2023年云南省昆明市实验中学高考数学四模试卷（含答案解析）

2023高考数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：及时，如图：记为每个序列中最后一列数之和，则为（）A．147 B．294 C．882 D．17642．设过抛物线上任意一点(异于原点)的直线与抛物线交于两点，直线与抛物线的另一个交点为，则（）A． B． C． D．3．将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数图象的一个对称中心为（）A． B． C． D．4．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（）A． B．3 C． D．45．在中，“”是“为钝角三角形”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线分别交于、两点，与轴的正半轴交于点，与准线交于点，且，则（）A． B．2 C． D．37．记等差数列的公差为，前项和为.若，，则（）A． B． C． D．8．已知空间两不同直线、，两不同平面，，下列命题正确的是（）A．若且，则 B．若且，则C．若且，则 D．若不垂直于，且，则不垂直于9．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（）A． B． C． D．10．已知等比数列的前项和为，若，且公比为2，则与的关系正确的是（）A． B．C． D．11．若,,,则下列结论正确的是()A． B． C． D．12．若集合，则=（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为_____．14．已知函数，，若函数有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则的取值范围是_________．15．已知数列为等比数列，，则_____.16．设集合，（其中e是自然对数的底数），且，则满足条件的实数a的个数为______．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数．（1）解不等式：；（2）求证：．18．（12分）已知椭圆的左焦点坐标为，，分别是椭圆的左，右顶点，是椭圆上异于，的一点，且，所在直线斜率之积为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条直线，分别交椭圆于，两点（异于点）.当直线，的斜率之和为定值时，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理.19．（12分）某公园有一块边长为3百米的正三角形空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道将分成面积之比为的两部分（点D，E分别在边，上）；再取的中点M，建造直道（如图）.设，，（单位：百米）.（1）分别求，关于x的函数关系式；（2）试确定点D的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.20．（12分）已知a>0，b>0，a+b=2.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）证明：21．（12分）如图，在多面体中，四边形是菱形，，，，平面，，，是的中点.（Ⅰ）求证：平面平面；（ⅠⅠ）求直线与平面所成的角的正弦值.22．（10分）已知函数和的图象关于原点对称，且．（1）解关于的不等式；（2）如果对，不等式恒成立，求实数的取值范围．

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【答案解析】

根据题目所给的步骤进行计算，由此求得的值.【题目详解】依题意列表如下：上列乘上列乘上列乘630603153021020156121510所以.故选：A【答案点睛】本小题主要考查合情推理，考查中国古代数学文化，属于基础题.2．C【答案解析】

画出图形，将三角形面积比转为线段长度比，进而转为坐标的表达式。写出直线方程，再联立方程组，求得交点坐标，最后代入坐标，求得三角形面积比.【题目详解】作图，设与的夹角为，则中边上的高与中边上的高之比为，，设，则直线，即，与联立，解得，从而得到面积比为.故选：【答案点睛】解决本题主要在于将面积比转化为线段长的比例关系，进而联立方程组求解，是一道不错的综合题.3．D【答案解析】

根据函数图象的变换规律可得到解析式，然后将四个选项代入逐一判断即可.【题目详解】解：图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到再将图像向左平移个单位长度，得到函数的图象，故选：D【答案点睛】考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质，基础题.4．B【答案解析】由正弦定理及条件可得，即.，∴，由余弦定理得。∴.选B。5．C【答案解析】分析：从两个方向去判断，先看能推出三角形的形状是锐角三角形，而非钝角三角形，从而得到充分性不成立，再看当三角形是钝角三角形时，也推不出成立，从而必要性也不满足，从而选出正确的结果.详解：由题意可得，在中，因为，所以，因为，所以，，结合三角形内角的条件，故A,B同为锐角，因为，所以，即，所以，因此，所以是锐角三角形，不是钝角三角形，所以充分性不满足，反之，若是钝角三角形，也推不出“，故必要性不成立，所以为既不充分也不必要条件，故选D.点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断问题，在解题的过程中，需要用到不等式的等价转化，余弦的和角公式，诱导公式等，需要明确对应此类问题的解题步骤，以及三角形形状对应的特征.6．B【答案解析】

过点作准线的垂线，垂足为，与轴交于点，由和抛物线的定义可求得，利用抛物线的性质可构造方程求得，进而求得结果.【题目详解】过点作准线的垂线，垂足为，与轴交于点，由抛物线解析式知：，准线方程为.，，，，由抛物线定义知：，，，.由抛物线性质得：，解得：，.故选：.【答案点睛】本题考查抛物线定义与几何性质的应用，关键是熟练掌握抛物线的定义和焦半径所满足的等式.7．C【答案解析】

由，和，可求得，从而求得和，再验证选项.【题目详解】因为，，所以解得，所以，所以，，，故选：C.【答案点睛】本题考查等差数列的通项公式、前项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题.8．C【答案解析】因答案A中的直线可以异面或相交，故不正确；答案B中的直线也成立，故不正确；答案C中的直线可以平移到平面中，所以由面面垂直的判定定理可知两平面互相垂直，是正确的；答案D中直线也有可能垂直于直线，故不正确．应选答案C．9．A【答案解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得的坐标得出答案.【题目详解】解：，在复平面内对应的点的坐标是.故选：A.【答案点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．10．C【答案解析】

在等比数列中，由即可表示之间的关系.【题目详解】由题可知，等比数列中，且公比为2，故故选：C【答案点睛】本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.11．D【答案解析】

