题为②④，故选：C9、C【解析】利用平面向量的三角形法则进行向量的加减运算，即可得解.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查平面向量的三角形法则，属于基础题.解题时，要注意向量的起点和终点.10、C【解析】根据已知求出，再利用二次函数的性质判断得解.【详解】解：由题得，解得，，所以，因为，所以选项A正确；所以，所以选项B正确；因为，所以选项D正确；因为的对称轴为，所以选项C错误故选：C11、B【解析】根据命题的否定的定义判断.【详解】命题“，”的否定是：，故选：B12、B【解析】将转化为内的角，即可判断.【详解】，所以的终边和的终边相同，即落在第二象限.故选：B二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、【解析】由诱导公式可求解.【详解】由，而.故答案为：14、【解析】求出关于的函数解析式，将代入函数解析式，求出的值，可得出点的坐标，进而可求得的值.【详解】由题意可知，，函数的最小正周期为，则，所以，，点对应，，则，可得，，，故，当时，，因为，故点不与点重合，此时点，则.故答案为：.15、【解析】将未知角化为已知角，结合三角恒等变换公式化简即可.【详解】解：因为，所以.故答案为：.【点睛】三角公式求值中变角的解题思路（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.16、【解析】利用函数的图象变换规律，先放缩变换，再平移变换，从而可得答案【详解】将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得函数的图象；再将的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是的图象，故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1），；（2）【解析】（1）由题意得，则，根据，可得，所以，化简整理，即可求得y与x的关系，根据，即可求得x的范围，即可得答案；（2）由（1）可得，，则的面积，根据x的范围，结合基本不等式，即可求得答案.【详解】（1）由题意得：，则，因为在和中，，所以，即，所以在中，，所以，化简可得，因为，所以，解得，所以，；（2）由（1）可得，，所以面积，因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，此时面积，即面积最大值为【点睛】解题的关键是根据条件，表示出各个边长，根据三角形全等，结合勾股定理，进行求解，易错点为：利用基本不等式求解时，需满足“①正”，“②定”，“③相等”，注意检验取等条件是否成立，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.18、（1）；（2）.【解析】（1）利用正余弦的倍角公式，结合辅助角公式化简为标准正弦型三角函数，根据周期求得参数，再求其单调区间即可；（2）根据函数图像的平移求得的解析式，根据零点个数，即可求得参数的范围.【详解】（1）函数最小正周期为，则，则，所以，令，解得，则函数的单调递增区间为.（2）由题意：，令，得或.所以在每个周期上恰好有两个零点，若在上至少有个零点，应该大于等于第个零点的横坐标，则.【点睛】本题考查利用正余弦倍角公式和辅助角公式化简三角函数解析式，以及求三角函数的单调区间和零点个数，属综合中档题.19、（1）；（2）证明见解析.【解析】(1)设幂函数，由得α的值即可；(2)任取且，化简并判断的正负即可得g(x)的单调性.小问1详解】设，则，解得，∴；【小问2详解】由(1)可知，任取且，则，∵，则，，故，因此函数在上为增函数.20、（1），平均数为岁（2）【解析】（1）根据频率之和等于得出的值，再由频率分布直方图中的数据计算平均数；（2）根据分层抽样确定第1，2组中抽取的人数，再由列举法结合古典概型的概率公式得出概率.【小问1详解】由，得平均数为岁.【小问2详解】第1，2组的人数分别为人，人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为，，，，从5人中随机抽取2人，样本空间可记为，，，，，，，，，，用表示“2人中恰有1人年龄在”，则，，，，，，包含的样本点个数是6.所以2人中恰有1人年龄在中的概率21、（1）（2）【解析】（1）根据三角函数的定义可求得的值，再利用诱导公式结合同角的三角函数关系化简可得结果；（2）利用二倍角的余弦公式可直接求得答案.【小问1详解】由角的终边经过点，可得，，故；小问2详解】.22、（1）；（2）【解析】（1）边AC中点M在y轴上，由中点公式得，A，C两点的横坐标和的平均数为0，同理，B，C两点的纵坐标和的平均数为0．构造方程易得C点的坐标（2）根据C点的坐标，结合中点公式，我们可求出M，N两点的坐标，代入两点式即可求出直线MN的方程解：（1）设点C（x，y），∵边AC的中点M在y轴上得=0，∵边BC的