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第二章行列式典型例题大纲要求习题课1.理解行列式的概念.2.掌握行列式的性质.一、大纲要求3.了解克拉默法则的理论.4.理解矩阵秩的概念和秩的性质.会用矩阵的行初等变换的方法求矩阵的秩.并会利用行列式的性质计算行列式.

行列式与矩阵的区别与联系：二、补充例题解例例

计算解例

计算解例

证明证数学归纳法：

推广的数学归纳法：

计算解例

例

解解例

设求及令

解例

设求解

例

的二阶子式中和至少有一个不为0分析例

解例

证证明A可逆.设阶非0实矩阵的伴随矩阵为，例

练一练作业思考复习题二则可逆矛盾则A可逆设阶非0实矩阵的伴随矩阵为，证明：例

证一、主要内容定义

定义n阶矩阵A的行列式1、n阶行列式的定义性质1

行列式按任一行展开，其值相等，即2、n阶行列式的性质

性质2

n阶行列式某两行对应元全相等，则行列式为零.即当aik=ajk

，i≠j,k=1,…,n时，detA=0.

推论

若行列式的某一行全为零，则行列式等于零.性质3

性质4（行列式的初等变换）若把行初等变换施

(1)将A的某一行乘以数k得到A1，则

detA1=k(detA)；

(2)将A的某一行的k(≠0)倍加到另一行得到A2,则

detA2=detA；(3)交换A的两行得到A3,

则

detA3=-detA.于n阶矩阵A上：

推论若行列式某两行对应元成比例，则行列式的值为零.性质5

设A为n阶矩阵，则方阵乘积的行列式定理1

方阵A可逆的充要条件为detA≠0.定理2设A,B为n阶方阵，则

推论1设Ai(i=1,…,t)为n阶矩阵，则

推论2设A,B为n阶矩阵，且AB=I(或BA=I),则B=A-1.

行列式性质小结：

二、三类初等变换：1.换行反号,2.倍乘,

3.倍加.

三、三种为零：1.有一行全为零,

3.有两行成比例.

2.有两行相同,四、一种分解.五、一、按行展开：3、克莱姆法则克莱姆法则的理论价值定理定理定理定理一、逆矩阵的一个简明表达式引理1

设A=(aij)n,n，则引理2

设A为n阶矩阵，则定理1方阵A可逆的充要条件为|A|≠0。当A可逆时,则4、矩阵的秩矩阵A中非零子式的最高阶数r，称为A的秩定义秩，记为R(A)=r.

矩阵的秩的另一种理解：基本结论与性质1.R(A)=0A=O；2.R(A)≥r

A有一个r阶子式不为零；

3.R(A)≤r

A的所有r+1阶子式全为零。

(满秩矩阵——可逆矩阵

降秩矩阵——不可逆矩阵)定理1

初等变换不改变矩阵的秩。推论

对任意矩阵A,

R(PA)=R(AQ)=R

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