复变函数教案

目录第一次课… 复数第二次课… 复平面上的点集第三次课… 复变函数复球面与无穷远点第四次课… 解析函数的概念与柯-黎曼方程第五次课… 初等解析函数第六次课… 初等多值函数第七次课… 复积分的概念及其简单性质第八次课… 柯西积分定理第九次课… 柯西积分公式及其推论第十次课… 解析函数与调和函数的关系第十一次课… 复级数的基本性质第十二次课… 幂级数第十三次课… 解析函数的泰勒展式第十四次课… 解析函数零点的孤立性及惟一性定理第十五次课… 解析函数的洛朗展开式第十六次课… 解析函数的孤立奇点第十七次课… 孤立奇点在无穷远点的性质整函数与亚纯函数的概第十八次课… 留第十九次课… 用留数计算实积分第二十次课… 辐角原理及其应用第二十一次课… 解析变换的特性第二十二次课… 分式线性变换第二十三次课… 某些初等函数所构成的共形映射关于共形映射的黎曼存在定理和边界对应定第二十四次课… 总复习第一次课：复数一． 教学目的：掌握复数的四则运算及共轭运算；熟练掌握复数的各种表示法；熟练掌握乘积与商的模与辐角定理，方根运算公式二． 教学重点：复数的三角表示和复数的乘方与开方。三． 教学难点：用复数形式方程（或不等式）表示平面图形来解决有关几何问题方法。四． 教学方法：启发式、讨论式五． 教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等六． 教学过程：[引言]：（约10分钟）意的方法，引入本课主题。复数的基本概念（5）虚数单位。实部与虚部。共轭复数。复数的四则运算（20分钟）复数的加、减、乘和除法运算。复数运算的性质。复数的几何表示（20分钟1．复平面。2．复数的模与幅角。3．复数模的三角不等式。利用几何图形直观地解释。复数的三角表示（25分钟）1．复数的三角表示23．复数的乘方与开方举例并让学生穿插进行练习七． 课程小结（约5分钟）八． 布置作业和预习内容（约5分钟）第二次课：复平面上的点集一.教学目的：１．了解复球面、无穷远点及扩充复平面的概念；二.教学重点：正确理解区域、单连通域与多连通域、简单曲线等概念三.教学难点：求复平面上曲线的复方程。四．教学方法：启发式、讨论式五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等六．教学过程：[引言]：（5分钟）简述上节课内容，引出本课题的内容。开集与闭集（约20分钟）1．平面点集（开集、闭集、内点、边界点、有界集、无界集等）区域举例并让学生穿插进行练习。平面曲线（20）平面曲线的复值函数表示简单曲线及简单闭曲线。若当曲线定理。单连通区域和多连通区域无穷大与复球面（约35分钟）1．2．扩充复平面3．复球面七． 课程小结（约5分钟）八． 布置作业和预习内容（约5分钟）第三次课：复变函数复球面与无穷远点一． 教学目的：１． 理解复变函数以及映射的概念；２． 了解复变函数与而二元实函数的关系；３． 了解复变函数的极限与连续的概念、性质４． 联系；５． 理解复变函数的导数以及解析函数的概念；６． 掌握连续、可导、解析之间的关系及求导方法７． 8、了解复球面与复平面的关系；了解无穷远点与复球面上的哪一点相对应；理解广义极限与广义连续的概念。二． 教学重点：复变函数以及映射的概念，解析函数的概念；函数解析性的判别三． 教学难点：复变函数的极限存在性判别和用导数定义求复函数的导数四． 教学方法：启发式、讨论式五． 教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔六． 教学过程：[引言]：（5分钟）复习上节课内容，引出复变函数的概念。复变函数的概念（15）学生对之掌握。复变函数的极限与连续性（约20分钟１． 复变函数的极限与连续概念２． 复变函数的极限和连续性与实变函数的极限与连续性之间的区联系３． 举例并让学生穿插进行练习。复变函数的导数（5分钟）介绍复函数的可导、可微等概念，通过讲解例题帮助学生理解解析函数的概念与求导法则（约10分钟１． 解析函数的概念２． 求导的四则运算３． 复合函数的求导法则函数解析的一个充要条件（15）以推理的方式给出函数解析的一个充要条件：柯西-黎曼方程；通过讲解常数函数的部分充分条件加深学生对该充要条件的理解复球面（5）扩充复平面的几个概念（约5分钟七． 课程小结（约5分钟）八． 布置作业和预习内容（约5分钟）第四次课：解析函数的概念与柯西-黎曼方程一． 教学目的：1、了解复数域中函数可导、解析与连续的定义；2、理解可导、解析与连续的关系；3、充分掌握解析函数的运算法则、C-R条件及有关定理与公式；4、深刻理解解析函数的等价刻画定理的内容及涵义。二．教学重点：C-R条件及有关定理与公式三．教学难点：解析函数的等价刻画定理的内容及涵义四．教学方法：启发式、讨论式五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等六．教学过程：[引言]：（约5分钟）简单回顾上节课内容，引入本课题内容复变函数的导数与微分（10）给出调和函数的概念，证明解析函数的虚部和实部都是调和函数共轭调和函数（10）给出共轭调和函数的概念，引出函数解析的另外一个充要条件解析函数及其简单性质（25分钟）柯西-黎曼条件（35）证明定理可微的充要条件可微的充分条件课程小结（5分钟七．布置作业和预习一． 教学目的：