根据指数函数的性质，取得的取值范围，即可求解，得到答案.【题目详解】由指数函数的性质，可得，即，又由，所以.故选：D.【答案点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.12．C【答案解析】

求出集合，然后与集合取交集即可．【题目详解】由题意，，，则，故答案为C.【答案点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．1【答案解析】

直接根据分层抽样的比例关系得到答案.【题目详解】分层抽样的抽取比例为，∴抽取学生的人数为6001．故答案为：1．【答案点睛】本题考查了分层抽样的计算，属于简单题.14．【答案解析】

先根据题意，求出的解得或，然后求出f(x)的导函数，求其单调性以及最值，在根据题意求出函数有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，分情况讨论求出的取值范围.【题目详解】解：令t=f（x），函数有3个不同的零点，即+m=0有两个不同的解，解之得即或因为的导函数，令，解得x>e，，解得0<x<e，可得f（x）在（0，e）递增，在递减；f(x)的最大值为，且且f(1)=0；要使函数有3个不同的零点，（1）有两个不同的解，此时有一个解；（2）有两个不同的解，此时有一个解当有两个不同的解，此时有一个解，此时，不符合题意；或是不符合题意；所以只能是解得，此时=-m，此时有两个不同的解，此时有一个解此时，不符合题意；或是不符合题意；所以只能是解得，此时=，综上：的取值范围是故答案为【答案点睛】本题主要考查了函数与导函数的综合，考查到了函数的零点，导函数的应用，以及数形结合的思想、分类讨论的思想，属于综合性极强的题目，属于难题.15．81【答案解析】

设数列的公比为，利用等比数列通项公式求出，代入等比数列通项公式即可求解.【题目详解】设数列的公比为，由题意知，因为，由等比数列通项公式可得，，解得，由等比数列通项公式可得，.故答案为：【答案点睛】本题考查等比数列通项公式；考查运算求解能力；属于基础题.16．【答案解析】

可看出，这样根据即可得出，从而得出满足条件的实数的个数为1．【题目详解】解：，或，在同一平面直角坐标系中画出函数与的图象，由图可知与无交点，无解，则满足条件的实数的个数为．故答案为：．【答案点睛】考查列举法的定义，交集的定义及运算，以及知道方程无解，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）；（2）见解析.【答案解析】

（1）代入得，分类讨论，解不等式即可；（2）利用绝对值不等式得性质，，，比较大小即可.【题目详解】（1）由于，于是原不等式化为，若，则，解得；若，则，解得；若，则，解得．综上所述，不等式解集为．（2）由已知条件，对于，可得．又，由于，所以．又由于，于是．所以．【答案点睛】本题考查了绝对值不等式得求解和恒成立问题，考查了学生分类讨论，转化划归，数学运算能力，属于中档题.18．（1）（2）直线过定点【答案解析】

（1），再由，解方程组即可；（2）设，，由，得，由直线MN的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，代入计算即可.【题目详解】（1）由题意知：，又，且解得，，∴椭圆方程为，（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，设，，由，得.则，（*）由，得，整理可得（*）代入得，整理可得，又，∴，即，∴直线过点当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，，，其中，∴，由，得，所以∴当直线的斜率不存在时，直线也过定点综上所述，直线过定点.【答案点睛】本题考查求椭圆的标准方程以及直线与椭圆位置关系中的定点问题，在处理直线与椭圆的位置关系的大题时，一般要利用根与系数的关系来求解，本题是一道中档题.19．（1），.，.（2）当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米.【答案解析】

（1）由，可解得.方法一：再在中，利用余弦定理，可得关于x的函数关系式；在和中，利用余弦定理，可得关于x的函数关系式.方法二：在中，可得，则有，化简整理即得；同理，化简整理即得.（2）由（1）和基本不等式，计算即得.【题目详解】解：（1），是边长为3的等边三角形，又，，.由，得.法1：在中，由余弦定理，得.故直道长度关于x的函数关系式为，.在和中，由余弦定理，得①②因为M为的中点，所以.由①②，得，所以，所以.所以，直道长度关于x的函数关系式为，.法2：因为在中，，所以.所以，直道长度关于x的函数关系式为，.在中，因为M为的中点，所以.所以.所以，直道长度关于x的函数关系式为，.（2）由（1）得，两条直道的长度之和为（当且仅当即时取“”）.故当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米.【答案点睛】本题考查了余弦定理和基本不等式，第一问也可以利用三角形中的向量关系进行求解，属于中档题.20．（Ⅰ）最小值为；（Ⅱ）见解析【答案解析】

（1）根据题意构造平均值不等式，结合均值不等式可得结果；（2）利用分析法证明，结合常用不等式和均值不等式即可证明.【题目详解】（Ⅰ）则当且仅当，即，时，所以的最小值为．（Ⅱ）要证明：，只需证：，即证明：，由，也即证明：．因为，所以当且仅当时，有，即，当时等号成立．所以【答案点睛】本题考查均值不等式，分析法证明不等式，审清题意，仔细计算，属中档题.21．(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)．【答案解析】试题分析：（Ⅰ）连接交于，得，所以面，又，得面，即可利用面面平行的判定定理，证得结论；（Ⅱ）如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求的平面的一个法向量，利用向量和向量夹角公式，即可求解与平面所成角的正弦值．试题解析：（Ⅰ）连接BD交AC于O，易知O是BD的中点，故OG//BE，BE面BEF，OG在面BEF外，所以OG//面BEF；又EF//AC，AC在面BEF外，AC//面BEF，又AC与OG相交于点O