第五次课：初等解析函数1、了解复正、余弦函数的有关性质；2、了解正、余切函数、双曲函数的解析性和周期性；3、理解指数函数ez

exiy

ex(cosyisiny)的常见性质；4、充分掌握整幂函数及有理函数的解析性；二．教学重点：指数函数ezexiyex(cosyisiny)的常见性质三．教学难点：正、余切函数、双曲函数的解析性和周期性四．教学方法：启发式、讨论式五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等六．教学过程：[引言]：（约5分钟）简单回顾上节课内容，引入本课题内容指数函数及其性质（25）三角函数与双曲函数及其性质（25分钟）八．课程小结（约5分钟）九．布置作业和预习一． 教学目的：

第六次课：初等多值函数1、了解幂函数w=zn、指数函数ez的单叶性区域；2、了解根式函数 nz(n2)、对数函数Lnz与幂函数、指数函数的关系3、了解具有多个支点的多值函数；二．教学重点：幂函数w=zn、指数函数ez的单叶性区域三．教学难点：分出根式函数与对数函数的单值解析分支四．教学方法：启发式、讨论式五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等六．教学过程：[引言]：（约5分钟）简单回顾上节课内容，引入本课题内容根式函数及其性质(15分钟)对数函数(10分钟)一般幂函数与一般指数函数(15分钟)具有多个有限支点的情形（20） 反三角函数与反双曲函数（10分钟十．课程小结（5分钟）十一． 布置作业和预习第七次课：复积分的概念及其简单性质一．教学目的：1．2．掌握复积分计算的一般方法。二．教学重点：1。复积分的定义和一般计算方法；2．复积分的基本性质。三．教学难点：1。利用复积分的定义求复函数的积分25四．教学方法：启发式、讨论式五。教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等六．教学过程：[引言]：（约5分钟）简单回顾上节课内容，由实变函数的线积分概念引入复变函数的线积分复积分的定义与计算（40）复积分的定义3.1计算复积分的另外一条途径。P57-583.1-3.3，例题的讲解速度适中，以引导式教学为主。要向学生指出：例3.1复积分的基本性质（35）5余可要学生自己完成3.4、3.53.5七．课程小结（5分钟）八．布置作业和预习（约5分钟）第八次课：柯西积分定理一． 教学目的：１． 理解柯西定理，掌握复合闭路原２． 了解变上限函数的性质３． 复不定积分与原函数的概４． 牛顿莱布尼茨公式。二．教学重点：柯西定理三．教学难点：柯西定理的推广形式原函数概念的引入四．教学方法：启发式、讨论式五。教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等六．教学过程：[引言]：（5分钟）简单回顾上课题的内容：由上单元的例题（积分与路径的关联性）引出本课主题。柯西定理（20）3.2：f（zDf（zD条简单闭曲线C的积分为零3.2：f（zDf（zD内沿任意一条简单闭曲线C的积分与路径无关通过例题3.6多连通域上的柯西定理（301．闭路变形原理（定理3.4）2．复合闭路定理该部分的定理提供了一套将在任意曲线上的复积分转化为在特殊曲线上的积分有效方法，通过讲解例题帮助学生理解这两个定理的作用实函数定积分的推广（约30分钟）１． 复变函数的原函数概念的引２．牛顿莱布尼茨公式类似的解析函数的复积分公式通过例题讲解，让学生掌握该定理的方法并要求学生作题七． 课程小结（约5分钟）八． 布置作业和预习第九次课：柯西积分公式及其推论一． 教学目的：1．熟练掌握柯西积分公2．熟练掌握高阶导数公式。二．教学重点：柯西积分公式及其一系列的应用三．教学难点：最大模原理四．教学方法：启发式、讨论式五。教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等六．教学过程：[引言]：（5分钟）简述上次课主要内容，归纳现有的求复积分的所有方法，引入本课题的内容柯西积分公式（35）在各种情形下的使用，并要求学生在课堂练习平均值公式（5）最大模原理及其两个推论（15）体思路，最主要通过例题让学生掌握他们的应用高阶导数公式（25分钟）该部分的重点放在公式的应用上，通过例题的讲解完七． 课程小结（约5分钟）八． 布置作业和预习第十次课：解析函数与调和函数的关系二． 教学目的：1、理解调和函数以及共轭调和函数的的定义；2、充分理解解析函数与调和函数的关系；3、切实掌握从已知解析函数的实部或虚部求出虚部或实部的方法。二．教学重点：解析函数与调和函数的关系；三．教学难点：从已知解析函数的实部或虚部求出虚部或实部的方法四．教学方法：启发式、讨论式五。教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等六．教学过程：[引言]：（5分钟）简述上次课主要内容，引入本课题的内容调和函数的定义（15）共轭调和函数的定义及其性质（15）3.19（25）例题讲解（约25分钟）九． 课程小结（约5分钟十． 布置作业和预习一．教学目的：

第十一次课：复级数的基本性质1、理解复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理；2、掌握复级数的绝对收敛性的概念及其判别法；3、切实了解复函数项级数收敛与一致收敛的定义；4、掌握柯西—一致收敛准则和优级数准则；5、掌握复连续函数项级数的性质，并充分了解复函数级数的内闭一致收敛性。6、了解关于解析函数项级数的威尔斯特拉斯定理。二．教学重点：复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理；三．教学难点：复函数级数的内闭一致收敛性。四．教学方法：启发式、讨论式五。教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等六．教学过程：[引言]：（约5分钟）简述上一章主要内容，帮助学生找出该章内容的主线，引入本课题的内容复数序列（15）复数序列的极限概念复数序列收敛的充要条件收敛的复数序列的性质复数项级数（25分钟）１． 复数项级数部分和、和、收敛等概２． 复数项级数收敛的判别条件３． 举例并让学生穿插进行练习复变函数项级数（40分钟）复变函数项级数举例并让学生穿插进行练习七．课程小结（约5分钟）八．布置作业和预习第十二次课：幂级数一．教学目的：1、理解幂级数的收敛性；2、充分理解幂级数的收敛半径、收敛域的意义；3、切实掌握幂级数和函数的解析性。二．教学重点：幂级数和函数的解析性；三．教学难点：幂级数和函数的解析性。四．教学方法：启发式、讨论式五。教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等六．教学过程：[引言]：（约5分钟）简述上一章主要内容，帮助学生找出该章内容的主线，引入本课题的内容幂级数的敛散性（15）收敛半径的求法柯西阿达马公式（25分钟举例并让学生穿插进行练习幂级数和的解析性（40分钟）举例并让学生穿插进行练习七．课程小结（约5分钟）八．布置作业和预习第十三次课：解析函数的泰勒展式一．教学目的：1、掌握泰勒定理、泰勒系数公式及解析函数的等价刻画命题；2、充分理解幂级数的和函数在收敛圆周上的状况；3二．教学重点：泰勒定理、泰勒系数公式及解析函数的等价刻画命题三．教学难点：幂级数的各种展开法四．教学方法：启发式、讨论式五。教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等六．教学过程：[引言]：（约5分钟）简述上次课主要内容，回顾实变函数相应部分的内容，引出解析函数的泰勒级数和洛朗级数。泰勒定理（25）幂级数的和函数在其收敛圆周上的状况（15）一些初等函数的泰勒展式（40）举例并让学生穿插进行练习，求给定解析函数的泰勒级数是重七． 课程小结（约5分钟）要求学生明白“将函数展开成级数”的意思，要注意以下几点１． 将函数展开成什么级数？是泰勒级数还是洛朗级数？２． 在那些区域展开？区域不同展开式不同３． 能不能展开？怎样展开八． 布置作业和预习第十四次课：解析函数零点的孤立性及惟一性定理一．教学目的：1、了解解析函数零点的概念及其有零点的解析函数的表达式2、充分理解解析函数零点的孤立性及其内部唯一性定理；3二．教学重点：三．教学难点：最大模原理四．教学方法：启发式、讨论式五。教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等.六．教学过程：[引言]：（5分钟）简述上次课主要内容，回顾实变函数相应部分的内容解析函数零点的孤立性(25）惟一性定理（15）最大模原理（40）九． 课程小结（约5分钟）十． 布置作业和预习第十五次课：解析函数的洛朗展开式一．教学目的：1、了解双边幂级数在其收敛圆环内的性质；2、充分掌握洛朗级数与泰勒级数的关系；3二．教学重点：三．教学难点：掌握洛朗级数的展开方法。四．教学方法：启发式、讨论式五。教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等.六．教学过程：[引言]：（5分钟）简述上次课主要内容，回顾实变函数相应部分的内容双边幂级数的定义(5）解析函数的洛朗展式（25）洛朗级数与泰勒级数的关系（10）解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式（40举例并让学生穿插进行练习十一．课程小结（约5分钟）十二．布置作业和预习第十六次课：解析函数的孤立奇点一．教学目的：1、掌握孤立奇点的三种类型；2、理解孤立奇点的三种类型的判定定理；3、归纳奇点的所有情况；4二．教学重点：三．教学难点：孤立奇点的三种类型的判定定理四．教学方法：启发式、讨论式五。教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等.六．教学过程：[引言]：（约5分钟）简述上次课主要内容，复习上次课内容。孤立奇点的三种类型(15）可去奇点及其判别（15）施瓦茨引理（10）极点及其判别（20举例并让学生穿插进行练习施瓦茨引理（5）本质奇点（10）皮卡定理（5）十三．课程小结（5分钟）十四．布置作业和预习第十七次课：孤立奇点在无穷远点的性质整函数与亚纯函数的概念一．教学目的：1、充分了解解析函数在无穷远点邻域的性态；2、掌握孤立奇点类型的判定定理；3、了解整函数的概念与分类；4、了解亚纯函数的概念及其与有理函数的关系；二．教学重点：充分了解解析函数在无穷远点邻域的性态整函数与亚纯函数三．教学难点：孤立奇点类型的判定定理亚纯函数的概念及其与有理函数的关系四．教学方法：启发式、讨论式五。教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等.六．教学过程：[引言]：（约5分钟）复习上次课内容，简述上次课主要内容。解析函数在无穷远点的性质(40）整函数的概念与举例（25）亚纯函数的概念与举例（15十五．课程小结（5分钟）十六．布置作业和预习一．教学目的：

第十八次课：留数1、掌握函数在有限点残数的概念及残数定理；2、充分掌握函数在有限点残数的概念及残数Resf(z)的求法za3、理解在处残数的概念及计算方法；4、了解含点区域的残数定理。二．教学重点：函数在有限点残数的概念及残数定理及残数Resf(z)的求法za三．教学难点：残数Resf(z)的求法za四．教学方法：启发式、讨论式五。教学用具：多媒体教学与黑板、粉笔等六．教学过程：[引言]：（约5分钟）简述上次课主要内容，回顾柯西定理和柯西积分公式，引出本课题的内容留数的定义及留数定理（40分钟）１． 留数的概念，举例，并让学生练习。２． 留数定理，指出留数定理与柯西定理、柯西积分公式的关系。留数的求法（30分钟）３． 函数在极点处的留数，举例，学生练习。函数在无穷远点的留数（10分钟）４． 函数在无穷远点的留数，举例，学生练习七． 课程小结（约5分钟）八． 布置作业和预习第十九次课：用留数计算实积分一．教学目的：

Px

Px2Rcos,sind

dx

eiaxdx１．熟练掌握应用留数计算0分。

、Q

及Qx 型积二．教学重点：2Rcos,sin00

P

eiaxdx

的积分

Qx

的积分三． 教学难点：计算实积分的围道积分四．教学方法：启发式、讨论式五。教学用具：多媒体教学与黑板、粉笔等六．教学过程：[引言]：（约10分钟）简述上次课主要内容，引出本课题的内容2,sin0

的积分（35分钟）该部分知识主要以举例和学生练习方式进行，其中学生练习的时间占大半Px

Qx

eiaxdx

的积分（约40分钟）该部分知识主要以举例和学生练习方式进行，其中学生练习的时间占大半七．课程小结（约5分钟）一．教学目的：

第二十次课：辐角原理及其应用1、掌握作为残数定理直接应用的零点与极点个数定理2、理解辐角原理及其应用；3Rouche二．教学重点：三． 残数定理直接应用的零点与极点个数定三． 教学难点：Rouche定理及其应用四．教学方法：启发式、讨论式五。教学用具：多媒体教学与黑板、粉笔等六．教学过程：[引言]：（约10分钟）简述上次课主要内容，引出本课题的内容对数原理（40）该部分知识主要以举例和学生练习方式进行，其中学生练习的时间占大半辐角原理（30分钟）该部分知识主要以举例和学生练习方式进行，其中学生练习的时间占大半儒歇定理（10分钟七．课程小结（5分钟）八．布置作业和预习一．教学目的：

第二十一次课：解析变换的特性1、理解并掌握解析变换的保域性2、充分理解解析变换的保角性——导数的几何意义；3、充分掌握单叶解析函数的有关重要性质；4、充分理解单叶解析变换的保形性。二．教学重点：单叶解析函数的有关重要性质三．教学难点：单叶解析变换的保形性四．教学方法：启发式、讨论式五。教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等六．教学过程：[引言]：（约5分钟）简述上一章主要内容，找出该章节内容的主线，引出本课题的内容。解析变换的保域性（20分钟）解析变换的保角性——导数的结合意义（20分钟）单叶解析变换的共形性（40分钟七．课程小结（5分钟）八．布置作业和预习一．教学目的：

第二十二次课：分式线性变换１．了解导数的几何意义及保形映射的概念；2．了解线性映射的保圆性和对称性；会求一些简单区域（例如平面、半平面、角形域、圆、带形区域等）射。二．教学重点：分式线性变换一些简单区域（例如平面、半平面、角形域、圆、带形区